现实网络具有开放性和复杂性等特点，网络节点的增减是网络动态变化的重要形式，其具体表现为：1)网络节点到达自身“寿命”的自然移除或遭受外界自然环境、人为因素以及网络病毒攻击而造成的物理损毁^[8-9]。同时，为维持网络的性能和动态平衡，需要选择性的增加具有特定功能的新节点；2)为满足网络行动任务和特定能力的需要，网络将有选择性的增加或减少具有相关功能、业务的节点，使得网络具有该功能特性，以完成网络行动和业务承载任务^[10]。

节点增减机制下的SIRS模型如图 1所示。

图  1  节点开放机制下的SIRS模型

图中，A表示网络中的新增节点数；${d_S}$表示网络中易感节点的损毁(移除)率；${d_I}$表示网络中感染节点的损毁(移除)率；${d_R}$表示网络中免疫节点的损毁(移除)率；转移参数$\beta $为网络节点与网络病毒相互接触的概率；转移参数$\alpha $为网络节点具有抗病毒攻击感染能力的概率；转移参数$\omega $为网络节点抗病毒能力逐渐减弱的概率；$k$为网络节点的度。

根据微分系统动力学原理，模型对应的数学表达式为：

式中，$S(t)$、$I(t)$和$R(t)$分别表示$t$时刻易感节点、感染节点和免疫节点的数量；$N(t)$表示$t$时刻网络节点总数；$\beta kS(t)I(t)/N(t)$表示$t$时刻网络易感节点遭受病毒感染的概率。

为求解式(1)的平衡点，令：$\frac{{{\rm{d}}S(t)}}{{{\rm{d}}t}} = 0$，$\frac{{{\rm{d}}I(t)}}{{{\rm{d}}t}} = 0$，$\frac{{{\rm{d}}R(t)}}{{{\rm{d}}t}} = 0$，可得式(1)中的一个平衡点${\boldsymbol{P}^0}({S^0},{I^0},{R^0}) = (A/{d_S},0,0)$。当$t \to \infty $时，该平衡点的感染节点数量$I(\infty ) = 0$，称该平衡点为无病毒平衡点。假设网络节点总数$N(t)$短时间内相对稳定，求解式(1)中的另一个平衡点，其中，${I^1} = \frac{{({d_R} + \omega )[\beta kA - N(\alpha + {d_I}){d_S}]}}{{\beta k[({d_I} + \alpha )({d_R} + \omega ) - \alpha \omega ]}}$，对应式(1)的${R_0} = \frac{{A\beta k}}{{N({d_I} + \alpha ){d_S}}}$，即${I^1} = \frac{{A({d_R} + \omega )[1 - 1/{R_0}]}}{{[({d_I} + \alpha )({d_R} + \omega ) - \alpha \omega ]}}$。分析可知，当且仅当基本再生数${R_0} \leqslant 1$时，式(1)中仅存在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$；当且仅当基本再生数${R_0} > 1$时，式(1)仅存在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$。根据式(1)得任意平衡点${\boldsymbol{P}^ * }$的Jacobi矩阵：

定理1    当${R_0} \leqslant 1$时，无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$局部渐近稳定；当${R_0} > 1$时，平衡点${\boldsymbol{P}^0}$不稳定。

证明：由式(2)可得平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处的Jacobi矩阵为：

$J({\boldsymbol{P}^0})$的特征值行列式为：

令$\left| {\lambda I - J({\boldsymbol{P}^0})} \right| = 0$，可得矩阵$J({\boldsymbol{P}^0})$对应的特征多项式为：

式中，对应特征根${\lambda _1} = - {d_S}$；${\lambda _2} = - ({d_R} + \omega )$，${\lambda _3} = [A\beta k - N{d_S}({d_I} + \alpha )]/N{d_S}$。当${R_0} \leqslant 1$时，式(5)的3个特征根均为负值，则无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$局部渐近稳定；当${R_0} > 1$时，${\lambda _3} > 0$，式(5)存在一个正值特征根，平衡点${\boldsymbol{P}^0}$局部不稳定，证毕。

