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量子密钥分发（Quantum Key Distribution, QKD）基于量子力学基本原理，可实现远距离双方无条件安全通信[1]。由于实际应用中，光源、检测器等设备的非理想性，系统存在诸多安全漏洞。为此，诱骗态协议[2]、测量设备无关（Measurement Device Independent, MDI）协议[3]等相继被提出，有效解决了窃听者针对光源和测量设备的攻击。尽管双场（Twin Field, TF）量子密钥分发协议[4]被提出，突破了密钥生成率的PLOB界[5]，但其离实际应用还有较长的路要走。测量设备无关协议作为一种更加成熟的协议，多种变种协议[6-9]仍能得到较好的性能，被广泛地进行理论和实验的研究，更贴近实际应用，是量子密钥分发领域重要的协议分支。
在量子密钥分发的实际应用中，为提升密钥生成率和最大传输距离，需要根据实际应用环境参数，如数据长度、失调误差、传输距离等，优化系统参数的选择，如信号态强度、诱骗态强度等。传统的方法主要有全局搜索和本地搜索两种[10]，但这两种方法耗时均较长。随着量子网络的发展，接入网络的设备越来越多，网络单元变化导致的参数优化计算量激增[11]，为满足实时通信要求，需将搜索时间控制在毫秒级，针对这种计算量大，实时性要求高的应用场景，传统方法无法实现。
随着机器学习的发展，已有多个小组结合机器学习的方法，实现了最优参数的实时预测。文献[12]利用BP神经网络（Back-Propagation Neural Network, BPNN）对基于MDI协议的量子密钥分发网络进行参数优化和误差校准，证明了BP神经网络的有效性；文献[13]将随机森林（Random Forest, RF）应用于MDI协议的参数预测，取得了较BPNN更好的效果；文献[14]将XGBoost应用于TF协议的参数预测，取得了较RF和BPNN更好的效果。然而，上述三种方法均为基于单个参数的预测，即分别针对每一个参数来构建和训练不同的网络，而实际中，密钥生成率由参数的组合来决定，参数之间可能存在特定联系，因而将参数以整体的形式进行预测更加合理。本文基于BP神经网络对参数整体进行预测，并与随机森林和XGBoost方法进行对比，结果显示进行整体预测的BP神经网络可以得到相对更好的性能。
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不失一般性，本文基于考虑统计波动的三强度诱骗态MDI协议进行分析。MDI协议的密钥生成率公式[3]为：
$$ R \geqslant P_{11}^{\text{Z}}Y_{11}^{\text{Z}}\left[ {1 - H\left( {e_{11}^{\text{X}}} \right)} \right] - Q_{\mu \mu }^{\text{Z}}{f_e}H\left( {E_{\mu \mu }^{\text{Z}}} \right) $$ (1) 式中，11表示通信双方发送的光子数均为1，
$ \mu $ 表示信号态强度；Z和X表示基矢的选择，$ Y_{11}^{\text{Z}} $ 为计数率，$ e_{11}^{\text{X}} $ 表示错误计数率，$ Q_{\mu \mu }^{\text{Z}} $ 为总增益，$ {f_e} $ 为纠错效率，$ E_{\mu \mu }^{\text{Z}} $ 表示量子比特误码率，$ H\left( x \right) $ 为熵函数，其表达式为$ H\left( x \right) = - x{\log _2}\left( x \right) - \left( {1 - x} \right){\log _2}\left( {1 - x} \right) $ ，$ P_{11}^{\text{Z}} $ 为信源产生Z基下11光子态的概率。在三强度诱骗态MDI协议中，通过对不同信源强度
$ \left\{ {\mu ,\nu ,\omega } \right\} $ 下总增益和量子比特误码率的测量，可以估计$ Y_{11}^{\text{Z}} $ 和$ e_{11}^{\text{X}} $ ，从而得到最终密钥生成率[15,16]。考虑统计波动，真实值和实验值之间存在偏差，采用标准差分析法[17]：$$ \begin{gathered} Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \left( {1 - {\beta _q}} \right) \leqslant Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \leqslant Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \left( {1 + {\beta _q}} \right) \\ E_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \left( {1 - {\beta _{eq}}} \right) \leqslant E_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \leqslant E_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda \left( {1 + {\beta _{eq}}} \right) \\ \end{gathered} $$ (2) 式中，
