本文使用复杂网络理论对中国航空网络进行动态拓扑结构分析。网络中的边数据来自OK旅行网^[24]，该网站提供国内所有民航公司预售票航班信息，同时提供了大量的机场分布和航班计划信息，本文提取了2014年183个机场的进离港航班时刻表，包括航班号、航空公司、起飞机场、起飞时间、目的机场、降落时间、班期以及机型，蕴含了全国1 627条航线和14 268个计划航线，由国内包括南方、厦门、国航等在内的28家航空公司运行经营。网络中节点数据集源于互联网上已有的机场信息，包括机场代号、经纬度和所属省市。网络中边的方向反映了机场的进出港。数据预处理完成了航线端点和机场信息的映射，保留了航线上的时间属性。该数据集包含了2014年国内最新最全的航班计划表信息，是已知研究中包含航班数、机场数最多的数据集，同时本文也首次以航班时刻表为基础对航空网络进行实证分析，探索网络中的时序特征。

首先移除网络时间信息，假设边连接在整个周期有效，将航空网络视为节点数取183，边数为1 627，边权为航线上航班数量的无向赋权静态网络，分析网络静态拓扑参数，并与已有研究进行比较。

中国航空网络拓扑结构特征变化比较如表 1所示，表中a表示分布第一阶段指数，b表示分布第二阶段指数。可以看出中国航空网络随着规模的扩大，其连接更加紧密，呈现出来的无标度特性和小世界现象更加明显。本文最新的数据中包含了部分新机场，这些机场只配置了少量与部分重要节点相连的航班，集聚系数较高；节点的增加也缩短了网络中航班的平均中转次数。

中国航空时序网络由183个机场节点以及14 268条带时间标签的边组成。一个时间周期内，航班的飞行情况因时而异，导致不同时刻同一机场起飞的航班数量有别，边的权重或数量有所增减，导致不同时刻的网络拥有不同的拓扑结构。至此，航空网络可视为一个基于航班时刻表的周期性变化的动态网络。动态航空网络中的边是带有一个或多个时间标签的航线，且这些时间区间可能重叠。过去对此类问题的处理常常忽视航线上的时间标签，将整个周期内动态网络中的所有边都视为静态边，以进行静态拓扑分析。本文将单个周期划分为长度为1小时的24个时间窗口，将出现在该时间窗口的航线视为有效边，包括之前起飞但还未降落的航班和在该时间段内起飞的航班，网络中节点为有效边上的节点集合。由此，动态网络被表示成静态网络序列，对每个时间窗口中的静态网络进行分析，研究网络拓扑特性以及相关关系的时序变化，从而达到分析动态网络拓扑结构特征的目的。

航空网络中的时间信息主要是指边的时间标签，即航班的起降时间。本节对24个时间窗口内空中的飞机数量进行统计，分析不同时间段内我国空域中在飞航班数量的变化情况。从图 1a中可见，网络中航班数量从6:00开始，并在6:00—10:00间急剧上升，随后直到18:00一直处于顶峰时期，接着逐渐下降，并在次日3:00达到0且持续到6:00。航班运行主要集中在10:00—24:00，占比达88.37%，且在10:00—18:00之间达到流量高峰，占比为59.22%。航班数量体现出来的人类出行规律与其他交通工具略有不同^[20]，高峰时期持续时间较长且不出现在人们上下班时刻。

图  1  航空网络组成元素时序特征

节点度随时间的变化在一定程度上反应了机场运营量的时序特征，机场所在城市的人口密度和经济发展程度确定了机场运营时间和持续的时长。图 1b表明在6:00—7:00之间，网络节点地理分布稀疏、连接较弱，出行人数较少，且出发地多是经济发达城市。8:00以后大量小型机场出现以满足人们逐渐增长的出行需求，致使节点在12:00—13:00之间分布密集且航线覆盖面广，并且每个机场的运量都较大。18:00时网络的运输压力较12:00时有所缓解，运营时间较短的机场在18:00之前停止运营，此类机场多处于偏远地区或机场空间密度较高的局部地区，如阿勒泰机场和庆阳机场等。偏远地区人口少，出行量低且时间比较集中；机场空间密度较高地区的小型机场是为缓解该地区主要机场在高峰时期的运行压力。由于部分航班降落时间较晚，目的地机场持续等待，所以末期(24:00)机场数量大于初期(6:00)开始运行时。

