1）社团结构

根据网络中节点间连接的紧密程度将网络划分为一个个“簇”， 将这种“簇”称为网络的社团结构。其中“簇”内的节点之间连接紧密，不同“簇”之间的节点连接较稀疏。

2）评价指标模块度值$ Q $

模块度值$ Q $是近年来常用的一种刻画社团结构强弱的参数，也是一种衡量社团划分质量的标准^[13]，它将原始网络与其具有某些相同性质的随机化网络的社团结构进行比较，来度量社团划分质量与社团结构强度，其定义为：

式中，$ {{\boldsymbol{a}}_{{\boldsymbol{ij}}}} $是实证网络的邻接矩阵；$ {k_i} $和$ {k_j} $分别为该网络中节点$ i $和节点$ j $的度；$ {C_i} $与$ {C_j} $分别为节点$ i $和节点$ j $在网络中所属社团；当两节点属于同一社团，$ \delta $取值为1，否则$ \delta $取值为0。$ Q $的取值范围在[0, 1]，一般情况下$ Q $越大，社团划分质量越好，网络的社团结构特性也越强，但当网络规模增大时，由于分辨率限制，其对应模块度值$ Q $也会相应增加。

通常把与一个实证网络具有某些相同性质的随机网络称为该实证网络的随机化副本，这类随机化网络在统计学上被称为零模型^[11]。一个好的复杂网络零模型能为原始网络提供一个准确的基准，结合统计量指标就可以准确描述出实际复杂网络的非平凡特性^[12]。下面是对1—3阶零模型的构造过程以及与原始网络的共性与差异进行简要描述。

1阶零模型是在保持原始网络度分布不变的前提下，对原始网络中的边进行随机置乱操作。在微观性质上能保证与原始网络平均度、度序列相同，而匹配系数、聚类系数、更高阶特性不能保证。具体构造过程为：在网络中随机选择两条边断开，随后将这4个节点间随机连接成两条边，重连边后的4个节点若能与原始网络4节点保持相同的度分布，则断边重连成功。否则，撤销先前断边重连操作，再重新选择边完成同样的操作。根据网络的规模与实际需求不断重复上述操作，每次都需保证置乱前后节点度值不变，最终完成1阶零模型构造。

2阶零模型是在保持原始网络联合度分布不变的前提下，对原始网络中的边进行随机置乱操作。在微观性质上能保证与原始网络平均度、度分布、匹配系数相同，而聚类系数、更高阶特性没有办法保证。具体构造过程为：在网络中随机选择两条边断开，随后将这4个节点随机连接成两条边，重连边后的4节点若能与原始网络4节点保持相同的度分布与匹配系数，则断边重连成功。否则，撤销先前断边重连操作，再重新选择边完成同样的操作。如果成立则交换边成功，同样根据网络的规模与实际需求不断重复上述操作，每次都需保证置乱前后网络联合度分布不变，最终完成2阶零模型构造。

3阶零模型网络是在保持原始网络联合边度分布不变的前提下，对原始网络中的边进行随机置乱操作。在微观性质上能保证与原始网络平均度、度分布、匹配系数、聚类系数相同，而更高阶微观特性没有办法保证。具体构造过程如下：在网络中随机选择两条边断开，随后将这4个节点间随机连接成两条边，重连边后的4节点若能与原始网络4节点保持相同度分布、匹配系数，且重连前后这4个节点与它们的邻居节点的三角形模体与非三角形的连通三节点模体数量相同，则断边重连成功。否则，撤销先前断边重连操作，再重新选择边完成同样的操作。同样根据网络的规模与实际需求不断重复上述操作，每次都需保证置乱前后网络联合边度分布不变，最终完成3阶零模型构造。

由上述1—3阶零模型构造，可以发现随着阶数的增加，断边的约束条件越来越多，原始网络中满足条件可进行随机置乱的边越来越少，构造出来的零模型在结构与微观性质上越来越接近原始网络。

利用零模型和统计检验方法对实证网络社团结构特性进行显著性分类，实现不同类型网络微观结构对社团特性影响的定性分析。

在利用原始网络与零模型进行模块度值$ Q $比较来确定原始网络社团结构显著性类型时，需要使用到显著性检验方法，本节使用的显著性检验方法为Z检验，相关概念描述如下。

