AMRFC方案将多功能共享的相控阵天线划分为多个独立子孔径，每个子孔径能够单独工作在不同状态^[1]。孔径的组合方式非常灵活，比如按照1个子孔径、两个子孔径和1个象限合成一个天线阵列，甚至可以将整个孔径合成同一个天线阵列。假设每个子孔径能根据需求执行不同的任务类型，包括搜索、跟踪、成像和通信等，而每个任务类型需要的子孔径数量不同。文献[12]提出的天线孔径共享方法按照孔径面积百分比的方法动态分配天线资源，即每个子孔径无论是否相邻都可以直接组合起来执行任务，类似于计算机分布处理条件下的进程管理问题^[13]。然而，考虑到天线间距的影响，相距不同的阵元、子孔径不分区别的组合执行同一功能，很可能对系统增益、天线方向图等参数性能产生较大的影响。以线阵天线为例，假设阵列由K个天线阵元组成，阵元间距为d，第m个阵元的激励幅度为$\{ {a_m}\} $，并设天线阵元间距相同，都为半波长$\lambda /2$，波达方向为阵列法向，则阵列的辐射方向图可表示为：

若将阵列等分为M个子孔径，每个阵列阵元数量为K/M，并组成线性组合$S = \left\{ {{s_0},{s_1}, \cdots ,{s_{M - 1}}} \right\}$，若1个或多个相邻的子孔径合成若干天线方向图，如图 1a所示，此时M=4，4个子孔径分别形成的两个天线阵列方向图${E_0}(\theta )$和${E_1}(\theta )$可以表示为：

图  1  天线阵列孔径动态分割示意图

一旦整个阵列对各个功能进行交错设计，即每个子阵列任意合成天线，如图 1b所示，则此时形成的两个天线方向图${E'_0}(\theta )$和${E'_1}(\theta )$可表示为：

上式与式存在差别，按照式(3) 得到的各个天线的方向图不一定满足辐射要求。因此，本文假设只有相邻的天线子孔径能够直接组合起来执行同一任务；且随着时间t的变化，相邻的子孔径可以重新组合，从而执行新的任务。

如果将多功能天线的孔径和时间都视为资源的话，则在这两个维度上都存在资源管理和分配问题。二维资源调度的一个典型应用是矩形件排样问题^[14]，该问题可描述为：给定一组矩形件的尺寸，在一个宽度、高度有限的矩形板材上不重叠地、尽量多地排入这些矩形件，使得板材利用率达到最高。在求解该问题时一种经典的方法是最低水平线方法^[15]。“最低水平线”是指在矩形板材上水平方向上最低处的高度线，以此为下一个矩形件的排样位置。与之类似，天线孔径动态分割下的雷达一体化系统中任务到达是按照时间先后进行的，可以定义一个以时间为中心的任务预执行矩阵作为任务排入的依据，且随着任务的更新而更新。需要注意的是，天线任务一般都有时间要求，即有“生存期”，若到达一定的截止时间，任务仍未执行，则该任务就“死亡”，不能再加入队列。

对于这类问题，最直接、最简单的处理方法是将到达的任务随机安置到天线孔径中，如果当前位置恰好没有任务，则顺利执行；如果当前孔径有任务正在执行，则将该任务推迟执行。本文将这种方法视为“随机孔径”策略。

为便于计算机自动处理，在进行算法设计前先进行如下定义，也即算法的数据结构：

1) 资源矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}$。将时间t离散化为${N_T}$个“时间片”，天线孔径由M个子孔径组成，并生成二维时间-孔径资源矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}$，其中${r_{{N_i},m}} = \{ 0,1\} \in {\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}$表示矩阵元素被占用情况。

2) 任务向量${\mathit{\boldsymbol{A}}_k} = \left\{ {{N_{ak}},{W_k},{\omega _k},{L_k}} \right\}$，${N_{ak}}$表示任务到来的时刻，${W_k}$表示执行时间长度，${\omega _k}$为任务生存期，${L_k}$为占用孔径资源的大小；其中${\omega _k}$表示任务${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$的最晚执行延迟时间，即到${N_{ak}} + {\omega _k}$时刻任务${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$还没有执行则该任务失效。