$ \lambda \in \left\{ {{\text{X,Z}}} \right\} $ 表示基的选择；$ {q_{\text{a}}},{q_{\text{b}}} $ 分别表示通信双方的信源强度选择；$ Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda ,E_{{q_{\text{a}}}{q_b}}^\lambda $ 分别表示总增益和量子比特误码率，波动率$ {\beta _q},{\beta _{eq}} $ 可表示为：$$ \begin{split} &\quad {\beta _q} = \min \left( {\frac{{{n_{\text{α }}}}}{{\sqrt {N_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda } }},1} \right) \\ & {\beta _{eq}} = \min \left( {\frac{{{n_{\text{α }}}}}{{\sqrt {N_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda E_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda Q_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda } }},1} \right) \end{split}$$ (3) 式中，
$ {n_{\text{α }}} $ 为标准差，与置信度相对应；$ N_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda $ 为选择对应的信源强度和基底时，发送的总脉冲个数。不同的信源强度概率和基选概率会影响
$ N_{{q_{\text{a}}}{q_{\text{b}}}}^\lambda $ 的值，从而影响最终密钥生成率。假设选择$ \left\{ {\mu ,\nu ,\omega } \right\} $ 的概率分别为$ {P_\mu },{P_\nu },{P_\omega } $ ，3个概率之间存在关系$ {P_\omega } = 1 - {P_\mu } - {P_\nu } $ ，确定信源强度后选择X基的条件概率$ {P_{{\text{X|}}\mu }},{P_{{\text{X|}}\nu }},{P_{{\text{X|}}\omega }} $ ，那么选择Z基的条件概率分别为$ 1 - {P_{{\text{X|}}\mu }},1 - {P_{{\text{X|}}\nu }},1 - {P_{{\text{X|}}\omega }} $ 。假设
$ \mu > \nu > \omega \geqslant 0 $ ，直接使用文献[18]中的结论，根据式(2)，$ Y_{11}^{\text{Z}} $ 和$ e_{11}^{\text{X}} $ 可用如下公式进行估计：$$ \begin{split} &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad Y_{11}^{\text{Z}} \geqslant Y_{11}^{{\text{Z,L}}} = \frac{1}{{{{\left( {\mu - \omega } \right)}^2}{{\left( {\nu - \omega } \right)}^2}\left( {\mu - \nu } \right)}} \cdot \\ & \left[ \begin{gathered} \left( {{\mu ^2} - {\omega ^2}} \right)\left( {\mu - \omega } \right)\left( {Q_{\nu \nu }^{{\text{Z,L}}}\exp \left( {2\nu } \right) + Q_{\omega \omega }^{{\text{Z,L}}}\exp \left( {2\omega } \right) - Q_{\nu \omega }^{{\text{Z,U}}}\exp \left( {\nu + \omega } \right) - Q_{\omega \nu }^{{\text{Z,U}}}\exp \left( {\omega + \nu } \right)} \right) \\ - \left( {{\nu ^2} - {\omega ^2}} \right)\left( {\nu - \omega } \right)\left( {Q_{\mu \mu }^{{\text{Z,U}}}\exp \left( {2\mu } \right) + Q_{\omega \omega }^{{\text{Z,U}}}\exp \left( {2\omega } \right) - Q_{\mu \omega }^{{\text{Z,L}}}\exp \left( {\mu + \omega } \right) - Q_{\omega \mu }^{{\text{Z,L}}}\exp \left( {\omega + \mu } \right)} \right) \\ \end{gathered} \right] \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad e_{11}^{\text{X}} \leqslant e_{11}^{{\text{X,U}}} = \frac{1}{{{{\left( {\nu - \omega } \right)}^2}Y_{11}^{{\text{X,L}}}}} \cdot \\ & \left[ {E_{\nu \nu }^{{\text{X,U}}}Q_{\nu \nu }^{{\text{X,U}}}\exp \left( {2\nu } \right) + E_{\omega \omega }^{{\text{X,U}}}Q_{\omega \omega }^{{\text{X,U}}}\exp \left( {2\omega } \right) - E_{\nu \omega }^{{\text{X,L}}}Q_{\nu \omega }^{{\text{X,L}}}\exp \left( {\nu + \omega } \right) - E_{\omega \nu }^{{\text{X,L}}}Q_{\omega \nu }^{{\text{X,L}}}\exp \left( {\omega + \nu } \right)} \right] \end{split} $$ (4) 式(4)中上标U和L分别表示根据测量值估计出真实值区间的上下边界，该边界可由式(2)直接得到。
$ Y_{11}^{{\text{X,L}}} $ 的估计公式与$ Y_{11}^{{\text{Z,L}}} $ 相似，仅仅只有基的差别。假设光源为相干态光源，那么脉冲中光子数分布满足泊松分布，生成密钥的11光子态概率为：
$$ P_{11}^{\text{Z}}{\text{ = }}P_\mu ^2{\left( {1 - {P_{X|\mu }}} \right)^2}{\mu ^2}\exp \left( { - 2\mu } \right) $$ (5) 综合来看，密钥生成率与如下8个独立参数的选择有关：
$ {\boldsymbol{x}} = \left[ {\mu ,\nu ,\omega ,{P_\mu },{P_\nu },{P_{{\text{X|}}\mu }},{P_{{\text{X|}}\nu }},{P_{{\text{X|}}\omega }}} \right] $ 。 -
BP神经网络[19]是机器学习中，一种被广泛应用的人工神经网络。如果有足够的训练数据以及合理的超参数设定，它可以逼近十分复杂的函数关系，具有非线性映射、良好的自适应性以及较好的泛化能力。
BP神经网络中，基本单元是“神经元”。它模仿生物大脑的神经元，将所有的输入进行线性组合并根据激活函数计算输出：
$$ y = \sigma \left( {\sum {{w_i}{x_i} + b} } \right) $$ (6) 式中，
$ y $ 是神经元的输出；$ {x_i} $ 是神经元的输入；$ {w_i} $ 是每一个输入对应的权重；$ b $ 是偏置；$ \sigma \left( x \right) $ 为激活函数，可以选择sigmoid函数、ReLU函数等。BP神经网络一般包括输入层、隐藏层和输出层。隐藏层可以是单层或者多层。每一层由多个神经元组成，同一层神经元互不连接，相邻层的神经元相互连接。
在输入层输入一组数据后，经过神经网络的处理会在输出层得到一组输出，该输出与真实值之间可能存在一定的误差，可以定义损失函数来描述这种误差，通过“反向传播”算法调整神经网络中连接的权值，使得损失函数最小，这样就可以使得神经网络的输出更加接近真实值。这也说明神经网络可以很好地近似输入与输出之间的映射关系。从而对新的输入可通过神经网络较准确地预测其输出。
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密钥生成率
$ R $ 除了与用户选择的参数$ {\boldsymbol{x}} = \left[ \mu ,\nu ,\omega , {P_\mu },{P_\nu },{P_{{\text{X|}}\mu }},{P_{{\text{X|}}\nu }},{P_{{\text{X|}}\omega }} \right] $ 有关外，还与系统环境有关，如：失调误差${e_{\text{d}}}$ ，暗计数率${p_{\text{d}}}$ ，检测效率${\eta _{\text{d}}}$ ，纠错效率$f$ ，置信度$\varepsilon $ ，传输距离$L$ ，总脉冲数$N$ 等。其中，纠错效率和置信度为系统算法级的参数，一般不会改变，检测效率可以转换至系统传输率中进行计算，因此等效于$L$ 的变化。因此，系统环境特征可表示为$ {\boldsymbol{s}} = \left[ {{e_{\text{d}}},{p_{\text{d}}},L,N} \right] $ 。参数优化问题可表述为对于一组已知的系统环境特征$ {\boldsymbol{s}} $ ，寻找一组最优参数$ {{\boldsymbol{x}}_{{\text{opt}}}} $ ，使得密钥生成率$ R $ 最大，即：$$ {{\boldsymbol{x}}_{{\text{opt}}}}\left( {\boldsymbol{s}} \right) = \arg {{\max} _{{\boldsymbol{x}} \in {\boldsymbol{X}}}}R\left( {{\boldsymbol{s}},{\boldsymbol{x}}} \right) $$ (7) 式中，
$ {\boldsymbol{X}} $ 为参数$ {\boldsymbol{x}} $ 的取值空间。$ {\boldsymbol{x}} $ 关于$ {\boldsymbol{s}} $ 的函数难以求解解析表达式，目前常用的方法是全局搜索、本地搜索或者神经网络算法。我们构建图1所示神经网络来解决这一问题。
图 1 神经网络模型
神经网络共4层，输入层用4个神经元，两个隐藏层分别用400和200个神经元，输出层用8个神经元，层之间全连接。激活函数用ReLU函数。