Z检验是一种参数检验方法，它利用标准正态分布理论来判断差异发生概率，从而判断两组值的差异是否明显。在本文中利用Z检验来完成实际网络与零模型网络模块度值$ Q $差异的显著性检验。$ {Z_i}(Q) $具体公式如下：

式中，$ {Q_{{\rm{origin}}}} $为原始网络的模块度值；$ \lt {Q_{ik}} \gt $为原始网络对应的多个$ i $阶零模型的模块度值的平均值；$ {\sigma _{{Q_{ik}}}} $为多个$ i $阶零模型的模块度值的标准差；$ {Z_i}(Q) $的绝对值越大表示原始网络与其$ i $阶零模型网络的社团结构差异越明显。$ {Z_i}(Q) $对应的$ {P_i} $值公式定义如下：

式中，$ \phi ({Z_i}(Q)) $为标准正态分布。本文Z检验显著性判断方法为：当$ |{Z_i}(Q)| \lt 1.96 $时，$ {P_i} \gt 0.05 $接受原假设，差异不显著；当$ |{Z_i}(Q)| \geqslant 1.96 $时，$ {P_i} \leqslant 0.05 $拒绝原假设，差异显著。

本文首先对各类型实证网络进行200次1—3阶零模型构造，利用社团检测算法对实证网络与零模型进行社团划分得到模块度值$ Q $；然后根据显著性检验方法完成实证网络与其1—3阶零模型模块度值$ Q $显著性差异的计算，根据结果实现社团结构显著性分类；最后实现微观结构对社团特性影响的定性分析。表1是根据各阶零模型显著性检验结果对社团结构显著性类型的定义。

从表1中可以看出当实证网络G与其1阶零模型G₁对应的$ {P_1} \gt 0.05 $时，G与G₁的社团结构不存在显著性差异，此时称G不具有社团结构显著性。当实证网络G与其1阶零模型G₁对应的$ {P_1} \leqslant 0.05 $，而与其2阶零模型G₂对应的$ {P_2} \gt 0.05 $时，G与G₁社团结构间存在显著性差异，而与G₂社团结构不存在显著性差异，此时称G具有1阶社团结构显著性。当实证网络G与其1阶、2阶零模型G₁、G₂对应的$ {P_1} \leqslant 0.05 $、$ {P_2} \leqslant 0.05 $，而与其3阶零模型G₃对应的$ {P_3} \gt 0.05 $时，G与G₁、G₂社团结构间存在显著性差异，而与G₃社团结构不存在显著性差异，此时称G具有2阶社团结构显著性。同理，当实证网络G与其1—3阶零模型模块度$ Q $对应$ {P_i} \leqslant 0.05(i \in \{ 1,2,3\} ) $都成立，G与G₁、G₂、G₃社团结构都存在显著性差异，此时称实证网络G具有3阶社团结构显著性。

本文基于网络社团结构显著性分类实现微观结构对社团特性影响定性分析的解释说明。对于不具有社团结构显著性的实证网络G而言，G与其1阶零模型G₁在社团结构上不存在显著性差异，而从微观结构角度来看G与G₁只具有相同的度分布，所以此时度分布即可决定实证网络G社团结构的产生，只要保证与G具有相同度序列构造出来的网络即可刻画出与G非常相近的社团结构。

对于具有1阶社团结构显著性的实证网络G而言，因为G与其1阶零模型G₁在社团结构上存在显著性差异，与其2阶零模型G₂在社团结构上不存在显著性差异，而G与G₁、G₂在微观结构上具有相同度分布，与G₁不同的是G与G₂在微观结构上还具有相同匹配特性，所以此时可以说度分布并不能刻画实证网络G的社团结构，但匹配特性可以。

对于具有2阶社团结构显著性的实证网络G，因为G与其1阶、2阶零模型G₁、G₂在社团结构上存在显著性差异，与其3阶零模型G₃在社团结构上不存在显著性差异，而G₃与G₂在微观结构上与原始网络除了具有相同度分布、匹配特性外，其与G还具有相同聚类特性，所以此时可以说度分布、匹配特性并不能刻画实证网络G的社团结构，但聚类特性可以。

