多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷达是一种新体制雷达^[1]，有广泛的应用前景，在信号检测、参数估计、空间分辨力等方面具有诸多优点^[2]。MIMO利用多个发射天线同步地发射分集的波形，同时使用多个接收天线接收回波信号，并集中处理。相比传统相控阵雷达，MIMO雷达在平滑RCS起伏、提高分辨力和抑制干扰等方面具有很大的优势，成为国内外学者研究的热点。MIMO雷达种类很多，根据雷达天线单元分布，目前学术界广泛采用的分类方式有两大类^{[2, 3]}：集中式相参MIMO雷达(密集MIMO雷达)，其天线阵元间距满足$ \le \lambda /2$，主要通过波形分集形成大的虚拟孔径，从而提高角分辨力；大间距统计MIMO雷达，其天线阵元间距满足$ \ge \lambda R/D$^[1](R为发射天线和目标之间的间距，D为目标尺寸)，主要通过空间分集克服目标RCS起伏，从而提高检测性能和参数估计的能力。

大量文献分析了密集MIMO雷达的性能^{[4, 5, 6, 7, 8]}，主要包括角度分辨率、测角精度、参数估计、检测性能等。文献[4]分析了单站情况下密集MIMO雷达的方向图，并与相控阵进行了比较；文献[5]重点分析密集MIMO雷达的角度分辨率和测角精度；文献[6, 7]重点介绍了密集MIMO雷达参数估计方面的性能，对角分辨率以及测角精度也有分析；文献[8]重点分析了密集MIMO雷达的检测性能。

现有文献对密集MIMO雷达的性能分析存在如下不足：1) 测角精度和孔径积累得益方面的分析，主要给出了结果，没有给出详细的推导过程；2) 参数估计方面，重点分析虚拟阵列或者虚拟空间产生过程及其对参数估计的贡献，对虚拟阵列的本质没有明确分析；3) 主要是理论和仿真分析，没有试验数据的支撑。

本文分析了虚拟孔径的本质，理论推导给出了密集MIMO雷达测角精度和孔径积累得益，给出了两种特殊阵列分布场景下密集MIMO雷达测角精度分析，最后给出了目标探测方面的试验结果。

1 信号模型

假设发射阵列和接收阵列都是一维均匀线阵，且收发共址。首先建立坐标系，以收发阵列所在直线为X轴，如图 1所示。发射和接收阵列分别有${M_{\rm{t}}}$和${M_{\rm{r}}}$个天线阵元，且发射阵列和接收阵列第1个阵元均位于坐标原点，阵元间距分别为${d_{\rm{t}}}$和${d_{\rm{r}}}$。${M_{\rm{t}}}$个发射天线单元发射${M_{\rm{t}}}$组正交波形，用${s_m}(t)$表示第$m = 1,2, \cdots ,{M_{\rm{t}}}$种波形，且满足下式：

$\frac{1}{T}\int_0^T {{s_m}(t)s_n^*(t){\rm{d}}t} = A_0^2{\delta _{m,n}}\quad m,n = 1,2, \cdots {M_{\rm{t}}}$

(1)

式中，$T$为信号持续时间；${A_{\rm{0}}}$为发射信号幅度；${( \bullet )^*}$表示复共轭运算；${\delta _{m,n}}$为Kronecker Delta函数。

假设共有P个目标，且不考虑多普勒频率的影响，那么发射信号矢量$s(t) = {[{s_1}(t),{s_2}(t), \cdots ,{s_{{M_t}}}(t)]^{\rm{T}}}$和接收信号矢量$y(t){|_{{\rm{MIMO}}}} = {[{y_1}(t),{y_2}(t), \cdots ,{y_{{M_{\rm{r}}}}}(t)]^{\rm{T}}}$满足：

$y(t){|_{{\rm{MIMO}}}} = \sum\limits_{p = 1}^P {{\alpha _p}{a_{\rm{r}}}({\phi _p}) \cdot a_{\rm{t}}^{\rm{T}}({\phi _p})s(t - \tau )} + v(t)$

(2)

式中，${\alpha _p}$表示第p个目标的散射系数(RCS)；$v(t) = {[{v_1}(t),{v_2}(t), \cdots ,{v_{{M_{\rm{r}}}}}]^{\rm{T}}}$表示噪声矢量，噪声${v_k}$为高斯白噪声(均值为0，功率均为${\sigma _0}$)，且相互独立；${\phi _p}$表示第p个目标相对于收发阵列的到达角，由于收发共址，第p个目标相对于发射阵列的角度也为${\phi _p}$；${a_{\rm{r}}}({\phi _p})$和${a_{\rm{t}}}({\phi _p})$分别为接收和发射的导向矢量，表达式分别为：

