二阶盲辨识是一种盲源分离方法，其分离盲信号思想为：首先假定观测信号${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(t)}$不含噪声，盲源分离的线性瞬时混合过程可描述为：

式中，${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(t)} = {[{x_1}(t), {x_2}(t), \cdots, {x_m}(t)]^{\text{T}}}$表示$M$个传感器传输的混合信号；${\mathit{\boldsymbol{S}}}{(t)} = {[{s_1}(t), {s_2}(t), \cdots, {s_n}(t)]^{\text{T}}}$为$N$个未知源信号；$ {\mathit{\boldsymbol{A}}}$是$M \times N$列满秩常数矩阵，其元素表示信号的传输通道特性。

在实际工程环境下，很难获取源信号矢量${\mathit{\boldsymbol{S}}}{(t)}$和混合系统的先验知识，需根据观测信号${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(t)}$估计源信号值，假定为${\mathit{\boldsymbol{Y}}}{(t)} = {[{y_1}(t), {y_2}(t), \cdots, {y_n}(t)]^{\text{T}}}$，即：

式(2)可改写为：

式(3)表明，盲信号分离的目的是通过调节分离矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{W}}}$，使分离出来的信号与源信号波形保持一致，即：

式中，$ {\mathit{\boldsymbol{D}}}$为非奇异对角矩阵，$ {\mathit{\boldsymbol{P}}}$为一置换矩阵。

根据式(3)和式(4)，得到：

则：

由上述推导，若W、A已知，可通过${\mathit{\boldsymbol{Y}}}{(t)}$估计出源信号${\mathit{\boldsymbol{S}}}{(t)}$。在实际操作中，源信号${\mathit{\boldsymbol{S}}}{(t)}$通过传输信道的过程中，会经过混合矩阵混合，只需要同时考虑到外部因素，加入一个误差矩阵${\mathit{\boldsymbol{V}}}{(t)}$，两者相加作为接收到的观测信号${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(t)}$，通过相应盲源分离算法得到分离矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{W}}}$，将${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(t)}$与分离矩阵进行矩阵运算，就能得到源信号的估计信号矩阵${\mathit{\boldsymbol{Y}}}{(t)}$。综上，盲源分离的基本模型如图 1所示。

图  1  盲源分离的基本思路

基于上述盲源分离算法的基本介绍，利用二阶盲辨识进行复合故障信号盲源分析的主要思路如下：首先，对复合故障信号进行白化预处理，提高算法分离性；然后，采用联合对角化技术，基于二阶盲辨识(second-order blind identification, SOBI)方法，实现对复合故障信号的分离。

在二阶盲辨识进行盲源分离过程中，为了能够分离出源信号，常常希望混合信号中的各分量之间相互统计独立，对混合信号进行白化预处理的目的是去除信号各个分量的相关性，预白化处理的基本步骤如下：

1) 根据观测信号${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(k)}$计算出其估计协方差矩阵${ {\mathit{\boldsymbol{R}}}_x} = E\{ {\mathit{\boldsymbol{X}}}{(k)}{ {\mathit{\boldsymbol{X}}}^{\text{T}}}(k)\} $。

2) 对${ {\mathit{\boldsymbol{R}}}_x}$进行奇异值分解，即：

式中，$ {\mathit{\boldsymbol{U}}} = [{u_1}, {u_2}, \cdots, {u_m}]$的列是${ {\mathit{\boldsymbol{R}}}_x}$的左奇异向量。根据${\sigma _1} \geqslant {\sigma _2} \geqslant \cdots \geqslant {\sigma _n} > 0, {\sigma _{n + 1}} = \cdots = {\sigma _m} = 0$确立源信号的数目为n。

3) 令$ {\mathit{\boldsymbol{D}}} = {\text{diag}}\left( {\frac{1}{{{\sigma _1}}}, \frac{1}{{{\sigma _2}}}, \cdots, \frac{1}{{{\sigma _n}}}} \right)$，$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}} = {\mathit{\boldsymbol{D}}}{ {\mathit{\boldsymbol{U}}}^{\text{T}}}$，$ {\mathit{\boldsymbol{z}}}(k) = {\mathit{\boldsymbol{Q}}}{\mathit{\boldsymbol{X}}}{(k)}$，得到：

由上述过程可以看出，利用$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}}$进行预白化处理使${\mathit{\boldsymbol{X}}}{(k)}$变为$ {\mathit{\boldsymbol{z}}}(k)$，可使其分量互不相关，达到解相关的目的。

上述分析表明，经过2.1节中白化预处理后，观测信号可修订为$ {\mathit{\boldsymbol{z}}}(k)$，白化矩阵为$ {\mathit{\boldsymbol{Q}}}$，白化后的信号协方差矩阵是单位矩阵，如式(7)所示。

理论上而言，联合对角化的实现是通过寻找正交矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}$，实现对非零延迟相关矩阵组${{\mathit{\boldsymbol{R}}}_z}(\tau ) = \{ {{\mathit{\boldsymbol{R}}}_z}({\tau _1}), {{\mathit{\boldsymbol{R}}}_z}({\tau _2}), \cdots, {{\mathit{\boldsymbol{R}}}_z}({\tau _k})\} $的联合对角化。即，寻求正交矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}$，满足目标函数：

