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流行病是指被病原微生物或寄生虫感染后具有传染性的疾病,一直威胁着人类的生存[1-4]。世界卫生组织为应对流行病的传播,建议了以下4类控制策略[5]:1)优先接种或群体接种;2)使用抗病毒药物预防或治理;3)社区层面的预防与控制;4)航空管制。前两类基于药物干预的控制策略能够减少潜在易感者的数量,降低流行病传播的实际传染率,从根本上讲是最有效的流行病控制方法。但这两类方法依赖于特效药或预防药物的研制,往往需要很长的时间。这就导致仅仅通过药物的研制来控制流行病的传播难以满足突发性流行病控制的需求,于是越来越多的学者开始对第3)类和第4)类控制策略展开研究,即非药物干预控制策略。第3)类控制策略包括隔离病患、自我隔离以及检疫等针对个体采取的措施,也包括加强校园门禁管理、禁止公共场所人群聚集等涉及整个社区的实施方案[6],第4)类航空管制则在流行病爆发时取消某些与流行病爆发相关地区的航线或航班。这两类控制策略在现实中都有着广泛运用[7]。文献[8]对新型冠状病毒肺炎的实时再生数
${R_t}$ 计算发现,在采取非药物干预措施一周内,流行病的实时再生数便降至${R_t} < 1$ ,即使是在较严重地区,也在短短两周时间内得到控制(${R_t} < 1$ )。文献[9]通过分析手机用户的移动数据,发现新型冠状病毒肺炎传播期间实施的航空管制,使得城市间的人口流动大幅下降82.46%。文献[10]对印度新型冠状病毒肺炎早期传播动态的研究指出,在印度全国范围封锁期间,流行病的传播未达到社区水平,而解除封锁后,随着接触密度的增加,感染病例在两个月时间内增至163万例。另外,文献[11]对人口混合模式进行量化,发现即使封锁已经解除,但接触越深发生在家庭内部的概率仍高达79.1%,且平均接触越深人数随着1人家庭人数时的1.7增加到6人及6人以上家庭人数时的6.6。以上研究案例表明,非药物干预控制策略直接或间接地影响着流行病的传播,在缺乏特效药物的情况下,选择适当的非药物干预措施将有效遏制流行病的传播。另一方面,基于社区层面的预防与控制和基于航空管制的控制策略在不同的时空尺度上各有侧重,研究的模型和方法也各有不同。社区层面的预防和控制是将社区映射到单种群模型来研究其抑制流行病扩散的效果[12],这样的研究模型属于费米系统,系统中每个粒子代表一个个体,无法反映个体在不同区域间迁移的现实背景,而航空管制策略则必须结合实际的航空网络,这就需要从复合种群网络出发进行建模[13]。复合种群网络中每个节点代表一个子种群,子种群内部是一个费米系统,同时子种群之间还考虑了人口结构和区域交通运输对流行病传播的扩散作用[14]。为了理解控制策略对全球传播流行病的控制效果,复合种群网络模型为我们提供了一个很好的解决方案。
在现实中,无论是由政府机构还是由病人自我施行的隔离策略,往往都需要经过一个权衡收益与代价的决策过程[15],常通过估计流行病的严重程度和控制策略的实施效果来决定是否采取相应的控制策略,其中进行大范围的地区封锁是常见的流行病管控方法[16]。这种方法保证了流行病管控的有效性,但也有相应的成本。文献[17]研究了各种控制策略在降低发病率和患病率方面的重要性,文献[12]通过分析流行病首次到达目标子种群的时间(首达时间)延迟,表明了不同控制策略之间的效果差异。在这些工作中,主要采用计算模拟的方法进行分析,很少将群体内和群体间的控制策略相比较,也没有提供关于它们在延缓流行病入侵方面的价值整体图像。另有不少学者也对选择性策略进行了研究,如目标免疫[18]、熟人免疫[19]。选择性策略在减小控制成本方面做出了巨大的贡献,但其有效性还亟待提高。这类研究往往随机地选择子种群或简单地选择度值较大的子种群进行免疫控制,没有考虑复合种群网络的拓扑结构与控制策略之间的联系,也没有从理论分析的角度来揭示网络结构对控制策略延缓流行病入侵的影响。
基于上述问题,本文从复合种群网络中存在的双种群结构、枢纽结构、一维线性结构和路径叠加结构出发,考虑航空管制和病患隔离两类控制策略对延缓流行病首达时间的效果,并通过美国航空网络数据进行传播仿真,进一步为基于网络结构制定控制策略提出建议。
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复合种群[20]用来刻画农田里害虫繁衍的种群动力学问题。相对于单种群来说,复合种群在结构上包含若干个子种群,每个子种群内部有一定数量代表某种个体的粒子,在动力学方面强调了子种群之间由于个体的迁移造成的耦合相互作用。这一模型将空间因素纳入考虑的范畴,因而广泛应用于探索空间效应对于传播动力学的影响。
