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无论是时间交织ADC系统[1](TIADC)还是频率交织ADC系统[2](FIADC)，在利用多通道采集技术合成高采样率信号输出时，必然存在诸多恶化信号质量的误差源。而且，根据系统结构的不同，误差来源的种类以及大小各异，对系统性能产生的影响也将随之变化。
作为两种研究热点型的多通道采集系统，TIADC和FIADC均存在一类相同的误差源，即通道信号自输入到完成量化处理过程中出现的失配误差[3]，通常由偏置误差、增益误差和时间误差组成。不同的是，两者在通道失配误差影响下的稳健性表现不一[4]，而且FIADC还存在另外一个特殊的误差来源，即通道采样过程中的模拟滤波器实现误差[5]。
现已有大量的研究针对TIADC的误差分析[6]，包括误差校正[7]等方面展开，结论也相对成熟，但关于FIADC的误差研究仍有待进一步发展。较为典型的研究源自文献[8]，对增益误差和时间误差进行了简要分析，但未包含偏置误差，且并未论及由失配误差造成的杂散噪声与输入信号之间的关系。本文深入剖析了FIADC的模拟实现误差和通道失配误差。以正弦激励为对象，根据采样样本数据的离散傅里叶变换评估采样通道模拟滤波器实际工作的频率响应，有助于规避实现误差对重构滤波器设计及系统性能的影响。同时，建立了通道失配误差模型，为简化理论推导，以4通道系统为例对偏置误差、增益误差和时间误差进行了独立探讨，获得了各误差的数学代表式；分析了各误差对输出信号频谱产生的有规律的杂散特性及这些杂散与输入信号之间的相关性，并通过仿真对分析进行了验证。
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典型的总体采样周期为Ts(采样频率为fs)的M通道频率交织ADC系统的信号处理结构如图 1所示，图 2简要显示了处理过程中的频谱变换示意图。
图 1 FIADC系统的信号处理结构
图 2 FIADC系统的信号频谱变换示意图
采样过程时，利用并行的M通道模拟采样滤波器${\phi _m}(t)$对输入宽带信号进行分频段过滤，那么量化转换过程即可采用采样周期为MTs的低速ADC实现，得到第m通道样本xm[n]的傅里叶变换为：
$$\begin{gathered} {X_m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{1}{{M{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{r = - \infty }^{ + \infty } {X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2\pi r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right){\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2\pi r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \\ \end{gathered} $$ (1) 式中，$X({\rm{j}}\omega )$和${\varPhi _m}({\rm{j}}\omega )$分别为输入信号和第m通道采样滤波器的频率响应。
考虑信号x(t)的带限特性，即$\left| \omega \right| \leqslant \pi /{T_{\rm{s}}}$，则针对FIADC系统的研究可只集中在区间$r \in [0, M - 1]$内。输出信号y[n]的频域结果可通过依次对各通道的离散样本信号进行M倍插值、${\varphi _m}[n]$重构滤波、及加和合成处理而得到：
$$ \begin{array} [c]{c} Y({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{X_m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega M}}){\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})} = \\ \frac{1}{{M{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{r = 0}^{M - 1} {X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right)} } \cdot {T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) \end{array} $$ (2) 式中，${\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$为重构滤波器${\varphi _m}[n]$的频率响应；${T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$为整系统的总体传递函数且：
$${T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{1}{{M{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{\varPhi _m}} \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right){\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$$ (3) 若${T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$满足：
$${T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \left\{ \begin{array} [c]{l} A{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\omega \tau }}\qquad r = 0 \\ 0{\qquad \qquad}r \in [1, M - 1] \\ \end{array} \right.$$ (4) 则输出信号是输入信号的无失真恢复，实现了完美重构[9]。其中A为整个信号处理链路的幅值增益；$\tau $为整个信号处理链路的延迟因子。输出y[n]可视为输入x(t)在采样周期为Ts的条件下完成量化的结果，有：
$$y[n] = Ax(n{T_{\rm{s}}} - \tau )$$ (5) FIADC系统主要基于频率维度对信号完成模拟域至数字域的转换，与TIADC系统存在一定的差异，其系统误差主要体现在采样滤波器模拟特性引起的实现误差，通道采样失配引起的偏置误差、增益误差和时间误差。
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频率交织FIADC系统是一种复杂的模数混合系统，要求采样滤波器的布局位于ADC之前，故采样滤波器的设计参数直接影响了后续重构滤波器的设计复杂度，也是系统全局性能的决定性因素之一。然而，在进行采样滤波器的工程实现时，其基本组成元器件如晶体管、电容电阻等，均存在无法预知的多种模拟误差，在生产环境、工艺过程及随时间老化等因素的影响下，这些误差表现更甚。因此，有必要对这种具有模拟特性的采样滤波器实现误差进行分析。
令$\varPhi _m^{†} ({\rm{j}}\omega )$代表存在实现误差时采样滤波器的实际频响，对应地用$x_m^{†} [n]$表示此种情况下ADC采样后的各通道信号样本，则其频域表征为：
$$\begin{gathered} X_m^{†} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{1}{{M{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{r = 1}^{M - 1} {X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right) \cdot \;} \varPhi _m^{†} \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right){\rm{ }} \\ \end{gathered} $$ (6) 不失一般性，利用标准正弦信号作为激励，即：
