Quantitative Evaluation on the Prevention and Control Efficacy of COVID-19

为了对有效再生数进行估计，除了需要知道患者的症状出现时间外，还需要知道此传染病的代际时间，定义为患者的症状出现时间与其下一代患者的症状出现时间的时间间隔。对代际时间的估计，通常根据早期临床诊断病例及接触情况，进行分析得到。文献[8]通过对武汉早期的425例患者进行实证分析，得到COVID-19代际时间t_g的均值为7.5天，标准差为3.4天，近似服从形状参数$\alpha = 4.866$，逆尺度参数$\,\beta = 0.649$的伽玛分布^[20]：

式中，$\Gamma \left( \alpha \right)$是参数为$\alpha $的伽玛函数；形状参数$\alpha $和逆尺度参数$\,\beta $与伽玛分布的均值$\mu $和标准差$\sigma $存在如下简单关系，可用于计算$\alpha $和$\beta $：

假设要计算t时刻(单位：天)的有效再生数，就是要计算t时刻染病的人平均感染了多少人。考虑染病个体u，其感染时间t_u=t，需要考察t时刻之后$t_g^{\max }$天内($t_g^{\max }$为最长代际时间，实际计算时取$t_g^{\max } = 21$^[8])被感染的个体有多大概率是被患者u感染的。本文考虑u之后感染的某个个体v，其发病时间为t_v(t_u<t_v)。现在以v为中心，考察t_v之前$t_g^{\max }$内发病的个体，这些个体中每个个体w(u也包括在内)都可能感染v，感染的概率正比于$\tau ({t_v} - {t_w})$，因此，患者u导致患者v感染的概率可以估计为：

根据式(3)，可以得到：

对患者u，他导致t_u+1到${t_u} + t_g^{\max }$之间的患者v被感染的概率为p_vu，由此，患者u感染的个体总数的期望可以近似为：

对时刻t染病的每一个患者都可以算出这样一个期望值，因此，时刻t的有效再生数可以近似为：

式中，C_t是所有在时刻t出现症状的患者集合。假设每一个患者的传染能力和传染机会都均等的话，那么时刻t的有效再生数R_t和这一天的任一染病个体u感染的个体总数期望是相等的，即：${R_t} = {E_u}(t = {t_u})$。

进一步地，假设我们观察的时间窗口是[0,T]，对第t天出现症状的患者，如果$t + t_g^{\max } \leqslant T$，那么用Willinga-Teunis方法^[13]对有效再生数${R_t}$进行估计完全可行。但如果$t + t_g^{\max } > T$，那么第t天出现症状的患者在T之后还可能感染新的个体，用Willinga-Teunis方法^[13]估计得到的${R_t}$偏小，这时，需要对${R_t}$进行修正。如果将${R_t}$表示为：

式中，$R_t^ - $和$R_t^ + $分别表示第t天的个体在T及T之前和T之后平均感染的个体数量，$R_t^ - $可以用Willinga-Teunis方法^[13]直接进行估计，再利用$R_t^ - $和t_g分布对${R_t}$进行修正得到：

不管是Willinga-Teunis方法^[13]还是Cauchemez修正方法^[14]，都假设每个患者的症状出现时间是已知的。但实际上，很难获得所有患者的症状出现时间。为了对${R_t}$进行估计，需要对患者的症状出现时间进行估计。本文利用部分患者的症状出现时间和确诊时间，提出了一个估计所有患者症状出现时间的方法。根据已搜集到的包含症状出现时间和确诊时间的少量患者数据，首先对症状出现时间和确诊时间的间隔${t_\Delta }$进行实证分析，本文分析了四川、广东、安徽、河南、江西和浙江6省的间隔时间分布，如图1中灰色点所示，在6省结果基础上，进行简单算术平均得到了一个综合的间隔时间分布结果，如图1中红色实心点所示。实证分析得到的综合间隔时间可以用一个3参数(位置参数，形状参数和尺度参数)的韦伯分布^[21]进行拟合，其密度函数为：

式中，位置参数$\gamma = 0.1$，形状参数$\alpha = 1.48$，尺度参数$\beta = 7.03$，如图1的实线所示。这里引入位置参数的原因在于：在实证分析结果中，有部分患者的症状出现时间和确诊时间在同一天，即$p({t_\Delta } = 0) > 0$，而对于标准的两参数韦伯分布$p({t_\Delta } = 0) = 0$。

从图1可以看出，估计得到的韦伯分布与实证分析得到的综合时间间隔分布拟合得非常好，而综合时间间隔分布也能比较好的表征单一省份的时间间隔分布。本文利用估计得到的韦伯分布，结合患者的确诊时间，可以对症状出现时间采用蒙特卡洛方法抽样估计，进而采用本文介绍的方法计算有效再生数${R_t}$。