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实验中相关参数主要来源于文献[20]，是QKD实验中常用参数。固定参数
$f = 1.15$ ，${\eta _{\text{d}}} = 14.5\% $ ，$\varepsilon = 1 - {10^{ - 7}}$ ，光纤衰减系数$\alpha = 0.2$ ，其余参数取值范围见表1：表 1 仿真中用到的部分实验参数
${e_{\text{d}}}$ ${p_{\text{d}}}$ $N$ $L\left( {{\text{km}}} \right)$ $1\% \sim5\% $ ${10^{ - 10}}\sim{10^{ - 6}}$ ${10^8}\sim{10^{15}}$ $1\sim250$ 其中
${e_{\text{d}}}$ 、${p_{\text{d}}}$ 和$N$ ，在其取值范围内均匀选取12个值，在$L$ 的取值范围内均匀选取250个值，共得到432000组不同的数据。对不同的取值利用本地搜索算法[10]求解最优参数$ {\boldsymbol{x}} $ ，并根据式(1)求解密钥生成率$ R $ 。从表1中可以看出，不同的输入参数之间取值差异很大，需对数据进行归一化，以便更好地适应BPNN的特点。密钥生成率为0的数据并没有包含有效的参数优化信息，因而过滤掉该部分数据。将剩余数据按照2∶1随机分为训练集和测试集。
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考虑常见的一组环境参数：数据长度为
$2.7 \times {10^{14}}$ ，暗计数为$4.5 \times {10^{-7}}$ ，失调误差为1.4%。在不同距离时，预测用户选择的各参数情况如图2所示：图2中，实线和虚线均为利用LSA算法求取的参数值，圆点和x型点为利用BP神经网络预测得到的参数值，为更清晰地显示预测值，对BP神经网络得到的所有预测值按照等间隔抽样，仅将样本以点的形式展示在图中。从图中可以看出，8个参数在距离小于220 km时，BP神经网络与LSA算法得到的最优参数几乎相同，超过220 km后，二者的差距越来越明显。特别是
${P_\mu }$ 和${P_{{\text{X|}}\mu }}$ ，BP神经网络的预测值甚至超出其取值范围。这是因为当距离超过220 km时，LSA算法无法得到有效的参数使得密钥生成率大于0，这部分数据对系统没有意义，因而没有用于BP神经网络的训练，故BP神经网络对这部分参数的预测与LSA算法会存在较大的差异。
图 2 固定环境参数下BP神经网络参数预测结果
分别将基于BP神经网络预测与基于LSA算法得到的参数代入密钥生成率公式，密钥生成率图像如图3所示：
图3中，实线为基于LSA算法得到的密钥生成率曲线，x型点为基于BP神经网络得到的密钥生成率，二者图像几乎重叠，说明BP神经网络对最优参数预测的准确性与LSA算法相近，证明了其有效性。
图 3 基于BP神经网络预测参数计算的密钥生成率
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除BPNN外，基于机器学习的预测模型还有很多，比较典型的有随机森林和XGBoost等[21-22]。实际上其他小组在量子密钥分发的参数预测中也应用过上述两种模型。
我们首先基于均方误差（Mean Square Error, MSE）比较不同模型对参数预测的准确性。以3.1节中准备的数据集为基础，排除掉密钥生成率为0的数据，如3.2节中
$L > 220\;{\text{km}}$ 的相关数据。主要是因为该部分数据在实际应用中没有意义，预测的准确性不会影响系统性能。三个模型分别基于此数据集进行训练和参数预测，计算MSE，具体结果见表2。表 2 不同模型对相关参数预测的均方误差
$\mu $ $\nu $ $\omega $ ${P_\mu }$ ${P_\nu }$ ${P_{{\text{X}}|\mu }}$ ${P_{{\text{X}}|\nu }}$ ${P_{{\text{X}}|\omega }}$ BPNN $2.0 \times {10^{{{ - }}6}}$ $4.4 \times {10^{{{ - 8}}}}$ $3.0 \times {10^{{{ - 24}}}}$ $6.2 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $3.3 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $3.1 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $2.1 \times {10^{{{ - 7}}}}$ $3.0 \times {10^{{{ - 7}}}}$ RF $3.7 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $6.6 \times {10^{{{ - 8}}}}$ $4.4 \times {10^{{{ - 25}}}}$ $2.1 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $8.6 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $2.9 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $4.6 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $7.8 \times {10^{{{ - 5}}}}$ XGBoost $3.9 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $1.2 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $3.2 \times {10^{{{ - 19}}}}$ $2.3 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $1.6 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $4.8 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $1.8 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $2.6 \times {10^{{{ - 5}}}}$ 由表2中数据可知，3种方法预测所得结果都较为准确，MSE都在
${10^{{{ - 4}}}}$ 量级或更小。根据经验，$\omega $ 取值很小，通常为0，故其MSE都很小。相比RF和XGBoost，BPNN预测结果中除$\omega $ 外，其余参数的MSE均最小，且${P_\mu }$ 、${P_{{\text{X}}|\mu }}$ 、${P_{{\text{X}}|\omega }}$ 3个参数对应的MSE相较要小2个数量级，因而其预测结果相对更加准确；RF和XGBoost预测性能相当，仅在对$\nu $ 和$\omega $ 两个参数的预测中，RF要明显优于XGBoost，而在剩余参数中二者具有相近的MSE。总体来看，三种模型对各参数预测的准确性，BPNN要明显优于RF和XGBoost，RF要略优于XGBoost但相差不大。需要进一步说明的是，BPNN和RF对$\omega $ 的预测结果MSE分别为${10^{{{ - 24}}}}$ 和${10^{{{ - 25}}}}$ 量级，RF相对更优，但是$\omega $ 在$ \left[0，{10}^{{-4}}\right] $ 范围内变化时，对密钥生成率的影响不大[10]，从对密钥生成率影响大小的角度看，RF在该处的优势并无明显意义。从时间和计算复杂度方面看，对80000个数据进行优化，利用LSA所花的时间约为369 ms，利用BPNN所花的时间约为1.06 ms，利用XGBoost所花时间约为1.17 ms，利用RF所花时间约为9.93 ms。可以看出，利用机器学习的三种方法所花时间在同一个数量级上，比利用LSA算法快两个数量级。不可否认，机器学习在前期训练时，需要花费大量的时间来训练，本实验中通常在10小时以上，但是这个时间是在系统工作之前，不会对系统的实时性产生影响。且实际应用中可以利用神经网络加速芯片进一步提高BPNN的预测速度。
一般情况下，所选各参数分量越接近最优值，得到的密钥生成率越大。然而密钥生成率关于8个参数的函数并非凸函数，且不同参数的波动对最终密钥的影响大小也不尽相同，因而有必要基于最终密钥生成率对三种模型预测性能进行比较。
图4中，子图a、b、c分别展示了通过BPNN、RF和XGBoost预测参数计算得到的密钥生成率与最优密钥生成率的比值情况，横轴表示二者比值，纵轴表示在测试集中该比值所占比例。整体来看，三种模型密钥生成率预测值和最优值的比值几乎都集中在0.9以上，这说明三种模型预测性能良好，能得到的较高的密钥生成率。对比来看，BPNN中密钥生成率预测值和最优值的比值集中在0.98以上，RF主要集中在0.95以上，而XGBoost在0.90处仍有少量值；此外，BPNN中密钥生成率预测值和最优值的比值具有相对更大的均值0.9988和更小的标准差0.0123，因此BPNN具有更好的预测性能。
图 4 密钥生成率不同模型预测值与最优值的比值
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本文首先将环境参数和用户设置参数区分开来，构建了通用的测量设备无关量子密钥分发参数预测模型，随后基于BP神经网络，改进对单独参数单独构建网络预测的做法，将用户设置参数作为整，实现了联合参数预测，从仿真结果可以看出，无论是对各用户设置参数的预测准确性，还是通过预测参数计算得到的最终密钥生成率的准确性，都具有良好的性能。
与机器学习常用的RF和XGBoost算法比较可知，本文构建的BP神经网络无论是在各参数的预测值还是基于预测参数求出的密钥生成率中，都具有更高的准确性。
综合来看，基于BP神经网络可以实现参数的准确预测，可以作为未来实时量子密钥分发和大型量子密钥分发网络中参数设置和调整优化的有效手段。
Measurement Device Independent Protocol Parameter Prediction Based on BP Neural Network
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摘要: 针对传统参数优化方法计算开销大，不能满足实时性要求高，计算量大等应用场景的问题，结合当今主流的机器学习方法，提出了一种改进的基于BP神经网络的参数优化方法，利用本地搜索算法的数据训练网络并对参数进行预测，替代传统的查找算法从而获得更好的实时性和更低的计算复杂度，随后与基于随机森林和XGBoost的方法进行了比较。仿真结果表明，BP神经网络预测所得各参数的均方误差数量级为
