本文提出的编队级防空火力资源优化分配模型总体方案如图1所示。该方案中，本文假设编队所有舰艇编队的防空火力单元统一存放在一个作战资源池中，指挥舰可以随意分配调度这些资源。在此基础之上，通过对问题进行形式化描述，并建立编队级防空火力资源优化分配模型。在实际作战过程中，输入多个来袭目标态势信息，并结合资源池信息，利用求解方法，快速求解编队级防空火力资源优化分配模型，得到编队级火力资源优化分配方案，实现对多来袭目标的有效拦截。

图  1  总体方案

在问题形式化定义和资源优化分配模型建模方面，本文考虑了火力单元的类型、消耗成本、来袭目标的类型与数量，以及不同类型的火力单元对不同类型来袭目标的单发毁伤概率，通过增加基于实际情况的约束，如火力资源库存、毁伤概率公式，使本模型更加贴近现实，解决了最终的毁伤概率与火力资源成本消耗的平衡问题。在模型求解方面，本文利用改进全局最优和声搜索算法能快速并准确地找到近似全局最优解。

资源池状态包括单枚毁伤概率矩阵、火力单元成本以及火力资源库存表。假设场景中共有m种火力单元，r种来袭目标，同时待拦截目标的有l个。由于弹药不同带来的火力与射程的差异，且来袭目标也有速度与火力的差异，因此每种火力单元对应不同的拦截目标都有独立的基本毁伤概率，现假定实际作战时我军对己方火力单元与来袭目标的特性已有充分了解，因此事先有一张单枚火力单元毁伤概率矩阵${\boldsymbol{Q}}{\text{ = (}}{{{q}}_{ij}}{{\text{)}}_{m*r}}$，表示i类火力单元对j类来袭目标的毁伤概率。

其次，由于每种类型的火力单元造价不同，装填时间与发射时间亦有差别，所以不同种类的火力单元所消耗的成本也不同。但具体的量化函数不是本文的重点，因此本文预定义了各类火力单元的成本，以体现各类火力单元的差异。火力单元的成本如表1所示。

资源池中火力单元的储备情况也是战前必须清楚的武器资源状态，因此定义一张火力资源库存表如表2所示。

考虑到场景中共有l个待拦截的目标，因此本模型的火力分配方案为一个矩阵${\boldsymbol{A}} \in {C^{{{m}}*l}}$，其中元素${{{a}}_{ij}}$表示第i种火力单元参与拦截第j个目标的数量，该矩阵的各行之和即为各种火力单元的消耗数量。而在众多参与拦截某一特定目标的火力单元中，只需要有一枚命中即代表拦截成功，即拦截成功的对立事件为所有参与拦截的火力单元全部拦截失败。而所有参与拦截的火力单元全部拦截失败即代表每一种火力单元都拦截失败，也表示所有参与该次拦截的同种单元全部失败。所以对来袭目标j的毁伤概率$\mathop P\nolimits_j $为：

式中，${p_{ij}}$表示第i种火力单元对第j个来袭目标的毁伤概率。

为使总体收益最大化，还应该定义一个概率阈值，当一组解下的所有目标的平均毁伤概率高于该阈值时，便将此组解纳入候选解集，最终的最优解将从候选解集中消耗成本最少的解中选出。概率阈值在实际应用场景中可以人工设定。

该模型考虑多目标来袭时对每个目标分配多个火力单元进行拦截，同时假定所有平台的资源都集中在一个资源池里面，即选择资源时可以不考虑所在平台。拦截轨道如图2所示。

图  2  编队级防空火力资源优化分配模型拦截轨道

如1.1节所述，定义参数如下：

${d_i}$为i类火力单元的火力资源库存，${c_i}$为i类火力单元的单位成本，${a_{ij}}$为分配i类火力单元拦截第j个目标的数量，${q_{ij}}$为无其他因素影响下i类单枚火力单元对j类目标的基本毁伤概率。

则本文模型的数学表达式为：

s. t.

式中，上标k表示第k组解。主要目标为求解所有拦截目标的最大平均毁伤概率，次要目标为最小的成本消耗。约束1表示每次分配火力时数量都不得超过剩余库存量；约束2表示i类火力单元总消耗不得超过自身的总库存量；约束3表示每个拦截目标至少有一个火力单元参与拦截；约束4及约束5的定义见1.1节；约束6表示一组解下所有拦截目标的平均毁伤概率超过概率阈值时则不再关注毁伤概率，转而关注其成本消耗，以此达成总体收益最高。

在编队级防空火力资源优化分配模型的基础上，为快速在巨大的可行域中搜索出全局最优解，本节提出了基于改进全局最优和声搜索算法的防空火力资源优化分配模型的求解方法。求解过程中，把一组解${\boldsymbol{A}}{{ = (}}{{{\rm{a}}}_{ij}}{{\text{)}}_{m*l}}$看作是一组乐器组合，组合中的单个元素${{\text{a}}_{ij}}$看作各乐器吹奏的音符，多种乐器组合组成一个和声记忆库，定义价值函数$f({{\boldsymbol{A}}^{(k)}})$类比音乐效果。求解计算流程如图3所示。