如图1所示,复合种群网络中每个节点代表一个子种群,内部包含一定数量同种属性的粒子,一般假设子种群内部个体均匀混合,子种群之间的连边反映了个体(在子种群间)的迁移途径[21],个体在子种群之间的移动由反应散射[22]机制来刻画。这种建模方式抓住了影响流行病在大尺度空间范围传播的关键因素,与现实情况存在很强的对应:考虑城市间起联系纽带作用的公共交通网络(如航空运输网络),其中每个子种群代表一个城市,子种群内的粒子代表个体,粒子在子种群之间的迁移则反映人群在城市间的旅行现象。
本文采用复合种群网络作为流行病传播的载体,其中流行病在子种群内部的反应过程用传统的易感−感染(SI)模型描述:
$$ \partial t{I_i} = \beta {I_i}{S_i}/{N_i} $$ (1) 式中,
$i = 1,2,\cdots,n$ ,${N_i}$ 是子种群$i$ 的人口规模,$n$ 是子种群数量;${I_i}$ 和${S_i} = {N_i} - {I_i}$ 分别表示感染者和易感者的人数;参数$\beta $ 是平均传染率。除了局部动态之外,个体根据迁移率方程在子种群之间扩散:$$ \partial t{U_i} = \sum\limits_{i \ne j} {{w_{j,i}}{U_j} - } {w_{i,j}}{U_i} $$ (2) 式中,
${U_i}$ 是${S_i},{I_i}$ 的占位符;${w_{i,j}}$ 代表从子种群$i$ 到子种群$j$ 的迁移率。于是:$$ \partial t{I_i} = \beta {I_i}\frac{{{S_i}}}{{{N_i}}} + \sum\limits_{i \ne j} {{w_{j,i}}{I_j} - } {w_{i,j}}{I_i} $$ (3) 反映了感染个体在子种群内部的反应过程和子种群之间的扩散过程。
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本文主要讨论了病患隔离和航空管制这两类典型的控制策略。病患隔离控制策略通过限制感染者的活动,抑制流行病在子种群内部的传染过程。由于受社会经济等现实因素的影响,病患隔离或航空管制控制策略的推行大多存在一定的延迟。因此,引入响应延时参量[23]
${t_0}$ 来刻画从流行病爆发初期到实施控制策略的时间间隔。令$\eta $ 为病患隔离控制策略的强度,即${t_0}$ 时刻以后的每个时间步,平均意义上百分比为$\eta $ 的感染者会被隔离。需要说明的是,在社区防控中降低$\beta $ 、缩短${t_0}$ 、增加$\eta $ 在遏制流行病的传播上是互为助益的,但通过接触控制(contact control)降低$\beta $ 比增加$\eta $ 更为重要,尤其是在流行病传播早期。本文仅从$\eta $ 的角度出发,考虑社区防控对流行病传播的影响。在SI模型中引入隔离过程,即令单位时间内每个感染者以概率$\eta $ 被隔离,处于隔离态的个体不再参与传染和扩散过程。图2表示引入病患隔离控制策略的SI模型过程[24]。航空管制控制策略主要限制个体在各个子种群之间迁移,令
$\alpha $ 反映航空管制控制策略的强度,表示采取航空管制控制策略后子种群每天扩散的平均人数下降的比例。在本文所讨论的复合种群网络模型中,${t_0}$ 时刻之后个体迁移率从$w$ 减少到$(1 - \alpha )w$ 。直观起见,式(4)给出了在采取航空管制控制策略后,子种群间个体迁移率的变化:$$ w\xrightarrow{}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {w} & {t < {t_0}} \\ {(1 - \alpha )w} & {t \geqslant {t_0}} \end{array}} \right. $$ (4) -
流行病在复合种群网络中的传播,有4种基本的传播结构:双种群结构、枢纽(Hub)结构、一维线性结构和路径叠加结构,如图3所示。双种群结构指的是感染子种群与目标子种群之间直接相连的情形;枢纽结构指的是感染子种群与多个子种群直接相连的情形;一维线性结构指的是感染子种群与目标子种群之间并没有直接相连,而是通过一个或多个中间子种群实现连接;路径叠加结构指的是感染子种群与目标子种群之间存在着多条传播路径的结构。为了简化模型,假设各子种群
$1,2,\cdots,n$ 的总人口数${N_1},{N_2},\cdots,{N_n}$ 相等且记为$N$ ;不同子种群内部反应过程的传染率${\beta _1},{\beta _2},\cdots,{\beta _n}$ 相等且记为$\beta $ ;不同子种群之间的迁移率${w_{i,j}}$ 相等且记为$w$ 。值得指出的是,这样的简化不会对实验结果造成影响。 -
