Analysis of Rumor Spreading with a Temporal Control Strategy in Multiplex Networks

为了清晰地说明动态控制策略如何影响多层社交网络中的谣言传播，这里考虑双层社交网络，并假设每个子网络中有$N$个人。谣言能够在传播者−无知者之间传播。同时，谣言能够通过传播者−免疫者恢复或者通过外部干预恢复，前者称为点对点的恢复过程，后者称为干预恢复过程。除了层内传播和恢复之外，假设谣言还可以在层间传播和恢复。为了方便，把子网络中的3类人群标记为3种状态:易感态($S$)、感染态($I$)以及恢复态($R$)。因此，谣言在层内和层间的传播动力可用随机切换事件来描述：

式中，$i = 1$时，$j = 2$；$i = 2$时，$j = 1$；式(1)表示层内和层间的传播过程；式(2)表示层内和层间恢复过程；式(3)表示来自于外部控制措施下的谣言恢复过程；${t_{_0}}$表示开始采取控制措施的时刻。控制意味着人力、物力、财力等资源的投入，从节约资源的角度，假设采取的控制措施能够影响层内的谣言传播，即层内干预恢复。相应地，$\,{\beta _i}\,\left( {{\alpha _i}} \right)$表示层内传播(恢复)速率，${\gamma _j}\,( {{\nu _j}} )$表示层间传播(恢复)速率，${\mu _i}(t)$表示来自外部干预下的恢复速率。

假设$P_{1,i}^S( t )( {P_{2,i}^S\left( t \right)} )$，$P_{1,i}^I\left( t \right)( {P_{2,i}^I\left( t \right)} )$，$P_{1,i}^R\left( t \right)( {P_{2,i}^R\left( t \right)} )$分别表示$t$时刻子网络1和2上个体$i$处于3个状态的概率，则概率随时间的演化可用离散动力方程表示为：

式中，$k = 1,2$；$q_{k,i}^{S,I}\left( t \right)$和$q_{k,i}^{I,R}\left( t \right)$分别是子网络$k$上从$S $到I，以及从I到R的转移概率。${\varOmega _{1,i}}$和${\varOmega _{2,i}}$分别表示个体$i$在子网络1和2上的邻居集。根据微观马氏链方法^[20-22]，对子网络1，有：

式中，$\displaystyle\prod\limits_{j \in {\varOmega _1,\,i}} {( {1 - {\beta _1}P_{1,j}^I(t)} )} $和$\displaystyle\prod\limits_{k \in {\varOmega _ 2,\,i}} {( {1 - {\gamma _2}P_{2,k}^I(t)} )} $分别表示个体$i$没有受到子网络1和子网络2中谣言传播者影响的概率；$\displaystyle\prod\limits_{j \in {\varOmega _{{\kern 1pt} 1,\,i}}} {( {1 - {\alpha _1}P_{1,j}^R(t)} )} $和$\displaystyle\prod\limits_{k \in {\varOmega _{{\kern 1pt} 2,\,i}}} {( {1 - {\nu _2}P_{2,k}^R(t)} )} $分别表示个体$i$没有受到子网络1和子网络2中恢复者影响的概率；$\left( {1 - a{\mu _1}(t)} \right)$表示在外部控制措施出现时，仍没有恢复的概率。$a \in \{ 0,1\} $，其中$a = 0$表示没有控制措施，$a = 1$表示采取了控制措施。类似的，对网络层2，有：

分析可知，式(4)的第一行的右边表示个体$i$仍是易感态的概率；第二行右边的第一项表示个体$i$仍是感染态的概率，第二项是从易感态变为感染态的概率；第三行右边第一项是个体$i$仍然是恢复态的概率，第二项是从感染态变为恢复态的概率。此外，网络层上3类群体的密度可表示为：

需要指出的是，由于采取的控制策略是动态的，因而式(5)和式(6)中的干预恢复速率${\mu _1}(t)$和${\mu _2}(t)$是关于时间的函数。通常，当一部分群体受到谣言影响之后，谣言才会引起有关部门的注意，进而采取措施控制谣言传播。换句话说，从谣言开始出现到采取措施之间有一个延时。因此，假设在采取控制措施时有一个初始感染比例${\theta _0}$，称为干预阈值。此外，考虑到外部干预需要投入人力、物力和财力等资源，类似于流行病传播控制的研究^[24]，假设外部干预下的恢复速率为：

式中，$\lambda $表示控制强度，用来量化控制谣言传播中的投入资源；$c$用来量化$\rho _i^k$和$\lambda $的相对重要性，假设$c = 1$。从式(8)可以看出干预恢复速率是平均投入资源的递增函数。

