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截至2020年1月31日晚12点,全国确诊新型冠状病毒肺炎(COVID-19)病患接近1万。政府迅速采取了一系列措施来对抗疫情。从2020年1月23日开始,地方政府陆续开始“封城”并通过媒体实时发布确诊人数、专家通过网络及媒体传播防治疫情的注意事项、全社会自觉在家自我隔离、戴口罩出门、企业延期复工及人员聚集场所关停等。疫情的发展已经严重影响到人们的日常工作与生活,并逐渐开始产生恐慌情绪。全社会都在关注两个重要问题:一是确诊人数将如何变化,什么时候会下降?二是迄今为止,政府所采用的防控措施,产生了多大的积极作用?回答这两个问题,需要对疫情进行科学的预测和评估。
目前已经有大量工作对COVID-19疫情进行了研究。文献[1]根据最早425例确诊病例数据,描述了病例特征,并估计了关键流行病学延迟时间分布情况,在病毒早期呈指数增长的初期,估计了传染病倍增时间和基本再生数。文献[2]发现了第二代病例,指出病毒会存在“人传人”,对金银潭医院最开始收治患者时候的信息进行归纳研究,指出非华南海鲜市场暴露的病例的存在。文献[3]基于SEIR模型,根据2020年1月25日之前的发展趋势,估算得到了COVID-19的再生数,并对疫情发展进行了预测。还有很多其他研究[4-9],从不同角度对疫情的特点进行了评估。这些研究都对疫情的防治提供了重要的参考。在病毒传播研究中[10-13],由于SIR动力学模型能给出较为清晰的逻辑关系和准确的趋势预测,因而被广泛采用。相比于之前的病毒传播事件,COVID-19疫情比较特殊:1) 相对于总的人口基数,目前的治愈人数和死亡人数都较低,因此出院人员(removed)比率可以忽略不记;2) 从2020年1月11日,官方开始报道确诊人数以来,存在人口流动,因此传统SIR模型认为总体环境是封闭(S+I+R=常数)并不符合现实;3) 由于染病确诊后将被隔离,所以确诊病人并不形成新的感染;4) 此次病毒有较长的潜伏期,会带来明显的延迟效应;5) 此次疫情突发,诊断力量在初期存在明显不足。综上所述,为了更为准确地对疫情进行预测,需要对SIR模型进行修正。本文根据实际情况,对SIR模型进行了适当修正,聚焦国内确诊人数的变化,对趋势进行预测和判断,并根据结果对现有政策进行评估。
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本文根据实际疫情对SIR模型进行了一些修正,描述如下:
1) 由于不存在封闭情况,考虑开放体系。
2) 新型冠状病毒的治愈人数和死亡人数相对较小,因此只考虑Susceptible(易感)和Infected(感染)两类人群。
3) 目前数据以天为单位发布,因此不考虑连续变化情况,只考虑离散的方程。
4) 当确诊后,病人立即隔离,因此不会作为新的感染源。因此感染源应该是第n+1天和第n天诊断的病人差。假设平均染病者(I)会使k个人成为易感者(k为易感再生数),则每日新增的感染者为
$ k\left( {{I_{n + 1}} - {I_n}} \right) $ 。5) 假设每天有
${\mu _1}$ 的概率(当日感染率)易感者会成为感染者,则当日新增病人为$ {\mu _{\rm{1}}}{S_n}$ 。其中$ k \mu _1 $ ,描述了当日病人再生数,后文简称当日再生数。6) 病情会有约10天的潜伏期,在初期出现症状后,很多暴露者才会去寻求诊断,同时主要发病地武汉的初期诊断能力有限,这都会带来一个延迟效应。取
$\tau $ =4,代表平均延迟天数。在平均4天内的潜伏者会以$\,{\mu _2}$ 的概率(潜伏感染率)被确诊为感染者。则每日潜伏感染人数为$ \,{\mu _2}\left( {{S_n} - {S_{n - \tau }}} \right) $ 。$k{\mu _2}$ 描述了由于潜伏原因导致的病人再生数,后文简称潜伏再生数。基于上述考虑,在每日模型迭代中,各部分更新关系如下:
$$\begin{split} & {S_{n + 1}} - {S_n} = k({I_{n + 1}} - {I_n}) - {\mu _1}{S_n} - {\mu _2}({S_n} - {S_{n - \tau }}) \\ & \qquad {I_{n + 1}} - {I_n} = {\mu _1}{S_n} + {\mu _2}({S_n} - {S_{n - \tau }}) \end{split} $$ (1) 为了求解式(1),需要知道(k,
${\mu _1}$ ,${\mu _2}$ )3个模型参数[14-18],以及I和S的初值。I(0)通过官方数据给出(数据来源于官方网站:http://www.nhc.gov.cn/),剩下3个参数以及S(0)则没有信息。本文先给定3个参数和S(0)的初值,求解方程,将得出的解与真实数据进行比较,通过梯度下降法寻找方差的最小值,从而确定模型参数。由于梯度下降法对初值极为敏感,因此,本文还根据经验在一定初值范围内进行多次搜索,保证得到的是最优解。模型参数(k,
