极化码是一种以较低编译码复杂度实现各类对称二进制输入离散无记忆信道的无误差传输的最优码^[1]。极化码的重要概念是信道极化，其过程可以分为信道合并和信道分裂两阶段。

信道的合并过程是从一个基本合并单元开始，然后以类似快速傅里叶变换的递归方式进行扩展，最终将原先独立的N(N=2ⁿ，n为正整数) 个信道W合并成信道W_N。基本合并单元如图 1所示，递归过程如图 2所示，其中R_N表示映射关系，即将输入的奇数位置数据按顺序进入前一个合并信道W_N/2，而偶数位置的数据按顺序进入后一个合并信道W_N/2。从编码角度上看，信道合并过程可看作是对输入数据经过生成矩阵G_N后通过对称二进制输入离散无记忆信道。

图  1  信道的基本合并单元图

图  2  信道的递归合并图

信道的分裂过程本质上是连续抵消 (successive cancellation, SC) 译码过程。它是将合并后的信道W_N分裂成N个二进制输入的虚拟信道，即极化后的信道。

信道经过信道合并和信道分裂两种方式完成极化后，理论上可证明，当码长N趋于无穷或者极大时，虚拟信道的容量会趋于 (1-δ, 1) 或者[0, δ]，其中δ∈(0, 1) 是一个较小的数，并随着码长趋于无穷而趋于0，即极化后的虚拟信道在随着码长趋于无限时，N个虚拟信道中有一部分会变成容量趋于0的纯噪声信道，另一部分变成容量趋于1的无噪声信道。因此只要将需要传输的数据加载于无噪声信道，而纯噪声信道传输已知信号，就可以实现无误差传输。而且理论上还证明，此时信道的传输容量刚好等于香农编码定理给出的信道容量。

由于极化码的构造是基于每个码元的出错概率进行的，因此，本文重点研究在采用高阶调制后，码元 (比特) 的出错概率情况。

高阶格雷码映射可以通过低阶格雷码镜像映射的方式实现^[14]，如图 3所示，M=2^k阶格雷码通过M/2格雷码镜像反射获取另一半，然后再在上下两段的左端分别增加0和1组成M阶格雷码。其符号和二进制表达式${\boldsymbol{b}^k} = \{ {b_k}{b_{k - 1}} \cdots {b_1}\} $的关系可表示为^[15]：

图  3  格雷码映射构造法

格雷码调制后的未归一化的幅度可以表示为：

一般情况下，在信道信噪比较高时，高阶PAM调制中的某个比特与该比特距离最近并且取值相反的星座点之间的距离 (即最小欧氏距离) 决定了该比特的出错概率^[16]。其中，D_{m, i}为第i比特对应的最小符号距离，将2D_{m, i}-1看作为幅度，称为第i比特等效幅度，用A_{e, i}表示。下面分析PAM调制下比特等效幅度。

对于PAM调制的第i比特b_i等效幅度通常情况下会随着${\boldsymbol{b}^{i - 1}} = \{ {b_{i - 1}}{b_{i - 2}} \cdots {b_1}\} $的取值不同而不同，如图 3中的8-PAM，当b₁=0时，如$S(000) = 0$，$S(011) = 2$，D_m=2，b₂的等效幅度A_{e, 2}=3，而当b₁=1时，如S(001)=0，S(011)=2，D_m=1，则A_{e, 2}=1。同时看到，给定b₁时，b₂的等效幅度是固定不变的。更一般地，本文有如下命题。

命题 1  第i个比特的等效幅度只与前 (i-1) 个比特的取值有关，而与之后的 (k-1) 个比特的取值无关，其等效幅度${A_{e,i}} = {2^i} - 2S({b^{i - 1}}) - 1$，且共有2^i-1种不同的等效幅度。

证明：根据文献[16]的结论：对于星座图中比特b_i=0的符号$S({\boldsymbol{b}^k})$，与之最近的且c_i=1的符号$S({\boldsymbol{c}^k})$的二进制表达式${\boldsymbol{c}^k} = \{ {c_k}{c_{k - 1}} \cdots {c_1}\} $与b^k的关系式可表示成：