${a_{\rm{r}}}({\phi _p}) = {[1,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j}}{d_{\rm{r}}}\sin {\phi _p}/\lambda }}, \cdots ,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j}}({M_{\rm{r}}} - 1){d_{\rm{r}}}\sin {\phi _p}/\lambda }}]^{\rm{T}}}$

(3)

${a_{\rm{t}}}({\phi _p}) = {[1,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j}}{d_{\rm{t}}}\sin {\phi _p}/\lambda }}, \cdots ,{{\mathop{\rm e}\nolimits} ^{ - {\rm{j}}({M_{\rm{t}}} - 1){d_{\rm{t}}}\sin {\phi _p}/\lambda }}]^{\rm{T}}}$

(4)

2 检测性能分析

文献[4]给出了密集MIMO雷达处理的一般过程，数学表达式为：

$r(\theta ,\tau ){|_{{\rm{MIMO}}}} = {[{a_{\rm{r}}}(\theta ) \otimes {a_{\rm{t}}}(\theta )]^{\rm{H}}} \cdot \int {y(t){|_{{\rm{MIMO}}}} \otimes {h^*}(t)} {\rm{d}}t$

(5)

式中，${( \bullet )^{\rm{H}}}$表示共轭转置运算；$ \otimes $表示Kronecker积；$h(t) = \frac{{s(t)}}{{{A_0}\sqrt T }}$为匹配滤波器组。主要通过分析信噪比改善来分析密集MIMO雷达的检测性能。

将式(2)代入式(5)，可得：

$r(\theta ,\tau ){|_{{\rm{MIMO}}}} = \sum\limits_{p = 1}^P {a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta ){a_{\rm{r}}}({\phi _p}){\alpha _p}a_t^{\rm{T}}({\phi _p})\left[ {\int_0^T {{\bf{s}}(t - \tau ){h^{\rm{H}}}(t){\rm{d}}t} } \right]a_{\rm{t}}^{\rm{*}}(\theta )} + \tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}$

(6)

式中，噪声$\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}$为：

$\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}} = a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta )\int_0^T {{{[a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )h(t)]}^{\rm{H}}}v(t){\rm{d}}t} $

(7)

由式(6)可知：对于某个目标p，假定散射系数满足$\left| {{\alpha _p}} \right| = 1$，当接收端形成的发射、接收波束指向与目标实际方向匹配，即$\theta = {\phi _p}$时，匹配滤波后的信号幅度${A_p}{|_{{\rm{MIMO}}}}$为：

${A_p}{|_{{\rm{MIMO}}}} = {A_0}{M_t}{M_r}\sqrt T $

(8)

再计算密集MIMO雷达中接收信号的噪声功率${\sigma _{\tilde v}}{|_{{\rm{MIMO}}}}$。

对式(7)求均值，可得：

$E(\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}) = a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta )\int_0^T {{{[a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )h(t)]}^{\rm{H}}}E[v(t)]{\rm{d}}t} = 0$

(9)

所以噪声$\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}$的方差为：

$D(\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}})\; = a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta )\left[ {\int_0^T {{{[a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )h(t)]}^{\rm{H}}}E[v(t){v^{\rm{H}}}(t)][a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )h(t)]{\rm{d}}t} } \right]{a_{\rm{r}}}(\theta )$

(10)

由于各路噪声相互独立，因此$E[v(t){v^{\rm{H}}}(t)] = {\sigma _0}{I_{{M_{\rm{r}}} \times {M_{\rm{r}}}}}$，其中${I_{{M_{\rm{r}}} \times {M_{\rm{r}}}}}$表示${M_{\rm{r}}}$阶单位矩阵。据此，式(10)可以继续简化：

$D(\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}) = {\sigma _0}a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta ){{\bf{a}}_{\rm{r}}}(\theta )a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )\left[ {\int_0^T {h(t){h^{\rm{H}}}(t){\rm{d}}t} } \right]a_{\rm{t}}^{\rm{*}}(\theta )$

(11)

式中，$\int_0^T {h(t){h^{\rm{H}}}(t){\rm{d}}t} = \frac{1}{{A_0^2T}}\int_0^T {s(t){s^{\rm{H}}}(t){\rm{d}}t} = {I_{{M_t} \times {M_t}}}$，因此有：

$D(\tilde v{|_{{\rm{MIMO}}}}) = {\sigma _0}a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\theta ){a_r}(\theta )a_{\rm{t}}^{\rm{T}}(\theta )a_{\rm{t}}^{\rm{*}}(\theta ) = {M_{\rm{t}}}{M_{\rm{r}}}{\sigma _0}$

