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开关DC-DC变换器作为非线性时变系统的一种典型，运行状态非常复杂。近年来，通过对开关DC-DC变换器的非线性动力学研究，其非线性现象及其产生机理[1-11]被人们所认识，为工程设计和应用提供了可靠的理论依据。
综合了峰值电流和平均电流控制[5-12]的优点，文献[13]提出了I2平均电流控制技术，实现了快速、准确的电流控制。本文研究的I2控制实质为输出恒压的电流控制技术，控制电路采用一个电压外环反馈和两个电流内环反馈，进行三环反馈控制，其中两个电流反馈分别作为电流误差反馈信号和PWM调制信号。I2控制Buck变换器引入了电压误差反馈增益，使其能够控制输出电压，实现过压和欠压保护；引入了电感电流误差反馈增益，使其能够控制电感电流，实现过流保护；直接引入电感电流作为PWM调制信号，使其具有较快的响应速度。
文献[13]提出I2控制Buck变换器拓扑，并建立了小信号等效模型，但没有对I2控制Buck变换器的非线性动力学特性进行研究。本文建立了I2控制Buck变换器一阶等效离散迭代模型，研究了其动力学特性。以检测电阻Rs和比例系数k1作为变量参数，利用数值仿真软件MATLAB进行分岔分析[6-11]；通过工作状态域分析[8-10]，验证了分岔分析的正确性。
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图 1a为I2控制Buck变换器的工作原理图，主电路由输入电压源Vg、开关管S、二极管D、电感L、电容C(含等效串联电阻r)和负载R构成。
图 1 I2控制Buck变换器
图 1b为工作于CCM模式下I2控制Buck变换器的稳态工作波形。输出电压v0与基准电压Vref经误差放大器1得到误差信号vkl，vkl与电感电流检测电阻Rs两端电压vs经误差放大器2得到误差信号vk2，vk2与vs通过比较器得到控制开关管S导通与关断的PWM信号。当r较大时，输出电压纹波与电感电流纹波的变化趋势相同。在每一个开关周期开始时刻，时钟信号使RS锁存器置位，开关管S导通，续流二极管D关断，电感电流iL和输出电压v0上升。当vk2与vs相等时，比较器输出高电平，使锁存器复位，开关管S关断，二极管D导通，输出电压v0与电感电流iL下降，直到下一个时钟使开关管S导通。
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为简化系统建模，本文只考虑误差放大器的比例环节。当开关频率远高于Buck变换器的特征频率时，可以认为在一个开关周期内电容电压Vc恒定，即把Vc当作直流电压源。经简化处理，原有的高阶系统等效为只含有电感电流一个状态变量的一阶系统。负载R往往远大于r，r上产生的电压纹波即为输出电压的纹波。由于r很小，iL在r上产生的电压较小，可以近似认为输出电压平均值V0等于输出电容电压Vc。把电容电压Vc和电感电流iL分别看作给负载供电的两个独立电源，则输出电压v0=Va+ilr，其中，Va=VcR/(r+R)。
图 2给出了电感电流iL纹波的一阶线性等效波形。开关管S导通时，iL线性上升；开关管S关断时，S线性下降。在不同的工作模式下，Buck变换器有不同的iL波形。当Buck变换器工作于CCM模式时，iL始终大于零，如图 2a所示(其中in为上周期结束时的电感电流，Ik为控制电流)；在DCM模式时，如图 2b所示，iL下降到零后将持续为零，直到下一个时钟周期的开始。
图 2 电感电流纹波图
在开关管S导通和关断期间，电感电流iL的上升斜率ml和下降斜率m2分别为：
$${m_{\text{1}}} = \frac{{{V_{\text{g}}} - {V_{\text{o}}}}}{L},{m_2} = \frac{{{V_{\text{o}}}}}{L}$$ (1) -
如图 1a所示，误差信号vk1和vk2分别为：
$${v_{{\text{k1}}}} = {k_1}({V_{{\text{ref}}}} - {v_{\text{o}}})$$ (2) $${v_{{\text{k2}}}} = {k_{\text{2}}}({v_{{\text{k1}}}} - {v_{\text{s}}})$$ (3) 式中，k1和k2是误差放大器1和误差放大器2的比例系数；vsiLRs。
当导通时间Ton小于时钟周期Ts时，vk2与vs通过比较器得到翻转信号。在开关管S切换时有：
$${i_{\text{L}}}{R_{\text{s}}} = {v_{{\text{k2}}}}$$ (4) 把v0代入式(2)，结合式(2)～式(4)，可得开关切换条件为：
$${i_{\text{L}}} = {I_{\text{k}}} = - \frac{{{k_{\text{1}}}{k_{\text{2}}}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})}}{{{R_{\text{s}}} + {k_{\text{2}}}({R_{\text{s}}} + {k_1}r)}}$$ (5) 式中，Ik为开关状态切换时的电感电流，即控制电流。当Buck变换器的电感电流iL上升到Ik时，开关状态发生切换。从式(5)可以看出，控制电流Ik随电路参数变化而变化。