双种群结构如图3a所示,假设子种群
$i$ (五角形)为疫源中心,种群$j$ (五边形)为目标子种群。在初始时刻$t = 0$ ,有${I_i}(0) = I_i^*$ 和${I_j}(0) = 0$ ,且子种群$i$ 和$j$ 中感染个体的传染率为$\beta $ 。流行病爆发的初始阶段,子种群$i$ 中感染个体的数量只有其人口总数的一小部分,${I_i}(t) \ll N$ 。通过平均场近似方程[25],得到:$$ {I_i}(t) \approx I_i^*\exp (\beta t) $$ (5) 假定从
$t = 0$ 时刻开始到$t = {t_{i,j}}$ 时,流行病首次从子种群$i$ 传播到子种群$j$ ,有:$$ \sum\limits_0^{{t_{i,j}}} {I_i^*\exp (\beta t)w} = 1 $$ (6) 式中,
${t_{i,j}}$ 表示流行病首次从感染子种群$i$ 传播到子种群$j$ 所花费的时间,则${t_{i,j}}$ 代表子种群$j$ 零号病人的首达时间,记为${T_j}$ 。根据近似条件$\displaystyle\sum\limits_0^{{t_{i,j}}} I_i^*\exp (\beta t)w \approx \displaystyle\int_0^{{t_{i,j}}} {I_i^*\exp (\beta t)w{\rm{d}}t}$ ,可以计算出不采取任何控制策略时,有:$$ {T_j} = \frac{1}{\beta }\ln \left(\frac{\beta }{{I_i^*w}} + 1\right) $$ (7) 当子种群
$i$ 的初始感染个体数$I_i^* = 1$ 时,式(7)近似Gumbel分布[26]的平均值$T_j^G = \dfrac{1}{\beta }\ln \left(\dfrac{\beta }{w} - \gamma \right)$ 。其中,$\gamma $ 是Euler常数。采取航空管制策略后,若感染个体首达时间
${T_j}$ 小于延时响应${t_0}$ ,首达时间仍然可以用式(7)表示。当首达时间大于${t_0}$ ,有:$$ \int_0^{{t_0}} {I_0^*\exp (\beta t)w{\rm{d}}t} + \int_{{t_0}}^{{t_{i,j}}} {I_0^*\exp (\beta t)w(1 - \alpha ){\rm{d}}t} = 1 $$ (8) 此时
$j$ 种群零号病人的首达时间记为$ T_j^\alpha = {t_{i,j}} $ ,通过数值求解便可得到:$$ \Delta {T_j}(\alpha ) = T_j^\alpha - {T_j} $$ (9) 求解得到采取航空管制控制策略推迟零号病人首达时间的长度
$\Delta {T_j}(\alpha )$ 。其中,$T_j^\alpha $ 和${T_j}$ 分别代表采取航空管制控制策略和未采取航空管制控制策略时子种群$j$ 零号病人的首达时间。当响应延时${t_0}$ 很小时,可近似为0,则有:$$ T_j^\alpha = \frac{1}{\beta }\ln \left(\frac{\beta }{{I_0^*w(1 - \alpha )}} + 1\right) $$ (10) 采取病患隔离策略时,重点关注感染个体首达时间大于响应延时
${t_0}$ 的情况。当$t \leqslant {t_0}$ ,${I_i}(t) \approx I_i^*\exp (\beta t)$ ;当$t > {t_0}$ 时,马尔萨斯增长率降低为$\beta - \eta $ ,即采取病患隔离控制策略后流行病的传染率,记为${\beta _\eta }$ 。因此,当${t_0} < {t_{i,j}}$ 时,有:$$ \begin{split} &\qquad\qquad\quad \int_0^{{t_0}} {I_i^*\exp (\beta t)w{\rm{d}}t} + \\ & \int_{{t_0}}^{{t_{i,j}}} {I_i^*\exp (\beta {t_0})\exp ({\beta _\eta }(t - {t_0}))w{\rm{d}}t} = 1 \end{split} $$ (11) 如果响应延时小到可以被忽略(