定理1表明，在遂行网络行动过程中，当网络病毒的攻击感染能力未达到网络安全防御门限时，病毒的传播最终消失，感染节点数为0。

定理2    当${R_0} > 1$时，平衡点${\boldsymbol{P}^1}({S^1},{I^1},{R^1})$局部渐近稳定。

证明    由式(3)可得平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处的Jacobi矩阵为：

$J({\boldsymbol{P}^1})$的特征值行列式为：

令$\left| {\lambda I - J({\boldsymbol{P}^1})} \right| = 0$，得矩阵$J({\boldsymbol{P}^1})$所对应的特征多项式为：

式中，${\mu _1} = \frac{{\beta k}}{N}{I^1} + \omega + {d_S} + {d_I} + {d_R}$；

${\mu _2} = \frac{{k\beta {I^1}}}{N}(\omega + \alpha + {d_I} + {d_R}) + (\omega + {d_R})({d_S} + {d_I})$；

${\mu _3} = \frac{{\beta k{I^1}}}{N}({d_R}{d_I} + {d_I}\omega + {d_R}\alpha )$。

经计算可得${\mu _1} > 0$，${\mu _2} > 0$，${\mu _1}{\mu _2} - {\mu _3} > 0$，根据文献[11]稳定判据，式(8)对应的特征根全部位于左半平面，对应$J({\boldsymbol{P}^1})$的特征值实部为负。可知当基本再生数${R_0} > 1$时，感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$局部渐近稳定，证毕。

定理2表明，在遂行网络行动过程中，当网络病毒的攻击感染能力超过网络空间安全防御门限时，网络中病毒将持续存在，并逐渐趋于稳定状态。

定理1和定理2已经证明，当${R_0} \leqslant 1$时，系统在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定，即网络病毒最终会被消除；当${R_0} > 1$时，系统在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}({S^1},{I^1},{R^1})$局部渐近稳定，即网络病毒将持续存在。为了验证理论分析的合理性，围绕基本再生数${R_0} = A\beta k/N{d_S}(\alpha + {d_I})$，重点分析网络增加节点数量A、易感节点移除率${d_S}$和感染节点移除率${d_I}$这3个参数对病毒传播的影响。Matlab组件Simulink可以仿真求解非线性微分方程组，适用于网络病毒传播动力学模型的求解分析，以下使用该工具分析3个参数对网络病毒传播的影响，进而验证模型的有效性及系统随时间的演进关系。未作特别说明情况下，仿真中的单位时间为1 s，同时参照文献[6, 12]设置变量的初值和相关参数，令网络节点的总数为$N = 1{\text{ }}000$，网络节点的平均度为$k = 30$，考虑初始时刻网络中只存在大量易感节点和少量感染节点，对应状态节点初值为$(S(0),I(0),R(0)) = $$(900,100,0)$。

针对网络增加节点$A$进行动力学研究和临界分析。参照文献[6, 12]选取参数$\alpha = 0.8$，${d_S} = 0.05$，${d_I} = 0.1$，${d_R} = 0.04$，$\omega = 0.1$，$\beta = 0.2$，令${R_0} = A\beta k/N{d_S}(\alpha + {d_I}) = 1$，可知网络增加节点的传播阈值${A_{\lim }} = N{d_S}(\alpha + {d_I})/\beta k = 7.5$。当$A \leqslant {A_{\lim }}$时，网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定；当$A > {A_{\lim }}$时，网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定。分别取网络增加节点${A_1} = 5$和${A_2} = 10$，仿真结果如图 2和图 3所示。当${A_1} = 5 < {A_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处；当${A_2} = 10 > {A_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处，仿真结果与理论证明相同。

图  2  $A = 5$的系统演进

图  3  $A = 10$的系统演进

图 4表示不同网络增加节点$A$下，网络易感节点$S$随时间的变化关系，$A$在区间[0, 15]内取值，步长为5。由图 4可知，当网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定时，随着网络增加节点$A$逐渐增大，网络易感节点的数量逐渐增大；当网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定时，网络易感节点的数量基本不受网络增加节点$A$的影响。仿真结果表明，合理调节网络增加节点$A$的数量，能控制病毒在网络中的传播规模，最终将网络稳定在无病毒状态。

