Finite Time Adaptive Integral Sliding Mode Control Method for Spacecraft Attitude Tracking

建立四元数表示的航天器姿态跟踪模型如下^[14]：

式中，${J} \in {\bf{R}^{3 \times 3}}$为航天器转动惯量阵；${\omega } \in {\bf{R}^3}$为航天器本体系到期望坐标系的姿态角速度误差；${{\omega }_d} \in {\bf{R}^3}$为航天器期望跟踪的姿态角速度；${C}$为从航天器本体坐标系到期望坐标系的转换矩阵，${C} = (q_4^2 - {q}_\nu ^{\rm{T}}{{q}_\nu }){{I}_3} + $$ 2{q}_\nu ^{\rm{T}}{{q}_\nu } - 2{q_4}{q}_\nu ^ \times $，且满足$\left\| {C} \right\| = 1$，${{C}^{\rm{T}}}{C} = 1$，$\det ({C}) = 1$，$\dot{ C} = - {{\omega }^ \times }{C}$；${({q}_\nu ^{\rm{T}},{q_4})^{\rm{T}}}$表示航天器本体系到期态坐标系的姿态四元数；${{q}_\nu } = {[\begin{array}{*{20}{l}}{{q_1}}&{{q_2}}&{{q_3}}\end{array}]^{\rm{T}}}$，满足${q}_\nu ^{\rm{T}}{{q}_\nu } + $$ q_4^2 = 1$；上标$ {( \cdot )}^{\times }$表示斜对称矩阵算子。对任意向量${x} = [\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}\end{array}]$，有：

${{u}_{{c}}} \in {\bf{R}^3}$和${{u}_{{d}}} \in {\bf{R}^3}$分别为控制力矩向量和有界干扰向量，考虑到航天器转动惯量的不确定性，将${J}$分成确定$\hat {{J}}$和不确定$\Delta {J}$两部分，令${J} = \hat{ J} + \Delta {J}$，代入式(1)、式(2)，可得：

式中，${d} = {{u}_{{d}}} - {({\omega } + {C}{{\omega }_{{d}}})^ \times }\Delta {J}({\omega } + {C}{{\omega }_{{d}}}) - \Delta {J\dot \omega } + \Delta {J}\times $$ [({{\omega }^ \times }{C}{{\omega }_{{d}}} - {C}{{\dot{ \omega }}_{{d}}})]$为将转动惯量不确定和外界干扰合并的总干扰，并假设${\left\| {d} \right\|_\infty }$有界。

定义 1(强稳定性)^[15]　考虑非线性系统：

式中，${f}:{D} \to {{\bf{R}}^n}$是定义在${D}$上取值于${n}$维空间${{\bf{R}}^n}$的连续函数。若对$\forall {\bf{\alpha }} > 0$和$\forall {\varepsilon } > 0$，存在函数${B}:(0, + \infty ) \to (0, + \infty )$和${T}:(0, + \infty ) \times (0, + \infty ) \to (0, + \infty )$，其中${B}$为单调递增的且满足$\mathop {\lim }\limits_{{s} \to {{0}}} {B}({s}) = 0$，使得系统(5)定义在$[0,{{t}_1}),0 < {{t}_1} \leqslant + \infty $及$\left\| {{x}(0)} \right\| \leqslant {\alpha }$上的每一个解，都存在一个对应的定义在$[0, + \infty )$上的解${z}({t})$满足：

则${x} = {{0}}$为系统(5)的强稳定平凡解，当${D} = {{\bf{R}}^n}$时，系统为全局强稳定。

定义 2(有限时间稳定)^[16]　考虑非线性系统：

式中，${f}:{U} \to {{\bf{R}}^n}$为开区域${U}$上对${x}$连续的函数，且开区域${U}$包含原点。系统的解${x} = {{0}}$为有限时间稳定的，当且仅当系统是强稳定的且为有限时间收敛的。有限时间收敛指：对$\forall {{x}_0} \in {{U}_0} \subset {{\bf{R}}^n}$，存在一个连续函数${T}({x}):{{U}_0}\backslash \{ 0\} \to (0, + \infty )$，使得系统(6)的解${x}({t},{{x}_0})$满足：当${t} \in [0,{T}({{x}_0}))$时，${{x}}({t},{{x}_0}) \in {{U}_0}\backslash \{ 0\} $和$\mathop {\lim }\limits_{{t} \to {T}({{x}_0})} {x}({t},{{x}_0}) = 0$；当${t} > {T}({{x}_{{0}}})$时，有${x}({t},{{x}_{{0}}}) = {{0}}$。若${U} = {{U}_0} = {{\bf{R}}^n}$，则系统(6)为全局有限时间稳定。