3) 任务预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$，表示当前任务可供利用的时间、孔径资源矩阵，由${M_1}$(${M_1} ＜ M$)个矢量${\mathit{\boldsymbol{B}}_k} = \left\{ {{N_{pk}},{s_k},{\eta _k}} \right\}$组成，其中${N_{pk}}$表示可供执行任务的时刻，${s_k}$表示可供执行的孔径起始位置，${\eta _k}$为剩余的孔径资源。

4) 任务执行向量${\mathit{\boldsymbol{E}}_q}$，描述了任务的实际执行时间、孔径位置特性，${\mathit{\boldsymbol{E}}_q} = \{ {N_{eq}},{s_q},{n_q}\} $，其中${N_{eq}}$表示任务的实际执行时间，${s_q}$表示任务实际执行的孔径位置，${n_q}$表示${\mathit{\boldsymbol{E}}_q}$的任务序号。

2.1节中定义的预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$包括时间、孔径位置等内容，实际上是描述了现有的空闲时间-孔径资源，其数值应当伴随着任务的增加不断更新。更新过程可简化为“增”“改”“删”“重排”4个步骤，现整理如下：

1) 元素增加。沿着时间增加的方向$N \to {N_T}$，根据对应的孔径占用情况，找到第一个未占用的子孔径，记录此时的时间${N_0}$和可用孔径的起始位置${s_0}$，沿着孔径方向向下找到被占用的孔径位置${s'_0}$，计算可用的孔径大小${\eta _0} = {s'_0} - {s_0}$，则记录${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中第一个元素${b_0}{\rm{ = }}\{ {N_0},{s_0},{\eta _0}\} $；

2) 元素修改。随着时间N的增长，按照步骤1) 增加新元素${b_i}{\rm{ = }}\{ {N_i},{s_i},{\eta _i}\} $，如图 2中的b₁~b₄，其中，某一时间${N_i}$可能出现多个可用子孔径，即同一时刻、子孔径初始位置不同，如此时${b_i}{\rm{ = }}\{ {N_i},{s_i},{\eta _i}\} $，${b_{i + 1}}{\rm{ = }}\left\{ {{N_{i + 1}}{\rm{ = }}{N_i},{s_{i + 1}},{\eta _{i + 1}}} \right\}$(其中${s_{i + 1}} > {s_i}$)；

图  2  预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$元素删除示意图

3) 元素删除。时间非连续占用引起的预执行矩阵“遮挡效应”，使得${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中部分元素失效，需要在更新时删除。如图 2所示，新任务${A'_k}$的到来与现有预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中存在时间空隙，按照步骤1)，${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中新增2个元素${b_5}{\rm{ = }}\{ {N_5},{s_5},{\eta _5}\} $和${b_6}{\rm{ = }}\left\{ {{N_6},{s_6},{\eta _6}} \right\}$，然而${b_5}$对${b_2}$、${b_4}$造成了遮挡，${b_2}$、${b_4}$表示的位置无法放入新到任务；预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中删除${b_2}$、${b_4}$，即此时${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$只包括${b_1}$、${b_3}$、${b_5}$、${b_6}$。判断是否存在遮挡的规则是：对于新元素${b_i}{\rm{ = }}\left\{ {{N_i},{s_i},{\eta _i}} \right\}$，当${s_i} \ne 0$时，需要判断$\forall j ＜ i$，是否存在${b_j}{\rm{ = }}\left\{ {{N_j},{s_j},{\eta _j}} \right\}$且${N_j} \le {N_i},{s_j} \le {s_i}$；如果存在，则对应${b_j}$删除，且整个矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$重新排列。

4) 元素重排。矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$的最后一个元素修正为${B_{{M_1}}} = \left\{ {{N_T},{s_0},M} \right\}$。

在以上内容基础上，本文算法表述如下：

1) 初始化资源。将时间划分为${N_T}$个时间片，孔径大小为M，建立二维时间-孔径的资源矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}$，初始化资源矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}{\rm{ = }}{\mathit{\boldsymbol{0}}_{{N_T} \times M}}$。