${\mu _1}$ ,$\,{\mu _2}$ )是根据一个阶段的数据求出,因而能够反应病毒在该阶段的传播趋势。通过截取不同阶段的数据来求解不同阶段的(k,$\,{\mu _1}$ ,$\,{\mu _2}$ ),就能分析病毒演化趋势是否在外力作用下发生改变。最后再通过模型参数(k,$\,{\mu _1}$ ,$\,{\mu _2}$ )的变化规律,对未来进行预测。官方从2020年1月11日开始公布数据,前4天均无确诊人数变化。本文选择2020年1月15日作为数据研究的起始点,然后变化数据的结束点来截取不同时间段的数据进行求解。为了描述方便,后文对时间段使用结束日期的英文简写来标识。例如1月15日至1月24日这个时间段,简称为Jan.24th时间段,1月15日至1月28日这个时间段,简称为Jan.28th时间段。Jan.24th时间段是文章研究的第一个时间段,此后每增加1天构成一个新的时间段。这是基于以下两点考虑:1) 从Jan.24th时间段开始,已经积攒了足够多的数据(10天的数据);2) 政府从1月11日开始公布确诊人数并采取措施,趋势的形成需要一个时间,并且病毒的最长潜伏期约为14天。需要指出,在理想状况下,S(0)应该是一个确定值,然而,在开放体系下,通过现有的数据无法评估S(0)的真实值。因此只能通过式(1)的解与数据拟合来反向求解S(0)。这会造成不同阶段的S(0)略有不同。然而,由于本文采用了大范围梯度下降搜索,因此每一组参数都是在与现有数据拟合最优情况下得到的,因此文章求解得到的(k,
$\,{\mu _1}$ ,$\,{\mu _2}$ )能体现数据背后隐藏的病毒演化趋势。 -
为了结合现有趋势对未来进行预测,本文去除波动数据的影响对参数进行了拟合,从而得到了参数的变化趋势方程如下:
$$\left\{ \begin{aligned} & k = 2.173\;24 - 0.008\;73x - 0.002\;44{x^2} \\ & k{\mu _1} = 0.856\;87 - 0.009\;06x - 0.002\;9{x^2} \\ & k{\mu _2} = 0.192\;61 - 0.011\;8x \end{aligned} \right.$$ (2) 式中,x代表与1月23日间隔的天数,从1月24日开始取1。参数按照式(2)的规律变化,代入式(1)中进行求解,预测1月31日以后的数据,如图8所示。从图中可以看出26天后,也就是2020年2月9日左右应该会出现确诊总数的峰值,同时确诊人数也达到最大的54 000左右。随后确诊人数将会下降。
The Outbreak Assessment and Prediction of COVID-19 Based on Time-varying SIR Model
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摘要: 该文基于COVID-19疫情发展到2020年2月1日所呈现的特点,对SIR模型进行了修正,使用易感再生数、当日感染率和潜伏感染率来求解病毒演化动力学方程,研究了感染人数的变化趋势,并分析了政府防控措施对趋势变化产生的影响。结果表明,从2020年1月24日后,政府的防控措施有效降低了病毒蔓延趋势。与1月24日之前呈现的趋势相比,截至2020年2月1日,实际感染人数较原趋势预估人数下降了超1/2。易感再生数、当日再生数和潜伏再生数都大幅度降低。基于目前的趋势,对易感再生数、当日感染率、潜伏感染率随时间的变化进行了分析,利用时变参数对疫情发展进行了预测。结果表明在2020年2月9日左右,疫情发展会达到高峰,随后确诊人数将出现下降。Abstract: Based on the early behavior of COVID-19 until February 1st, the SIR model is modified to solve the dynamic equation of virus evolution by using the number of susceptible persons, the probability of infection and the latent infection rate. The change trend of infected persons is studied, and the influence of government administrative actions on the trend is analyzed. The results showed that after January 24th, 2020, the administrative action of the government has effectively slowed down the spread virus and the number of infected people decreased obviously. The number of current infections had reduced more than a half compared with the previous trend forecast according the trend of January 24th, 2020. The number of susceptible persons, the probability of infection and the latent infection rate were all greatly reduced. Based on the current trend and the optimal parameters, it is predicted that the outbreak will peak around February 9th, 2020 and then decline.
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Key words:
- COVID-19 /
- outbreak assessment /
- prediction /
- the SIR model
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