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在CCM模式下工作的I2控制Buck变换器，只有一个电感电流边界Ib1；处于DCM模式时，有两个电感电流边界Ib1、Ib2。定义电感电流边界Ib1为开关导通一个开关周期Ts后，检测电阻Rs两端电压vs与误差信号vk2相等时，开关周期开始时的电感电流，如图 3a所示；定义电感电流边界Ib2为时钟周期结束时刻电感电流下降到零时，时钟周期开始时的电感电流，如图 3b所示。
图 3 电感电流边界
当导通时间Ton小于时钟周期Ts时，结合式(5)，由两边界的定义可得：
$${I_{{\text{b1}}}} = - {m_1}{T_{\text{s}}} + {\chi _1}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})$$ (6) $${I_{{\text{b2}}}} = - {m_1}{T_{\text{s}}} + {\chi _2}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})$$ (7) 式中，
$$\eqalign{ & {\chi _1} = - \frac{{{k_1}{k_2}}}{{{R_{\text{s}}}({k_2} + 1) + {k_1}{k_2}r}} \cr & {\chi _2} = - \frac{{{k_1}{k_2}({m_1} + {m_2})({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})}}{{({R_{\text{s}}} + {k_2}{R_{\text{s}}} + {k_1}{k_2}r){m_2}}} \cr} $$ 从式(6)和式(7)可以看出，Ib1和Ib2随电路参数的变化而变化。
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采用频闪映射[7]建立I2控制Buck变换器的离散迭代模型。将nTs时刻输出电压和电感电流的采样值设为vn=v0(nTs)和in=iL(nTs)；(n+1)Ts时刻输出电压和电感电流的采样值设为vn+1=v0[(n+1)Ts]和in+1=iL[(n+1)Ts]。在一个开关周期Ts内，不同的条件下I 2控制Buck变换器存在不同的运行轨道：
1) 当in≤Ib1时，在一个开关周期内，开关管S一直导通，v0与iL增大，有：
$${i_{n + 1}} = {i_n} + {m_1}{T_{\text{s}}}$$ (8) $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_n} + r{m_1}{T_{\text{s}}}$$ (9) 2) 当Ib1<in<Ib2时，Buck变换器工作于CCM模式。iL上升到Ik时，开关管S从导通状态进入关断状态，v0与iL下降，直到开关周期结束，有：
$${i_{n + 1}} = {i_{\text{L}}}(n{T_{\text{s}}} + {T_{{\text{on}}}}) - {m_{\text{2}}}({T_{\text{s}}} - {T_{{\text{on}}}})$$ (10) $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_{\text{L}}}(n{T_{\text{s}}} + {T_{{\text{on}}}}) - r{m_{\text{2}}}({T_{\text{s}}} - {T_{{\text{on}}}})$$ (11) 3) 当Ib2≤in<Ik时，Buck变换器进入DCM工作模式，iL下降到零，v0下降到Va，并维持到下一个开关周期的开始，有：
$${i_{n + 1}} = 0$$ (12) $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}}$$ (13) 4) 当in≥Ik时，控制回路中比较器输出高电平，锁存器不能被当前周期的时钟信号置位，开关管S一直关断，iL、v0一直下降，有：
$${i_{n + 1}} = {i_n} - {m_2}{T_{\text{s}}}$$ (14) $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_n} - r{m_2}{T_{\text{s}}}$$ (15) 容易证明式(8)～式(15)在两个边界处是连续的。
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基于I2控制Buck变换器的离散迭代模型，利用MATLAB数值仿真软件，以检测电阻Rs和比例系数k1为分岔参数，研究I2控制Buck变换器的动力学行为。电路参数为Vg7.5V，Vref5V，L=100 μH，C=3 000 μF，r=0.05 Ω，R=3 Ω，k1=30，k2=30，Rs=0.1Ω，Ts=50 μs。
