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精密离心机是惯性导航系统加速度计的标定设备，其作用是对标定加速度计产生给定的向心加速度[1-2]。离心机回转部件采用气体静压轴承支撑和润滑，气体轴承具有精度高、摩擦小、耐高温、寿命长、无污染等优点，但在轴承-转子耦合作用下主轴回转误差对标定精度具有直接影响[3-4]。
离心机主轴回转误差的本质是由于制造误差、材料不均匀、结构不对称等因素造成转子质量偏心，因而在转子转动过程中存在周期性惯性力，在气膜力耦合作用下，转子轴线发生移动和倾斜，主轴以一定的姿态回转。传统研究中，采用4个线性刚度及阻尼来描述气膜力作用[5]，而在实际工况中气膜力是一个典型的非线性力，因而无法建立气膜力与偏心力、偏心力矩的耦合作用。
本文采用计算流体动力学 (computational fluid dynamics, CFD) 方法，对10-6精密离心机主轴的气体轴承流场进行数值计算，获得气膜力与偏心量、供气压力的非线性关系。并建立轴承-转子回转动力学模型，在此基础上计算轴承-转子耦合作用下主轴回转误差。
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离心机由转盘、气浮主轴、定位平台、气体轴承以及基座组成，如图 1所示。基座用于支撑和调平，气浮主轴用于支撑润滑及误差控制，转盘及定位平台用于惯性仪表安装。气体轴承分为径向轴承及止推轴承，如图 2所示。径向轴承采用4排供气，每排节流孔16个，参数见表 1。止推轴承由内、外圈节流孔组成，每圈节流孔数为16个，参数如表 2所示。
图 1 精密离心机结构示意
图 2 气体轴承结构
表 1 离心机气体轴承结构参数值
类别 符号 数值/mm 轴承直径 D 300 轴承长度 L 300 偏心距 e - 孔边距1 H1 30 孔边距2 H2 115 孔边距3 H3 185 孔边距4 H4 260 节流孔直径 d 0.2 表 2 止推气体轴承结构参数值
类别 符号 数值/mm 外圈直径 D 650 内圈半径 R1 150 第一圈节流孔位置 R2 140 第二圈节流孔位置 R3 285 节流孔直径 d 0.2 -
目前对气体轴承流场的研究中，采用线性刚度不能准确刻画轴承动态特性；采用雷诺方程与转子动力学方程编程耦合求解，可以完整描述轴承-转子耦合过程的非线性行为，但轴承-转子系统过于庞大时应用此方法的难度很大[6]；而采用CFD中的动网格技术描述转子行为实现轴承-转子耦合，由于气体轴承的跨尺度特征，网格长宽比很大，网格再生易出现畸形和负体网格[7]。为此，本文采用准动态气体轴承-转子耦合分析方法[8-9]，即采用拟合方法获得承载力与偏心率、供气压力的非线性表达式，并耦合转子动力学方程计算轴承-转子耦合作用的动力学特性。
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本文研究的精密离心机最大转速为300 rpm，在此低转速下，旋转引起的动压效应可以忽略。因而径向轴承的承载力和刚度取决于供气压力、气膜偏心量和偏位角。由于径向轴承的对称性，偏位角对承载力的影响可以通过偏位角0°和11.25°两处状态相差最大来考虑。事实上在小偏心处，偏位角对承载力基本没有影响，图 3给出了大偏心距下二者承载力的对比。在同一工况下偏位角11.25°承载力大于偏位角0°，随着偏心距及供气压力的增大，二者差异越明显，但在小偏心情况下二者承载力基本相同。
图 3 大偏心距下姿态角0°及11.25°下承载力对比
由于径向轴承的对称性，设偏心发生在x方向，分别为0、0.5、…、5 μm，供气压力为0.4、0.45、…、0.6 MPa。x方向气膜力为主气膜力，用fx表示。计算得到fx随供气压力、气膜偏心量的变化如图 4所示。可以看出，轴承承载力随供气压力基本呈线性变化，这种线性关系在偏心距离很小时尤其明显，但随偏心距增加承载力对供气压力的变化趋于敏感，承载力具有非线性特征。
图 4 主气膜力随偏心量、供气压力变化关系
结合主气膜力分布特点可知，主气膜力随偏心量、供气压力呈多项式变化规律，同时为了方便获得刚度，采用多项式拟合得到主气膜力的表达式为：
$$ \begin{matrix} {{f}_{x}}(\Delta e, p)=a+b\Delta e+cp+d{{h}^{2}}+e\Delta ep+f{{p}^{2}}+ \\ g\Delta {{e}^{3}}+h\Delta {{e}^{2}}p+i\Delta e{{p}^{2}}+j{{p}^{3}} \\ \end{matrix} $$ (1) 式中，fx为主气膜力；Δe为偏心量；p为供气压力；a~j为主气膜力系数。计算得到各系数值如表 3所示。
表 3 主气膜力系数
系数 值 a 5 107 b 2 124 c 1 004 d -157.2 e 941.7 f -45.56 g 215.6 h 38.66 i 19.86 j 80.78 根据式 (1)，在合适范围内给定任意偏心、供气压力即可得到该偏心量和供气压力下的主气膜力，给定一系列偏心量和供气压力，求得对应气膜力，绘制三维曲面如图 4所示。曲面 (拟合结果) 和离散圆点 (流场仿真结果) 之间的误差如图 5所示。可以看出在大偏心、强供气压力下拟合误差在6%以内，其他工况下拟合误差均小于3%。
图 5 主气膜力仿真结果与拟合误差
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止推轴承负责离心机的重量承载，其承载力只在轴向起作用。设轴向方向偏心量为6、8、10、12、15、20、30 um，供气压力为0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 MPa，计算获得轴向承载力随供气压力、偏心量的关系如图 6所示。可以看出，在同一气膜厚度下承载力随供气压力基本呈线性变化。气膜厚度越薄，承载力变化斜率越大，即气膜越薄，承载力对供气压力的变化越敏感。在同一供气压力下，承载力随气膜厚度增加而减小，二者之间具有非线性关系。采用多项式拟合得到轴向承载力的表达式为：