具体过程描述如下：

1)初始化基本参数

根据1.2节的模型，目标函数$f({X^{(k)}})$可定义为：

图  3  基于改进全局最优和声搜索算法的防空火力资源优化分配求解流程

式中，

${P_{{\rm{thr}}}} = 0.95；\sigma > 0 $。体现了毁伤概率与成本消耗的主次关系。

定义和声记忆库大小HM_size、和声记忆率(harmony memory considering rate, HMCR)及音调调节率(pitch adjusting rate, PAR)上下限的大小。HM_size决定和声记忆库中保留的组合数量一般取值[3,10]；HMCR决定新解从和声记忆库或全体可行域产生，一般取值为[0.7, 0.95]；PAR决定新解的分量是否从当前最优解中选取，PAR越高，算法的全局搜索能力越强；反之，算法的局部搜索能力越强，下限一般为0.1，上限一般为0.5。

2)初始化和声记忆库

在满足火力资源库存的约束下随机产生10组初始解放入和声记忆库HM中，并根据价值函数降序排序：

式中，${{\boldsymbol{A}}^{(j)}}$ 为第j个解向量；$a_i^{(j)}$为第j个解向量的第i个分量；$f({{\boldsymbol{A}}^{(j)}})$为第j个解向量的价值函数；且$f({{\boldsymbol{A}}^{(1)}}) > f({{\boldsymbol{A}}^{(2)}}) > \cdots > f({{\boldsymbol{A}}^{(L)}})$。

3)生成新解

首先生成两个0～1的随机数rand1、rand2，并计算PAR，公式如下：

式中，PAR_max和PAR_min为PAR的上下限；n为当前迭代轮次；N为总迭代轮次。PAR随着迭代次数自适应调整，做到搜索初期放大全局搜索能力，搜索后期放大局部搜索能力。

将rand1与HMCR比较，若小于HMCR，则新解的分量$a_i^{({\rm{new}})}$将从和声记忆库中的分量$a_i^{(j)}, $$ (j = 1,2,\cdots,L)$中选出；反之，则随机生成一个满足约束的分量。其次，将rand2与PAR比较，若小于PAR，则从当前最优解中随机选取一维解分量，即$a_i^{({\rm{new}})} = a_j^{({\rm{best}})},j = 1,2,\cdots,ml$。

遍历所有分量，则会产生一个新解${{\boldsymbol{A}}^{({\rm{new}})}} = $$ (a_1^{({\rm{new}})},a_2^{({\rm{new}})},\cdots,a_{ml}^{({\rm{new}})})$。

4)更新记忆库

计算新解的价值函数$f({{\boldsymbol{A}}^{({\rm{new}})}})$并将其加入到记忆库中重新降序排序，取新序列中的前10个组合形成新的记忆库。

执行上述步骤，重复步骤3)和步骤4)，直到达到最大迭代次数或满足预先设定的停止准则就结束循环，输出当前和声记忆库中最优的解向量作为火力分配方案。

本文实验使用了遗传算法、改进鲶鱼效应——云自适应粒子群算法、和声搜索算法、改进和声搜索算法、自适应全局最优和声搜索算法、局最优和声搜索算法以及改进全局最优和声搜索算法等7种不同的算法进行对比。同时根据数据规模不同设置两个对照组，分别对比以上7种方法在处理不同规模数据上的表现。

本文实验的运行环境：CPU为AMD Ryzen7 4800H with Radeon Graphics 2.90 GHz；内存为16 GB；操作系统为Windows10 64位；编程语言为Python 3.7，IDE为PyCharm 2020.2.1 (Professional Edition)。

基于HS的求解方法中，HM_size=3, HMCR=0.95，PAR=0.1，FW=1。基于GHS的方法参数与HS一致。基于IHS的求解方法中，PAR的取值范围为[0.1, 0.5]，FW的取值范围为[0.5, 1.5]。基于SGHS的求解方法中，HMCR服从期望为前百次均值，标准差为0.01的正态分布，PAR服从期望为前百次均值，标准差为0.05的正态分布。基于IGHS的求解方法中，PAR的取值范围为[0.1, 0.5]。基于GA的求解方法中，种群大小取20，突变概率取0.01，适应度函数为HS中的目标函数(11)。基于CE-CAPSO的求解方法中，惯性权重的取值范围为[0.4, 0.9]，学习因子取1。所有方法的初始解在可行范围内随机生成，迭代次数均为500次。