式中，${\text{off(}} {\mathit{\boldsymbol{M}}}) = {\sum\limits_{1 < i \ne j < N} {|{M_{ij}}|} ^2}$表示矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{M}}}$的非主对角元素的绝对值平方总和，${\text{off}}( {\mathit{\boldsymbol{M}}})$越小，表明$ {\mathit{\boldsymbol{M}}}$阵的对角化程度越高，信号分离性能越好。

显然，通过正交矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}$可得到$ {\mathit{\boldsymbol{y}}}(k)$，即：

由上述过程可以看出，通过白化后信号的相关矩阵进行对角化，利用对角化后的正交矩阵，就可得到源信号的估计值，完成对复合故障信号的分离。

理论分析结果表明，上述二阶盲源分离进行盲辨识得到信号具备无序性及相似性特点，因此将分离后的信号进行短时傅里叶变换，利用分离信号的短时傅里叶变换时频谱图与原信号时频谱图进行比较确认，完成复合故障的诊断。基本思想为：在信号傅里叶变换前乘上一个时间有限的窗函数，并假定非平稳信号在分析窗内的短时间隔内是平稳的，通过窗在时间轴上的移动使信号逐段进入被分析状态，得到一组局部的频谱，进一步根据不同时刻“局部”频谱的差异性，辨识信号的时频特性。基本定义如下：

定义1  给定一个时间宽度很短的窗函数$\eta (k)$，让窗滑动，则信号$z(k)$的短时傅里叶变换定义为：

定义表明，对于给定时刻k，${\text{STF}}{{\text{T}}_z}(k, f)$即为该时刻对应的短时傅里叶频谱。由于窗函数$\eta (k)$的存在，短时傅里叶变换具有局域特性，它既是时间的函数，也是频率的函数，能较好地反映信号的变化特征，因此可以弥补二阶盲源辨识理论的不足。

基于上述理论分析，设计二阶盲辨识协同短时傅里叶变换的滚动轴承复合故障诊断算法如下：

1) 观测信号预白化处理。计算观测信号的零延迟相关矩阵并进行奇异值分解，即${\mathit{\boldsymbol{R}}_x} = E[{\mathit{\boldsymbol{X}}_{(k)}}{\mathit{\boldsymbol{X}}^{\text{T}}}(k)] = \mathit{\boldsymbol{UW}}{\mathit{\boldsymbol{U}}^{\text{T}}}$，并令$\mathit{\boldsymbol{Q}} = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{-\frac{1}{2}}}{\mathit{\boldsymbol{U}}^{\text{T}}}$，$Z(k) = \mathit{\boldsymbol{Q}}{\mathit{\boldsymbol{X}}_{(k)}}$。

2) 联合对角化，得到分离信号。先计算白化后信号的非零延迟相关矩阵组${\mathit{\boldsymbol{R}}_z}(\tau ) = \{ {\mathit{\boldsymbol{R}}_z}({\tau _1}), {\mathit{\boldsymbol{R}}_z}({\tau _2}), \cdots, {\mathit{\boldsymbol{R}}_z}({\tau _k})\} $。寻找正交阵$ {\mathit{\boldsymbol{V}}}$，使其满足：${\mathit{\boldsymbol{V}}^{\text{T}}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_z}({\tau _i})\mathit{\boldsymbol{V}} = {\mathit{\boldsymbol{M}}_i}$，其中$\{ { {\mathit{\boldsymbol{M}}}_i}\} $是一组对角矩阵。

3) 计算分离信号$\mathit{\boldsymbol{y}}(k) = {\mathit{\boldsymbol{V}}^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{Q}}{\mathit{\boldsymbol{X}}{(k)}}$。

4) 对分离信号进行短时傅里叶变换。将分离信号进行短时傅里叶变换，得到分离信号对应的时域图与频域图，通过对比源信号的时域图与频域图，根据趋势一致性辨别分离信号对应的故障类型，从而识别复合故障。其基本框架结构如图 2所示。

图  2  基于二阶盲辨识和短时傅里叶变换的轴承复合故障诊断基本框架

为验证本文算法的有效性，采用图 3中信号作为源信号，分为信号1~4个信号源，并作为源信号通过信道传输，生成混合信号，如图 4所示。

图  3  源信号

图  4  混合信号

图 4中，源信号通过信道传输后，转换成包含6路信号的混合信号，分别利用二阶盲辨识方法和快速独立分量分析方法对混合信号进行分解，得到的效果图分别如图 5、图 6所示。

图  5  二阶盲辨识分离后的信号

图  6  快速独立分量分析分离信号

从图 5中可以看出，二阶盲辨识能完全地分离出混合信号与图 3中源信号的对应关系：分离信号1对应源信号1，分离信号2对应源信号2，分离信号3对应源信号4，分离信号4对应源信号3，另外分离信号4和5由系统传输信道的噪声引起，不包含源信号的信息。

