自美国物理学家发现玻色-爱因斯坦凝聚^{[1, 2, 3]} ( Bose-Einstein condensate，BEC)现象以来，研究者在原子BEC体与光场的相互作用方面获得了大量的研究成果^{[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15]}。原子BEC体有隧穿、宏观相干和量子超流性等奇异特性，在量子计算机、原子芯片和原子激光等领域都具有重要的应用价值。

本文在改进文献[16]中哈密顿量的基础上，对二能级原子玻色-爱因斯坦凝聚与二项式光场相互作用系统中原子激光的压缩性质进行了研究。原子激光出现了量子Rabi振荡现象并被周期性压缩，其振荡频率和最大压缩深度主要依赖于光场和原子间的相互作用强度$\varepsilon $，并且随$\varepsilon $的增大而增大。

1 改进的模型和求解

在Bogoliubov近似下^[17]，文献[16]中的哈密顿量可表示为：

$\begin{align} & H=({{\omega }_{0}}+2{{N}_{0}}\Omega ){{b}^{+}}b+\omega {{a}^{+}}a+ \\ & \varepsilon \sqrt{{{N}_{0}}}({{a}^{+}}b{{\text{e}}^{i\theta }}+a{{b}^{+}}{{\text{e}}^{-i\theta }})+N_{0}^{2}\Omega \\ \end{align}$

(1)

根据文献[18]的分析，可知式(1)中$\Omega $对应于${{u}_{0}}/(2{{N}_{0}})$，可将式(1)改写为：

$\begin{matrix} H=({{\omega }_{0}}+{{u}_{0}}){{b}^{+}}b+\omega {{a}^{+}}a+ \\ \varepsilon \sqrt{{{N}_{0}}}({{a}^{+}}b{{\text{e}}^{i\theta }}+a{{b}^{+}}{{\text{e}}^{-i\theta }})+\frac{1}{2}{{u}_{0}}{{N}_{0}} \\ \end{matrix}$

(2)

通过比较式(1)和式(2)可知，本文改进后的哈密顿量与文献[16]的哈密顿量有两点区别：1) 文献[16]中哈密顿量第一项的能级间隔${{\omega }_{0}}+2{{N}_{0}}\Omega $，增加量$\Delta =2{{N}_{0}}\Omega $与BEC中的原子数${{N}_{0}}$和原子间的相互作用强度$\Omega $的乘积成正比，即哈密顿量的能级间隔与原子间的相互作用强度$\Omega $有关，而本文改进后的哈密顿量第一项的能级间隔${{\omega }_{0}}+{{u}_{0}}$，增加量$\Delta ={{u}_{0}}$与原子间相互作用强度$\Omega $无关；2) 文献[16]中哈密顿量第四项$N_{0}^{2}\Omega $与原子间的相互作用强度$\Omega $有关，而本文改进后的哈密顿量中第四项${{u}_{0}}{{N}_{0}}/2$只与BEC中的原子数${{N}_{0}}$有关，与原子间的相互作用强度$\Omega $无关。这说明文献[16]中的哈密顿量与原子间的相互作用强度$\Omega $有关，具有一定的局限性；而通过本文改进后的哈密顿量与原子间的相互作用强度$\Omega $无关，更具有普遍性。

在非共振条件下，求解系统的海森堡运动方程为：

$i\dot{a}=[a,H]=\omega a+\varepsilon \sqrt{{{N}_{0}}}b{{\text{e}}^{\text{i}\theta }}$

(3)

$i\dot{b}=[b,H]=\varepsilon \sqrt{{{N}_{0}}}a{{\text{e}}^{-\text{i}\theta }}+({{\omega }_{0}}+{{u}_{0}})b$

(4)

可得：

$a(t)=\frac{{{\text{e}}^{-\text{i}(\omega +{{\omega }_{0}}+{{u}_{0}})t/2}}}{\gamma }\left\{ \left[ \gamma \cos (\gamma t)-i\frac{\omega -{{\omega }_{0}}-{{u}_{0}}}{2}\times \sin (\gamma t) \right]a(0)-i\sqrt{{{N}_{0}}}\varepsilon \sin (\gamma t){{\text{e}}^{\text{i}\theta }}b(0) \right\}$

(5)