图 4a为以检测电阻Rs为分岔参数的分岔图，V0=4.7 V、Rs=1.5～12 Ω。当Rs=12 Ω时，Buck变换器运行在DCM工作模式。随着Rs的减小，在Rs=11 Ω时，Buck变换器的运行轨道与Ib2碰撞，Buck变换器从稳定周期1进入周期2运行轨道；周期2运行轨道在Rs=6.36 Ω时与Ib1碰撞折叠，在Rs=4.79Ω时与边界Ib2碰撞分岔后，形成周期4分岔运行轨道；周期4运行轨道在Rs=4.11 Ω时与Ib1碰撞折叠。随着Rs减小，运行轨道形成DCM阵发混沌，在Rs=3.2 Ω时与边界Ib2碰撞，形成CCM鲁棒混沌，Rs=3.2 Ω为混沌状态转变的分界点。
图 4 Rs和k1为参数的分岔图
图 4b为以误差放大器1比例系数k1为分岔参数的分岔图，V0=4.9V、k1=0.3～6.7。当k1=0.3时，系统处于DCM工作模式。随着k1的增大，在k1=0.64时，稳定的周期1运行轨道与边界Ib2发生碰撞，形成周期2运行轨道；周期2运行轨道在k1=1.16时与边界Ib1碰撞折叠，在k1=1.84时与边界Ib2碰撞，形成周期4运行轨道，在k1=2.33时与边界Ib1碰撞折叠。随着k1的增大，Buck变换器的运行轨道形成DCM阵发混沌，在k1=4.35时与边界Ib2碰撞，形成CCM鲁棒混沌，k1=4.35为混沌状态转变的分界点。
从图 4看出，可以通过调节I2控制Buck变换器控制回路中的Rs和k1转变系统的运行状态。在一定的范围内，减小Rs或者增大k1可以使电路的运行状态由DCM阵发混沌转变为CCM鲁棒混沌；增大Rs或者减小k1可以使系统由混沌状态返回稳定运行状态。I2控制与V2控制比较，多引入了电流控制。从混沌状态的变化特性可以看出，I2控制可以通过控制检测电阻Rs控制系统的状态变化，拓宽系统的稳定性。
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变换器的稳定性分析只有在Ib2>in >Ib1时才有意义[6, 8-9]。根据iL与v0的关系，可知系统只有iL一个状态变量。由式(10)可得I2控制Buck变换器的特征根为：
$$\lambda = \frac{{\partial {i_{n + 1}}}}{{\partial {i_n}}} = - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$$ (16) 为了使I2控制Buck变换器工作于周期1，必须使|λ |<1。当λ从-1穿出此区域时，系统发生倍周期分岔现象。λ=-1时，把式(1)代入式(16)，可得：
$${V_{\text{o}}} = 0.5{V_{\text{g}}}$$ (17) I2控制Buck变换器发生CCM至DCM的工作模式转移是由边界碰撞分岔行为所引起。从图 4中两个分岔图也可以看出，当运行轨道与边界Ib2发生碰撞时，系统从DCM阵发混沌态进入CCM鲁棒混沌态。此时电感电流iL处于最大值，满足条件方程：
$${I_{{\text{b2}}}} = {i_{n,}}_{\max } = {I_{\text{k}}}$$ (18) 将式(5)、式(7)代入式(18)，可得：
$$({V_{\text{g}}} - {V_{\text{o}}})\frac{{{\eta _2}{T_{\text{s}}} + {\eta _3}{V_{{\text{ref}}}} + {\eta _4}}}{{{\eta _1}}} = 0$$ (19) 式中，
$$\eqalign{ & {\eta _1} = L(R + r)({R_{\text{s}}}{V_{\text{o}}} + {k_2}{R_{\text{s}}}{V_{\text{o}}} + {V_{\text{g}}}{k_1}{k_2} - {k_1}{k_2}{V_{\text{o}}}) \cr & {\eta _2} = {V_{\text{o}}}(R + r)({R_{\text{s}}} + {k_2}{R_{\text{s}}}) + {V_{\text{o}}}{k_1}{k_2}r(R + 1) \cr & {\eta _3} = - (R + r){k_1}{k_2}L,{\eta _4} = {k_1}{k_2}LR{V_{\text{o}}} \cr} $$ 选取与分岔分析相同的参数，由式(17)和式(19)确定的临界条件，可以得到Rs-V0和k1-V0为参数空间的参数域，如图 5所示。参数空间表明系统工作模式是随参数的变化而变化的。图 5可以看出两条边界把系统的运行状态分为3个状态区域，稳定周期1、CCM鲁棒混沌区和DCM阵发混沌区。由图 5a可以看出，当V0=4.7V时，Rs=3.2 Ω为图 4a中DCM阵发混沌态与CCM鲁棒混沌态的分界点；由图 5b可得，当V0=4.9V时，k1=4.35为图 4b中DCM阵发混沌态与CCM鲁棒混沌态的分界点。对比分析，证明了分岔分析的正确性。