$$ \begin{matrix} \text{ }f(\Delta z, p)={{p}_{00}}+{{p}_{10}}\Delta z+{{p}_{01}}p+ \\ {{p}_{20}}\Delta {{z}^{2}}+{{p}_{11}}\Delta zp+{{p}_{02}}{{p}^{2}}+ \\ {{p}_{30}}\Delta {{z}^{3}}+{{p}_{21}}\Delta {{z}^{2}}p+{{p}_{12}}\Delta z{{p}^{2}}+ \\ {{p}_{03}}{{p}^{3}}+\text{ }{{p}_{40}}\Delta {{z}^{4}}+{{p}_{31}}\Delta {{z}^{3}}p+ \\ {{p}_{22}}\Delta {{z}^{2}}{{p}^{2}}+{{p}_{13}}\Delta z{{p}^{3}} \\ \end{matrix} $$ (2) 式中，f(Δz，p) 为轴向气膜力；Δz为轴向偏心量；p为供气压力。p00~p40为轴向气膜力系数，计算得到各系数值如表 4所示。根据式 (2)，给定一系列偏心量和供气压力，求得对应轴向气膜力，可绘制三维曲面如图 6所示，最大拟合误差不超过3%。
表 4 轴向气膜力系数
系数 值 p00 -115.1 p10 19.28 p01 543.5 p20 -1.561 p11 -6.587 p02 -557.3 p30 0.068 p21 -0.336 p12 -0.527 p03 494.2 p40 -0.001 p31 0.004 0 p22 0.281 4 p13 -3.823 p04 -148.8 
图 6 轴向气膜力随偏心量、供气压力变化关系
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采用有限元法对转子进行单元划分，形成刚度矩阵和质量矩阵。沿轴线把该转子系统划分为轴段和轴承单元，各单元在节点处联结，图 7给出了轴承-转子模型示意图。
图 7 轴承-转子动力学模型示意图
基于有限元模型，采用Timoshenko梁模型假设，得到系统动力学方程为：
$$ \begin{align} & \left[\mathit{\boldsymbol{M}} \right]\left\{ {\mathit{\boldsymbol{\ddot{Z}}}} \right\}+(\left[\mathit{\boldsymbol{C}} \right]-\left[\mathit{\boldsymbol{J}} \right]\Omega )\left\{ {\mathit{\boldsymbol{\dot{Z}}}} \right\}+\left[\mathit{\boldsymbol{K}} \right]\left\{ \mathit{\boldsymbol{Z}} \right\}= \\ & \left\{ G \right\}+\left\{ Q(t) \right\}+\left\{ {{f}_{1}}(\Delta e, p) \right\}+\left\{ {{f}_{2}}(\Delta z, p) \right\} \\ \end{align} $$ (3) 式中，[M]、[C]、[K]分别为系统的质量、阻尼、刚度矩阵；[J]Ω为转子的陀螺力矩效应；[Z]为节点位移向量；{G}，{Q(t)}分别为重力和不平衡力项；f1(Δe，p)，f2(Δz，p) 分别为径向气膜力及轴向气膜力，其偏心量为1、2所在节点的径向位移和3所在节点的轴向位移。对于气体轴承阻尼主要来源于静压轴承的挤压效应，根据文献[10]，挤压阻尼可表示为：
$$ \left\{ \begin{align} &C=\frac{LD{{P}_{a}}}{2w{{h}_{0}}}\left( \frac{6\pi }{{{(1-{{\varepsilon }^{2}})}^{1.5}}}\left( \frac{\Lambda }{w} \right){{w}^{*}}-\frac{6\pi }{(2+{{\varepsilon }^{2}}){{(1-{{\varepsilon }^{2}})}^{0.5}}}\left( \frac{\Lambda }{w} \right){{w}^{*}} \right) \\ &\Lambda =\frac{\mu w}{{{p}_{a}}}{{\left( \frac{a}{{{h}_{0}}} \right)}^{2}} \\ \end{align} \right. $$ (4) 式中，Λ是轴承压缩数；w为转子转速；w*是轴的涡动速度；ε为偏心率；μ为空气动力粘度；Pa为轴承环境压力；h0为气膜平均间隙。在转子涡动过程中涡动速度与转速之间存在关系：
$$ {{w}^{*}}=kw $$ 式中，k*为转子涡动状态相关的系数，当k*=1时为同频涡动，k*=1/2时为半速涡动。因而阻尼C可以写成C=C(k*, w)，图 8给出了阻尼与涡动常数k*、转速的关系。可以看出在涡动常数k*≤1时，阻尼与供气压力呈线性关系，但当阻尼比增大时二者之间具有非线性关系。
图 8 挤压阻尼随供气压力、涡动常数变化规律
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考虑实际转子的不平衡量变化范围，保持不平衡量发生的位置和相位不变，同时保持响应输出位置即转盘中心、上下径向轴承进行数值仿真，分析轴承-转子径向回转误差。在0~5 s内转速增加到300 r/m，计算不同平衡量下上下轴承以及转盘处的运动轨迹如图 9所示。
图 9 回转误差仿真结果
