对于有限元计算，首先进行零件三维建摸，要求在尽量保持部件的原始结构的基础上，对部件进行适当简化；主轴系统三维模型的简化原则如下：忽略主轴及主轴箱上小的通孔及螺纹孔等；忽略主轴及主轴箱上的倒角和圆角等。

将主轴箱及主轴装配简化模型导入workbench中，采用四面体划分网格法中的Patch Conforming法进行分块网格划分。网格数量的多少将影响计算结果的精度和计算规模的大小。一般而言，网格数量增加，计算精度会有所提高，但同时计算规模也会增加，所以在确定网格数量时应权衡两个因素综合考虑。模型中单元数146 458个，节点数257 950个。建模及分网如图 1所示。

图  1  主轴箱模型及分网

主轴系统内部的热源有电机发热、齿轮传动发热、轴承发热等^[11]。本文的主轴箱为整体式结构，主轴系统和主传动系统分隔在箱体的两个腔内，便于控制主轴的温升和液压系统的回油，传动齿轮发热大部分热量被润滑油带走，传到主轴系统的热量很少。同时，电机通过皮带轮连接，其发热对机床热变形影响很小^[5]。因此主轴静压轴承的发热成为主轴热变形的最主要热源。静压轴承模型如图 2所示。

图  2  主轴静压轴承模型及网格划分

1) 轴承发热量的计算

液体静压轴承在工作状态时，由于润滑油的粘度，轴和轴承表面的相对运动队油层起剪切作用，因而油液各层间的内摩擦力消耗功率并产生摩擦热，其计算公式为^[12]：

式中， ${P_f}$ 为摩擦功耗； ${F_f}$ 为油膜的粘滞阻力；n为轴承转速； $\eta $ 为润滑油的动力粘度；A_s为油腔封油面面积；A_r为油腔面积；h为油膜平均间隙；h_p为油腔深度；D为主轴直径。主轴静压轴承示意图如图 3所示。

图  3  主轴静压轴承示意图

由于液压油从静压轴承的油腔中向外流出后，压力降为零。因此，除了供油管路中功率损耗外，油泵的有效输入功率全部损耗在静压油腔中，这些功率全部转换成热能的形式释放^[12]：

式中， ${P_p}$ 为油泵输入功率； ${p_s}$ 为供油压力；q为轴承流量。

静压轴承的热载荷主要是油膜施加在静压轴承上的热流密度。每个轴承与油膜接触面的热流密度为：

式中，N为轴承的发热量(近似等于摩擦功耗与泵功耗之和)；S为轴承中油层的总面积。

2) 散热条件分析

主轴箱内外表面与空气和润滑油接触发生对流换热。根据努谢尔特准则，换热系数为：

式中，λ为流体导热系数；Nu为努谢尔特数；L为放热壁定型尺寸。

所以，只要知道努谢尔特数Nu，便可计算换热系数。

① 自然对流散热

主轴箱外表面直接与空气接触，属于自然对流，其准则方程形式可表示为：

式中，C、n为常数取值，如表 1所示^[13]；Gr为格拉晓夫准数；Pr为普朗特数；g为重力加速度；β为流体膨胀系数；L为放热壁定型尺寸；Δt为流体和壁面温差；v为流体运动粘度。

② 旋转轴对流换热

当机床主轴旋转时，会加速主轴表面和空气的对流，同时也加速轴承与润滑油的对流，其准则方程为：

③ 强制对流散热

由于机床在运行过程中轴承生热量较大，主轴静压轴承回油，产生热量交换。这属于强制对流换热，其努谢尔特准则方程可表示为^[14]：

式中，Pr_w为壁面温度时的普朗特数；K为校正系数；Re为雷诺数，即：

式中，ω为流速。

普朗特数为：

式中， ${c_p}$ 为等压比热容； $\rho $ 为密度； $\nu $ 为流体运动粘度； $\lambda $ 为导热系数。

机床最高转速140 r/min，当空载状态下主轴转速为100 r/min，温度为22℃时计算主轴系统的稳态温度场与变形场，以及由温度引起的主轴在X、Y、Z方向的热变形和主轴的总变形。

选取油膜厚度为0.06 mm，供油压力为6 MPa，静压油选用46号液压油，密度为870 kg/m³，膨胀系数为0.000 9 k^-1，等压比热容为1 890 J/kg∙k，导热系数为0.1，40℃时运动粘度范围41.4~50.6 cSt。

根据上述式(1)~式(2)计算各轴承油膜的热流密度，式(3)~式(10)计算对流换热系数。计算结果前轴承油膜热流密度为1 879.1 W/m²，后轴承油膜热流密度为1 677.8 W/m²；自然对流换热系数为2.7 W/m²∙k，主轴与空气接触部分旋转对流换热系数为10.2 W/m²∙k，静压油腔强制对流换热系数为80.5 W/m²∙k。

主轴箱材料为HT300，主轴材料为42CrMo，静压轴承材料为锡青铜，主轴系统材料物理性能参数详见表 2^{[12, 15]}。

达到平衡状态后主轴系统的温度分布如图 4所示，最大温升为11.8℃。剖面图如图 5所示，箱体上端温度较高，这是由于下端箱体与床身接触散热快的缘故。由于主轴箱的非对称性，其温度场也呈现出以主轴为中心发散的状态。

图  4  主轴系统热平衡时温度云图

图  5  主轴系统剖面温度云图

影响热变形大小由两个因素是结构的温度场的变化和结构的位移约束边界条件。主轴系统温度场变化由仿真计算得到，机床装配是主轴箱底部安装固定，其余部分均无约束，即位移边界条件可设为主轴系统的安装平面位移为零。