图 5 工作状态域分布
选取I2控制Buck变换器的输出电压V0、检测电阻Rs和误差放大器1比例系数k1为可变参数，利用参数空间离散迭代映射图，进行I2控制Buck变换器的动力学研究。根据图 4参数的选取，分别选择两组相同的参数变量，变化范围为：Rs=1.5～12 Ω，V0=3.4～5.3 V及k1=0.3～6.7，V0=3.4～5.3 V。
由式(8)～式(15)所描述的I2控制Buck变换器的离散迭代映射方程，可得如图 6a和图 6b所示Rs-V0和k1-V0参数空间上的参数空间映射图。图 6中，使用不同的黑白灰度表示相应的周期数，在两参数平面中绘映射点时，用白色和灰度较浅区域表示低周期，黑色和灰度较深区域表示高周期，周期数越大则灰度越深。为了图象的清晰表达，图 6中给出了两条分界线划分不同状态的边界，CCM/DCM分界线以上为DCM阵发混沌区。对比图 5和图 6可以看出，状态变化一致，状态域分析正确。
图 6 离散迭代映射空间
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基于I2控制Buck变换器，研究了其一阶等效动力学建模和分岔行为。通过MATLAB建模仿真，进行了分岔分析；根据离散迭代模型和边界碰撞情况，分析了参数空间和离散迭代映射空间。
本文建立了以电感电流边界的一阶离散模型；由动力学分析可得，系统存在稳定周期1、周期2、周期4、CCM鲁棒混沌和DCM阵发混沌，通过调节控制回路可以有效地调节系统的稳定性；与V2控制相比，I2控制可以通过调节电流反馈拓宽系统的稳定性。本文以I2控制Buck变换器的工作原理出发研究其动力学形为，对I2控制Buck变换器的理论分析和优化设计有重要的理论与实践价值。
One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter
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摘要: 通过降阶处理,建立了I2控制Buck变换器的一阶离散映射迭代模型,研究了该模型的非线性动力学行为。通过分析检测电阻Rs和误差放大器比例系数k1为变量参数的分岔图,研究了系统从稳定周期1进入倍周分岔,从连续导电模式(CCM)鲁棒混沌进入断续导电模式(DCM)阵发混沌的动力学形为。通过Rs-Vo和k1-Vo参数空间分析和离散迭代映射空间分析,得到了稳定性和工作模式的变化情况,验证了理论分析的正确性。
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关键词:
- 稳定分析 /
- 混沌 /
- 离散映射模型 /
- 一阶模型 /
- 开关DC-DC变换器
Abstract: After dimension reduction, the I2 controlled buck converter is studied and its one-dimensional discrete iterative map model is established in this paper. Based on the model, the nonlinear dynamic characteristics of the I2 controlled buck converter is studied. Through the bifurcation analysis with the variations sensing resistance Rs and proportional coefficient k1 of error amplifier, the operation states from the stable period-1 to the period-double bifurcation and from the robust chaos in continuous conduction mode (CCM) to the intermittent chaos in discontinuous conduction mode (DCM) are studied. Through analysis of Rs-Vo and k1-Vo parameter spaces and discrete-time iterative mappings, the stability and operation mode transitions can be studied, the correctness of the theoretical analysis can be verified.-
Key words:
- analysis of stability /
- chaos /
- discrete map model /
- one-dimensional model /
- switched DC-DC converter
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