为了揭示动态控制策略如何影响多层网络中的谣言传播，假设两个子网络是具有均匀度的规则随机网络，即各子网络中的节点有相同的度，以及网络层间的节点也具有相同的度，并且每个节点的邻居是随机选择的。记${k_1}$和${k_2}$分别表示子网络1和2的层内拓扑度，${k_{12}}$表示层间拓扑度。在谣言传播网络中，拓扑度可以反映个体在谣言传播中的影响力，拓扑度越大的个体，其在谣言传播中的影响也越大。基于这些假设，式(7)变为：

把式(5)～式(9)带入式(4)，可得方程：

式中，$j = 1,2$。

本文通过数值仿真来展示动态控制策略对多层网络中谣言传播的影响。首先，定义最大感染密度(maximum infected density, MID)，即在谣言传播过程中子网络受到谣言影响的最大比例，可以用来量化谣言的影响和危害。通常越多的人同时受到谣言的影响，带给社会的危害越严重。然而，在先前有关谣言传播与控制的研究中，这个指标往往被忽视。本文提出控制策略的目标是降低最大感染密度，从而降低谣言对社会的负面影响和危害。虽说越多的资源投入能够取得更有效的控制效果，但是从节约资源的角度看，这并不是一种最优的方式。一般地，如果最大感染密度降低到某一个阈值，谣言对社会的危害是比较小的，那么过多的资源投入就会造成浪费。为此，选择一个子网络作为目标层，并假设在该目标层上有一个控制比例${\theta _t}$ 称为目标比例。相应地，有一个合适的控制强度${\lambda _t}$称为目标强度，用来量化目标比例达到时需投入的资源。此外，把另一子网络称为影响层。

为了方便，假设谣言开始出现在单层网络上，然后向另外一层传播。初始条件$\,\rho _S^1(0) = 0.98 $，$ \rho _I^1(0) = 0.01$，$\,\rho _R^1(0) = 0.01$，$\,\rho _S^2(0) = 1$，$\,\rho _I^2(0) = 0$，$\,\rho _R^2(0) = 0$。

图1展示的是感染密度的时间演化图。从图1a中可以看到，没有采取控制措施时，两个子网络中各最大感染密度接近1，说明该社交网络中几乎所有人都受到谣言的影响。图1b～d与图1e～g分别为选择子网络1和子网络2作为目标层时，采取控制措施下的情形。这里目标层的干预阈值为${\theta _0} = 0.3$。这6个图中每一列的控制强度$\lambda $取值相同，从左至右分别为$0.1,\;0.3,0.5$。图中其他参数为$\,{\beta _1} = {\beta _2} = 0.03$，${\gamma _1} = {\kern 1pt} {\gamma _2} = 0.005$，${\alpha _1} = {\alpha _2} = 0.004$，$ {\nu _1} = {\nu _2} = 0.001$，${k_1} = 10$，${\kern 1pt} {\kern 1pt} {k_2} = 20,{\kern 1pt} \;{\kern 1pt} {k_{12}} = 5$。从图1中可以看出，随着控制强度的增大，两个子网络中的最大感染密度减小，并且谣言的影响时间也减少(对比子图中的纵轴和横轴)。这些结果表明本文提出的控制策略能够有效控制谣言传播。通过对比发现，选择具有较大网络拓扑度的子网络2作为目标层时，两个子网络中的感染密度都有较小的峰值，这表明网络拓扑度和目标层的选择影响着谣言的控制效果。此外，从图1d和图1g中可以看到，两个子网络中的最大感染密度在同一时刻出现，即两个子网络中的谣言出现了同步爆发，并且这一时间就是刚开始采取控制措施的时刻。事实上，这里出现的同步爆发是一种理想的控制效果。一方面，强有力的措施需要更多的人力物力和财力等资源的投入。然而，这些资源之间的协调需要时间，因此很难立刻投入用来控制谣言的传播。另一方面，如果最大感染密度能够控制在一定的比例下，谣言对社会的负面影响是较小的，那么强有力的控制措施会导致资源的极大浪费。

下面分析目标层、网络拓扑度以及初始控制的选择对谣言传播的影响。图2展示的是当初始控制相同时，不同目标层选择下的子网络拓扑度关于谣言传播的控制效应。图中第一行目标层是子网络1，第二行目标层是子网络2，两个目标层中的目标控制比例${\theta _t} = 0.6$，目标层的干预阈值为${\theta _0} = 0.3$。其他参数为$\,{\beta _1} = {\beta _2} = 0.08$，${\gamma _1} = {\gamma _2} = 0.05$，${\alpha _1} = {\alpha _2} = 0.04$，${\nu _1} = {\nu _2} = 0.02$，${k_{12}} = 0.2{k_1}$。图2a和图2c展示的分别是子网络1和子网络2作为目标层时的目标强度。从这两个子图可以看到，不管目标层如何选择，随着子网络拓扑度${k_1}$的增加，目标强度增加；并且对固定的${k_1},$两个子网络层的拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，目标强度也越大。由于网络拓扑度反映了网络的社交关系，表明在联系越广泛的社交关系中，要想达到理想的控制效果，需要投入更多的资源来控制谣言传播。