$ {{t_0} \approx 0} $ ),式(11)可进一步简化为:$$ \int_0^{{t_{i,j}}} {I_0^*\exp ({\beta _\eta }t)w{\rm{d}}t} = 1 $$ (12) 此时,采取病患隔离控制策略后,零号病人的首达时间为:
$$ T_j^\eta = \frac{1}{{{\beta _\eta }}}\ln \left(\frac{{{\beta _\eta }}}{{I_0^*w}} + 1\right) $$ (13) 当
${t_0} > 0$ 时,根据式(11),通过数值求解得到采取病患隔离控制策略后零号病人的首达时间。由:$$ \Delta {T_j}(\eta ) = T_j^\eta - {T_j} $$ (14) 计算得到采取病患隔离控制策略对于延缓零号病人入侵子种群
$j$ 的延时$\Delta {T_j}(\eta )$ 。 -
考虑一个简单的枢纽结构,如图3b所示。假设疫源子种群
$i$ 具有$k(1,2,\cdots,j,\cdots,k)$ 个直接相连的子种群,且子种群$i$ 的传染率和与相邻子种群$j$ 的迁移率分别表示为$\beta $ 和${w_{i,j}}$ 。在无控制策略的双种群模型中,马尔萨斯增长率为$\beta $ 。当疫源中心种群是枢纽结构时,将疫源中心子种群$ i $ 到子种群$j$ 的马尔萨斯增长率调整为$\beta - \displaystyle\sum\limits_{l = 1\parallel l \ne j}^k {{w_{i,j}}} $ ,记为${\beta ^H}$ 。由式(4)可得,枢纽结构下疫源子种群$i$ 到子种群$j$ 的零号病人首达时间$T_j^H$ 为:$$ T_j^H = \frac{1}{{{\beta ^H}}}\ln \left(\frac{{{\beta ^H}}}{{I_i^*{w_{i,j}}}} + 1\right) $$ (15) 则在枢纽结构中引入病患隔离控制策略和航空管制控制策略后子种群
$ j $ 的零号病人首达时间$T_j^\eta $ 和$T_j^\alpha $ 可分别表示为:$$ \begin{split} &\qquad\qquad\quad \int_0^{{t_0}} {I_i^*\exp ({\beta ^H}t)w{\rm{d}}t} + \\ & \int_{{t_0}}^{T_j^\eta } {I_i^*\exp (\beta _\eta ^H{t_0})\exp (\beta _\eta ^H(t - {t_0}))w{\rm{d}}t} = 1 \end{split} $$ (16) $$ \begin{split} &\qquad\quad \int_0^{{t_0}} {I_i^*\exp ({\beta ^H}t)w{\rm{d}}t} + \\ & \int_{{t_0}}^{T_j^\alpha } {I_i^*\exp ({\beta ^H}{t_0})w(1 - \alpha ){\rm{d}}t} = 1 \end{split} $$ (17) 式中,
$ \beta _\eta ^H = {\beta ^H} - \eta $ ,表示枢纽结构中病患隔离控制强度$\eta $ 下的传染率调整结果。 -
假设一维线性结构中存在
$k$ 个子种群,如图3c所示。给定初始情况下疫源子种群$i$ 中存在$I_i^*$ 名感染者,用${w_{j,j + 1}}$ 表示子种群$j$ 到子种群$j + 1$ 的迁移率,用$\beta $ 表示各个子种群的传染率。同时,用${t_{j,j + 1}}$ 表示子种群$j$ 出现感染到子种群$j + 1$ 感染时所经过的时间,则子种群$j$ 零号病人首达时间记为${T_j} = {t_{i,l}} + {t_{l,m}} + \cdots + {t_{j - 1,j}}$ 。路径
$\varPsi :i \to j \to l$ 表示流行病从子种群$i$ 传播到子种群$j$ 再传播到子种群$l$ 的传播过程,其中${t_{i,j}}$ 可由式(7)得出,${t_{j,l}}$ 则可由下式得到:$$ \int_0^{{t_{j,l}}} {I_0^*\exp (\beta (t + {t_{i,j}}))w} \int_t^{{t_{j,l}}} {\exp (\beta (z - t))w} {\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 $$ (18) 通过数值求解得到子种群
$j$ 出现零号病人到子种群$l$ 出现零号病人所经历的时间${t_{j,l}}$ 。同时考虑路径