$$x(t) = \cos ({\omega _0}t)$$ (7) 式中，${\omega _0} = 2\pi {f_0}$，${f_0}$为正弦信号频率。则式(6)可转换为：
$$ \begin{array} [c]{c} X_m^{†} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{M{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{r = 1}^{M - 1} {\left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} + {\omega _0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right. + } \\ \left. {\delta \left( {\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\omega _0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \cdot \varPhi _m^{†} \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2\pi r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right) = \\ {\rm{ \mathsf{ π} }}\sum\limits_{r = 1}^{M - 1} {[\delta (\omega + {\omega _0}M{T_{\rm{s}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}r)} + \\ \delta (\omega - {\omega _0}M{T_{\rm{s}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}r)] \cdot \varPhi _m^{†} \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{M{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right) \end{array} $$ (8) 根据离散傅里叶变换(DFT)原理，即信号的N点DFT结果是在区间$[0, 2{\rm{ \mathsf{ π} }}]$内对其傅里叶变换(FFT)结果进行的N点抽样[10]。那么，对式(8)进行N点抽样可得到$x_m^{†} [n]$的N点DFT结果为：
$$ \begin{array} [c]{c} X_m^{†} [k] = X_m^{†} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}){|_{\omega = 2{\rm{ \mathsf{ π} }}k/N}}{\rm{ = }} \\{\rm{ \mathsf{ π} }}\sum\limits_{r = 1}^{M - 1} {\left[ {\delta \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}k}}{N} + {\omega _0}M{T_{\rm{s}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}r} \right)} \right.} + \\ \left. {\delta \left( {\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}k}}{N} - {\omega _0}M{T_{\rm{s}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}r} \right)} \right] \cdot \varPhi _m^{†} \left( {{\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}k}}{{NM{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{M{T_{\rm{s}}}}}} \right) \end{array} $$ (9) 式中，$k \in [0, N - 1] \cap \mathbb{Z}$。根据信号离散傅里叶变换的周期特性，针对式(9)的研究集中在r=0即可。同时，若在选取激励信号频率${f_0}$时，满足${f_{\rm{s}}}\bmod {f_0} = 0\;$，“mod”表示求余，则式(9)可转化为：
$$X_m^{†} [k] = \left\{ \begin{array}[c]{l} {\rm{ \mathsf{ π} }}\varPhi _m^{†} {\rm{(}}j{\omega _0}){ \qquad }k = \frac{{{f_0}}}{{{f_{\rm{s}}}}}NM \\ 0{\qquad \qquad}k \ne \frac{{{f_0}}}{{{f_{\rm{s}}}}}NM\; \\ \end{array} \right.$$ (10) 根据式(10)，在进行离散傅里叶变换时，计算点数N应满足$NM\bmod \;{f_0}/{f_{\rm{s}}}\; \equiv 0$。
另外，基于可获得的采样样本信号$x_m^{†} [n]$，可对其直接进行N点DFT数学计算得到$X_m^{†} [k]$为：
$$X_m^{†} [k] = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x_m^{†} [n] \cdot W_N^{kn}} {\rm{ }}k \in [0, N - 1]$$ (11) 式中，$W_N^{kn} = {{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2\pi }}{N}}}$称为旋转因子。
结合式(10)和式(11)可知：
$$\varPhi _m^{†} {\rm{(j}}{\omega _0}{\rm{) = }}\frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\max \{ X_m^{†} [k]\} = \frac{1}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}\max \left\{ {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {x_m^{†} } [n]{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}k}}{N}}}} \right\}$$ (12) 根据式(12)，将信号频率${\omega _0}$在采样滤波器的通带范围内设置为不同的值，通常采用均匀离散化的设置方式，即可拟合出$\varPhi _m^{†} {\rm{(j}}\omega {\rm{)}}$的全局频率响应曲线。同时，基于已设计的采样滤波器频响函数$\varPhi _m^{}{\rm{(j}}\omega {\rm{)}}$参数，可进一步计算出实际工作时频响函数$\varPhi _m^{†} {\rm{(j}}\omega {\rm{)}}$的参数。因此，FIADC的实现误差可表示为：
$${\gamma _m}({\rm{j}}\omega ) = \left| {\varPhi _m^{}{\rm{(j}}\omega {\rm{)}} - \varPhi _m^{†} {\rm{(j}}\omega {\rm{)}}} \right|$$ (13) FIADC的实现误差${\gamma _m}({\rm{j}}\omega )$是一种数学推导结果，但在实际应用中，采样滤波器的模拟特性受现实影响的因素太多，甚至在前、后一秒钟的表现也可能存在较大差异。因此，对于模拟实现误差的处理手段，主要集中在获取采样滤波器的实际工作频率响应$\varPhi _m^{†} {\rm{(j}}\omega {\rm{)}}$。