接下来分析动态控制策略对另一网络层的影响，图2b和图2d展示的分别是子网络2和子网络1的最大感染密度。如果选择目标层是子网络1，从图2b中可以看到，当${{{k_2}} / {{k_1}}} \leqslant 1$时，影响层的MID关于${k_1}$单调递增；而当${{{k_2}} / {{k_1}}} > 1$时，影响层的MID 关于${k_1}$单调递减。此外，如果子网络拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，能够导致影响层的MID也越大。例如，当${{{k_2}} / {{k_1}}} = 1.5$时，影响层的MID在0.6以上，超过了目标层的目标比例值；而当${{{k_2}} / {{k_1}}} = 0.5$时，影响层的MID在0.4以下，低于目标层的目标比例值。然而，当选择目标层是子网络2时，恰好有相反结论，如图2d所示。当${{{k_2}} / {{k_1}}} \leqslant 1$时，影响层的MID关于${k_1}$单调递减，而当${{{k_2}} / {{k_1}}} > 1$时，影响层的MID关于${k_1}$单调递增；此外，如果子网络拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，导致影响层的MID越小。例如，当${{{k_2}} / {{k_1}}} = 1.5$时，影响层的MID在0.6以下，低于目标层的目标比例值；而当${{{k_2}} / {{k_1}}}{\rm{ = 0}}.5$时，影响层的MID几乎都在0.8以上，超过了目标层的目标比例值。

图3展示的是层间网络拓扑度变化时，不同目标层选择下的动态控制策略对谣言传播的影响。这里，两个目标层的目标控制比例${\theta _t}$和干预阈值${\theta _0}$的取值与图2相同，其他参数为${k_1} = 20,{\beta _1} = {\beta _2} = 0.1,$${\gamma _1} = {\gamma _2} = 0.05$，${\gamma _1} = {\gamma _2} = 0.05,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\alpha _1} = {\alpha _2} = 0.02,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\nu _1} ={\nu _2} =$$ 0.01$。图3a和图3c分别展示了子网络1和子网络2作为目标层时的目标强度。从这两个子图可以看出，目标强度和层间拓扑度之间有一个单调递增的关系；并且子网络拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，需要的目标强度也越大。这些结果表明网络层之间的社交联系越多，控制谣言传播投入的资源也越多。图3b和图3d分别展示了子网络2和子网络1的最大感染密度。从这两个子图可以看出，当目标层为子网络1时，影响层的MID关于${k_{12}}$单调递增(如图3b所示)，并且子网络拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，影响层的MID越大；而当目标层为子网络2时，影响层的MID关于${k_{12}}$单调递减(如图3d所示)，并且子网络拓扑度比值${{{k_2}} / {{k_1}}}$越大，影响层的MID越小。特别地，如选择子网络1为目标层，当${{{k_2}} / {{k_1}}} \leqslant 1$时，影响层的MID在0.6以下，低于目标层的目标比例值；而当${{{k_2}} / {{k_1}}} > 1$时，影响层的MID几乎都在0.6以上，超过了目标层的目标比例。若选择子网络2为目标层，则有相反的结论。即当${{{k_2}} / {{k_1}}} \leqslant 1$时，影响层的MID在0.6以上，高于目标层的目标比例值；而当${{{k_2}} / {{k_1}}} > 1$时，影响层的MID几乎都在0.6以下，低于目标层的目标比例值。这些结果再次说明目标层的选择对控制效应有着很大的影响。

综合图2和图3，当初始控制相同时，可以找到一种控制谣言传播的最优策略。即选择网络拓扑度较大的子网络作为目标层，将会取得较好的控制效果，并且影响层的最大感染密度能够控制在目标比例以下。

