Angle-Doppler Channel Selection Method via Sparse Recovery for Reduced-Dimension STAP

如图1所示，考虑一个正侧视的窄带脉冲多普勒机载雷达系统，假设这个雷达系统有$N$个阵元均匀线性排列，飞机平台以速度${v_0}$向前飞行，在一个相干处理周期(coherent pulse interval, CPI)内有$M$个脉冲。那么接收到的待检测距离环的回波信号可以写成一个大小为$MN \times 1$的向量：

式中，

式中，${\boldsymbol{ n}}$表示零均值功率为$\sigma _{\text{n}}^2$加性高斯白噪声；${\boldsymbol{a}}$表示空时导向矢量；$ {\alpha _0} $表示目标的复幅度，包含了目标回波的幅度和相位；${{\boldsymbol{a}}_{\text{t}}}({f_{\text{d}}}){\text{ = [1,}}{{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} {f_{\text{d}}}}}{\text{,}}{{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} \times {2f_{\text{d}}}}},\cdots{\text{,}} {{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} \times (M - 1){f_{\text{d}}}}} {\text{]}}$表示时域导向矢量；${{\boldsymbol{a}}_{\text{s}}}({f_{\text{s}}}) = {{[ 1,}}{{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} {f_{\text{s}}}}}{\text{,}}{{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} \times {2f_{\text{s}}}}}, \cdots {\text{,}} {{\rm{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}} \times (N - 1){f_{\text{s}}}}}{\text{]}}$表示空域的导向矢量；$ {f_{{\text{s}},0}}{\text{ = }}d\sin ({\theta _0})/\lambda $和$ {f_{{\text{d}},0}}{\text{ = }}2{v_{\text{t}}}/\lambda $分别是目标的归一化多普勒频率和归一化空间频率；类似的，${\alpha _i}$表示每个杂波块的对应的复幅度，$ {f_{{\text{s}},i}}{\text{ = }}d\sin ({\theta _i})/\lambda $和$ {f_{{\text{d}},i}}{\text{ = }}2{v_i}/\lambda $分别是第$i$个杂波块的多普勒频率和空间频率；$ {v_i} $表示第$i$个杂波块与阵列的相对径向速度；${N_{\text{c}}}$表示同一个等距离环被分成的杂波块数。

同样的，其他距离环的杂波回波可以表示成：

式中，$ {f_{{\text{d}},i,l}} $和$ {f_{{\text{s}},i,l}} $分别是各个杂波块的归一化多普勒频率和归一化空间频率；$L$表示所使用的所有距离环数目，也就是样本数。理想的CCM可以写成：

SCM可以写成：

在角度多普勒域中，杂波的能量更为集中，进行降维处理时，舍弃部分通道并不会造成大量的SCNR损失。因此，在进行RD-STAP处理前，先通过线性变换${\boldsymbol{T}}$将接收的阵元脉冲域数据转换到角度多普勒域：

在均匀线阵中，一般通过对数据进行二维DFT将其转换到角度多普勒域，那么${\boldsymbol{T}}$可以表示成如下形式：

式中，${{\boldsymbol{T}}_{mn}} = {{\boldsymbol{a}}_{\text{s}}}(n/N) \otimes {{\boldsymbol{a}}_{\text{t}}}(m/M)$。

同样的，转换到角度多普勒域的目标导向矢量为${{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}}{\text{ = }}{{\boldsymbol{T}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{a}}({f_{{\text{d}},0}},{f_{{\text{s}},0}})$，角度多普勒域的协方差矩阵可以写成${{\boldsymbol{R}}_{\text{T}}}{\text{ = }}{{\boldsymbol{T}}^{\text{H}}}{{\boldsymbol{R}}_{{\text{cn}}}}{\boldsymbol{T}}$。

通过求解MVDR问题可以得到全维度STAP的最优权值为^[14]：

式中，$\;\mu {\text{ = }}1/{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}^{\text{H}}{\boldsymbol{R}}_{\text{T}}^{ - 1}{{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}}$是归一化常数。由于理想CCM是未知的，通常用估计的CCM${\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{T}}}$来代替${{\boldsymbol{R}}_{\text{T}}}$。则对应的权值为$\hat {\boldsymbol{w}} = \mu \hat {\boldsymbol{R}}_{\rm{T}}^{ - 1}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{T}}}$，输出的信杂噪比为：

由于全维度的CCM是一个维度为$MN \times MN$的矩阵，对它求逆需要巨大的计算量，因此需要考虑降低CCM的维度来达到降低计算量的目的。

引入一个通道选择矩阵${{\boldsymbol{P}}_k} \in {{\text{\{ 0,1\} }}^{MN \times k}}$，它由${{\boldsymbol{I}}_{MN}}$的$k$列构成，$k$表示所选择的通道数目。那么经过选择后的数据可以表示为${{\boldsymbol{x}}_k} = {{\boldsymbol{P}}_k}^{\text{H}}{{\boldsymbol{x}}_{\text{T}}}$，则选择$k$个通道后的杂波协方差矩阵可以表示为：