式中，${\bar b_i}$满足${\bar b_i} \oplus {b_i} = 1$。那么两个符号的最小符号距离可以表示为：

另外，从式 (4) 可以看出，由于b^k和c^k中后k-i个比特相同，根据反射构造法可知：

由于存在一个${\boldsymbol{\bar c}^i}$满足${\boldsymbol{\bar c}^i} = \{ {\bar c_i}10 \cdots 0\} = $$\{ {b_i}10 \cdots 0\} $，进一步地，因为${\boldsymbol{\bar c}^i}$与${\boldsymbol{c}^i}$相邻且与bⁱ相距更近，因此式 (5) 可以改写为：

最后去掉相同的b_i，得到：

由于${\boldsymbol{\bar c}^{i - 1}} = {\boldsymbol{c}^{i - 1}} = \{ 10 \cdots 0\} $，因此${\boldsymbol{\bar c}^{i - 1}}$是一个固定序列，且依据式 (1) 可得$S({\boldsymbol{\bar c}^{i - 1}}) = {2^{i - 1}} - 1$，带入式 (7)，最终可得：

因为S(b^i-1) 依据不同的b^i-1有不同的取值，因而A_{e, i}存在2^i-1个不同的取值。得证。

由命题1可见，如果给定S(b^i-1)，则bⁱ就有一个固定的等效幅度。因此，可以采用分层编码^[17]方式，依次按照i取值从小到大进行编译码。但是，如果直接进行信道划分，则每个等效幅度都需要一对极化码编译码器，因而随着i的增大，所需的编译码器数呈指数增长。为了简少编译码器数，本文首先依据命题1得出如下两个推论。

推论 1  当且仅当b^i-1时，A_{e, i}取最小值，且A_{e, i}=1。

证明：将${b^{i - 1}} = {c^{i - 1}} = {2^{i - 1}} - 1$带入式 (8)，可得A_{e, i}=1，又从式 (8) 可看出，${D_{m,i}} \ge 1$，因而A_{e, i}最小等于1。另一方面，如果A_{e, i}=1，则D_{m, i}=1，由式 (8) 可知，$S({\boldsymbol{b}^{i - 1}}) - S({\boldsymbol{c}^{i - 1}}) = 0$，因此b^i-1=c^i-1。得证。

推论 2  在所有可能的bk中，有且仅有${\boldsymbol{b}^k} = \{ 00 \cdots 0\} $和${\boldsymbol{b}^k} = \{ 10 \cdots 0\} $对应的符号除了b₁的等效幅度为1，其他比特的等效幅度都至少为3，而符号中除了比特b₁等效幅度为1之外还存在一个比特的等效幅度为1，其余比特的等效幅度都至少为3。

证明：很显然，对于任意b^k，总是存在A_{e, i}=1。当${\boldsymbol{b}^k} = \{ 00 \cdots 0\} $和$ \{ 10 \cdots 0\} $时，对于任何$k \ge i > 1$，${\boldsymbol{b}^{i - 1}} \ne {c^{i - 1}}$，根据推论1，可得A_{e, i} > 1，而当b^i-1和c^i-1相邻时，A_{e, i}取次最小3。而对于其他任何b^k，总是可以找到一个且仅有一个b^i-1=c^i-1(即第一个出现1的b^i-1)，i > 1，满足b^i-1=c^i-1，此时，A_{e, i}=1，其余情况，A_{e, i}≥3。得证。

此外，对于通常的AWGN信道，等效幅度为1和等效幅度为3的等效信噪比为 (d)²/N₀和 (3d)²/N₀，其中d为功率归一化因子，N₀为AWGN信道的功率谱密度。不难看出，它们信噪比相差约9.54 dB，如此大的信噪比差异下，编码方案的重点将在最小等效幅度的比特上，而对于有更大等效幅度的比特，则不采用编码，这样能有效减少编译码器的数量。具体地，依据推论2，如果把${\boldsymbol{b}^k} = \{ 00 \cdots 0\} $和${\boldsymbol{b}^k} = \{ 10 \cdots 0\} $中的第k个比特b_k的等效幅度也看成1，则这两个序列也满足了有且仅有两个等效幅度为1的比特。这样，每k个比特送入调制器时，只有两个比特是经过编码的码元，其余k-2个比特都是直接来自于未编码比特，而编码比特的位置可以根据推论1得到，即b₁和比特序列中第一次出现“1”的后一位比特。(对于${\boldsymbol{b}^k} = \{ 00 \cdots 0\} $和${\boldsymbol{b}^k} = \{ 10 \cdots 0\} $情况，则选第k个比特b_k)。

