本文考虑一个具有L个小区的大规模MIMO上行蜂窝系统。假设每个小区包含一个配置有M根天线的基站，同时支持K个独立的单天线用户，其中K≤M。为了便于分析，假设第一个小区是目标小区。第j个小区的第m根天线与第l个小区的第k个用户之间的信道增益表示为$\sqrt {{\beta _{kmlj}}} {h_{kmlj}}$，且假设${\beta _{kmlj}}{\text{ = }}{\beta _{kl}}$，k=1, 2, …, K，l=1, 2, …, L。一般来说，在一个相干时间内，代表路径损耗和阴影衰落的${\beta _{kl}}$变化很慢，近似地看作是常数。而代表小尺度衰落的${h_{kmlj}}$变化很快，是独立同分布的零均值，单位方差循环对称复高斯随机变量。

上行MIMO系统的操作包含两个阶段。第一阶段是训练和信道估计阶段，即用户发送训练符号，基站接收这些训练符号，并采用最小均方误差(minimum mean-squared erro, MMSE)方法估计出信道矩阵；第二阶段是数据传送和解码阶段，即用户发送信息符号，基站把上一阶段估计出来的信道矩阵当作真实的信道，从而对接收的信息符号进行解码。

以下给出上述两个阶段的具体模型。在训练阶段，假设每个用户发送的训练符号长度为$\tau $，并定义第l个小区的第k个用户的训练符号为${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{kl}} = ({\phi _{kl, 1}}, {\phi _{kl, 2}}, \cdots , {\phi _{kl, \tau }})$。令${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_l} = {({{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{{\text{1}}l}}, {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{2l}}, \cdots , {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{Kl}})^{\text{T}}}$，${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}} = {({{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_1}, {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_2}, \cdots , {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_L})^{\text{T}}}$，$K \times \tau $维矩阵${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_l}$和$KL \times \tau $维矩阵${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}$分别表示第l个小区的K个用户发送的训练符号和L个小区的所有用户发送的训练符号。归一化训练符号的能量：${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{kl}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_{kl}^{\text{H}} = 1$，${\text{tr(}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}^{\text{H}}}{\text{)}} = KL$。

基于以上假设，在上行系统中，目标小区基站的接收信号为：

式中，${{\mathit{\boldsymbol{W}}}_{\text{0}}}$是$M \times \tau $维的加性噪声矩阵，其中的元素是零均值单位方差的复高斯随机变量。

训练阶段的主要任务就是从式(1)中估计出信道矩阵${\mathit{\boldsymbol{H}}}$，通常采用MMSE估计。这样，要能准确地估计${\mathit{\boldsymbol{H}}}$，一个必要条件是${\text{rank(}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}{\text{)}} \geqslant KL$^[14]。但由于数值$KL$较大，要求训练时间较长，从而减少了数据传输次数。在实际系统中，一般采用${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_1} = {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_2} = \cdots = $ ${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_L} = {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}$，其中，${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}$为$K$阶酉矩阵。由此，${\text{rank(}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}{\text{)}} = K < KL$，信道${\mathit{\boldsymbol{H}}}$无法准确地被估计，从而产生导频污染。

在数据传送阶段，假设第l个小区的K个用户发送信息符号为${{\mathit{\boldsymbol{X}}}_l} \in {\mathbb{C}^{K \times {\text{1}}}}$。L个小区的所有用户发送信号为${\mathit{\boldsymbol{X}}} = {({\mathit{\boldsymbol{X}}}_1^{\text{t}}{\text{, }}{\mathit{\boldsymbol{X}}}_2^{\text{t}}{\text{, }} \cdots {\text{, }}{\mathit{\boldsymbol{X}}}_L^{\text{t}})^{\text{T}}}$。按照以上假设，基站的接收信号可以表示为：