在对主轴箱体进行热-结构耦合分析时，先进行主轴箱体的热分析，然后将热分析的结果作为载荷条件，对主轴箱体的相关位置进行约束，进而通过仿真计算得到主轴箱体的结构变形分析结果。如图 6所示，主轴箱主要考虑影响主轴位置的热变形，主轴中心线在X向最大位移量约为12.3 μm，在Y向位移量约为33.6 μm，主轴在Z向热变形量为132.1 μm。主轴箱体的最大热变形为141.1 μm，发生在主轴端部位置。由此可知，主轴系统主要热变形是由主轴轴向热变形所致。

图  6  主轴箱热平衡时变形云图

设置与仿真条件一致的实验条件，进行主轴系统温升和热误差测试实验，测量设备如图 7所示。由于温度测点无法布置到静压轴承表面，只是测量了轴承对应位置的主轴箱体表面的温升。测得的最大温升为4.2℃，对应位置仿真结果温升为6.2℃左右，仿真最大温升在轴承处，为11.8℃。实验测得热变形数据如图 8所示，X方向为5 μm，Y方向为30 μm，Z方向为107 μm，这与仿真结果规律一致，在数值上小于仿真结果，这是实验条件与仿真条件的差异造成的，实验环境受到外界影响因素较多，有些散热仿真中没有考虑，所以实验结果略小。可以验证仿真的正确性。

图  7  测量设备

图  8  实验热误差曲线

主轴轴承发热是机床中最主要的热源，其发热量的大小有许多因素影响。供油压力、轴承转速、油膜间隙、液压油粘度等因素对静压轴承发热量都有影响。因此，分析不同影响因素对主轴系统温度场的影响程度，对有效控制主轴系统温升及热变形有重要意义。

通过式(1)可以看到，轴承转速越高，其摩擦功耗就越大，摩擦发热情况就越严重，这将直接导致轴承的温度明显升高。其他条件不变，改变转速，由式(1)~式(10)可计算得到的不同转速下，主轴前后轴承的油膜热流密度及主轴表面与空气间的对流换热系数，如表 3所示。

将不同转速时前后轴承的热流密度和主轴表面的对流系数分别加载到主轴系统的有限元分析模型中，通过软件仿真计算，可以得到在不同转速时主轴系统达到热平衡时的温度场及变形场分布情况。不同转速下主轴中心线Y向偏移量如图 9所示。

图  9  主轴中心线偏移量随转速变化曲线

由图可知，随着主轴转速的增大，主轴中心线Y向偏移量逐渐从13.5 μm增加到33.6 μm。所以，工作时间允许的前提下，尽量避免主轴高速运转。

液压油的粘度通过影响静压轴承油垫粘滞阻力，从而影响轴承发热。同时粘度变化也会影响到油泵的发热功耗。在保证静压轴承足够承载能力和转速的情况下，选取几种不同粘度的液压油计算前后轴承油膜热流密度和液压油对主轴的对流换热系数。其他条件不变，改变液压油牌号，计算结果如表 4所示。

由图 10可得，随着液压油粘度的增加，主轴中心线Y向偏移量先是降低，然后逐渐增加。出现该现象的原因是液压油粘度变化导致油膜摩擦功耗和油泵压力功耗同时变化，且变化方向不一致。可见液压油粘度的选取相当重要，偏大偏小都不合适。因此先要找出偏移量最小时对应的液压油粘度，再选择适当的粘度，以降低温升和减小主轴系统热变形。

图  10  主轴中心线偏移量随液压油粘度变化曲线

对于静压轴承，油膜间隙越大发热量越小，油膜散热效果越好。但是供油压力会增大，油泵功耗增加。其他条件不变，改变油膜间隙，计算不同油膜间隙时主轴前后轴承热流密度，结果如表 5所示。

由图 11可以看出，随着静压轴承油膜间隙的增大，主轴中心线Y向偏移量先是减小后增加，同样是由于间隙变化导致油膜摩擦功耗和油泵功耗变化不一致。所以在设计选取静压轴承时，满足承载要求情况下可以向降低热变形的方向适当调整油膜间隙。

图  11  主轴中心线偏移量随油膜间隙变化曲线

在静压轴承转速、静压油粘度、油膜间隙一定的情况下，不同的载荷对应不同的静压轴承供油压力。改变静压轴承供油压力，油泵的功耗也随之改变，从而影响油膜发热。其他条件不变，改变供油压力，计算结果如表 6所示。

由图 12可知，随着供油压力的增加，主轴中心线的偏移量近似线性增加。由此可知，随着机床载荷的增加，主轴偏移量也是近似线性增加。在载荷与轴承内径尺寸一定的情况下，偏心率越大，供油压力越小，所以在偏心率允许的范围内，尽量减小供油压力以降低温升。

图  12  主轴中心线偏移量随供油压力变化曲线

本文利用有限元软件对重型卧式车床主轴系统的热特性进行了仿真分析，得到了以100 r/min转速运转时主轴系统的温度场分布和热变形。通过分析轴承转速、液压油粘度、油膜间隙、供油压力变化对主轴中心线Y向偏移量的影响发现，4个因素对主轴系统温度场有着不同程度的影响。主轴转速和供油压力的影响趋势一致，且影响程度较大，随着参数的增大，主轴中心线偏移量不断增加。液压油粘度和油膜间隙的影响趋势一致，随着参数增大，主轴中心线偏移量先是降低，随后逐渐增加。因此，选取适当的液压油和油膜间隙，设置合理的加工转速都可降低温升减小机床热变形。同时，主轴系统温度场和变形场的分析结果对热设计优化具有重要的参考价值。