Dynamics of Negative Resistive Memristive Hopfield Neural Networks

由忆阻器的初始定义可知，它是满足$ \varphi -q $域特定关系的一种器件，但为了进一步丰富忆阻器的内涵，文献[6]又提出了广义忆阻器的概念，即一个忆阻系统的定义应该满足如下关系：

式中，$ u\left(t\right) $和$ y\left(t\right) $分别为系统的输入信号和输出信号；x为系统的n阶状态变量；g为一个n维的连续向量函数；t为时间。

磁通或电压控制型忆阻系统的关系可写成：

式中，h为一个n维的连续向量函数。此时的忆导值G也不再仅由磁通量$ \varphi $决定，而是由状态变量x、输入电压v以及时间t共同决定。

由上述定义可知，广义忆阻器将影响忆阻值的变化因素增多了，本文提出的改进模型就是对状态变量x进行了有效调整，使忆阻器能够呈现出正负两种阻态，消除了对理想忆阻器电导极性的限制。

如图1所示，新忆阻器模型可以视为夹在两个金属电极之间的厚度为2D的半导体薄膜，包括一个正电导区和一个负电导区(每个区的厚度为D)。它也可以视作两个理想忆阻器背靠背连接，一个具有正电导，另一个具有负电导。忆阻器的电导由状态变量x确定，并且x的调控范围从原理想状态忆阻器的[0,D]扩展到[−D,D]。

假设只考虑最简单的欧姆电导情形，G(x)定义为与状态变量x成正比，即G(x)=ax，其中a是常数系数。同时在实际忆阻器使用中，特别是氧化物类忆阻器，其两端的电阻或者电导经常会随着时间的推移而逐渐降低，所以可以通过引入衰减项(bx)模拟这种阻值变化，其中b为衰减系数。综上所述，改进的忆阻器可以描述为：

除了两个端点−D，D外，状态变量x与通过忆阻器的磁通量成正比。在改进的忆阻器模型上施加外部电压，可以使x的位置发生变化，从而改变忆阻器电导的大小与极性。如假设a=1且b=0，如果在忆阻器上施加正电压，x向阳极移动，电导可能处于正阻态，反之若施加负电压，x向阴极移动，电导就可能处于负阻态。

当对改进的忆阻器施加一个正弦电压v(t)=Asin(ωt)时，可以得到忆阻器的电导公式为：

式中，c是常数系数；A、ω分别为正弦电压幅度、频率。设置c=1，A=2，ω=2π，x₀=−0.5，相关测试结果如图2、3所示。若b=0，即忽略衰减项，通过绘制电流与电压的关系，可获得呈水平8字状的捏滞回线，I-V曲线跨越所有4个象限，且主要在2、4象限，与原理想忆阻器模型仅在1、3象限的斜8字I-V曲线相比具有明显不同的特性，也意味着所提出的忆阻器模型具有负电导。此外，若b=0.08时，施加正弦电压，可以获得多个连续的稳定状态。

选取3个神经元的连续型Hopfield神经网络^[28]，表达式为：

式中，$ {C}_{i} $为第i个神经元的输入电容；$ {u}_{i} $为第i个神经元的输出变量；$ {R}_{i} $为第i个神经元的传输电阻；$ {w}_{ij} $为神经元的连接权值；$ f\left(u\right) $为神经元激励函数；$ {I}_{i} $为神经元外部激励。为简化计算过程，通过单位归一化后，设置$ {C}_{i} $、$ {R}_{i} $均为1，$ {I}_{i} $为0，$ f\left(u\right) $为双曲正切函数，即$ f\left(u\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(u\right) $。

Hopfield网络是一种全连接的反馈型神经网络，每个神经元与其他所有神经元相互连接，3神经元HNN需要9个突触连接权值。忆阻器本身具有阻值记忆特性，是良好的突触仿生器件，以往的忆阻器基本只有正阻态，而反馈型神经网络，特别是混沌神经网络，往往需要负反馈权值。由于忆阻器的电导与权值具有相同的量纲，可以将具有负阻态的忆阻器替换HNN的一个权值，新忆阻Hopfield神经网络表达式为：

式中，u为输出变量矩阵；W为连接权值矩阵。可以表示为：

由式(10)、(11)可知，新网络的演化情况由系统初始值、权值矩阵W以及忆阻器参数a、b确定。

首先基于实验室24核48线程AMD 3960X服务器平台，使用粒子群算法，搜索新HNN模型比较优化的参数配置。设置a=1，b=0.05，初始值u(0)=(0.1,0.1,0.1)，W权值矩阵为：

系统仿真时间为500 s，时间精度为1 ms，各参数采用国际标准单位归一化，无量纲。如图4所示，系统的相位轨迹图呈现出普通的单涡卷吸引子，但单纯从相轨图还不能判定是否为混沌系统，还要结合Lyapunov指数的正负情况。根据式(10)求得系统的Jacobian矩阵，再利用施密特正交化方法，求解系统的Lyapunov指数^[29]。如图5所示，系统最终的Lyapunov指数分别为LE₁=0.0125，LE₂=−0.0034，LE₃=−0.0685，LE₄=−6.8912，存在大于零的Lyapunov指数，所以可以初步判定系统达到混沌状态。

通过调整忆阻器参数a，b的值来观察忆阻器对系统动力学行为的影响。如图6所示，其他实验条件不变的情况下，a取[0.5, 1.5]，步长为0.01，当a从0.50增加到1.09，系统的Lyapunov指数变化不大，LE₁、LE₂、LE₃在零附近，LE₁始终略大于零；当a从1.09增加到1.50，系统的Lyapunov指数发生较大变化，且都小于零。

如图7所示，b取[0.05, 0.12]，步长为0.001，b的取值持续对Lyapunov指数造成影响，证明忆阻器的衰减项对系统的影响较大，但不论b取何值，LE₁始终大于零，其他Lyapunov指数小于零。

神经元间的连接权值矩阵对系统有较明显的影响，实验中搜索出另一组连接权值矩阵W_n如下：

如图8所示，系统呈现出图4类似的单涡卷吸引子相轨图，且只有LE₁=0.0089，大于零，其他Lyapunov指数均小于零。

如表1所示，Hopfield神经网络的相轨图主要集中表现为单、双涡卷吸引子，Lyapunov指数一般只有一个为正。文献[21]是最早将混沌引入HNN网络的，但10神经元模型的动力学行为并不显著，而后续的改进模型性能都有所提升。

本文通过对具有负阻态的忆阻器模型进行数学分析以及I-V特性仿真测试，进一步明确了忆阻器的器件特性，同时基于该忆阻器模型构建了新的Hopfield神经网络，并对网络的动力学行为进行了分析与讨论。实验结果表明，提出的Hopfield神经网络模型具有丰富且复杂的动力学行为，并存在一定的混沌现象。同时，讨论了在不同的忆阻器参数以及连接权值矩阵条件下，网络的动态演化进程以及Lyapunov指数的变化情况，并与同类型网络进行了对比，结果进一步表明该模型的有效性，为后续在模式识别、数据处理以及图像加密方面的应用提供了研究思路。