两个任意频率信号间的相位差变化可以用最小公倍数周期、最大公因子频率、等效鉴相频率、量化相移分辨率等概念来描述^[8-10]：

式中，${f_1}$和${f_2}$分别是两个比对信号的频率；A、B为两个互素的整数；${f_{\max c}}$是最大公因子频率；${f_{{\rm{equ}}}}$是等效鉴相频率；$\Delta T$是量化相移分辨率。比对信号的相位差${V_t}$以${T_{\min c}}$为周期变化，如图 1所示。其中，${T_{\min c}}$是两个比对信号的最小公倍数周期，也是${f_{\max c}}$对应的周期值。

图  1  两个周期性信号的相位比对

可以证明，无论两个频率值关系如何，将${T_{\min c}}$中的相位差排序后都可以类比为一个等差数列^[11]，各相位差${\theta _i}$可表示为：

式中，${\theta _0}$为初始相位差；${\theta _i}$对应的范围是0~$2\pi $。因此量化相移步进值$\Delta T$本质上是一种量化现象的体现。$\Delta T$对应的频率${f_{{\rm{equ}}}}$远大于这两个比对信号的频率，它是对两个信号之间相互的相位、频率关系的更高分辨率的反映^[12]。因此结合$\Delta T$这一量化特征的测量可以得到高的分辨率，它的大小取决于两个信号的频率关系。类似于A/D中的量化效应，在频率测量和处理中$\Delta T$带来的量化误差也是不可完全消除的。

由图 1a可以看出，当两个信号的频率关系特殊时，${T_{\min c}}$相位差是单调变化的，表现为时钟游标的关系。在数字方法中，这体现为采样位置在被测波形上的单方向移动，如图 2所示，也反映出采样电压与相位值之间存在对应关系，可以获得以数字代表的连续量化的相位差信息。

图  2  频率标称值相同信号间的电压采集示意图

本文讨论的$\Delta T$不同于传统方法中的量化相移，它是完全基于数字背景下的量化分析，利用采样值反映相位的特点。图 3为周期性信号的数字化测量框图。经过前端处理后，对被测信号直接采样。图a是用单个A/D时，参考信号作为时钟直接采集被测信号；图b是两个A/D的情况下参考和被测信号共用一个时钟。采样值与相位差相互对应，因此在数字化处理中就可以利用周期性出现的几乎完全相同的某一固定的采样点(相位差值)作为测量闸门开关的标志，这样可以实现闸门与两个信号严格的多周期同步，消除传统方法中±1的计数误差。

图  3  周期性信号的数字化测量方法

通过判断A/D采集数据的过零点产生一个数字的计数闸门，在此闸门内对参考信号和被测信号计数(FPGA完成)，最终结合式(3)可以得到被测信号的频率^[13]：

式中，${f_{\rm{o}}}$、${f_x}$分别是参考信号与被测信号的频率；${N_{\rm{o}}}$、${N_x}$分别是在测量闸门时间内参考信号与被测信号的计数值；$\Delta \delta $是闸门信号与参考、被测信号不同步而导致的误差。

频率测量精度取决于计数闸门与两路信号的同步状态，采用某一固定点来开关闸门，需要考虑两种量化误差对精度的影响。通常$\Delta T$越小代表测量分辨率越高，因此在实验中可以选择有特殊关系的频率得到较小的$\Delta T$，但是这样会限制频率的测量范围。A/D的量化作用是对于信号随着周期性$\Delta T$的步进变化的区分能力，A/D的量化误差与转换位数有关，为了得到高精度可以选择较高位数的A/D，但必须考虑到转换速率对频率测量范围的限制等影响因素。此外，两种量化现象虽然各自独立，但两种量化误差大小关系不同，导致最终影响测量分辨率的要素也不同。即在A/D的量化值比$\Delta T$的步进值更精细时，采样数据大小与相位值是一对一的，此时决定测量分辨率的往往是$\Delta T$的步进量化影响；当A/D的量化值比$\Delta T$的步进值更粗糙时，不同相位值对应的采样值大小相等，此时决定测量分辨率的将是A/D量化值的影响(A/D分辨率的稳定度)。这也是采用最新的A/D模拟—数字转换方法进行周期性信号间相位处理时的原则。

虽然是等时间间隔采样，但采集的电压数据是非线性变化的，且一般过零点所在的线性区是采集数据变化率最高的区域，这也就意味着以过零点附近的数据作为闸门开启、关闭的标志将得到最高的测量分辨率，即分辨率与采样点位置有关。如果选择波峰或波谷的位置作为闸门开闭的标志，很难得到A/D量化误差小于$\Delta T$相位变化的情况。因此，为了得到更高分辨率以及比较两种误差的影响，本文主要分析过零点。调节被测模拟输入信号的电平以及时钟信号与被测信号的频率关系，得到两种不同的量化误差关系，在线性区可以明显发现二者的差异性。

当A/D量化比$\Delta T$更精密时，即在线性区(图中放大部分)A/D可以将被测信号的相位信息精细分辨出来，如图 4所示，相位与采样值一一对应。

图  4  A/D量化误差比相位步进$\Delta T$精细

$\Delta T$比A/D量化更精密时，如图 5所示，即使在线性区也很难从采样数据中得到唯一的相位信息，即很难捕捉到理想的相位零点，最终的结果是同一个采样值重复出现多次，即需要经过多个采样周期，A/D采样值才能够发生跳变。图 4和图 5的采样值分别是在各自一个最小公倍数周期内得到的离散值，是大量采样时钟下的集中表现。

