Multi-Region Segmentation Method for SAR Images Based on a Parametric Model

基于参数化模型的水平集分割方法如下：首先根据分割区域个数建立对应数量的统计分布函数，各区域的统计分布函数由改进Edgeworth展开式得到；其次将统计分布嵌入到能量泛函，通过变分原理和梯度下降流原理最小化能量泛函，并采用水平集方法求解，最后实现图像分割。

在大多数基于统计信息的水平集SAR图像分割方法中，需要事先根据图像信息假定SAR图像的统计分布。通常认为SAR图像服从Gamma分布、Weibull分布或者G0分布。然而，目前还没有一种分布能完全描述不同的场景和地物，因此对于多区域分割，先假定概率分布不能得到满意的分割结果。本文采用改进的Edgeworth展开式估计不同区域的概率分布，克服了需要先假定概率分布的问题，使分割精度提高^[7]。

根据Edgeworth展开式规律可知^[8-9]，如果一个分布不是完全远离正态分布，那么该分布可以由标准正态分布和Chebyshev-Herimite多项式逼近。由于SAR图像某些区域分布不一定满足该条件，因此本文基于中心极限定理先对分布进行变换，再采用Edgeworh展开式对分布进行拟合，该方法称为改进的Edgeworh展开式。其原理如下：

假设独立随机变量序列服从某种相同的分布，根据中心极限定理可知，若n充分大时，其分布近似服从正态分布：

式中，$\mu $和$\sigma $分别为随机变量的均值和方差。

另外，假设SAR图像的像素值由描述，则可以认为总的像素数n足够大。

因此，根据式(1)用变量Y表示图像像素，则图像的分布可以由下式逼近：

式中，变量y由式(1)得到，G(y)表示标准正态分布；C₃、C₄、C₆表示三、四、六阶Chebyshev-Herimite多项式；${\rho _3}$、${\rho _4}$表示变量y的三阶和四阶累积量。

C₃、C₄、C₆的表达式为：

${\rho _3}$、${\rho _4}$的表达式为：

式中，${O_{X;3}}$、${O_{X;4}}$为变量X的三、四阶累积量：

式中，${\mu _{X;1}}$、${\mu _{X;2}}$、${\mu _{X;3}}$、${\mu _{X;4}}$为变量X的一、二、三、四阶原点矩。

图 1给出了Edgeworth展开式、G0分布、Weibull分布对不同场景分布曲线的拟合程度。两幅SAR图像为均没有经过滤波的强度图。实验场景为复杂度较低的水域场景和复杂度较高的建筑场景。

本文采用Kullback-Leibler (KL)距离对各自模型估计准确度进行评价^[10]。距离数值越小表示拟合效果越好。表 1给出了KL距离值。由表 1可以看出，Weibull分布对均匀场景拟合较好，但是对复杂场景效果较差；相反，G0分布不能很好地描述简单场景的统计分布，更适用于复杂场景。Edgeworth展开式虽然在不同场景下不是最好的拟合方法，但是对不同场景都能得到很好的拟合效果，因此更适用于多区域的分割。

水平集函数的定义为曲线等于0，曲线内部大于0，曲线外部小于0。设水平集个数为L，由于水平集函数通常为符号距离函数，因此L个水平集至多可以得到N=2^L个分割区域。为了区分不同区域，定义一个特征函数为：

为了求解过程的计算稳定性，通常水平集方法用Heaviside函数代替1和0^[11]，常用的函数定义以及其导数Dirac函数为：

假设水平集函数为${u_k}(k = 1,2, \cdots ,L)$，那么其所有的组合方式可以用向量表示为，$i = 1,2, \cdots ,N$，$c_k^i = 0$或1。从而式(6)可以重写为：

式中，，其导数为。

由于水平集函数为符号距离函数，因此在求解过程中每次迭代都需要重新初始化水平集函数，为了避免该问题，引入一个惩罚项从而加快结果的收敛速度^[12]。设图像由I(x, y)表示，则根据基于区域信息的传统水平集方法可以推导出嵌入Edgeworth展开式的能量泛函为：