同理，对于具有3阶社团结构显著性实证网络G，因为G与其1—3阶零模型G₁、G₂、G₃社团结构都存在显著性差异，而从微观结构角度来看G₃与G具有相同度分布、匹配特性、聚类特性，此时度分布、匹配特性、聚类特性都不能刻画其社团结构，需要更高阶微观特性才能刻画出它的社团结构。

上述过程，实现了微观结构对社团特性影响的定性分析。

本文从CommunityFitNet数据库^[13]中选取了6大类550个不同规模的具有代表性的实证网络，进行微观结构对社团特性影响的定性与定量分析研究。其中，包含了124个社交网络、179个生物网络、35个交通网络、70个科技网络、124个经济网络、18个信息网络，涵盖了生活中网络的大部分类型。网络的节点规模在[48, 3353]范围内，连边规模在[30, 7562]范围内。

在社团检测算法的选择上，本文选用基于层次聚类的GN算法，它是一种基于模块度最优化为目标进行自顶向下社团划分的方法。GN算法基本思想是在初始时将网络中所有节点都归入一个大社团，通过不断切断网络中边介数最大的边，逐步将网络分裂为多个社区，进而获得层次性的社团结构。 GN算法由于每次迭代都要考虑网络的全局结构，导致时间复杂度较高，只适用于中小型网络的社区划分，但也因为这个原因其社团划分的准确度会比较高。考虑到本文的重点是各类型实证网络与其零模型模块度$ Q $差异的比较，在社团检测算法的选择上主要考虑其能否适用于各种类型的网络，算法的准确度和时间复杂度不是考虑的重点，而GN算法因其适用的网络类型较广泛所以被选取用于社团划分。此外，使用其他社团检测算法也可以得到本文类似的结论。

550个实证网络社团结构显著性分类的结果如表2所示，各类型网络中社团结构显著性分布最多的类型加粗标出。

从表2可以看出，不具有社团结构显著性的网络在各类型网络中数量都非常少，其只占总体网络数量的9.3%。对于这些网络而言，它们的社团结构由度序列即可决定。具有1阶社团结构显著性的网络数量在各类型网络中更少，其只占总体网络数量的4.5%。对于这些网络而言，它们的社团结构由匹配特性决定。具有2阶社团结构性显著性的网络数量很多，占总体数量的32.2%，且大多数分布在社交网络中，在124个社交网络中有118个具有2阶社团结构显著性。对于这类网络而言，它们的社团结构可以由网络的聚类系数很好地刻画出来，聚类系数决定了其社团结构的产生。这与文献[7]网络的社团结构可以由3阶度相关特性有效地刻画（不需要更高阶）的结论是一致的。

同时从表2中也可以看出在各类型网络中，除社交网络外（如生物、科技、交通、经济、信息网络），具有3阶社团结构显著性的网络数量是最多的，其占总网络数量的72.2%。对于这类网络而言，聚类系数并不能刻画出它们的社团结构，它们的社团结构需要更高阶的微观特性才可以刻画出来，这和以前研究中的结论是不同的。上述结果也说明，尽管聚类系数特性对于网络社团结构有很强的影响，但并不足以充分揭示除社交网络之外的其他类型网络的社团特性的主要起源。

尽管研究发现网络的社团结构显著性类型不唯一，但无论何种类型网络，度序列和匹配系数对社团结构起决定性作用的数量都非常少。对于大多数社交网络来说，它们的社团结构由3阶度相关特性（聚类系数）决定，无须更高阶的微观特性。对于其他类型网络（如生物、科技、交通、经济、信息网络）来说，它们社团结构大多数并不能由3阶度相关特性决定，而由更高阶的微观特性才能决定。

基于零模型和中介效应分析框架可分辨出社团结构特性是否是由某种微观结构贡献，并判断和量化出这一因素作为中介变量对社团特性的贡献是正向的还是负向的以及贡献程度的大小，从而实现微观结构对社团特性影响的解耦量化分析。

中介效应分析是一个以“因果路径”概念为中心的统计框架。在分析某一变量X对变量Y产生影响的过程中，如果变量X是通过第三个变量Z来影响变量Y，那此时第三个变量Z就是中介变量，中介变量Z在变量X和变量Y间所发挥的作用（促进/抑制）称为中介效应。中介效应分析是检验变量Z是否成为中介变量，作为中介变量发挥何种中介作用以及中介程度有多大的重要步骤。