(12)

所以，当发射、接收波束指向与目标实际方向匹配时，目标回波经发射、接收波束形成及匹配滤波后的信噪比SNR为：

${\rm{SNR}}{{\rm{|}}_{{\rm{MIMO}}}} = \frac{{{{\left| {{A_p}{|_{{\rm{MIMO}}}}} \right|}^2}}}{{2{\sigma _{\tilde v}}{|_{{\rm{MIMO}}}}}} = {M_{\rm{t}}}{M_{\rm{r}}}T\frac{{A_0^2}}{{2{\sigma _0}}}$

(13)

对于相控阵雷达，当发射、接收波束指向与目标实际方向匹配，即$\theta = {\phi _p}$时，信号幅度${A_p}{|_{{\rm{PA}}}}$为：

${A_p}{|_{{\rm{PA}}}} = {A_0}{M_t}{M_r}\sqrt T $

(14)

噪声功率为：

${\sigma _{\tilde v}}{|_{{\rm{PA}}}} = D(\tilde v{|_{PA}}) = {M_r}{\sigma _0}$

(15)

因此，当发射、接收波束指向与目标实际方向匹配时，相控阵雷达接收到的目标回波的信噪比为：

${\rm{SNR}}{|_{{\rm{PA}}}} = \frac{{{{\left| {{A_p}{|_{{\rm{PA}}}}} \right|}^2}}}{{2{\sigma _{\tilde v}}{|_{{\rm{MIMO}}}}}} = M_{\rm{t}}^{\rm{2}}{M_{\rm{r}}}T\frac{{A_0^2}}{{2{\sigma _0}}}$

(16)

对比式(13)和式(16)可知，在相同的积累时间($T$)下，密集MIMO雷达的回波信噪比比相控阵雷达的小${M_{\rm{t}}}$倍。即积累时间相同时，对同一目标，相控阵雷达的检测能力比密集MIMO雷达高${M_{\rm{t}}}$倍。

3 虚拟阵列及测角性能分析

定义$a(\theta ) = {a_{\rm{r}}}(\theta ) \otimes {a_{\rm{t}}}(\theta )$为密集MIMO雷达的虚拟导向矢量(virtual steering vector)，那么虚拟导向矢量$a(\theta )$的维数为${M_{\rm{t}}} \times {M_{\rm{r}}}$^{[6, 7, 9]}，它表示虚拟阵列的单元数量。

虚拟阵列的波束形成过程可由下式给出：

$\begin{array}{c} F\left( \theta \right) = \left| {{{\tilde a}^{\rm{H}}}(\phi )\tilde a({\phi _p})} \right| = \\ \left| {(a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\phi ) \otimes a_{\rm{t}}^{\rm{H}}(\phi ))({a_{\rm{r}}}({\phi _p}) \otimes {a_{\rm{t}}}({\phi _p}))} \right| = \\ \left| {(a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\phi ){a_{\rm{r}}}({\phi _p})) \otimes (a_{\rm{t}}^{\rm{H}}(\phi ){a_{\rm{t}}}({\phi _p}))} \right| = \\ \left| {a_{\rm{r}}^{\rm{H}}(\phi ){a_{\rm{r}}}({\phi _p})} \right| \cdot \left| {a_{\rm{t}}^{\rm{H}}(\phi ){a_{\rm{t}}}({\phi _p})} \right| \end{array}$

(17)

上述推导过程中，第二步表示对有${M_{\rm{t}}} \times {M_{\rm{r}}}$个单元的虚拟阵列的空域匹配处理；第三步及第四步表示发射阵列方向图和接收阵列方向图的乘积，两者等价，即密集MIMO雷达虽然会产生多个虚拟单元，但这些虚拟单元与实单元密切关联，不相互独立，提供新的信息量少，在空域匹配处理过程中相互抵消，对密集MIMO雷达的分辨率和测角精度没有贡献。据此得到如下结论：

1) 密集MIMO雷达的方向图等价于发射阵列方向图和接收阵列方向图的乘积，角度分辨率和测角精度略优于相控阵雷达；

2) 密集MIMO雷达自由度${\rm{Rank}}(a(\theta ))$有${M_{\rm{t}}} + {M_{\rm{r}}} - 1 \le {\rm{Rank}}(a(\theta )) \le {M_{\rm{t}}}{M_{\rm{r}}}$^{[4, 6, 7]}；

3) 密集MIMO雷达利用$a(\theta )$进行参数估计或空域滤波，自由度至少比相控阵雷达增加${M_{\rm{t}}}$个，参数估计以及空域滤波性能优于相控阵雷达；