式中，p_i为由式(2)得到的分割区域概率密度；α、β、λ为权重；Ω为图像域；∇为哈密顿算子；第1项为统计区域信息，各个区域的概率密度函数由式(2)估计得到；第2项为保证曲线的光滑，避免过小的分割区域；第3项为惩罚项，用于调整水平集函数为符号距离函数。

根据水平集定义可知，将图像界面嵌入到高一维水平集函数中，在演化过程中，零水平集即为所需的分割曲线。根据变分原则和梯度下降流原理，最小化式(9)即可得到其解为：

式中，t为引入的时间变量；Δ为拉普拉斯算子；div为散度。

水平集方法中，通常采用迭代方法对偏微分方程进行求解。因此式(10)的解为：

式中，s为迭代次数；Δt为时间步长。

为了保证迭代求解的稳定性，通常需要复杂的差分方案，本文采用文献中半隐式的差分方案，即可获得很好的结果。

在迭代过程中需要每次重新计算各自类别的概率密度函数。由1.1节可知，概率密度函数的确定与变量的原点矩有关。第i类中的j阶原点矩$\hat \mu _{_{I;j}}^i$可以由下式估计：

对于分割正确性的验证，本文采用两个水平集函数，由式(10)可得，两个水平集函数分别为：

两个水平集可以至多分割4个区域，本文分别给出了仿真和真实SAR图像的例证。

本文采用仿真SAR图像和真实SAR图像对提出方法进行验证。对比方法选用经典的Chan Vese (CV)模型和基于G0分布的统计活动轮廓模型^{[1, 13]}。CV模型基于图像均值进行分割，G0模型基于图像服从G0分布进行分割。计算复杂度而言CV模型最简单，G0模型其次，本文方法复杂度最高，但仍能在很短时间内得到图像分割结果。

在分割之前需要确定权重参数及迭代步长。经过测试，取α=2，β=1对大部分图像都能得到很好的分割结果。另外，水平集分割中，λ=0.04，迭代步长Δt=1能适用于绝大部分图像。

本文采用Matlab实现算法。运行平台为Windows 8.1，处理器为I7-4600U，内存为8 GB。仿真图像为3个不同形状的几何图形并叠加一定的乘性噪声。本文方法运行时间为16.3 s。仿真SAR图像分割结果如图 2所示。

初始轮廓为每个水平集的零水平集。由图 2可知，CV模型完全不适用于SAR图像。因为CV模型是基于区域均值对图像进行分割，而SAR图像噪声为乘性噪声，在灰度值高的区域噪声更大，从而造成CV模型的误判。对于基于G0分布的模型，当区域统计信息能被G0分布描述时，可得到很好的分割结果，如图 2e中的前两个图像所示；而当实际分布与G0分布偏离较远时，分割结果就会较差。另外，当引入多个水平集进行多区域分割时，各个水平集都会相互影响，进一步造成分割精度的下降。由图 2g可以看出，本文方法能得到较好的分割结果，不仅能区别出不同灰度值的几何图形，而且有非常好的分割边界曲线。

真实SAR图像为AIRSAR获取的一幅Flevoland地区图像，主要地物为不同的农田。图像为未经过滤波处理的VV极化图像。本文方法运行时间为47.6 s，真实SAR图像分割结果如图 3所示。

由图 3可知，在灰度值较低的区域，由于噪声很小，CV模型能得到较好的分割结果，但CV模型不能完成对较高灰度值区域的分割。同样地，由于G0分布不能完全描述某些类型区域，从而不能得到正确的分割。本文由于采用自适应的参数化统计信息拟合方法，适用于不同的地物，对于多区域的分割，能得到更好的分割结果。

本文提出了一种基于参数化模型的水平集SAR图像多区域分割方法。这种方法不需要先指定区域统计分布函数，从而更适用于多区域的分割。实验结果表明，对于多区域的分割，本文方法能得到很好的分割边界以及对不同地物的区别力。另外，本文给出了一般水平集函数的表达式，根据所需分割区域个数，可采用对应数量的水平集，具有很强的实用性。