由图 9可以看出各处的轨迹为圆形。轴承-转子系统回转误差最大位置发生在转盘处，这是因为偏心量主要由转盘不平衡量引起。同时可以看到转子回转误差随不平衡量呈近似线性变化，但是气体轴承承载模型是一个非线性量，这主要是因为在实际工况中，离心机工作转速较低，且其不平衡量经过校对，因而在小偏心时其气膜力模型近似呈线性变化。由图 10可以看出在不平衡量为3 kg×m时转子回转误差为0.7mm，而不平衡量为0.5 kg×m时回转误差仅为0.17mm。这说明精密离心机在低速运转时不平衡量带来的回转误差很小，可以满足加速度标定的精度要求。
图 10 转子径向回转误差随不平衡量的变化规律
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本文建立了精密离心机气体静压轴承气膜承载力模型并将其与转子耦合进行了回转误差研究。主要结论如下：
1) 采用Fluent软件对气体轴承流场进行数值计算，根据计算结果建立了气膜力随供气压力、偏心量变化的非线性模型。
2) 根据止推轴承流场计算结果得到了轴向承载力模型。同一气膜厚度下，承载力大小随供气压力基本呈现线性变化，且气膜厚度越薄，承载力变化斜率越大，即承载力对供气压力越敏感。在同一供气压力下，承载力随气膜厚度增加而减小，二者具有非线性关系。
3) 建立了轴承-转子的动力学模型，并计算了气膜力以及不平衡力耦合作用转子的回转轨迹。在低速、小偏心状态下，通过分析可以看出，由于气体静压轴承刚度较大，在精密离心机工作范围内引起的径向回转误差都在微米级，从而保证了主轴的回转精度。
Rotation Error Calculation of the Spindle of Precision Centrifuge Under the Coupling Effect of Aerostatic Bearing-Rotor System
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摘要: 针对精密离心机气体轴承-转子耦合系统，采用计算流体动力学方法计算径向、止推轴承的承载力；通过拟合方法获得考虑偏心和供气压力的气体轴承的承载能力非线性模型，并基于有限元法建立轴承-转子耦合作用下的动力学模型，对重力、不平衡量、非线性气膜力作用下的转子动力学进行耦合计算，得到不同偏心量下转子回转误差轨迹图。结果表明在不平衡量为3 kg·m时转子回转误差最大为1.03 μm，误差在μm级，满足10-6精密离心机的回转误差要求。Abstract: For aerostatic bearing-rotor coupling system of precision centrifuge, the method of computational fluid dynamics is used to calculate flow field with variation of eccentricity and the supply pressure. The bearing load capacity related to eccentricity and the supply pressure is derived by a nonlinear fitting function. The dynamic characteristic of bearing-rotor system is built based on the finite element method and the response under the influences of gravity and unbalanced force and nonlinear gas film force is calculated. The calculated results show that the rotation error can meet the design requirements of 10-6 precision centrifuge.
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Key words:
- aerostatic bearing /
- coupling /
- precision centrifuge /
- rotation error
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表 1 离心机气体轴承结构参数值
类别 符号 数值/mm 轴承直径 D 300 轴承长度 L 300 偏心距 e - 孔边距1 H1 30 孔边距2 H2 115 孔边距3 H3 185 孔边距4 H4 260 节流孔直径 d 0.2 
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表 2 止推气体轴承结构参数值
类别 符号 数值/mm 外圈直径 D 650 内圈半径 R1 150 第一圈节流孔位置 R2 140 第二圈节流孔位置 R3 285 节流孔直径 d 0.2
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表 3 主气膜力系数
系数 值 a 5 107 b 2 124 c 1 004 d -157.2 e 941.7 f -45.56 g 215.6 h 38.66 i 19.86 j 80.78
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表 4 轴向气膜力系数
系数 值 p00 -115.1 p10 19.28 p01 543.5 p20 -1.561 p11 -6.587 p02 -557.3 p30 0.068 p21 -0.336 p12 -0.527 p03 494.2 p40 -0.001 p31 0.004 0 p22 0.281 4 p13 -3.823 p04 -148.8
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图(10) / 表(4)
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