式中，${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_l} = {({{\mathit{\boldsymbol{h}}}_{mkl}})_{M \times K}}$表示第l个小区的K个用户与目标小区基站之间的信道矩阵；信道矩阵${\mathit{\boldsymbol{H}}} = ({{\mathit{\boldsymbol{H}}}_{\text{1}}}, {{\mathit{\boldsymbol{H}}}_2}, \cdots , {{\mathit{\boldsymbol{H}}}_L}) \in {\mathbb{C}^{M \times LK}}$；$\rho $为信噪比(SNR)；${{\mathit{\boldsymbol{B}}}_l} = {\text{diag(}}\sqrt {{\beta _{{\text{1}}l}}} , \sqrt {{\beta _{2l}}} , \cdots , \sqrt {{\beta _{Kl}}} {\text{)}}$, ${\beta _{kl}}$为第l个小区的第k个用户的大尺度衰落系数，${\mathit{\boldsymbol{B}}} = {\text{diag(}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}_1}, {{\mathit{\boldsymbol{B}}}_2}, \cdots , {{\mathit{\boldsymbol{B}}}_L}{\text{)}}$；${\mathit{\boldsymbol{W}}} \in {\mathbb{C}^{M \times {\text{1}}}}$表示加性高斯白噪声矩阵，它的元素是零均值单位方差的复高斯随机变量。这一阶段的主要任务就是利用上一阶段所估计得到的信道矩阵${\mathit{\boldsymbol{H}}}$，从式(2)中解出信号${{\mathit{\boldsymbol{X}}}_1}$。

首先对式(1)中的矩阵$\mathit{\boldsymbol{B \boldsymbol{\varPhi} }}$做SVD分解，即：

式中，${{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{\text{0}}}$和${{\mathit{\boldsymbol{V}}}_{\text{0}}}$分别是$KL \times \tau $和$\tau \times \tau $维的酉矩阵；${{\mathit{\boldsymbol{D}}}_{\text{0}}}$是$\tau \times \tau $维的对角矩阵。

定义一个新的矩阵P，${\mathit{\boldsymbol{P}}}{\text{ = }}{{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{\text{0}}}{\mathit{\boldsymbol{U}}}_{\text{0}}^{\text{H}}$。显然，P是一个投影矩阵。由酉矩阵的特性可知，$\mathit{\boldsymbol{PB \boldsymbol{\varPhi} }} = \mathit{\boldsymbol{B \boldsymbol{\varPhi} }}$。基于以上分析，式(1)可以重新写为：

进一步对式(4)中的矩阵${\mathit{\boldsymbol{PB}}}$做SVD分解，即：

式中，${{\mathit{\boldsymbol{U}}}_\tau }$和${{\mathit{\boldsymbol{V}}}_\tau }$都是$KL \times \tau $维的酉矩阵；${{\mathit{\boldsymbol{D}}}_\tau }$是$\tau \times \tau $维的对角矩阵，其主对角线上的元素全部为正值。

定义${\mathit{\boldsymbol{H}}_\mathit{\boldsymbol{\tau }}}{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{H}}{\mathit{\boldsymbol{U}}_\mathit{\boldsymbol{\tau }}}$，${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }$是$M \times \tau $维的随机矩阵，并且有${\text{E}}[{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }^{\text{H}}]{\bf{ = }}\tau {{\mathit{\boldsymbol{I}}}_M}$，${\text{E}}[{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }^{\text{H}}{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }]{\bf{ = }}M{{\mathit{\boldsymbol{I}}}_\tau }$。因此，${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }$是一个标准的复高斯随机矩阵。结合式(4)和式(5)可以得到：

根据式(6)，使用MMSE估计出信道矩阵：

下面重新考虑式(2)，使用${{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{KL}} = {\mathit{\boldsymbol{P}}} + ({{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{KL}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}})$，可以得到：

式中，${{\mathit{\boldsymbol{W}}}_\tau }{\text{ = }}\sqrt \rho {\mathit{\boldsymbol{H}}}({{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{KL}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}}){\mathit{\boldsymbol{BX}}}{\text{ + }}{\mathit{\boldsymbol{W}}}$。