定义 3(向量函数齐次性)^[17]　考虑如下向量函数，${f}({x}) = {({{f}_1}({x}),{{f}_2}({x}), \cdots ,{{f}_{{n}}}({x}))^{\rm{T}}}:{{\bf{R}}^n} \to {{\bf{R}}^n}$，若对任意的${\varepsilon } > 0$，存在$({{r}_1},{{r}_2}, \cdots ,{{r}_{{n}}}) \in {{\bf{R}}^n}$，其中${{r}_{{i}}} > 0$，${i} = 1,2, \cdots ,{n} $，使得${f}({x})$满足：

式中，${k} > - \min \{ {{r}_{{i}}},{i} = 1,2, \cdots ,{n}\} $，则称${f}({x})$关于$({{r}_1}, $$ {{r}_2}, \cdots , {{r}_{{n}}})$具有齐次度${k}$，其中$({{r}_1}, {{r}_2}, \cdots ,{{r}_{{n}}})$称为扩张。

定义 4(标量函数齐次性)^[18]　考虑如下连续函数，${V}({x}):{{\bf{R}}^n} \to {\bf{R}}$，若对任意的${\varepsilon } > 0$，存在${\sigma } > 0$和扩张$({{r}_1},{{r}_2}, \cdots ,{{r}_{{n}}}) \in {{\bf{R}}^n}$，其中${{r}_{{i}}} > 0$，${i} = 1,2, \cdots ,{n} $，使得：

则称${V}({x})$关于$({{r}_1}, {{r}_2},\cdots ,{{r}_{{n}}})$具有齐次度${\sigma }$。

引理 1^[19]　对于非线性系统(6)，若该系统是全局渐进稳定的且具有负的齐次度，那么该系统是全局有限时间稳定的。

不考虑外界干扰和转动惯量不确定性的标称航天器姿态跟踪动力学方程为：

式中，${u}_{{c}}^* \in {{\bf{R}}^3}$为标称姿态跟踪控制律。

引入状态${x}$和控制输入${u}_{{c}}^*$如下：

则系统(7)和系统(8)可改写成如下形式：

为方便控制律的设计和证明，对式(9)进行坐标变换。定义新的状态变量如下：

令：

则有：

对上式移项并对${\omega }$求导，可得：

将式(12)代入式(9)，得：

对上式进行变换如下：

式中，

定理 1　针对坐标变换后的系统(14)，标称姿态控制律${u}_{{c}}^*$设计为：

式中，${{k}_1} > 0;\;{{k}_2} > 0;\;0 < {{\alpha }_1} < 1;\;{{\alpha }_2} = \dfrac{{2{{\alpha }_1}}}{{1 + {{\alpha }_1}}}$。若${\eta } = ({\eta _1},{\eta _2},{\eta _3})$，${\rm{si}}{{\rm{g}}^{{\alpha }}}({\varepsilon }) = {({\rm{si}}{{\rm{g}}^{{\alpha }}}({\eta _1}),{\rm{si}}{{\rm{g}}^{{\alpha }}}({\eta _2}),{\rm{si}}{{\rm{g}}^{{\alpha }}}({\eta _3}))^{\rm{T}}}, $$ {\rm{si}}{{\rm{g}}^{{\alpha }}} ({\eta _i}) = {\rm{sign}}({\eta _i}){\left| {{\eta _i}} \right|^{{\alpha }}}$，则标称系统(14)是全局有限时间稳定的。

证明：将控制律式(15)带入式(14)，得：

考虑备选Lyapunov函数：

不难验证${V}({z})$是正定的，且当${z} \ne 0$时是连续可微的，${V}({z})$沿闭环系统(16)的解对时间的导数为：

显然$\dot {{V}}({z})$关于${z}$是半负定的，闭环系统(16)是Lyapunov意义下稳定的。根据式(18)可知$\dot {{V}}({z}) = 0$，等价于${\dot {{q}}_1} = {\dot {{q}}_2} = {\dot {{q}}_3} = 0$，定义集合：