2) 初始化任务。将时间节点$k$需要执行的任务生成任务请求向量${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$，令k=0，q=0。

3) 按照第2.2节方法生成预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$。

4) 在预执行矩阵${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$基础上，判断当前任务${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$是否可执行，并在执行后更新${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$：

① 若${N_{ak}} \ge {N_{M - 1}}$，即${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$在${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$的时间右侧(较${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$晚)，也即将${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$与${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$比较，仅小于最后一个元素${B_{{M_1}}}$，即${N_{ak}} > {N_i}(0 ＜ i ＜ {M_1} - 1)$，此时任务执行，且${\mathit{\boldsymbol{E}}_q} = \left\{ {{N_{ak}},{s_k},{n_q}} \right\}$；

② 若${N_{ak}} > {N_0}$，即${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$在${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$的时间左侧(较${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$早)，则将${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$与${b_0}$对应项比较，若${L_k} \le {\eta _0}$，则任务执行，且${\mathit{\boldsymbol{E}}_q} = \left\{ {{N_{ak}},{s_k},{n_q}} \right\}$；若${L_k} > {\eta _0}$，将${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$与${b_1}$对应项${L_k}$和${\eta _1}$重新比较，直到找到执行的时间，且得到${\mathit{\boldsymbol{E}}_q}$；

③ 若${N_j}＜{N_{ak}} ＜ {N_{j + d}}$，其中$0＜j＜{M_1},d \ge 1$，即${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$落在${\mathit{\boldsymbol{B}}_k}$中第j个元素时间右侧、第j+d个元素时间左侧，则将${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$与${b_j}$对应项${L_k}$和${\eta _j}$比较，若${L_k} \le {\eta _j}$，则任务执行，且${\mathit{\boldsymbol{E}}_q} = \left\{ {{N_{ak}},{s_k},{n_q}} \right\}$；若${L_k} > {\eta _j}$，将${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$与${b_{j + d}}$对应项${L_k}$和${\eta _{j + d}}$比较，直到找到执行的点，且记录${\mathit{\boldsymbol{E}}_q}$；

④ 如在步骤②、步骤③ 中出现执行时间${N_k} > {N_{ak}} + {W_k}$，即执行任务的时间超出了预执行矩阵的最大时间窗，则任务${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$执行失败；其他情况下q=q+1。

5) k=k+1。若$k = {M_1} - 1$，则所有任务结束，转向步骤6)；否则转向步骤3)。

6) 输出实际执行任务矩阵${\mathit{\boldsymbol{E}}_q}$。

上述过程的流程图如图 3所示。

图  3  调度算法执行流程图

为了更好地评价算法执行情况，需要定义部分参数与指标。其中一类表示与仿真环境有关的参数，另一类为算法的评价指标。仿真参数主要包括“任务密度”和“任务平均生存期”。

1) 任务密度。描述单位时间到来的任务对系统资源的占用情况，用$\lambda $表示为：

即用所有到来任务的占用资源(时间和孔径的乘机)除以总的时间孔径资源。显然，任务密度$\lambda $越大，系统资源占用率越高，则系统处理的难度越大，越对任务调度算法的效率有要求。

2) 任务平均生存期。算法除了受到任务到达密度$\lambda $的影响，任务种类和任务生存期也能对执行结果造成影响(任务种类在仿真实验时设置)。理论上$\bar \omega $越大，系统可执行的任务越多。$\bar \omega $为：

定义以下两个评价指标：

1) 任务丢失率。表示未能执行的任务数在总任务数中所占的比例，反映了任务调度算法的执行效率，是多任务资源调度系统的重要指标。借鉴文献[11]的定义，执行失败的任务数与所有到来任务数的比值，即${N_2}/(N - 1)$。显然在有限的时间资源下，任务密度对任务丢失率的取值有很大影响。一般来说，任务密度越大，任务执行失败的可能性越大，任务丢失率越高。