从式(6)和(7)可以看出，${\text{rank(}}{{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }{\text{)}} = {\text{rank(}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}{\text{) = }}\tau $，所以当$\rho $趋于无穷时，信道矩阵${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }$可以被准确地估计出来^[14]。这样可以假设式(8)中的${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }$是已知的，便得到所需要的等价系统模型。另一方面，由于${{\mathit{\boldsymbol{H}}}_\tau }$的维数大大低于原信道矩阵${\mathit{\boldsymbol{H}}}$的维数，因而在实际的信道估计及相应的MMSE解码中，其计算复杂度得到有效降低。以下，对此模型进一步分析，并引入系统指标数这一概念。

对式(3)和式(5)中的参数进行具体计算。假设L个小区的用户都用QAM作为星座，每个小区使用相同的训练符号，即${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}} = {({{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}{\text{, }}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}{\text{, }} \cdots {\text{, }}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0})^{\text{T}}}$，此处${{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}$是一个$K \times K$酉矩阵。

基于以上假设，矩阵$\mathit{\boldsymbol{B \boldsymbol{\varPhi} }}$的SVD分解为${{\mathit{\boldsymbol{U}}}_0}{{\mathit{\boldsymbol{D}}}_0}{\mathit{\boldsymbol{V}}}_{\text{0}}^{\text{H}}$，其中：

由此可得：

令：

这样就可以得到${{\mathit{\boldsymbol{U}}}_\tau }{{\mathit{\boldsymbol{D}}}_\tau }{{\mathit{\boldsymbol{V}}}_\tau }^{\text{H}} = {\mathit{\boldsymbol{PB}}}$。式(8)可表述为：

根据式(15)，可以将原系统等价地解释为如下系统：假设原系统第l个小区的第k个用户使用星座${\text{QA}}{{\text{M}}_{kl}}$，其中，${\text{QA}}{{\text{M}}_{kl}} = \left\{ z \right.\left| {z = } \right.{n_1}d + j{n_2}d, {n_1}$, ${n_2} \in $ $\left. M \right\}$，$M{\text{ = }}\{ - (2N - 1), - (2N - 3), \cdots , 2N - 3, 2N - 1\} $，$N = {2^n}$，$d = \sqrt {3/(2(4{N^2} - 1))} $，n为正整数。新系统的信噪比为${\rho _\tau }$，即$\rho {\text{/}}\sigma _\tau ^{\text{2}}$，其中$\sigma _\tau ^{\text{2}} = 1 + $ $\rho {\text{tr(}}{{\mathit{\boldsymbol{B}}}^{\text{H}}}({{\mathit{\boldsymbol{I}}}_{KL}} - {\mathit{\boldsymbol{P}}}){\mathit{\boldsymbol{B}}}{\text{)}}$。新系统中用户k采用星座：

等价系统模型是在原系统模型${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}} = {({{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}, {{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0}, \cdots {\text{, }}{{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varPhi} }}}_0})^{\text{T}}}$的条件下推导得出的，其余的系统参数与系统假设都没有改变，因而，在此条件下系统模型(15)和式(2)是等价的。但两个系统之间有两点不同：1)原系统即使在信噪比$\rho $足够大时，也不能准确地估计出信道，而新系统却可以；2)信号使用的星座不一样，原系统选用${\text{QA}}{{\text{M}}_{kl}}$星座，新系统的星座是${\text{QA}}{{\text{M}}_{kl}}$的线性组合，它和${\text{QA}}{{\text{M}}_{kl}}$有关系却又独立于${\text{QA}}{{\text{M}}_{jl}}(j \ne k)$。因此，信息解码的主要任务是如何从${\Re _k}$中区别出所需要的信号。${\Re _k}$集合可以分成${\text{4}}{N^2}$部分：