由闭环系统(16)可得，集合L中所包含的最大不变集为系统的平衡点${z} = 0$。因此，由LaSalle不变性原理可知闭环系统(16)是渐进稳定的。容易验证：

式中，${{r}_1}{{\alpha }_1} = {{r}_2}{{\alpha }_2}$，取${{r}_1}{{\alpha }_1} - {{r}_2} = {{r}_2} - {{r}_1}$，对于${{r}_1} = 1$，则有${{r}_2} = \dfrac{{1 + {{\alpha }_1}}}{2}$，$0 < {{\alpha }_1} < 1 $，${{\alpha }_2} = \dfrac{{2{{\alpha }_1}}}{{1 + {{\alpha }_1}}}$，系统的齐次度为${k} = {{r}_2} = \dfrac{{{{\alpha }_1} - 1}}{2} < 0$。由引理1可知，系统(14)为全局有限时间稳定。即状态${z} = {[{{q}_v},{\dot{ q}_v}]^{\rm{T}}}$能在有限时间收敛到零。又因为${\dot{ q}_\nu } = \dfrac{1}{2}{P\omega }$，所以状态${x} = {[\begin{array}{*{20}{l}}{{{q}_{{v}}}}&{\omega }\end{array}]^{\rm{T}}}$也为有限时间收敛。对式(15)的控制律进行变换，得到以状态${x}$表示的控制律${u}_{{c}}^*$如下：

上述有限时间控制器的设计分析仅针对无聚合扰动情况，针对有聚合扰动，扰动上界存在且已知的情况，设计有限时间积分滑模控制器。首先考虑如下的积分滑模函数：

式中，${s} \in {\bf{R}^3}$为积分滑模函数；${Z} \in {\bf{R}^3}$为积分项。令$\dot {{Z}}$和控制律${u}_{{c}}^*$分别为：

式中，${u}_{{c}}^*$如式(22)所示，${{u}_{\rm{sw}}}$设计为：

式中，${{d}_{{c}}}$为常值标量，且取${{d}_{{c}}} > {\left\| {d} \right\|_\infty }$，使其能克服有界聚合扰动；${k} > 0$且为常值。

定理 2　式(25)所示控制律能够使得系统(3)和系统(4)的状态有限时间收敛。

证明：首先证明式(26)设计的控制律能够使得系统状态在有限时间到达滑模面式(23)。

对式(23)求导，并将式(24)、式(25)和式(3)代入，可得：

设计如下Lyapunov函数：

沿闭环系统轨迹求导，得到：

满足可达条件，系统能在有限时间收敛到滑模面。当${s} = {{0}}$时，等价于$\dot{ s} = {{0}}$，因此，有：

将式(11)、式(12)代入式(30)，可得：

由3.1节的证明可知，系统状态沿滑模面有限时间收敛。

选取${Z}$的初值如下：

即初始时刻${s} = {{0}}$，消除系统的滑模到达段，提高了系统的鲁棒性。

在3.2节的控制器中应用自适应方法，设计如下的姿态控制律：

式中，${u}_{{c}}^*$保持不变，$\hat{ d}$为扰动上限${\left\| {d} \right\|_\infty }$的估计值，且$\hat{ d} = {c}\int_0^{{t}} {{{\left\| {s} \right\|}_1}} {\rm{d}}t$，有如下定理成立。

定理 3　在聚合扰动上限未知的情况下，式(33)所示控制律能够使得系统状态有限时间收敛。

证明：考虑如下Lyapunov函数：

式中，$\bar{ d}{\rm{ > }}{\left\| {d} \right\|_\infty }$；$\hat{ d}$为$\bar{ d}$的估计值；${c} > 0$用于控制自适应速率。

沿闭环系统轨迹求导，得：

令${\varphi } = {k}\left\| {s} \right\|_2^2$，对式(34)从0到${t}$进行积分，有：

取${t} \to \infty $时的极限，有：

根据Barbalat引理可知：

由于${k} > 0$，所以可知$\mathop {\lim }\limits_{{t} \to \infty } {s} ={{0}} $，由3.1节的分析可知，系统(3)和系统(4)的误差四元数和误差角速度是有限时间收敛的。