拓扑统计量是网络拓扑特性的定量描述，本节通过研究网络统计量、分布函数和相关性的时序特征，分析网络的演化过程。

反应整体网络特征的统计量包括网络平均度、平均介数和平均集聚系数以及相应的分布函数。图 2a表明网络平均度随时间的变化较平均介数和平均集聚系数平缓，且达到稳定(指标值不随时间波动)的时间较长；平均介数和平均集聚系数同时在15:00达到稳定，认为此时网络已饱和，再增加航班数量对两者并无影响。节点的出现有时间间隔且部分节点出现时间较晚导致平均度不可能出现激增。同时，航班数量在6:00—11:00之间激增且在13:00出现高峰，已基本构成“无标度”结构，后续节点和边的数量变化对平均介数和平均集聚系数影响并不大。

图  2  航空网络拓扑结构时序特征

网络的平均度、平均介数和平均集聚系数易受极值影响，未能充分反映网络特征的变化，为此，可通分析统计量分布函数随时间的变化来呈现。图 2b表明拓扑统计量分布函数的参数值随时间变化逐渐趋于稳定，度分布的两阶段参数和介数分布参数都在短时间内攀升并逐渐趋于稳定。网络在6:00时，只有少部分的节点之间存在微弱的联系(图 1b)，度分布没有呈现出明显的两阶段现象，导致第二阶段参数出现突高。集聚系数的分布参数则经历了先降低后增长的过程。大量孤立节点(集聚系数为0)的存在使其分布函数斜率较大；下降过程中连接孤立节点的边不断出现，使得孤立节点不断减少，在11:00达到0；增长过程中机场之间的往来逐步增强，网络趋于紧密。

综上，网络拓扑结构呈现出明显的激增和稳定现象，主要受早期网络中航班数量激增的影响。

节点统计量之间的相关性反映航空网络中节点偏好连接导致的结构上的相关程度。如图 2c所示，度-介数呈现出的正相关性先增后降，最低值高达0.74，6:00—7:00之间网络节点较少且多为重要机场，连接边较多且多为有效的最短连接，故此时度-介数相关性高达0.9，而后随着小型机场和大量边的出现，相关性逐渐减小。

不同于静态的拓扑研究结果^[16-17]，度-集聚系数和介数-集聚系数存在正相关向负相关的过渡。6:00—7:00之间，网络中节点和边的数量较少且多是重要节点之间的连接，度大的节点的邻居节点之间相互连接的概率更大，呈现出度-集聚系数正相关性；随后节点间实际边的增长明显慢于节点增加导致的可能连接边数，从而正相关性削弱，负相关性出现并逐渐增强，稳定在-0.4左右。

时序网络与静态网络的不同之处主要体现在节点上的等待时间和边上的完成时间。等待时间指同一节点连续两个事件发生的时间间隔，完成时间指被感染节点将疾病传递给其邻接节点的时间差。静态网络普遍认为疾病在节点和边上的传播只受网络拓扑结构的影响，不存在任何时间上的限制。大多数真实网络并非如此。图 3a展示了中国航空网络中相同机场起飞事件连续发生的间隔时间，图 3b表明中国航空网络机场中航班的起飞时间间隔服从两阶段幂律分布，指数分别为-0.87和-2.97。这意味着航班的起飞行为存在较明显的爆发现象，即短时间间隔后跟随长时间间隔的频率较大。图 3b中的插图表明边上的完成时间服从参数为-3的指数分布。