在增加一个通道后，杂波协方差矩阵变成：

式中，${{\boldsymbol{p}}_{k + 1}}$表示第$ k + 1 $次选择通道对应的选择向量。

根据矩阵求逆引理，可得：

式中，

那么有：

在选择$k$个通道后，选择第$ k + 1 $个通道时，对剩余的$MN - k$个通道，计算每一个通道对应的$ \Delta {\text{SCN}}{{\text{R}}_{{\text{out}}}} $，选择最大的$ \Delta {\text{SCN}}{{\text{R}}_{{\text{out}}}} $对应的通道作为第$ k + 1 $的选择。不难看出，$ \Delta {\text{SCN}}{{\text{R}}_{{\text{out}}}} $非常依赖CCM${\boldsymbol{R}}$的准确度，通常用SCM ${{\boldsymbol{R}}_{{\text{cn}},{\text{sample}}}}$代替，但是在可用样本数极少的情况下，所估计的SCM非常不准确，会导致无法选出合适的角度多普勒通道来进行降维处理，最终杂波抑制效果很差，因此这里利用稀疏恢复的方法估计CCM，并用它来评估各个通道的$ \Delta {\text{SCN}}{{\text{R}}_{{\text{out}}}} $，以选出更合适的通道。

杂波谱在角度多普勒域具有稀疏性，即杂波谱只占据了所有空时频率的一小部分，基于稀疏恢复的STAP方法利用这一特性，构造整个角度多普勒频率平面的网格，采用稀疏恢复的算法来估计CCM。

具体地，将归一化空间频率${f_{\text{s}}} \in [ - 0.5,0.5]$和归一化多普勒频率${f_{\text{d}}} \in [ - 0.5,0.5]$分别均匀划分成${N_{\text{s}}}$和${N_{\text{d}}}$份构成角度多普勒频率的网格平面，${N_{\text{s}}}{N_{\text{d}}} \gg MN$，所有的网格组成了空时字典：

字典中每一个非零元素即表示在对应的归一化空间频率和归一化多普勒处存在一个散射体，因此，利用该空时字典，杂波的回波信号可以看成是各个具有不同幅度和相位的网格的累加，即各个距离环样本的等效稀疏表示可以写成：

为了保证稀疏性，这里要求${{\boldsymbol{\rho}} _{{\text{c}},l}}$中的非零元素尽量少，因此需要最小化${{\boldsymbol{\rho}} _{{\text{c}},l}}$中非零元素的数目，即$||{{\boldsymbol{\rho}} _{{\text{c}},l}}|{|_0}$。所以，利用稀疏恢复方法估计协方差矩阵的问题可以写成如下形式：

由于最小化零范数是一个NP难问题，这里利用凸松弛将零范数替换成一范数，使得问题变成凸问题的同时仍是一个稀疏度的求解问题。利用LASSO估计器解决该优化问题并得到解：

式中，$ {\kappa _l} $是调节系数。

那么利用稀疏恢复方法估计的CCM可以写成：

式中，$ {\ell _l} $为根据第$l$个样本数据非零支持集。

将${\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}$代入式(15)的$ \Delta {\text{SCN}}{{\text{R}}_{{\text{out}}}} $中，能得到：

式中，$\hat {\boldsymbol{A}}{\text{ = }} - {\boldsymbol{R}}_k^{ - 1}({\boldsymbol{P}}_k^{\text{H}}{\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}{{\boldsymbol{p}}_{k + 1}})$。

假定最终选择通道数目为$K$，那么基于稀疏恢复的通道选择STAP方法如算法1所示。

算法1　基于稀疏恢复的通道选择STAP方法

设定通道选择数目$K$，初始化迭代次数$k = 0$；

根据少量样本通过稀疏恢复得到估计的杂波噪声协方差矩阵${\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}$；

将主通道作为第一个选择的通道，设置$k = 1$，代入${{\boldsymbol{P}}_k}$；

While $k < K$ do

将${\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}$代入式(21)，针对剩余的$MN - k$个通道依次计算$ \Delta {\widehat {{\text{SCNR}}}_{{\text{out}}}} $，找出最大的$ \Delta {\widehat {{\text{SCNR}}}_{{\text{out}}}} $所对应的通道作为${{\boldsymbol{p}}_{k + 1}}$；

更新${{\boldsymbol{P}}_{k{\text{ + }}1}}{\text{ = [}}{{\boldsymbol{P}}_k}{\text{, }}{{\boldsymbol{p}}_{k{\text{ + }}1}}{\text{]}}$，$k = k + 1$；

end while

计算STAP滤波器权值$\hat {\boldsymbol{w}} = {({\boldsymbol{P}}_{k + 1}^{\text{H}}{\hat {\boldsymbol{R}}_{\text{c}}}{{\boldsymbol{P}}_{k + 1}})^{ - 1}} ({\boldsymbol{P}}_{k + 1}^{\text{H}}{{\boldsymbol{a}}_{\text{T}}})$