4) 虚拟阵列与真实阵列密切相关，对角度分辨率和测角精度没有贡献。

众多文献对比分析了密集MIMO雷达和相控阵雷达的角度分辨率和测角精度^{[4, 5, 7]}，给出了不同的结论，主要有如下3种观点：

1) 与相控阵雷达相比，文献[4]认为密集MIMO雷达具有更高的角度分辨率和测角精度，一般情况下高$\sqrt 2 $倍，至多高2倍；

2) 信噪比相同时，文献[5]认为密集MIMO雷达和相控阵雷达具有相同的角度分辨率，且测角精度至多比相控阵雷达高$\sqrt 2 $倍；

3) 文献[7]认为发射阵列和接收阵列口径相同，但发射阵列稀布，间距为$\frac{{K\lambda }}{2}$($\lambda $为波长)，信噪比相同时，密集MIMO雷达的测角精度是相控阵雷达的$K$倍。但文献[5]通过分析，否定了文献[7]的观点。

上述3种观点差异较大，并且均没有考虑信噪比。为了统一以上3种结论，考虑到不同信噪比的影响，以下对比分析密集MIMO雷达和相控阵雷达的角度分辨率和测角精度。

文献[4]认为相控阵雷达仅靠接收天线方向分辨目标，而密集MIMO雷达靠综合天线方向图。根据前面的分析，密集MIMO雷达的天线方向图是发射和接收天线方向图的综合。因此，密集MIMO的角度分辨率高于相控阵雷达。实际上，相控阵雷达分辨目标也是综合发射和接收天线方向图实现，与密集MIMO雷达差异在于：相控阵雷达是物理上的真实实现，而密集MIMO雷达通过数字手段虚拟实现，最终两者一致。因此，本文认为相控阵雷达和密集MIMO雷达具有相当的角度分辨率。

以下分析密集MIMO雷达和相控阵雷达的测角精度。

测角精度与角度分辨率及信噪比的关系如下式(克拉-美罗下界)：

${\theta _{\rm{\sigma }}} = \frac{{{\theta _{{\rm{3dB}}}}}}{{k\sqrt {{\rm{SNR}}} }}$

(18)

式中，${\theta _{{\rm{3dB}}}}$为3 dB波束宽度；SNR为信噪比；k为与测角算法有关的常数。

假设发射波束宽度为${\theta _{{\rm{T3dB}}}}$，密集MIMO雷达仅利用发射波束进行测角的精度为${\theta _{{\sigma _{\rm{T}}}}}$；接收波束宽度为${\theta _{{\rm{R3dB}}}}$，仅利用接收波束进行测角的精度为${\theta _{{\sigma _{\rm{R}}}}}$。根据式(18)，有：

${\theta _{{\sigma _{\rm{T}}}}} = \frac{{{\theta _{{\rm{T3dB}}}}}}{{k\sqrt {{\rm{SNR}}{{\rm{|}}_{{\rm{MIMO}}}}} }}$，${\theta _{{\sigma _{\rm{R}}}}} = \frac{{{\theta _{{\rm{R3dB}}}}}}{{k\sqrt {{\rm{SNR}}{{\rm{|}}_{{\rm{MIMO}}}}} }}$

密集MIMO的测角精度${\theta _{{\sigma _{{\rm{MIMO}}}}}}$为：

$\theta _{{\sigma _{{\rm{MIMO}}}}}^2 = \frac{{\theta _{{\sigma _{\rm{T}}}}^2\theta _{{\sigma _{\rm{R}}}}^2}}{{\theta _{{\sigma _{\rm{T}}}}^2 + \theta _{{\sigma _{\rm{R}}}}^2}} = \frac{1}{{{k^2}{\rm{SNR}}{|_{{\rm{MIMO}}}}}}\frac{{\theta _{{\rm{T3dB}}}^2\theta _{{\rm{R3dB}}}^2}}{{\theta _{{\rm{T3dB}}}^2 + \theta _{{\rm{R3dB}}}^2}}$

(19)

相控阵雷达仅利用接收波束测角，因此相控阵测角精度${\theta _{{\sigma _{{\rm{PA}}}}}}$为：

$\theta _{{\sigma _{{\rm{PA}}}}}^2 = \frac{{\theta _{{\rm{R3dB}}}^2}}{{{k^2}{\rm{SNR}}{|_{{\rm{PA}}}}}}$

(20)

设$\eta = \theta _{{\sigma _{{\rm{MIMO}}}}}^2/\theta _{{\sigma _{{\rm{PA}}}}}^2$，$\eta > 1$时，相控阵雷达测角精度优于密集MIMO雷达；$\eta \approx 1$时，两者相当。根据式(13)和式(16)，积累时间相同时，有：