图 6中分离的信号与源信号的对应关系为：分离信号3对应源信号1，分离信号4对应源信号2，而分离信号1和2由于未能将源信号中的信号3和4分离，因此不能识别出对应的源信号。由此可以看出，快速独立分量分析只能分离部分信号。

显然，相比快速独立分量分析分离方法，二阶盲辨识分离方法分离效果能更好满足实际环境的需求，这表明二阶盲源辨识分离方法符合实际需求。

为进一步验证本文提出的模型和算法的有效性，将其应用到某型装备的轴承多重故障的实际诊断中。仿真实验依托于广东省石化装备故障诊断重点实验室平台，该平台以工业现场炼化装置大型旋转机械机组为参照，设计了一套单级离心风机故障诊断机组，该机组是工业机组典型结构，由电动机-变速箱-压缩机组成，支撑方式为悬臂式，负载是5.5 kW单级离心风机。该机组通过更换各类故障的齿轮、轴承、传动轴等部件，实现模拟悬臂式离心式压缩机或膨胀机机组常见的单一故障和复合故障。其中单级离心风机故障诊断机组如图 7所示。

图  7  单级离心风机故障诊断机组

针对复杂装备常见轴承故障，结合典型的工业机组结构和负载，在上述单级离心风机故障诊断基础上，设计了一套与系统匹配的故障配件，包括轴承外裂、轴承内裂、轴承滚珠磨损、轴承缺滚珠、裂齿、齿轮磨损等，部分实验故障配件如图 8a~图 8d所示。

图  8  部分实验故障配件

基于以上故障配件，试验选择NSK NN3021轴承型号进行多重故障仿真，将振动加速度传感器垂直固定于轴承上方，采集无负载下轴承直径为7 mm，轴承内圈故障、滚珠故障、外圈故障(含3个位置)的12K驱动端加速度数据，其故障源信号如图 9所示。

图  9  滚动轴承故障源信号

图 9中，从上到下源信号1~5依次为滚动轴承内圈故障、滚珠故障、3个方向上的外圈故障(分别为3点钟、6点钟、12点钟方向)。

为获取复合故障数据，将源信号经过信道传输，混合信道特性获得复合故障信号，如图 10所示。

图  10  混合信号

图 10中，源信号经过信道传输后，对应接收到的混合信号，由于混合了信道特性，使源信号的故障类型难以分辨，因此，需通过二阶盲辨识方法进行盲源信号的分离，分离效果如图 11所示。

图  11  二阶盲辨识法分离出的信号

从图 11中可以看出，利用二阶盲辨识法得到的分离信号编号分别为：1~5；通过分离信号图对比源信号图 7，可以发现，分离得到的信号顺序与源信号不一样，并且很难直接确认分离出来的信号对应的故障类型。因此，可在此基础上，采用短时傅里叶变换方法，将分离出来的信号进行短时傅里叶变换，将其时域与频域图与源信号时域、频域图对比，并根据一致性确认所对应的信号。为了进一步验证该方法的有效性，采用了经二阶盲辨识得到的图 11中的分离信号2和分离信号5分别进行短时傅里叶变换，并将源信号中对应的源信号时域、频域图进行对比，其实验结果分别如图 12和图 13所示。

图  12  分离信号2进行短时傅里叶变换后的时频图

图  13  外圈6点钟方向上的故障对应的时频图

对比图 12和图 13可以看出，分离出的信号2进行短时傅里叶变换的时域图为局部的，对比效果更准确，两者的时域图趋势基本一致。进一步再对比频域图，可以看出，频域图趋势也基本一致。因此可以确认，分离信号2对应的故障类型为外圈6点钟方向上的故障；同理，对分离信号5进行短时傅里叶变换，如图 14所示。

图  14  分离信号5进行短时傅里叶变换后的时频图

类似地，对比图 14和图 15可以看出，分离信号5进行短时傅里叶变换的时域图与源信号时域图趋势基本一致。进一步再对比频域图，可以看出，频域图趋势基本一致，显然，分离信号5对应的故障类型为内圈故障；同理，可以确定分离出的信号1对应的故障类型为外圈3点钟方向上的故障，分离出的信号3对应的故障类型为滚珠故障，分离出的信号4对应的故障类型为外圈12点中方向上的故障。

图  15  内圈故障对应的时频图

实验结果表明，本文提出的方法能很好地完成滚动轴承复合故障诊断的辨识及诊断。

本文针对传统复合故障诊断方法存在故障难以完全分离的缺点，提出了基于二阶盲辨识协同短时傅里叶变换的滚动轴承复合故障诊断新方法。并在模拟验证二阶盲源辨识方法有效性的基础上，以广东省石化装备故障诊断重点实验室的实验平台数据进行了算法有效性的验证。实验结果表明，本文提出的算法能较为有效的辨识复合故障模式。

但遗憾的是，由于在实际工业环境中，大型机组设备存在强噪声背景，会影响故障数据分离的准确性，如何改进算法对背景噪声进行处理，是需要进一步解决的工作，限于篇幅，将另作详细介绍。

本文的研究工作得到了重庆交通大学研究生教育创新基金(2017S0105)的资助，在此表示感谢！