为直观呈现实现误差造成的差异性现象，针对一种4通道FIADC系统展开分析。其中，系统总体采样率为100 MSPS，采样滤波器选用标准的巴特沃斯滤波器，且第1通道阶数为1，第2~第4通道阶数为2。
图 3~图 5所示为理想的采样滤波器和实际工作的采样滤波器频率响应结果。
图 3 4通道采样滤波器的幅频响应
图 4 第1通道采样滤波器的相频响应
图 5 第2~4通道采样滤波器的相频响应
值得提出的是，在FIADC系统中，采样滤波器的设计会随着阶数的增加而变得异常困难，同时，采样滤波器的通带纹波和非恒定群延迟亦会导致需要设计高阶的重构滤波器以达到精确重构。因此，具备无通带纹波、通带幅值响应单调变化、以及群延迟恒定3大特性的巴特沃斯滤波器，是一种非常合适的选择。
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与TIADC系统类似，FIADC系统仍然存在通道失配误差，只是其表征形式有所差异。通道失配误差主要包含偏置误差${o_m}$、增益误差${g_m}$和时间误差$\Delta {t_m}$，典型的第m通道误差模型如图 6所示。理想情况下，应有：
图 6 典型的通道失配误差模型
$${o_m} = {g_m} = \Delta {t_m} = 0$$ (14) 式中，$\Delta {t_m}$表征了各通道ADC工作时钟有效边沿的相位差。通过对等变换，将该因子从ADC时钟当中提取出来，得到图 6的等效模型如图 7所示。
图 7 图 6的等效模型
为了简化分析且不失一般性，令通道数M=4，且输入信号x(t)为满足式(7)的正弦激励。则${X_m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$可重写为：
$$ \begin{array} [c]{c} {X_m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {(1 + {g_m})X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{4{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) \times } \right.} \\ {\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{4{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\left( {\frac{\omega }{{4{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)\Delta {t_m}}} + \\ \left. {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{o_m}\delta \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{4{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \end{array} $$ (15) 输出信号的傅里叶变换$Y({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$亦可重写为：
$$ \begin{array} [c]{c} Y({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})} \sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {(1 + {g_m})X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_s}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right.} \times \\ {\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)\Delta {t_m}}} + \\ \left. {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{o_m}\delta \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \end{array} $$ (16) 对式(16)中的因子${{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}(\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}){\rm{\Delta }}{t_m}}}$进行泰勒级数[11]展开且忽略高阶项，则式(16)可简化为：
$$Y({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \sum\limits_{r = 0}^3 X \left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right){T_{\rm{r}}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) + \varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$$ (17) 式中，$\varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$为FIADC系统的总体通道失配误差，表示为：
$$ \begin{array} [c]{c} \varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{\varPsi _m}} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})\sum\limits_{r = 0}^3 {\left\{ {\left[ {{g_m} - {\rm{j}}\left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right.} \right.} \times \\ \left. {\;(1 + {g_m})\varDelta {t_m}} \right]X\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right){\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + \\ \left. {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{o_m}\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right\} \end{array} $$ (18) 根据正弦函数的频率响应特点，式(18)等效为：