$\varPsi :i \to j \to l \to m$ ,由式(7)和式(18)分别求得${t_{i,j}}$ 和${t_{j,l}}$ 。采用路径缩减的思路,假设子种群$i$ 和子种群$l$ 间存在一条直接连边,其迁移率表示为${w_{i,j}}$ 。令式(7)中的${T_l} = {t_{i,j}} + {t_{j,l}}$ ,即可得:$$ {w_{i,l}} = \frac{\beta }{{I_i^*({{\rm{e}}^{\beta {T_l}}} - 1)}} $$ (19) 由:
$$ {\int_0^{{t_{l,m}}} {I_i^*\exp (\beta (t + {T_l}))w} _{i,l}}\int_t^{{t_{l,m}}} {\exp (\beta (z - t))w} {\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 $$ (20) 可得从子种群
$l$ 出现感染者到子种群$m$ 出现零号病人的时间间隔${t_{l,m}}$ 。在一维线性结构中加入航空管制策略时,相应的理论计算变为:
$$ {t_{i,j}} = \frac{1}{\beta }\ln \left(\frac{\beta }{{I_i^*w(1 - \alpha )}} + 1\right) $$ (21) $$ \begin{split} &\quad \int_0^{{t_{j,l}}} {I_i^*\exp (\beta (t + {t_{i,j}}))w} (1 - \alpha )\times \\ & \int_t^{{t_{j,l}}} {\exp (\beta (z - t))w} (1 - \alpha ){\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 \end{split} $$ (22) $$\begin{split} &\qquad \int_0^{{t_{l,m}}} {I_i^*\exp (\beta (t + {T_l})){w_{i,l}}} \times \\ & \int_t^{{t_{l,m}}} {\exp (\beta (z - t))w} (1 - \alpha ){\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 \end{split}$$ (23) 同样的,当采取病患隔离控制策略时,理论计算变为:
$$ {t_{i,j}} = \frac{1}{{\beta - \eta }}\ln \left(\frac{{\beta - \eta }}{{I_i^*w}} + 1\right) $$ (24) $$\begin{split} &\quad \int_0^{{t_{j,l}}} {I_i^*\exp ((\beta - \eta )(t + {t_{i,j}}))w} \times \\ & \int_t^{{t_{j,l}}} {\exp ((\beta - \eta )(z - t))w} {\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 \end{split}$$ (25) $$\begin{split} &\quad \int_0^{{t_{l,m}}} {I_i^*\exp ((\beta - \eta )(t + {T_l})){w_{i,l}}} \times \\ & \int_t^{{t_{l,m}}} {\exp ((\beta - \eta )(z - t))w} {\rm{d}}z{\rm{d}}t = 1 \end{split}$$ (26) -
在复合种群网络中,疫源子种群
$i$ 到子种群$j$ 之间通常具有多条传播路径,如图3d所示。已经证明首达时间不仅仅只受到最短路径的影响,多条路径的存在也会减小目标城市零号病人的首达时间[27]。假设从子种群$i$ 到子种群$j$ 存在$P$ 条最短路径,用路径缩减思路,将这些路径缩减为$P$ 条与子种群$j$ 直接相连的路径,调整后的迁移率分别记为$w_{i,j}^1, w_{i,j}^2,\cdots,w_{i,j}^P$ 。子种群$i$ 到子种群$j$ 的首达时间$ {T_j} $ 则有:$$ \sum\limits_{L = 1}^P {\int_0^{{T_j}} {I_i^*\exp (\beta t)w_{i,j}^L{\rm{d}}t} } = 1 $$ (27) 即:
$$ {T_j} = \frac{1}{\beta }\ln \left(\frac{\beta }{{I_i^*\displaystyle\sum\limits_{L = 1}^P {w_{i,j}^L} }} + 1\right) $$ (28) 分别考虑航空管制策略和病患隔离策略,子种群
$i$ 到子种群$j$ 的首达时间${T_j}$ 分别有:$$ {T_j} = \frac{1}{\beta }\ln \left(\frac{\beta }{{I_i^*\displaystyle\sum\limits_{L = 1}^P {w_{i,j}^L(1 - \alpha )} }} + 1\right) $$ (29) $$ {T_j} = \frac{1}{{\beta - \eta }}\ln \left(\frac{{\beta - \eta }}{{I_i^*\displaystyle\sum\limits_{L = 1}^P {w_{i,j}^L} }} + 1\right) $$ (30)
Study on the Influence of Control Strategy on the First Arrival Time of Epidemics
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摘要: 针对网络结构影响控制策略延缓流行病空间传播的问题,对复合种群网络中存在的双种群结构、枢纽结构、一维线性结构和路径叠加结构进行了研究,分析病患隔离策略和航空管制策略在延缓流行病首达时间上的效果,并通过美国航空网络数据进行仿真验证。研究结果表明,流行病爆发初期,及时采取病患隔离策略的控制效果比航空管制策略控制效果更好;流行病传播路径的长度是影响首达时间的重要因素;路径叠加结构几乎不影响航空管制策略的控制效果,但在很大程度上却会抑制病患隔离策略的控制效果。Abstract: Aiming at the problem of network structure influence on the control strategy on delaying the spatial spread of epidemic, the dual-population structure, hub structure, one-dimensional linear structure, and path superposition structure existing in the composite population network are studied, and the effects of patient isolation strategy and air traffic control strategy on delaying the first time of epidemic are analyzed, and the simulation verification is carried out through the American Airlines network. The results show that in the early stage of the outbreak, the control effect of timely patient isolation strategy is better than that of air traffic control strategy. The length of the epidemiological transmission structure is an important factor affecting the time of first arrival; The path overlay structure hardly affects the control effect of air traffic control strategy, but to a large extent, it inhibits the control effect of patient isolation strategy.
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Key words:
- air traffic control /
- first arrival time /
- network structure /
- patient isolation
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