利用以上规律，将调制前每k个比特等效成k个平行信道，每个平行信道传输N个比特 (或码元)，该k个平行信道中有两个比特来自于极化编码器，它们的码率R都是依据最小等效幅度进行密度进化后得到的，其余k-2个比特则直接来自于信源，因此，传输效率为 (k-2)+2R。在编码和调制器之间放置一个位置变换器，使得k个平行信道的k个比特始终满足最差等效幅度的两个比特来自于极化编码器。图 4为本文方法的调制过程示意图，由图 4可见，第一个比特全部来自极化编码器1(该编码器生成码字记作C₁)，接下来通过位置变换器来实现位置交换，当编码器1和数据1到数据k-2输出的比特按照图 4从上至下第一次出现“1”时，下一个比特插入来自极化编码器2的比特 (如果到第k-1个比特还没有出现“1”，则第k个比特来自极化编码器2，该编码器生成的码字记作C₂)，经过调整位置的k个比特送入格雷映射的M-PAM调制器进行正常地调制，然后送入信道。接收端过程则相反，不再给出图示。首先对接收到的信号进行M-PAM软解调，解出所有的k个信道的N个比特的似然值^[16]；然后将N个来自于第一个信道的似然值送入第一个译码器 (针对C₁)，将译码结果利用反编码恢复出对应码元，但译码可能存在差错，因此恢复出的码元也可能不正确，这将会产生最终的接收出错，不过这种错误可以通过合理的设计来降低发生几率。位置变换器的工作过程跟发射端一致，将第一次出现“1”之前的所有比特，包括当前比特，全部输出硬判决值，并将下一个比特软判决值送入第二个译码器 (同样，如果前k-1个比特为全零，则将第k个比特的软判决值送入第二译码器)，这样第二个译码器总共会获得N个软判决值，利用该软判决值，进行译码，最后，再将还剩下的软判决值硬判，最终恢复出所有的信息比特。

图  4  调制过程示意图

在仿真中，本文采用常用的格雷码映射64-QAM调制 (相当于两个8-PAM调制)，其归一化参数d=1，所以最小等效幅度为1，对应的信噪比为1/N₀。对于本文方案选择码长分别为N=64和N=256的两种极化码，对于每种码长下，本文方案中的两个极化码C₁和C₂的码率分别选择为0.45、0.55 (这里考虑到C₂的译码是建立在C₁译码的基础上，因此牺牲了一些码率来提高C₁译码性能，以此保证C₂有较好的译码性能，但这两个码字所需的密度进化过程相同)，即平均吞吐量均为4 bit/符号，然后利用这些参数参照文献[5]的方法进行极化码的构造，并用推荐的方法进行极化编码和调制。

图 5给出了这两种码的误码率性能，图中分别记作“N=64非理想”和“N=256非理想”，并且这两种码的性能分别与图中不做优化的方案“N=256无优化”和“N=1 024无优化”作对比 (无优化的方案中的极化码是在同等条件下，按照BPSK调制构造得到)。不难发现无优化方案的码长为本文方案的4倍，这是由于本文方案在8PAM (对应64QAM) 调制下，总共传输的长度为3N，然而由于极化码的码长是基于2的指数次方，因此无优化的方案只能选择最为接近但不小于3N的码长，即4N。从图 5可看出，在误码率都保持在10^-4时，本文方法分别有1.1 dB和1.5 dB的性能增益。另外，为了对比接收端低比特的可靠性对高比特信道选择产生的影响，在图 5中，给出了两种码长下接收端完美已知C₁(图中分别用“N=64理想”和“N=256理想”表示) 的接收结果和实际接收结果 (即非理想的结果) 的性能对比。从图 4中不难看出，理想情况与非理想情况的性能差异均不超过0.3 dB，本文方案中的逐层译码的性能并没有出现严重恶化。

图  5  64QAM调制下极化编码的性能仿真图

本文首先对一种基于格雷映射的M-PAM/M-QAM调制的星座图进行了特点分析，根据所描述的特点提出了将高阶调制符号分解成多个平行的二进制输入子信道的结论。由于这些平行的子信道具有固定噪声功率，相当于M-PAM/M-QAM调制极化码的构造问题已经简化为常规且容易实现的二进制输入信道的极化码构造问题，回避了M-PAM/M-QAM调制下码元噪声功率的不确定性所产生的问题，从而在M-PAM/M-QAM调制下实现了极化码的构造。仿真结果显示该方法可以明显地提升性能。