$$ \begin{array} [c]{c} \varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{\varPsi _m}} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})\sum\limits_{r = 0}^3 {\left\{ {{\rm{ \mathsf{ π} }}[{g_m} - {\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0}(1 + {g_m})\varDelta {t_m}] \times \;} \right.} \\ \left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + \delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \times \\ \left. {{\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{o_m}\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right\} \end{array} $$ (19) 从式(19)可知，FIADC系统中的增益误差和时间误差存在关联作用，而偏置误差却是独立的。
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为仅对偏置误差进行分析，令${g_m} = \varDelta {t_m} = 0$，则式(19)可简化为：
$$\varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{2{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{o_m}{\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})\sum\limits_{r = 0}^3 {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} } $$ (20) 假设4个通道的偏置误差均不同，那么式(20)表征了系统的偏置误差会在归一化频率为${\rm{ \mathsf{ π} }}r/2$，$r = 0, 1, 2, 3$处引起固定的杂散噪声尖峰，且尖峰幅值与几乎与输入信号完全独立。同时，由式(20)可见，$\varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$的幅值主要由偏置误差${o_m}$和重构滤波器${\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$的乘加结果决定。如果${\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$为理想滤波器，噪声尖峰的幅值则仅由4个通道的偏置误差${o_m}$决定。
假设系统总体采样率为${f_{\rm{s}}} = 1/{T_{\rm{s}}} = 100{\rm{ MSPS}}$，且输入信号频率为${f_0} = 8{\rm{ MHz}}$，图 8为该FIADC系统在频率轴[0, 0.55fs]上输出功率谱。可见，在DC，fs/4、fs/2位置处均出现了杂散噪声尖峰，印证了上述分析结论。
图 8 存在偏置误差的FIADC输出频谱
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仅对增益误差进行分析，令${o_m} = {\rm{\Delta }}{t_m} = 0$，则式(19)可简化为：
$$ \begin{array} [c]{c} \varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{\varPsi _m}} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})\sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right.} + \\ \left. {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \cdot {\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) = \\ {\rm{ \mathsf{ π} }}\sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + } \right.} \\ \left. {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right]{T_{rg}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) \end{array} $$ (21) 式中，
$${T_{rg}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{g_m}{\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)\;} {\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$$ (22) 式(21)表明增益误差同样会产生杂散噪声尖峰，且尖峰位置为：
$${f_{{\rm{noise}}}}{|_{{\rm{gain}}}} = \pm {f_0} + \frac{{r{f_{\rm{s}}}}}{4}$$ (23) 式中，$r = 0, 1, 2, 3$。式(22)代表了增益误差的传递函数，与偏置误差不同，由增益误差引起的噪声尖峰幅值与原始信号的幅值和频率相关。同样在100 MSPS采样条件下，图 9和图 10分别为输入频率为8 MHz和23 MHz时的输出功率谱，两个输入信号幅值相同。
图 9 存在增益误差的FIADC输出频谱(输入8 MHz)
图 10 存在增益误差的FIADC输出频谱(输入23 MHz)
图 9中，17 MHz处的杂散尖峰(由fs/4-f0=17 MHz和3fs/4+ f0=83 MHz叠加所得)幅值大于33 MHz处的杂散尖峰(由fs/4+f0=33 MHz和3fs/4-f0=67 MHz叠加所得)幅值，原因在于：
$$ \begin{array} [c]{l} \left| {{T_{1g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.17}})} \right| + \left| {{T_{3g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.83}})} \right| > \\ \left| {{T_{1g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.33}})} \right| + \left| {{T_{3g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.67}})} \right| \end{array} $$ (24) 或
$$ \begin{array} [c]{l} \left| {{T_{1g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.17}})} \right| + \left| {{T_{3g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.17}})} \right| > \\ \left| {{T_{1g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.33}})} \right| + \left| {{T_{3g}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }} \times 0.33}})} \right| \end{array} $$ (25) 式中，$\left| {{T_{rg}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}f}})} \right|$为${T_{rg}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{\rm{ \mathsf{ π} }}f}})$的幅值。同时，针对图 10中的现象结果亦可同理分析之。
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同理，基于${o_m} = {g_m} = 0$的前提下，对通道失配的时间误差进行分析，则式(19)可简化为：