最后分析初始控制对谣言传播的影响，为此，固定子网络1为目标层。图4展示了不同初始控制和不同子网络拓扑度比值下，目标强度和影响层的最大感染密度关于子网络拓扑度的依赖关系。这里，目标控制比例${\theta _t} = 0.7$，其他参数为$\,{\beta _1} = {\kern 1pt} {\beta _2} = 0.3$，${\gamma _1} = {\gamma _2} = 0.1$，${\alpha _1} = {\alpha _2} = 0.05$，${\nu _1} = {\nu _2} = 0.02$，${k_{12}} = 0.5{k_1}$(第一行)，${k_{12}} = 0.25{k_1}$(第二行)。从图中第一列看出，目标强度关于子网络拓扑度有一个非单调的依赖关系，即随着子网络拓扑度的增加，目标强度先增加，然后减少。此外，不管子网络拓扑比值如何选择，干预阈值越大，目标强度也越大。即越晚控制，需要投入越多的资源才能取得理想的控制效果。第二列展示的是影响层的最大感染密度和子网络拓扑度的依赖关系。从图4b中可以看出，随着子网络拓扑度${k_1}$的增加，影响层的最大感染密度减小；并且随着干预阈值${\theta _0}$的增加，影响层的最大感染密度也增大，说明越早控制效果越好。此外，发现影响层的最大感染密度几乎都在目标层的目标比例值之上。然而在图4d中，影响层的最大感染密度随着子网络拓扑度${k_1}$的增加而增加；并且随着干预阈值${\theta _0}$的增加，影响层的最大感染密度减小，说明越晚控制效果越好。此外，发现影响层的最大感染密度几乎都在目标比例之下。对比第一行和第二行的子图，再次说明了目标层的选择对控制效果有着非常重要的影响。

图5展示的是层间网络拓扑度变化时，不同初始控制下动态控制策略对谣言传播的影响。这里，子网络1为目标层，目标控制比例${\theta _t} = 0.6$，子网络拓扑度取值${k_1} = 15,\;{k_2} = 20$(第一行)，${k_1} = 20,\;{k_2} = 15$(第二行)。其他参数为${\beta _1} = {\beta _2} = 0.1$，${\gamma _1} = {\gamma _2} = 0.05$，${\alpha _1} = {\alpha _2} = 0.02,\;\;{\nu _1} = {\nu _2} = 0.01$。从图中第一列看到，随着层间网络拓扑度的增加，目标强度增加；并且初始控制比例越大，目标强度也越大。说明层间社交联系越多以及越晚控制，需要投入的资源也越多。图中第二列展示的是不同子网络拓扑比值下影响层的最大感染密度和层间网络拓扑度的关系。在图5b中，随着层间拓扑度${k_{12}}$的增大，最大感染密度先上升后下降；而图5d刚好与之相反。此外图5b显示，越晚控制，影响层的最大感染密度越大，并且都在目标比例之上。而图5d显示，越晚控制，影响层的最大感染密度越小，并且都在目标比例之下。

综合图4和图5，发现选择网络拓扑度较大的子网络层作为目标层时，能够使得影响层的最大感染密度控制在目标比例以下。另外，越晚采取控制措施能够使得影响层的最大感染密度达到最低，但是以投入更多的资源为代价。

信息传播方式的多通道特征使得用单层网络来刻画谣言传播已不再适用。相比单层社交网络，多层社交网络系统中的谣言传播更为复杂，给社会带来的负面影响也更为严重。如何控制多层社交网络中的谣言传播已成为当今信息传播领域非常关注的问题。因此，需要提出更为合理的模型以及更为有效的控制措施来研究多层社交网络中的谣言传播。本文基于微观马尔科夫链方法，建立了双层网络中的谣言传播模型；并提出了一种动态控制策略，在此基础上分析了投入资源与控制效应之间的关系。数值结果展示，强有力的控制能够导致谣言的同步爆发，然而这是一种理想的控制效果，因为人力物力等资源的投入需要时间协调；另外，过多的投入会造成资源的极大浪费。从节约资源的角度，本文假设采取的控制措施能够影响层内的谣言传播，结果发现控制效应取决于目标层、网络拓扑度和初始控制的选择：越晚控制或越大的网络拓扑度需要投入越多的资源；目标层选择在较大的网络拓扑度上将取得较好的控制效应，能够使得影响层的最大感染密度不超过目标层的目标比例值。这些结果表明本文提出的动态控制策略能够有效阻止多层社交网络中的谣言传播。相关结论为政府部门处理多通道式的网络舆情提供了理论依据，也可为高校管理部门在处理和应对多校区的网络舆情时提供可借鉴的理论和方法。

需要指出的是本文提出的双层谣言传播模型在以下3个方面做了简化：1)是假设两个子网络中总人数相同并且为常数，一般情况下不同社交网络中的人数会不同并且会随时间变化；2)假设网络是随机均匀的规则网络，现实情况中随着信息形式的不断变化，社交网络会表现出异质性；3)没有考虑噪声的影响，由于教育背景和法律意识的差异，网络谣言的传播容易受到外部因素的影响，这也将给谣言控制带来更大的挑战。因此，在未来有关多层社交网络中谣言传播与控制的研究中，可考虑这些因素，更为细化的研究将有助于提高模型的科学性和实用性。

本文研究还得到广州市哲学社会科学规划课题(2018GZYB92)的资助，在此表示感谢。