$\eta = {M_{\rm{t}}}\frac{{\theta _{{\rm{T3dB}}}^2}}{{\theta _{{\rm{T3dB}}}^2 + \theta _{{\rm{R3dB}}}^2}}$

(21)

由式(21)可知，如果考虑信噪比(积累时间相同)，密集MIMO雷达和相控阵雷达测角精度的比值与发射单元数、发射和接收波束宽度有关；当两者信噪比相同(${M_{\rm{t}}} = 1$)，且${\theta _{{\rm{T3dB}}}} = {\theta _{{\rm{R3dB}}}}$时，密集MIMO雷达的测角精度比相控阵雷达高$\sqrt 2 $倍，与文献[4, 5]一致。

4 测角性能仿真分析

针对3种雷达阵列模型进行分析。

1) 阵列模型1如图 2所示。发射阵列：16个天线单元构成，间距为d(d=λ/2，λ为波长)；接收阵列：16个天线单元构成，间距为d；雷达${M_{\rm{t}}} = 16$，${\theta _{{\rm{T3dB}}}} = {\theta _{{\rm{R3dB}}}}$。根据式(21)，积累时间相同时，相对于相控阵雷达，密集MIMO雷达的信噪比损失12 dB，测角精度差2.8倍。

图 3给出了单个发射单元对应的信噪比不同时，密集MIMO雷达和相控阵雷达的测角精度仿真结果。由图 3可知，理论分析结果与仿真分析结果一致。

3) 阵列模型2如图 4所示。发射阵列：2个天线单元构成，间距为15d；接收阵列：16个天线单元构成，间距为d。

图 5给出了阵列模型2的发射、接收及其综合天线方向图。

由图 5可知，$2{\theta _{{\rm{T3dB}}}} = {\theta _{{\rm{R3dB}}}}$。对于阵列模型2，${M_{\rm{t}}} = 2$，积累时间相同时，与相控阵雷达相比，密集MIMO雷达的信噪比损失6 dB，测角精度高1.4倍，仿真结果如图 6所示。

由图 6可知，理论分析结果与仿真分析结果一致。

5 检测性能试验验证

为了试验验证密集MIMO雷达和相控阵雷达之间的检测性能差异，建立1套试验平台，由1个中心电子设备舱、2个P波段收发雷达站构成，2个收发站的天线阵面均由16列×4行天线单元构成，每列4个天线单元通过馈线网络合成，接1路接收通道，因此，两个收发站均可等价为由16单元构成1维线阵。

将试验平台中的收发站1配置为相控阵雷达，收发站2配置为密集MIMO雷达。利用试验平台开展了多轮民航飞机探测试验，给出典型试验结果。

典型试验1 相控阵雷达和密集MIMO雷达的积累时间相同时，探测结果如图 7所示。

由图 7可知，对于同一目标，密集MIMO雷达和相控阵雷达探测距离差一倍。即积累时间相同时，相对于相控阵雷达，密集MIMO雷达损失12 dB的信噪比，与理论分析结果一致。

典型试验2 密集MIMO雷达的积累时间是相控阵雷达的16倍时，探测结果如图 8所示。

由图 8可知，当密集MIMO雷达的积累时间是相控阵雷达的16倍，两者的探测能力基本相当，从另一个侧面验证了密集MIMO雷达和相控阵雷达之间的检测性能差异。

试验结果表明，积累时间相同时，相控阵雷达的检测能力比密集MIMO雷达高${M_{\rm{t}}}$倍。

6 结束语

目前，密集MIMO雷达方面的研究主要集中在MIMO-SAR^[9]、MIMO-STAP^[10]以及超视距MIMO雷达^[11]等方面。本文重点进行了3个方面的研究，并给出相应的结论：

1) 理论推导了密集MIMO雷达的测角精度和孔径积累得益，结果表明：密集MIMO雷达存在孔径积累得益损失，必须通过长时间积累来弥补；信噪比相同时，密集MIMO雷达和相控阵雷达具有相同的角度分辨率，且测角精度至多比相控阵雷达高$\sqrt 2 $倍。

2) 给出了密集MIMO雷达虚拟单元的本质，认为虚拟单元对角度分辨没有贡献，但可以提高可辨识的目标数及参数估计性能。

3) 试验验证了密集MIMO雷达探测性能，与相控阵雷达进行对比，当积累时间相同时，密集MIMO雷达综合探测性能较差，必须通过增加积累时间来提高探测性能，与理论分析结果一致。