$b(t)=\frac{{{\text{e}}^{-\text{i}(\omega +{{\omega }_{0}}+{{u}_{0}})t/2}}}{\gamma }\left\{ -i\sqrt{{{N}_{0}}}\varepsilon \sin (\gamma t){{\text{e}}^{-\text{i}\theta }}a(0)+\left[ \gamma \cos (\gamma t)+i\frac{\omega -{{\omega }_{0}}-{{u}_{0}}}{2}\sin (\gamma t) \right]b(0) \right\}$

(6)

式中，$\gamma =\frac{1}{2}\sqrt{{{(\omega -{{\omega }_{0}}+{{u}_{0}})}^{2}}+4{{N}_{0}}{{\varepsilon }^{2}}}$。

二项式光场^[19]定义为：

$\left| \eta M \right\rangle =\sum\limits_{n=0}^{M}{C_{n}^{M}\left| n \right\rangle \begin{matrix} {} & 0 < \eta < 1 \\ \end{matrix}}$

式中，$C_{n}^{M}={{\left[ \frac{M!}{n!(M-n)!}{{\eta }^{n}}{{(1-\eta )}^{M-n}} \right]}^{1/2}}$。当$\eta =0,1$时，$\left| \eta M \right\rangle $将分别约化为真空态(基态)$\left| 0 \right\rangle $和Fock态；当$\eta \to 0,M\to \infty ,$${{\eta }^{2}}M={{\alpha }^{2}}$$(\alpha $为实数，则$\left| \eta M \right\rangle $为相干态，二项式态是一种在Fock态和相干态之间的态。

2 原子激光的压缩效应

原子激光的两个缓变正交分量算符为^[20]：

${{U}_{1}}=\frac{1}{2}(b{{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}+{{b}^{+}}{{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}})$

(7)

${{U}_{2}}=\frac{1}{2i}(b{{\text{e}}^{\text{i}\omega t}}-{{b}^{+}}{{\text{e}}^{-\text{i}\omega t}})$

(8)

令

${{Q}_{i}}={{(\Delta {{U}_{i}})}^{2}}-1/4$

(9)

由式(5)～式(9)可得：

${{Q}_{1}}(t)=\frac{{{\varepsilon }^{2}}}{2({{\varepsilon }^{2}}+u_{0}^{2}/2)}{{\sin }^{2}}(\gamma t)\times \left\{ \begin{align} & \sum\limits_{n=0}^{M}{[C_{n}^{2}n-{{C}_{n}}{{C}_{n+2}}\sqrt{(n+2)(n+1)}\times }\cos ({{u}_{0}}t)]- \\ & {{\left( \sum\limits_{n=0}^{M}{{{C}_{n}}{{C}_{n+1}}}\sqrt{n+1} \right)}^{2}}[1-\cos ({{u}_{0}}t)] \\ \end{align} \right\}$

(10)

由于${{Q}_{1}}(t)$和${{Q}_{2}}(t)$具有对称性，本文只对${{Q}_{1}}(t)$进行数值分析，如图 1所示。

从图 1可以看出，原子激光的两正交分量的涨落均出现周期性压缩，并且具有量子Rabi振荡。当保持光场参数$M$和场模参数$\eta $不变时，量子Rabi振荡频率和最大压缩深度均随$\varepsilon $的增大而增大。对于文献[16]，当$\varepsilon $较小时，${{Q}_{1}}(t)$呈现周期性变化较明显；当$\varepsilon $较大时，${{Q}_{1}}(t)$呈现类似混沌的行为；而本文中${{Q}_{1}}(t)$都呈现明显的周期性变化。在相同条件下，文献[16]中原子激光的压缩效果较差，最大压缩深度约为-0.005，而本文中的原子激光的压缩效果较好，几乎完全压缩，且最大压缩深度约为-0.08，是文献[16]中原子激光最大压缩深度的16倍。

3 结束语

本文在改进文献[16]中哈密顿量的基础上，对二能级原子玻色-爱因斯坦凝聚与二项式光场相互作用系统中原子激光的压缩性质进行了研究。 原子激光出现量子Rabi振荡现象且能被周期性压缩，其振荡频率和最大压缩深度主要依赖于光场和原子间的相互作用强度。