图  3  航空系统中航班行为时间间隔

网络属性差异将直接导致网络功能的不同。文章分别对静态网络和时序网络进行SIR传播模型的建模，该SIR模型采取接触即感染的传播形式，研究3种状态的人群随时间的变化情况，如图 4所示。图中，TI(t)、TR(t)和SI(t)、SR(t)分别表示时序网络和静态网络在t时刻节点感染态和恢复态的比例，TRI(t)、TRR(t)、TXI(t)、TXR(t)和SRI(t)、SRR(t)、SXI(t)、SXR(t)分别表示随机感染和蓄意攻击情况下时序网络和静态网络在t时刻节点感染态和恢复态的比例。由图 4a可见，由于时序网络中时间依赖性和时序相关性对传播的限制，导致传播稳定的时间较长，感染的范围缩小；同时对比图 4b和图 4c，发现时序网络对感染源的选择并不敏感，蓄意攻击(重要节点作为感染源)和随机攻击(随机节点作为感染源)对时序网络的影响差异不大，具有较好的鲁棒性；相反，度值大的节点被感染将使静态网络在更短的时间内达到稳定，使其感染范围更广。

图  4  静态网络和时序网络SIR传播模型对比

航空网络的异质性表明，不同节点拥有不同的行为模式。以节点的爆发性衡量节点的行为模式，以“等待时间”的平均值和标准差作为其定量衡量的依据^[21]，在平均值和标准差维度下运用基于密度的聚类算法(density-based spatial clustering of applications with noise, DBSCAN)对其进行社区挖掘，如图 5a所示，其插图分别表示成都双流(类别1)、大庆萨尔图(类别2)和库车机场(类别3)内航班起飞的时间间隔分布。聚类结果在以GDP差值为距离定义的地图中具有较好的区分度，如图 5b所示，表明机场城市GDP是导致机场时序特征差异的主要原因。图 5b以GDP值最大的上海为圆心，将其他城市GDP与上海的差值作为半径，并标出机场所属的不同类别。其中万州和黔江以及江北机场同在重庆市，但重要程度各异，时间特性有别，所属类别不同。图 5c展示了节点分类在实际空间地图中的分布情况，类别3中机场主要分布在沿海以及省会等经济文化中心，运行时间密集，具有明显的爆发性；类别2中机场分布广泛，主要是东北和中部地区，运行时间较为稀疏，其爆发性较弱；类别1中机场多集中在西部、南部，也出现在类别2和类别3机场附近(机场空间密度较高地区)，只在几个固定时间节点运作，呈现一定的周期性趋势。

图  5  基于机场爆发行为的分类

本文基于航班时刻表，首次将时间信息引入中国航空网络拓扑结构中，分别应用传统网络分析方法和时序网络分析方法对网络的静态和动态拓扑属性进行研究。在网络静态拓扑方面，与已有研究相比，本文数据集中新增机场和航线使网络呈现出更加显著的无标度特性和小世界现象。通过使用时间窗口方法将航空网络分割为24个子网络序列，研究其组成元素和拓扑统计量的时序特征，包括航班数量、统计量的分布函数和两两之间的相关性。结果表明，航空网络从6:00开始运作且和其他交通工具一样在13:00和17:00出现高峰；网络度分布和介数分布激增后缓慢趋于稳定，而集聚系数分布则会先下降再回升而后趋于稳定；度-介数为逐渐增强的正相关关系，度-集聚系数和介数-集聚系数在8:00时出现正相关和负相关的转折点。此外，本文还研究了网络中连续事件发生的时间间隔呈现出来的爆发性对传播的影响，以及基于爆发性行为的节点分类方法。结果发现，网络爆发性对传播起着延缓作用(稳定时间长，传播范围小)；网络中存在时间间隔分布差异明显的三类节点，且与其空间位置有关。

本文研究是对已有静态航空网络分析的一个重要补充。充分考虑航班时间信息对网络结构和功能的影响，对进一步科学合理地开展航班延误级联失效^[22]、人群移动与疾病传播等网络动力学问题的研究^[23]具有重要的科学意义。