该组实验假定资源池中有3种类型的火力单元，同时拦截目标也为3种类型，每种类型来袭数量为一个，一共3个，其基本毁伤概率矩阵Q为：

各类型火力单元库存均为10枚，单枚成本消耗矩阵C为：

单次实验的概率−消耗迭代图如图4所示，黑色实线代表概率阈值，取值为0.95。

重复进行100次实验，所有方法的平均结果如表3所示。

在该组实验中，由于火力单元类型为3种，来袭目标有3个，因此单个解的规模为3×3=9维。此情况下7种方法均能一定程度上给出各自的最优解。首先观察图4a，发现所有折线的走向均是由高到底，这是由于来袭目标数量只有3个，而各类火力单元库存各有10枚，此时资源充足，而所有算法的初始解均是在满足约束条件的情况下随机生成，因此大概率会消耗掉大量弹药，即初始的平均毁伤概率很高。但由于超过了概率阈值，所以所有方法均在后续的迭代中不断降低弹药的消耗，后续的走向就会降低，但仍然会出现上升的情况，这是因为此时的优化目标已从毁伤概率转到成本消耗上，如果搜索方法发现了一种解能降低成本消耗，而此时该解的毁伤概率却比先前的解高，如此便会出现毁伤概率折线上升的情况，最终会收敛于概率阈值的上方。

再观察图4b，在毁伤概率超过概率阈值的情况下，成本消耗才是衡量搜索方法性能的标准。首先观察基于改进GE-GAPSO的方法，该方法更新频率最低，且最终结果最差，显然陷入了局部最优，同时在表3中也可以看出该方法的成本消耗最高，而且耗时也仅优于GA，大幅慢于5种和声搜索算法。在其余6种方法中，成本消耗差别不大，但GA的方法耗时最长，5种和声搜索算法在简单数据规模的情况下性能差距不大。

图  4  简单数据规模下的概率−消耗迭代图

该组实验假定资源池中有5种类型的火力单元，同时拦截目标为3种类型，第一种类型来袭数量为3个，第二种类型来袭数量为两个，第三种类型来袭数量为两个，一共7个，其基本毁伤概率矩阵Q为：

各类型火力单元库存均为30枚，单枚成本消耗矩阵C为：

单次实验的概率−消耗迭代图如图5所示，黑色实线代表概率阈值，取值为0.95。

重复进行100次实验，所有方法的平均结果如表4所示。

在该组实验中，由于火力单元类型增加至5种，来袭目标增加至7个，因此单个解的规模为5×7=35维。此情况下7种方法性能的差距已经有所体现。首先观察图5a，由于此时解空间增大，随机生成初始解的毁伤概率可能会低于概率阈值，所以初始毁伤概高于概率阈值的折线总体走势，仍然朝概率阈值逼近，而初始毁伤概率低于概率阈值的折线先上涨到超过概率阈值，再朝着概率阈值逼近，最终收敛于概率阈值上方，符合模型的期望。但可以看到此时基于GA的方法和基于CE-CAPSO的方法已经失效，因为数据复杂度的上升会进一步放大全局搜索能力不足的缺陷，使得算法失去了跳出当前搜索区域的能力，而且算法速度上的差异也被进一步扩大。

再观察图5b，此时5种和声算法仍然具备搜索能力，但性能上也有差异。图中5种方法的折线不断在下降，收敛速度方面，本文方法与基于GHS的方法收敛速度明显快于其他方法，基于HS的方法与基于SGHS的方法居中，基于IHS的收敛速度最慢。搜索结果方面，本文方法收敛点最低，其次为基于GHS的方法，另外3种方法收敛点则大幅高于前两者。所以，本文选择的基于IGHS的方法不仅能最早进入收敛状态，且最后的结果在所有方法中也是最优，足以体现其寻优能力与效率。在表4中也可以清楚地观察到HS、IHS、SGHS，GHS以及IGHS平均成本消耗的优劣。

综上，本文提出的IGHS能在短时间内计算出更好的答案，且在复杂数据规模下的性能最优，所以本文使用该算法作为求解编队级防空火力资源优化分配模型的方法。

图  5  复杂数据规模下的概率−消耗迭代图

相比于传统的基于毁伤期望的防空作战资源分配策略模型，本文综合了毁伤概率与作战资源消耗提出了一种编队级防空火力资源优化分配模型，在GHS的基础上引入自适应参数提出了IGHS并用其求解，使得对来袭目标的平均毁伤概率尽可能增大，在满足所给出的概率阈值后，再降低作战资源消耗，达到作战目标预期并实现总体收益最大化。经过仿真实验并与GA、CE-CAPSO、HS、IHS、SGHS及GHS进行了对比，验证了本文提出的模型与本文算法的正确性和有效性，能够在较短的时间内得到平均毁伤概率更大且武器资源消耗更小的解，满足本文模型的要求。

后续可从算法和模型两方面改进。针对算法而言，相比于其他算法，IGHS有其优势也有其局限性，后续的改进方向可以通过改进新解生成的规则增加算法的稳定性和收敛速度，也可与其他智能算法相结合，充分利用多种算法的长处以更好地寻求问题的解。针对模型而言，后续可以考虑平台间的决策，着重探究平台间的协同问题，以更好利用和平衡各平台的作战资源，形成一个较为稳定的能够兼顾各平台作战资源的巨大资源池。