显然，当目标小区的第k个用户的发送信号为$z \in $ ${\text{QA}}{{\text{M}}_{k1}}$时，就相当于新系统中发送${\Re _{k, z}}$集合中的任意一个信号。例如，当信号$z = {z_0}$，${z_0}{\text{ = (1 + }}j{\text{)/}}\sqrt {\text{2}} $时，${\Re _{k, {z_{\text{0}}}}}$集合以${\beta _{k1}}{z_0}/\sqrt {{\beta _{k1}} + {\beta _{k2}} + \cdots + {\beta _{kL}}} $为中心点，而${\text{(}}{\beta _{k1}}{z_0} - $ $(2N - 1)({\beta _{k2}} + {\beta _{k3}} + \cdots + {\beta _{kL}}){z_0}{\text{)/}}$$\sqrt {{\beta _{k1}} + {\beta _{k2}}{\text{ + }} \cdots + {\beta _{kL}}} $是距离这个中心点最远的点。另一方面，对于任意的信号$z \in {\text{QA}}{{\text{M}}_{k1}}$，${\Re _{k, z}}$可以由${\Re _{k, {z_0}}}$平移而得到。基于以上分析可知，若满足条件：

${\text{conv(}}{\Re _{k, z}}{\text{)}}$与${\text{conv(}}{\Re _{k, z'}}{\text{)}}$，$z \ne z'$时就会分开，从而降低系统的误码率，其中${\text{conv(}}\mathit{\Theta } {\text{)}}$表示由集合$\mathit{\Theta } $所生成的凸集。

因此，定义：

并把这些数值称为“系统指标数”。可知，系统指标数越大，${\Re _k}$的任意两个子集之间间距就越大，从而使得解码时的误码率降低，系统性能提高。

显然，系统指标数依赖于大尺度衰落系数${\beta _{kl}}$。一般情况下，大尺度衰落系数取决于基站与用户(包括干扰用户)之间的距离或者说是基站与基站间的距离及阴影衰落。为了得到较好的系统性能，下一节将在系统指标数大于零的前提下，针对室内毫米波环境，求出基站之间的合理距离。

为了方便了解室内信道的传播特性，通常使用经验路径损耗模型。常用的室内损耗模型有衰减因子模型、对数距离损耗模型、CI(close-in free space reference distance)损耗模型、FI(floating-intercept)路径损耗模型和ABG(alpha-beta-gamma)模型等。本文仿真选用已得到普遍认可并得到实际验证的CIX路径损耗模型^[13]：

式中，d₀表示参考距离，通常情况下，d₀=1 m；d表示基站与用户之间的距离，d≥1；n表示路径损耗指数；$10n{\log _{10}}(d/{d_0})$表示在相对距离d上的路径损耗，单位为dB；XPD表示同极化天线接收信号与交叉极化天线接受功率的比值；${\text{FSPL}}(f, {d_0})$表示载波频率为f、参考距离为1m时的自由空间传播损耗：

式中，$\lambda $表示波长。

在性能评估中，总是要用到路径损耗和阴影衰落的相关模型。大尺度衰落系数${\beta _{kl}}$、路径损耗PL以及阴影衰落有关系式^[15]：

式中，${\chi _\sigma }$为阴影衰落，服从均值为零，标准偏差为${\sigma _{{\text{dB}}}}$的正态分布。

在仿真中，有7个小区，每个小区有3个用户，载波频率为73 GHz，信噪比固定为8 dB，用户信号为4-QAM。在小区基站的覆盖半径范围内，基站覆盖半径统一取为10 m，同一个小区的用户都设定在小区的边缘，即同一个小区的用户到基站的距离为10 m。由于室内环境复杂，以及建筑材质对电磁波的强烈屏蔽作用，目标小区和干扰小区的通信环境有所不同，如表 1^[13]所示。

为了叙述方便，令${\sigma _{\text{1}}}{\text{ = 4}}{\text{.6}}$，${\sigma _{\text{2}}}{\text{ = 13}}{\text{.2}}$。