$ {10^{-6}} $ 或更小，由该参数计算所得密钥生成率与最优密钥生成率比值的均值为0.9988，且本应用中BP神经网络相对随机森林和XGBoost具有更好的预测性能。Abstract: The traditional parameter optimization algorithm cannot meet the requirements of the application scenario with high real-time, large amount of calculation. Combining with the current mainstream machine learning methods, an improved parameter optimization method based on BP neural network was proposed. Using the data of the local search algorithm to train the network and predict the parameters, the proposed methods can obtain better real-time performance and lower computational complexity for the traditional search algorithm is replaced. Then it is compared with random forest and XGBoost methods. The simulation results show that the order of magnitude of the mean square error of each parameter predicted by BP neural network is$ {10^{-6}} $ or less. The average value of the ratio between the key generation rate calculated by the predicted parameter and the optimal key generation rate is 0.9988. And BP neural network in this application has better prediction performance than random forest and XGBoost. -
表 1 仿真中用到的部分实验参数
${e_{\text{d}}}$ ${p_{\text{d}}}$ $N$ $L\left( {{\text{km}}} \right)$ $1\% \sim5\% $ ${10^{ - 10}}\sim{10^{ - 6}}$ ${10^8}\sim{10^{15}}$ $1\sim250$ 
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表 2 不同模型对相关参数预测的均方误差
$\mu $ $\nu $ $\omega $ ${P_\mu }$ ${P_\nu }$ ${P_{{\text{X}}|\mu }}$ ${P_{{\text{X}}|\nu }}$ ${P_{{\text{X}}|\omega }}$ BPNN $2.0 \times {10^{{{ - }}6}}$ $4.4 \times {10^{{{ - 8}}}}$ $3.0 \times {10^{{{ - 24}}}}$ $6.2 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $3.3 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $3.1 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $2.1 \times {10^{{{ - 7}}}}$ $3.0 \times {10^{{{ - 7}}}}$ RF $3.7 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $6.6 \times {10^{{{ - 8}}}}$ $4.4 \times {10^{{{ - 25}}}}$ $2.1 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $8.6 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $2.9 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $4.6 \times {10^{{{ - 6}}}}$ $7.8 \times {10^{{{ - 5}}}}$ XGBoost $3.9 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $1.2 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $3.2 \times {10^{{{ - 19}}}}$ $2.3 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $1.6 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $4.8 \times {10^{{{ - 4}}}}$ $1.8 \times {10^{{{ - 5}}}}$ $2.6 \times {10^{{{ - 5}}}}$
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