本文搜集了2020年1月11日—2020年2月22日所有中国内地的确诊病例数据，累计确诊病例数量为76 936例^[5]，其中，本文还通过各种新闻报道获得了少部分病例(约占总病例的4.74%，主要包括四川、广东、安徽、河南、江西和浙江6个省的部分城市，共计3 650例)的症状出现时间。所有数据覆盖了中国内地29个省、直辖市和自治区，由于青海和西藏的病例太少，不具统计意义，本文没有包含这部分数据。针对其他国家，本文搜集了韩国截至2020年3月8日的数据，累计确诊病例数量7 313例，其中225例包含了患者的症状出现时间。

利用本文方法对中国内地除青海、西藏外的29个省、直辖市和自治区的有效再生数进行了估计。表1给出了截至2020年2月22日的累计确诊病例数、有效再生数R_t降至1以下的日期，表中的结果是10 000次独立实验的均值。如表1所示，在2020年1月20日全国出台COVID-19甲级防控措施后的两周内，全国所有省、直辖市和自治区的有效再生数都降到了1以下，大部分省甚至在一周之内就降到了1以下，有效遏制了COVID-19的蔓延和传播。表1还列出了截至2020年2月21日最近一周的平均有效再生数，几乎所有省的有效再生数都已经远小于1，全国的平均有效再生数已低至0.18。这些结果充分说明全国采取的防控策略极其有效，快速遏制住了疾病在全国的蔓延。

图2比较了中国内地29个省、直辖市、自治区在甲级防控后有效再生数一周内的变化情况。可以看出，实施甲级防控后，很多省市的新型冠状病毒肺炎迅速得到了遏制，甲级防控实施7天的相对降幅基本在40%以上。图3给出了各市防控情况的整体分析结果，其中横坐标是时间(天)，纵坐标是在这个时间有效再生数降到1以下的城市数。只分析了累积确诊超过20例的城市。可以看出，在实施甲级防控7天内(2020年1月27日)，就有超过60%的地级市的有效再生数降到了1以下，进一步说明了防控产生的显著效果。

进一步利用本文提出的方法，对韩国的有效再生数进行了估计和分析，所用数据为截止2020年3月8日的确诊病例数。本文仍然假设COVID-19在韩国的代际时间为$7.5 \pm 3.4$天^[8]。由于不同国家患者出现症状时间和确诊时间之间的间隔时间分布存在一定差异，在分析韩国的防控效果时，本文根据搜集到的韩国225名患者的出现症状时间和确诊时间构建了韩国的近似间隔时间分布，如图4a所示，整体上从出现症状到最后确诊的时间相对较短，间隔在2天以内的占到了41.5%。结合病例的确诊时间，对韩国的症状出现时间进行了估计，在此基础上进一步估计其有效再生数，如图4b所示。从图4的结果来看，韩国的有效再生数整体上呈现先升高再降低的态势，其最高有效再生数出现在2020年2月9号，其值一度超过5，随着防控措施的出台，有效再生数开始下降，在2020年2月25日降到了1以下，疾病传播得到了遏制。

本文根据新型冠状病毒肺炎患者的确诊时间及少部分患者的症状出现时间，构建了患者出现症状时间的反推计算模型，并利用蒙特卡洛方法，反推得到了患者的症状出现时间，结合文献[13-14]的研究成果，对中国各省市及其他国家防控措施的有效性进行了评价和分析。从分析结果来看，中国和韩国采取的防控措施在短时间内产生了显著的控制效果。本文方法仍然存在很多局限性，后续还有一系列问题值得进一步的探索和研究，主要包括：1) 本文假设症状出现时间与确诊时间的间隔分布保持不变，但实际上，随着对新型冠状病毒肺炎的认识，症状出现时间与确诊时间的间隔会越来越短，这使得在后期估计的症状出现时间比实际的症状出现时间要早，继而对有效再生数的估计也带来较大的偏差，对海外国家有效再生数的估计，由于包含症状出现时间的数据获取更少，造成有效再生数估计的偏差可能更大；2) 在估计有效再生数时，没有考虑输入病例的影响，这使得早期的有效再生数估计结果比实际结果偏大；3) 确诊病人入院后，基本上就截断了他的传播途径，这在本文的模型中也没有考虑，对有效再生数的计算造成一定的影响，后续可以考虑输入病例、入院病例和康复的影响进一步提升模型估计效果^[22]。为更好地认识和遏制传染病的传播，建议各国在不泄露个人隐私的情况下，尽可能开放一些必要的数据，比如症状出现时间、入院时间、治愈/死亡时间等。