为避免控制器中符号函数使得滑模面出现抖振，本文用连续函数${f}({s})$代替符号函数${\rm{sgn}} ({s})$，其表达式为：

式中，$\left\| {\;} \right\|$表示对向量求模；${a}$为大于0的常数。

为了验证本文方法的有效性，采用文献[20]的线性滑模面代替积分滑模面，设计控制律和3.1、3.3节的控制律分别进行数值仿真并比较。刚体航天器及控制律各项参数如下：$\hat{ J} = {\rm{diag}}(900, $$ 600,\;300)\;{\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^2}$为惯量阵标称值，不确定性$\Delta {J}$取标称值的2%，外部干扰力矩${{u}_{{d}}} = (50{\rm{sin}}(0.1{t}),50{\rm{sin}}(0.5{t}), $$ 50{\rm{sin}}{t})\;{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}$，初始姿态误差四元数为${q} = [0.951\;5, $$ 0.268\;5,\;0.144\;9,\;0.038\;1]^{\rm{T}}$，对应的姿态误差欧拉角为${\rm{angle}} = {[20^\circ,30^\circ,10^\circ]^{{\rm{T}}}}$，初始误差姿态角速度为${\omega }(0) = {[0.01,0.01,0.01]^{\rm{T}}}{\rm{rad}}/{\rm{s}}$，初始期望姿态四元数为${{q}_{{d}}}(0) = {[1,0,0,0]^{\rm{T}}}$，期望的姿态角速度为${{\omega }_{{d}}} = $$ {[0.03\sin (0.1{t}),0.03\sin (0.1{t}),0.03\sin (0.1{t})]^{\rm{T}}}{\rm{rad}}/{\rm{s}}$，控制参数取${{\alpha }_1} = 0.5$，${{k}_1} = {{k}_2} = {k} = 1$，${a} = 0.01$，${c} = 10$。

首先考虑无外界扰动和航天器转动惯量确定的情况，为方便比较，将误差四元数转换成按3-2-1转序得到的误差姿态角，仿真结果如图1～图3所示。

图1、图2为3种方法的误差姿态角和误差姿态角速度仿真结果，从图中可以看出，3.3节提出的有限时间自适应积分滑模方法能够使得误差姿态角和误差姿态角速度在有限时间收敛到零，在没有外界扰动和航天器转动惯量确定的情况下，与本文3.1节提出的有限时间算法结果基本相同。这是因为在积分滑模面的设计中，将有限时间控制的系统状态运动轨迹作为期望的滑动模态的导数，当系统保持在滑模面上时，状态运动轨迹便与有限时间算法相同。两种方法收敛速度均快于文献[20]，原因是文献[20]使用线性滑模面，因此系统状态只能是指数收敛，在时间趋于无穷大的时候状态收敛到零。

图3为本文提出的方法与文献[20]方法的滑模面仿真结果，可以看出，积分滑模具有全局滑模的特点。在无扰动的情况下，系统状态一直位于滑模面上，由于自适应参数$\hat{ d}$中含有滑模面s的积分项，因此全局滑模可以有效避免滑模到达段可能造成的自适应参数$\hat{ d}$积分过大的情况。

在考虑外界扰动以及航天器转动惯量存在不确定性的情况下，仿真结果如图4～图6所示。

从图4和图5中可以看出，在存在外界扰动和航天器转动惯量存在不确定性的情况下，3.3节提出的有限时间自适应积分滑模方法能够克服聚合扰动，使得误差姿态角和误差姿态角速度仍在有限时间内收敛，体现了一旦系统运行在滑动阶段，滑模控制具有对外界干扰和参数不确定的不敏感性特点。而3.1节和文献[20]的方法都只能使得误差姿态角和误差姿态角速度在零点附近波动，前者的收敛速度更快，这是因为有限时间控制方法相比线性指数控制方法具有更快的收敛性^[21]。

考虑到工程上的可实现性，使用了连续函数${f}({{{s}}})$代替切换函数${\rm{sgn}} ({{{s}}})$。从图6可以看出，在聚合扰动存在的情况下，传统滑模面和积分滑模面都不能收敛到零，只能收敛到边界层以内(本文仿真取边界层${a} = 0.01$)，但积分滑模的全局滑模的特点使得积分滑模面能够迅速收敛到边界层内。

由于系统状态无法严格处于滑模面上，考虑到自适应参数$\hat{ d}$中含有积分项，在s不为0时会一直积分到无穷大，因此，在自适应律中引入负反馈^[22]，使得自适应参数最终有界，结果如图7所示。

考虑存在模型参数不确定和外界干扰的情况，本文建立了用四元数表示的航天器姿态跟踪数学模型，提出了一种有限时间自适应积分滑模控制方法。首先针对无参数不确定性和干扰的情况，设计了一种有限时间控制器，保证航天器姿态在有限时间跟踪上期望姿态。在考虑扰动的情况下，结合有限时间控制和滑模控制设计了一种积分滑模面，利用自适应方法动态调整切换函数增益，在线辨识聚合扰动的上界。该方法兼具有限时间控制和滑模控制的优点，可使闭环系统状态有限时间收敛并具有很好的鲁棒性。理论分析和仿真结果说明了本文方法的有效性。