图1是对单中介模型的简要介绍。在图1a表示自变量X对因变量Y的直接作用，在这里不涉及第三个变量，路径系数c₁代表自变量X作用于因变量Y的总效应。图1b表示有中介变量M参与的自变量X对因变量Y的间接作用，其中系数a代表自变量X作用于中介变量M的效应，系数b代表中介变量M作用于因变量Y的效应，两者构成自变量X和因变量Y间的间接效应。系数c₂为考虑在控制中介变量后，自变量X作用于因变量Y的直接效应。那么$ {c_1} = ab + {c_2} $，中介效应分析就是检验ab效应是否存在，以及度量出ab效应在总效应中的占比，体现中介效应作用程度的方法。

图  1  单中介模型图

从微观结构对社团特性影响定性分析中我们发现随着零模型阶数的增加在微观性质上与原始网络越来越相似，模块度值$ Q $（社团结构）也越接近实证网络，由此看出微观结构作为中介变量对网络社团特性起正向的贡献作用，也就是说微观结构对社团特性的强弱起促进作用，接下来对这种促进作用进行量化。

本文通过构造实证网络的1—3阶零模型，计算实证网络与零模型网络、零模型网络与零模型网络间模块度值差异的方式，依次剔除网络微观特性（高阶特性、聚类系数、匹配系数）对社团结构贡献，实现各社团结构显著性类型的多种类型网络的微观特性（高阶特性、聚类特性、匹配特性）对其社团结构产生贡献程度的量化。

本文主要分析了匹配系数、聚类系数，以及更高阶微观特性对社团结构影响，没有考虑度序列对社团结构的贡献，主要原因是度量实证网络社团结构强弱的主要指标是模块度值。在计算模块度值时，主要是将原始网络与其对应一阶随机化网络的社团结构进行比较，在保证两者度分布序列相同的情况下来度量实证网络社团划分质量与社团结构强度。从这个角度看，对社团结构影响起决定性作用的微观性质是匹配系数、聚类系数和更高阶微观特性，因此本文并没有将度序列对社团结构贡献进行量化。

图2为基于零模型和中介效应分析的微观结构对社团特性影响的量化解耦分析框架。

图  2  基于零模型和中介效应分析的微观结构对社团特性影响量化解耦分析研究框架

如图2所示，首先，通过构建实证网络的3阶零模型剔除掉高阶微观特性，用实证网络与其3阶零模型的模块度值$ Q $的差值$ \Delta Q/({Q_{{\rm{origin}}}} - {Q_{3k}}) $量化高阶微观特性对实证网络社团结构产生的贡献。其次，通过构建此3阶零模型的2阶零模型剔除掉聚类特性，用3阶零模型与其2阶零模型的模块度值$ Q $的差值$ \Delta Q = {Q_{3k}} - {Q_{2k}} $量化聚类特性对实证网络社团结构产生的贡献。之后，通过构建此2阶零模型的1阶零模型剔除掉匹配特性，用2阶零模型与其1阶零模型的模块度值$ Q $的差值$ \Delta Q = {Q_{2k}} - {Q_{1k}} $量化匹配特性对实证网络社团结构产生的贡献。最后，利用剔除各微观特性的网络间模块度值差值$ \Delta Q $与实证网络和其1阶零模型的模块度值差值做比值即$ \Delta Q/({Q_{{\rm{origin}}}} - {Q_{1k}}) $量化出各微观特性（高阶特性、聚类系数、匹配系数）对各社团结构显著性类型实证社团结构产生的贡献比例。

下面利用以上的微观结构对社团特性影响的量化分析框架，实现各社团结构显著性网络的微观结构特性（高阶特性、聚类系数、匹配系数）对其社团特性产生的具体贡献程度的量化以及相对贡献程度的量化。对于不具有社团结构显著性网络，度序列对其社团结构起决定性作用，考虑到度分布是Q值计算的基础，匹配系数、聚类系数和更高阶特性对社团结构贡献特别小几乎为零，本文没有对它们的贡献进行量化。