2) 资源利用率。在常规雷达资源调度算法定义的时间利用率基础上，定义综合资源利用率，即在任务执行阶段对系统时间、孔径资源总的占用情况为$\sum\limits_{k = 1}^{{N_2}} {{w_k}{L_k}/({N_T}M)} $。

按照第2节的模型建立要求，首先需要设置天线的资源矩阵${\mathit{\boldsymbol{R}}_{{N_T} \times M}}$和任务向量${\mathit{\boldsymbol{A}}_k}$。仿真采用线性阵列，子孔径数M=8，任务最小执行间隔为1 ms，调度时间为$T$=600 ms，调度的“时间片段”数${N_T} = 600$。考虑到多功能相控阵天线执行任务类型的不同，需要对不同任务进行定义。将一体化电子系统的任务划分为雷达搜索A、雷达跟踪B、雷达成像C、语音通信D、数据通信E等5种类型(Kind)，定义其执行时间长度${W_k}$、任务生存期${\omega _k}$和占用孔径资源大小${L_k}$等3种属性及对应数值如表 1所示。这些任务属性、数值借鉴参考文献[12, 16]给定的指标。考虑到本文主要处理的是任务调度算法，这些指标的具体数值不影响本文的基本结论。

另设实际执行的任务序列为随机到达的，在${N_T} = 600$个时间片内，总任务数600，A、B、C、D、E这5类任务的比例为10:5:1:5:2.5，计算任务密度得$\lambda = 1.1$。将上述任务随机排序后分配到整个时间序列中。图 4给出了单次执行前50个时间片的结果，并以第2节中提到的随机孔径策略作为对比。其中，纵坐标为天线孔径，横坐标表示时间。从中可以看出，本文所提方法的资源利用率较高。

图  4  前50个时间片调度结果

对这两种方法分别进行500次蒙特卡洛仿真，执行结果可以得到表 2。可知本文算法的任务丢失率显著低于随机孔径策略，而资源利用率大大高于后者。这是因为随机孔径策略没有进行优化，不少任务由于超过生存期，不能进入执行流程而死亡了。

进一步考察算法随着任务密度$\lambda $的增长(通过调整输入任务总数)执行情况，仿真为随机100次的平均值。从图 5可以看出，对于两种方法，随着任务密度的增大，任务丢失率不断增大。如当$\lambda $时，随机孔径策略已经出现了约0.4的任务丢失率，此后任务丢失率基本呈现线性上升。但当$\lambda $时，本文算法的任务丢失率同样增长很快。这是因为此时任务输入太多，远远超出了系统的调度能力，采用优化的方法也不能解决调度问题了。

图  5  任务丢失率比较

与任务密度$\lambda $类似，任务平均生存期$\bar \omega $可能对算法有效性产生不同影响，即算法评价需要同时考虑$\lambda $和$\bar \omega $这两个参数的取值。将$\lambda $设置为从0.1到3的渐增值，$\bar \omega $从2到30，每一组参数执行20次，统计结果如图 6所示。可以看出，任务密度$\lambda $越小、任务平均生存期$\bar \omega $越长，任务丢失率越小；当任务密度很低时，任务全部执行完毕，任务平均生存期$\bar \omega $基本不影响任务丢失率；反之，任务密度$\lambda $很高的情况下，只要任务平均生存期$\bar \omega $够大，仍然能够获得较低的任务丢失率。

图  6  不同任务密度和生存期下的任务丢失率

一体化的电子系统共同占用了平台的能量、时间和频谱资源，需要应对和处理的任务复杂多样，建立在孔径分割技术基础上的任务优化调度方法为合理分配系统资源提出了新的解决方案。本文首先分析并验证了相邻子孔径才适合执行同一任务的设定，提出了雷达通信一体化系统动态孔径分割条件下的时间、孔径二维的资源管理问题，并根据FIFO原则提出适合该问题的任务调度算法。事实上，按照FIFO的原则得到的方案是一种局部优化方法，不一定是最优调度方案。下一步将借鉴遗传算法、粒子群算法等对算法进行改进。