为了考虑${\chi _\sigma }$的影响，假设$X \sim N(\mu , {\sigma ^2})$，则有：

1) 数值分布在$(\mu - \sigma , \mu {\text{ + }}\sigma )$中的概率为0.682 6；

2) 数值分布在中的概率为0.954 4；

3) 数值分布在中的概率为0.997 4。

在求解干扰用户与基站的间距时，由于阴影衰落${\chi _\sigma }$的随机性，运用上述事实，将式(22)中的阴影衰落${\chi _\sigma }$分别取为具有代表性的固定值，即${\text{3}}\sigma $、${\text{2}}\sigma $、$\sigma $和0。若干扰用户的阴影衰落取为0，则相当于干扰用户处于本小区，因此不作考虑。本文将系统指标数$\gamma $统一取为0.3，计算结果可结合式(19)~式(22)得到。例如，当本小区和干扰小区的阴影衰落都取为${\text{3}}\sigma $时，利用式(22)可以求出第一个小区的第一个用户与基站的大尺度衰落系数${\beta _{{\text{11}}}} = {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{(}} - {\text{PL}}({\text{73}}, {\text{10}}) - {\text{3}}{\sigma _{\text{1}}}{\text{)/10}}}}$，而干扰小区l的第一个用户与基站的大尺度衰落系数等于${\beta _{1l}} = {\text{1}}{{\text{0}}^{{\text{(}} - {\text{PL}}({\text{73}}, d){\text{ + 3}}{\sigma _{\text{2}}}{\text{)/10}}}}$。根据式(19)，在${\gamma _{\text{1}}}{\text{ = 0}}{\text{.3}}$的条件下，求出干扰小区l的第一个用户与基站之间的间距d=143.42 m。与此类似，可以求出的各种情况下的干扰用户到基站的距离，如表 2所示。

图 1~4为在k=3，L=7，SNR=8 dB时，干扰用户到基站距离的性能比较。考虑到实际环境的复杂性，仿真中本小区和干扰小区的阴影衰落${\chi _\sigma }$都取均值为零、标准方差为$\sigma $的高斯随机值。

图  1  干扰用户与基站距离不同时，符号错误概率随天线数的变化

图  2  干扰用户与基站距离不同时符号错误概率随天线数的变化

图  3  干扰用户与基站距离不同时符号错误概率随天线数的变化

图  4  干扰用户与基站距离不同时，符号错误概率随天线数的变化

从以上4个仿真图中可以看出，干扰用户与基站之间的距离固定时，其符号错误概率随着天线数的增加而降低，说明天线数量的增加，可以提高基站与用户之间的通信质量。综合表 2和4个仿真图可知，由于阴影衰落的随机性，干扰用户到基站的距离为39.74~57.87 m之间时，系统性能较好。在干扰用户到基站的距离大于57.87 m后，其相应的系统性能并没有比距离为57.87 m时的性能提高很多。这是因为当干扰小区与基站的距离在相对较短的范围内时，目标小区所受到的干扰主要来自于干扰小区的用户。而当干扰用户到基站的距离增大到一定程度后，由于信道的不完全正交，本小区用户之间的干扰成为主要因素，从而性能增益较小。因此，当基站与基站之间的距离在50~68 m(39.74 m和57.87 m分别加上基站的覆盖半径10 m)之间时，干扰用户对基站的干扰得到有效的抑制。

本文基于大规模上行MIMO系统，提出一种合理分布基站的方法，以减少导频污染所造成的性能损失，并用室内毫米波环境对方法进行了仿真证实。在系统模型的基础上，对信道矩阵进行多次SVD分解，提出一个等价系统模型，从而分析得出了一个能够判断基站合理分布的准则。仿真结果显示，按照此准则求出基站与基站之间的距离，并以此距离部署基站，此时的系统具有较好的性能。