图  5  相位步进$\Delta T$比A/D量化误差精细

通过比较图 4与图 5，可以发现以相位零点作为闸门开关的标志，两种量化误差大小关系不同时，闸门作用的时间不同，测量分辨率也不同。与传统的利用门电路判断相位重合的方法相比，数字采样的方法更加灵活。但最终决定闸门开关的仍然是信号间的相位关系。

采样结果存在两种量化误差，受噪声影响会导致多个递进排列的模糊区，模糊区的形式与两种量化误差的关系相关。跳变边沿衔接相邻的模糊区，边沿的稳定性取决于测量装置分辨率的稳定性，往往比分辨率本身要高很多。边沿效应的优势表现在利用的是分辨率的稳定度而非分辨率自身。

如图 6所示，分辨率有限导致采样值是类似“台阶”步进的，在边沿位置信号处于量化过渡状态。图中开关处的两个边沿各存在${\delta _1}$与${\delta _2}$的误差，误差大小与分辨率有关；而稳定度体现为${\delta _1}$与${\delta _2}$的微小差值。通过捕捉边沿产生测量闸门，可大大提高闸门与相位的同步性，最终误差$\Delta \delta $取决于分辨率的稳定度，$\Delta \delta $远小于${\delta _1}$与${\delta _2}$的值。因此利用边沿效应能够有效抑制量化误差的影响，提高测量精度。

图  6  边沿效应在数字化中的应用

为了验证上述两种量化现象，并分析抵消量化误差影响的方法，使用罗德施瓦茨SMB100A与泰克AFG3101C信号发生器及凌力尔特公司的10位A/D-LTC2288进行实验。在自校情况下，OSA公司的恒温晶振8607输出的10 MHz作为公共参考基准信号，用来锁定SMB100A(输出A/D时钟信号)与AFG3101C(输出被测频率信号)。在互比情况下，5 MHz与10 MHz的两个恒温晶振分别作为SMB100A与AFG3101C的参考基准。调整被测信号频率，以周期出现的过零点为计数标志，计数值反映被测频率值。实验结果如表 1所示，稳定度由阿伦方差获得^[14]。

当被测频率${f_x}$=10.000 001 MHz时，与10 MHz参考信号的量化相移分辨率是0.01ps，等效鉴相频率是100 THz。由于信号发生器与测量线路噪声的影响，理论精度难以达到。测量结果与比对信号关系有关，其提高受限于两比对信号间量化相移误差的限制，在比对信号相同条件下互比结果普遍比自校低近一个量级，这与实际情况相符。

如果两个信号的频率呈倍数且存在微小偏差(如表 1中的前5个频点)，在时钟游标关系下，采集点呈规律变化，可以发现模糊区的边沿。利用10 bit A/D测量10 MHz信号，理论测量分辨率在-10量级左右。对于10.000 001 MHz信号，在互比情况下秒级稳定度得到6.58×10^-12的结果，这说明结合数字化边沿处理技术，分辨率可以提高一个量级以上。实验表明合理利用A/D分辨率的稳定度，测量结果会高出分辨率本身数百倍。当信号间频率关系任意(如表 1中的后3个频点)，采集数字量的变化毫无规律性，难以捕捉边沿状态。受限于A/D分辨率，测得精度较低。因此，为了应用边沿效应抑制量化误差，常常要通过信号处理，将时钟频率转换到特殊关系下。

最近这种数字处理的方法也在频率控制方面获得了应用，取得了和单独测量所不同的效果。由此，认识到在测量状态下参考和被测这两个独立的信号之间相位状态具有明显的随机性，所以前面分析的$\Delta T$作为一种误差源正是按照周期步进、多周期组合产生的，是客观存在的。但是在目前应用更广泛的频率变换和控制方面，尤其是$\Delta T$值本身就比较大的情况下，则有可能通过控制的环节并发挥A/D转换器相对高的分辨率，使得对于被控振荡器锁定在$\Delta T$的相位量化步进的边沿处，因此同步的精度得到进一步的提高。例如，10 MHz和10.23 MHz信号之间的$\Delta T$的值只能达到0.1 ns左右，但是通过控制和调节，使得信号间的同步精度达到5 ps左右，保证了被控制信号的频率稳定度。

进一步的数字处理可以提高测量精度，但一般情况下难以超越$\Delta T$自身。使用更高位数的A/D会得到更高的测量分辨率，但需要考虑外部干扰噪声以及A/D自身噪声的影响，量化相移步进将隐藏于采样数据中，此时需要噪声抑制处理以及对应算法将边沿信息提取出来。相比Symmetricom3120A和5125利用的数字化的双混时差测量技术，本实验利用的是直接数字采集的结果，通过数字化的相检宽带测频技术与边沿处理相结合，噪声及A/D量化等限制在后期的数据处理过程中得到明显的改善。

本文分析了在数字化处理中存在的两种量化误差，并提出了利用边沿效应的处理方法。A/D量化误差取决于器件本身，相位步进量化误差与比对信号频率关系相关，二者相互独立，大小关系不同，分析方法也不一样。但两者都属于原理性误差，在实体的线路和装置中会体现出来共同制约精度的提高。虽然误差不可避免，但在一定条件下结合边沿效应，误差得到抑制，分辨率可以提高一个量级以上。边沿效应的特点在于利用装置分辨率的高稳定度提高测量精度，这种分析和处理方法在频率、相位、瞬态稳定度、交流信号波形等参数的精密测量、控制中发挥重要作用。对两种量化误差的深入分析，有利于从根本上理解数字化测量，打破传统的对量化误差的认知，找到抑制量化误差的方法，为数字化的处理方法提供新的途径。