$$ \begin{array} [c]{c} \varDelta ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \\ \frac{{ - {\rm{j}}2{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{f_0}}}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {{\varPsi _m}} ({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})\varDelta {t_m}\sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + } \right.} \\ \left. {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right] \cdot {\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_s}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) =\\ - {\rm{j}}2{{\rm{ \mathsf{ π} }}^2}{f_0}\sum\limits_{r = 0}^3 {\left[ {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right) + } \right.} \\ \left. {\delta \left( {\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} + 2{\rm{ \mathsf{ π} }}{f_0} - \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \right]{T_{rt}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) \end{array} $$ (26) 式中，
$${T_{rt}}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }}) = \frac{1}{{4{T_{\rm{s}}}}}\sum\limits_{m = 0}^3 {\varDelta {t_m}{\varPhi _m}\left( {{\rm{j}}\frac{\omega }{{{T_{\rm{s}}}}} - {\rm{j}}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}r}}{{4{T_{\rm{s}}}}}} \right)} \;{\varPsi _m}({{\rm{e}}^{{\rm{j}}\omega }})$$ (27) 式(26)表明时间误差产生的杂散噪声尖峰与增益误差类似地位于：
$${f_{{\rm{noise}}}}{|_{ti\min g}} = \pm {f_0} + \frac{{r{f_{\rm{s}}}}}{4}$$ (28) 式中，$r = 0, 1, 2, 3$。式(27)代表了时间误差的传递函数，同时可见由时间误差引起的噪声尖峰谱与由增益误差引起的噪声尖峰谱存在${\rm{ \mathsf{ π} }}/2$相位差，且尖峰幅值会随着信号频率的增加而加大，导致FIADC性能恶化。
在采样率为1 000 MSPS条件下，图 11和图 12分别为输入信号频率在60 MHz和320 MHz时的输出功率谱，不难发现，随着信号频率的增加，噪声尖峰幅值亦随之提高。
图 11 存在时间误差的FIADC输出频谱(输入60 MHz)
图 12 存在时间误差的FIADC输出频谱(输入320 MHz)
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本文针对FIADC的模拟实现误差和通道失配误差展开了研究。为解决模拟实现误差的影响，利用采样样本数据的离散傅里叶变换评估采样通道模拟滤波器实际工作的频率响应，进而指导优化重构滤波器设计；而通道失配中的偏置误差、增益误差和时间误差均会引起输出信号出现杂散噪声，且不受采样滤波器类型的影响。在4通道系统中，增益误差和时间误差引起的输出噪声会出现在相同的频率位置，相位相差${\rm{ \mathsf{ π} }}/2$；而偏置误差引起的输出噪声幅值却不受输入频率的影响。本文的分析方法可同理推广至更多通道的系统。
Research on the Errors in Frequency-Interleaved ADC System
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摘要: 由偏置误差、增益误差、时间误差组成的通道失配误差和模拟实现误差是频率交织模数转换器（ADC）系统的两类主要误差源，会对系统全局性能产生恶化影响。该文针对频率交织ADC系统的误差进行了深入研究，研究结果表明引起实现误差的采样滤波器实际工作的频率响应是数学可测的，通道失配误差会造成输出信号频谱有规律地出现杂散尖峰。理论推导和仿真验证均证实增益误差和时间误差引起的输出杂散频率位置相同但相位有差异，而偏置误差引起的尖峰幅值则与输入频率无关，这对开展误差补偿及校准工作具有支撑作用。Abstract: Analog realization error and channel mismatch error comprised of offset error, gain error and time error are the two key kinds of error sources in frequency interleaved analog to digital converter (ADC) systems, resulting in the systems' global performance degeneration. In this paper, intensive study is carried out on the errors in frequency interleaved ADC systems. On the one hand, it shows that the virtual frequency response of the sampling filter leading to the realization error is mathematically calculable. On the other hand, it also reveals that the channel mismatch error will give birth to the regular appearance of the spurious noise peaks in the spectrum of the output signal. Both the theoretical derivation and simulation verification certify that the spurious noises caused by the gain error and the time error occur at the same frequency location but not that of phase, and the peak amplitude caused by the offset error has nothing to do with the input signal frequency. The research results will promote the development of error compensation and calibration.
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图(12)
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