本节对提出的算法进行数值仿真。考虑一个正侧视均匀线阵，主要仿真参数如下：阵元数$N = 16$，一个CPI内脉冲数$M = 16$，$\lambda {\text{ = }}0.25$ m，阵元间距为半波长$d = \lambda /2$，脉冲重复频率${f_{\text{r}}} = 2\;000{\text{ Hz}}$，雷达平台高度${{H}} = 3\;000$ m，平台运动速度$v = 125\; {\rm{m}}/{\rm{s}}$，杂波噪声比CNR=30 dB，字典矩阵中${N_{\text{s}}}{\text{ = }}{N_{\text{d}}}{\text{ = }} 100$，即归一化角度和多普勒频率分别被均匀分成了100份。

图2比较了在只有一个样本可用，即样本数$L = 1$的情况下，JDL、通道优选、SR-STAP和所提算法的输出SCNR损失，JDL与通道优选采用的均是一个样本估计的SCM，且JDL、通道优选和本文算法所选用的通道数$K{\text{ = }}9$。从图中可以看出，$ {\text{JDL}}3 \times 3$和通道优选的算法输出结果很糟糕。对于${\text{JDL}}3 \times 3$，样本数不满足RMB准则，导致性能下降过多。对于通道优选算法，由于样本数过少，用样本估计出的CCM无法准确评估出每个通道对输出SCNR的影响，导致每次选择的通道并不能很好地对消杂波，最终输出性能不理想。而SR-STAP方法，在样本数有限的情况下，与最优输出相比，性能下降仍然十分严重。本文算法与其他算法相比均能大幅提升性能，对比SR-STAP的输出SCNR损失，平均高出5~6 dB。

图3在仿真中增加了一些样本数，在只有1个样本和2个样本的情况下，对本文算法和SR-STAP算法的性能进行了比较，本文算法选用的通道数$K{\text{ = }}9$。本文算法不仅在只有一个样本的情况下有效，当有更多的样本可供使用时，虽然SR-STAP的性能有所提升，但本文算法仍然具有一定优势，通过稀疏恢复估计出的杂波协方差矩阵更为准确，因此选择出的通道同样具有相当好的效果。因此，输出信杂噪比性能得到提升，仍比SR-STAP输出性能好。

在图4中，将可用样本数从1个增加至20个，比较在不同样本数下，输出的信杂噪比大小。可以看出，随着样本数目的增加，所估计的协方差矩阵更为准确，输出的信杂噪比也趋于稳定。

选择不同数目的通道数进行降维也会影响杂波干扰抑制的效果，接下来的仿真固定样本数，增加选用的通道数目。当可用样本数有限时，仅需少量通道数目就能获得较好的信杂噪比输出，而随着通道数的增加，反而会导致性能衰减。图5是仅使用1个样本，即$L = 1$，目标在不同的多普勒通道内时，输出性能随通道数变化的曲线，这里选用的4个通道归一化多普勒频率，${f_{\text{d}}}$分别为14/16、13/16、5/16、3/16。使用10个通道可以得到非常好的杂波抑制效果。由于样本数非常有限，利用稀疏恢复估计的协方差矩阵也不够准确，使用更多通道会越来越不满足RMB准则，导致性能大幅下降。因此在只有1个有效样本可用的极端背景，雷达采用16个阵元且在一个CPI内使用16个脉冲的情况下，采用10个通道可以达到最佳的杂波抑制效果，仅比最优输出低2 dB。

图6是使用两个样本，即$L = 2$时的输出性能随通道数变化的曲线。相较于1个样本，利用2个样本估计出的协方差矩阵更为精准，因此更多通道可被选择以获得更好性能。可以看到，在同样的仿真条件下，当选择30个通道进行杂波抑制时，能获得最好的性能，比最优输出低2 dB，但采用更多通道会使性能下降，选用全通道会比最优输出低6 dB。 不过相比于仅用1个样本的情况，选用全通道时，性能损失更少。

图7和图8分别是选用5个样本和10个样本，即$L = 5$和$L = 10$时的输出性能随通道数变化的曲线。当选用5个样本时，随着通道数目的增加，输出结果仍有略微下降趋势，选择40个通道能够达到最好的抑制效果，相比于最优输出低了1 dB。当可用样本数情况没有那么极端时，如选择10个有效样本时，随着通道数目增加，输出SCNR逐步提升并趋于稳定，比最优输出低0.7 dB，选用50个通道即可达到最好效果，选用更多的通道则不会明显提升性能。可以预见，如果通过足够多的样本获得了极为精确的协方差矩阵，或者协方差矩阵准确知道的情况下，应该选择更多的通道以达到最好的输出效果。

针对机载雷达杂波抑制问题，当有效样本数极少时，提出了一种结合稀疏恢复的降维通道选择的STAP处理方法。利用稀疏恢复方法估计出的杂波协方差矩阵来评估各个角度多普勒通道的重要性。本文方法在可用样本数少的情况下，比SR-STAP方法和经典的JDL方法具有更好的杂波抑制效果。当可用样本数增加时，输出性能随之得到提升。当协方差矩阵估计不够准确时，通道数增加可能会导致性能下降，针对不同样本数给出了选用通道的数目，对工程应用具有指导意义。