对于具有1阶社团结构显著性网络，匹配系数对其社团结构起决定性作用，聚类系数和更高阶特性对社团结构贡献特别小几乎为零，本文没有对它们的贡献进行量化，只需用其2阶零模型与其1阶零模型的模块度值$ Q $的差值$ \Delta Q = {Q_{2k}} - {Q_{1k}} $量化匹配特性对实证网络社团结构产生的贡献。

对于具有2阶社团结构显著性网络，聚类系数对其社团结构产生起决定性作用，更高阶特性对社团结构产生贡献特别小几乎为零，本文没有对它的贡献进行量化，使用微观结构对社团特性量化分析框架，计算出$ \Delta Q = {Q_{2k}} - {Q_{1k}} $与$ \Delta Q = {Q_{3k}} - {Q_{2k}} $量化出匹配系数、聚类系数对其社团结构产生的具体贡献数值，再使用$ \Delta Q/({Q_{{\rm{origin}}}} - {Q_{1k}}) $量化出匹配系数、聚类系数对社团结构特性的相对贡献程度。

对于具有3阶社团结构显著性网络，更高阶特性分别对其社团结构产生起决定性作用，同理，使用微观结构对社团特性影响量化分析框架，量化出各微观特性（高阶特性、聚类系数、匹配系数）对具有3阶社团结构显著性的实证网络社团结构产生的贡献具体数值$ \Delta Q $，再使用$ \Delta Q $与原始实证网络和其1阶零模型的模块度差值做除法得到$ \Delta Q/({Q_{{\rm{origin}}}} - {Q_{1k}}) $量化出各微观结构对社团特性相对贡献程度。

考虑到2阶社团结构显著性网络中除社交网络外其他网络数量都极少，对少数网络进行分析可能不具有代表性，本文只对具有2阶社团结构显著性的118个社交网络完成匹配系数、聚类系数对社团结构贡献的平均比例分布进行分析。实验结果发现，对于这118个具有2阶社团结构显著性的社交网络而言，其微观特性中匹配系数比聚类系数对社团结构的贡献程度更大，约占总贡献的68%，而聚类系数对社团结构的贡献只占32%。

图3依次为前面的具有3阶社团结构显著性的10个信息网络、93个生物网络、27个交通网络、57个科技网络、106个经济网络的微观特性（匹配系数、聚类系数、更高阶微观特性）对社团结构贡献的平均比例分布图。从图中可以看出，在具有3阶社团结构显著性的5种类型网络中信息网络的微观特性对社团结构贡献分布较特殊。在信息网络的微观特性中聚类系数对社团结构的贡献最大，其次是更高阶微观特性，最后是匹配系数。但在其他4类网络中更高阶微观特性对社团结构的贡献相对最大，且这种现象在经济网络中表现尤为明显，其更高阶微观特性对社团结构的贡献占总贡献的90%左右。除了更高阶微观特性的贡献外，在这4类网络中，生物、科技、交通网络的聚类系数对社团结构的贡献是最大的，匹配系数的贡献非常小。而经济网络正相反，除了更高阶微观特性外，匹配系数对社团结构的贡献最大，聚类系数的贡献非常小。

图  3  具有3阶社团结构显著性的各类网络微观特性对社团结构产生的贡献比例分布图

本文在实验数据选择方面使用社交、生物、科技、交通、经济、信息6类不同规模的具有代表性的550个实证网络进行实验，从定性和定量角度分析微观特性对社团结构的影响，大数据集也使结果具有鲁棒性、研究结论具有通用性。

本文首先基于零模型和显著性检验方法完成社团结构显著性检验，实现不同类型网络微观结构对社团特性影响的定性分析。该结果对此前研究中聚类系数即可刻画社团结构的结论有所修正，说明尽管聚类系数特性对于网络社团结构有很强的影响，但是并不足以充分揭示除社交网络之外的其他类型网络的社团特性的主要起源。

在具有不同社团结构显著性的各类型网络的基础上，本文提出了基于零模型和中介效应分析的微观结构对社团特性影响的量化分析方法，量化出各社团结构显著性类型网络的各微观结构对社团特性产生的贡献具体数值以及相对贡献程度。这种方法实现了对各阶微观结构对社团特性产生贡献程度的量化。