图  4  不同$A$对应$S(t)$的变化曲线

针对易感节点移除率${d_S}$进行动力学研究和临界分析。选取参数$A = 10$, $\alpha = 0.8$, ${d_I} = 0.1$，${d_R} = 0.04$，$\omega = 0.1$，$\beta = 0.2$，根据${R_0} = 1$可知易感节点移除率的传播阈值${d_S}_{_{\lim }} = A\beta k/N({d_I} + \alpha ) = $ $0.067$。即当${d_S} \leqslant {d_S}_{_{\lim }}$时，网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定；当${d_S} > {d_S}_{_{\lim }}$时，网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定。分别取${d_S} = 0.01$，$0.1$，仿真结果如图 5和图 6所示。当${d_S} = 0.01 < {d_S}_{_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处；当${d_S} = 0.1 > {d_S}_{_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在无病毒平衡点${P^0}$处，仿真结果与理论证明相同。

图  5  ${d_S} = 0.01$的系统演进

图  6  ${d_S} = 0.1$的系统演进

图 7表示不同易感节点移除率${d_S}$下，网络易感节点$S$随时间的变化关系，${d_S}$在区间[0, 0.15]内取值，步长为0.05。由图 7可知，当网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定时，网络易感节点的数量不受易感节点移除率${d_S}$的影响；当网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定时，随着易感节点移除率${d_S}$逐渐增大，网络易感节点的数量逐渐减少。

图  7  不同${d_S}$对应$S(t)$变化曲线

仿真结果表明，易感节点移除率${d_S}$越小，网络中易感节点数量越多，相应的感染节点越少，网络病毒传播规模越小。因此，合理调节易感节点移除率${d_S}$，能有效控制病毒在网络中的传播规模，最终将网络稳定在无病毒状态。

针对感染节点移除率${d_I}$进行动力学研究和临界分析。选取仿真实验参数$A = 10$，$\alpha = 0.8$，${d_S} = 0.05$，${d_R} = 0.04$，$\omega = 0.1$，$\beta = 0.2$，根据${R_0} = 1$可知感染节点移除率的传播阈值${d_I}_{_{\lim }} = (A\beta k/N{d_S}) - \alpha = 0.4$。即当${d_I} \leqslant {d_I}_{_{\lim }}$时，网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定；当${d_I} > {d_I}_{_{\lim }}$时，网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定。分别取${d_I} = 0.2$和${d_I} = 0.6$，仿真结果如图 8和与9所示。当${d_I} = 0.2 < {d_I}_{_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处；当${d_I} = 0.6 > {d_I}_{_{\lim }}$时，系统局部渐近稳定在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处仿真结果与理论证明相同。

图  8  ${d_I} = 0.2$的系统演进

图  9  ${d_I} = 0.6$的系统演进

图 10表示不同感染节点移除率${d_I}$下，网络易感节点$S$随时间的变化关系，${d_I}$在区间[0, 0.6]内取值，步长为0.2。由图 10可知，当网络在感染源平衡点${\boldsymbol{P}^1}$处局部渐近稳定时，随着感染节点移除率${d_I}$逐渐增大，网络易感节点的数量逐渐增大；当网络在无病毒平衡点${\boldsymbol{P}^0}$处局部渐近稳定时，网络易感节点的数量不受感染节点移除率${d_I}$的影响。

图  10  不同${d_I}$对应$S(t)$变化曲线

仿真结果表明，合理调节感染节点移除率${d_I}$，能有效控制病毒在网络中的传播规模，使得网络稳定在无病毒状态。

本文研究了节点增减机制下的网络病毒传播问题。针对复杂网络环境，考虑网络节点增减情况，提出了节点增减机制下的SIRS模型，并结合文献[11]稳定判据，给出了模型的稳定性证明，即当基本再生数${R_0} \leqslant 1$时，系统局部渐近稳定于平衡点${\boldsymbol{P}^0}$；当${R_0} > 1$时，系统局部渐近稳定于平衡点${\boldsymbol{P}^1}$。最后，以${R_0}$为基准，分别验证了网络增加节点、易感节点移除率和感染节点移除率的病毒传播阈值对病毒传播的影响。仿真结果表明通过合理调节网络节点的增减数量，能够有效控制病毒在网络中的传播。