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分岔作为非线性系统的一种常见现象,近年来相关研究大量涌现[1-3]。分岔控制的目的是为了改变系统动态性能以获得期望的系统特性,其主要目标包括:延迟系统分岔的发生、镇定不稳定的分岔、改变已有分岔点的参数值、修正分岔的形状和类型、改善分岔点附近的系统特性,或者这些目标的某些组合[4]。Hopf分岔是分岔中的一种重要类型,其实际意义在于Hopf分岔是系统状态处于稳定和不稳定之间的一种临界状态,所以对其研究非常重要,相关研究成果也很多[5-7]。
在实际的工程系统中,Hopf分岔系统也广泛存在,涵盖了很多的领域,包括:电力系统[8]、电子技术[9]、网络技术[10]、新能源[11]、光学技术[12]等,而很多工程中的问题在实际分析和计算时都会涉及到Hopf分岔的控制问题。Hopf分岔的控制是控制工程和电子技术等领域的重点研究方向之一,有大量的研究成果,包括实际工程应用[13]和理论研究[14]。
随着研究的深入,参数化控制器逐步应用在了Hopf分岔系统的控制中[15-16]。文献[15]在这方面做出了重要的工作,其根据状态反馈理论,给出了一种相对通用的Hopf分岔控制形式,并通过实例对控制器的参数进行了求解和仿真。文献[16]对文献[15]的部分工作进行了进一步的深入,对控制器进行了简化,在控制参数平面上绘制了约束条件曲线,并以此对系统的分岔情况进行了分析。
尽管在Hopf分岔控制器设计方面已经存在大量的研究,但是目前的研究文献中依然存在一定的局限性,如控制器形式复杂不够通用、控制阶次较高、约束条件求解繁琐、参数求解不充分。在现有的研究中,文献[15]使用参数化控制的方法在Hopf分岔控制方面进行了很好的应用,用不等式的方式对求出的控制器参数范围进行了描述,分岔控制效果明显。但是,该文献设计的控制器中含有系统全部的平衡点,表达式结构非常复杂,阶次很高,控制器的阶次是原系统平衡点的整数倍。文献[16]对这种参数化的控制器进行了明显的简化,去掉了原控制器中大部分的高次项,使得控制器的阶次降低,使用柱形代数剖分方法将控制器的约束条件绘制在了二维空间中,并对各个子空间的分岔情况进行了分析。但是该文献中设计的控制器阶次依然较高,且控制器中含有原系统平衡点的值。文献[17]对文献[16]中的参数化方法做了进一步的应用,但是没有对控制器形式进行改进。
因此本文提出了一个简单通用的参数化控制器设计方法,使用该方法设计的控制器阶次更低,控制器中不含有系统平衡点的值,并且不会改变原系统平衡点的位置。
Parametric Stabilization Method for a Class of Hopf Bifurcation Systems
doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.06.012
- Received Date: 2015-07-28
- Rev Recd Date: 2016-03-16
- Publish Date: 2016-11-01
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Key words:
- cylindrical algebraic decomposition /
- Hopf bifurcation control /
- Lorenz system /
- parametric controller
Abstract: A parametric stabilization method is proposed for the problem of Hopf bifurcation system control. Compared with the existing methods, the controller designed by this method has a lower controller order and a simpler structure, and it does not contain equilibrium points. The method keeps equilibrium of the origin system unchanged. Under the control, the characteristics of the original system will be improved at equilibrium, and the system states of Hopf bifurcation or chaos can be controlled to stable. Using the Hurwitz criterion, the constraints of the parametric controller are derived. The idea of cylindrical algebraic decomposition (CAD) is employed to compute the constraints to find the parameter ranges of the designed controller, and the controller can be designed to stabilize the system by using any feasible control parameters in the ranges. Taking Lorenz system as an example, the controller design process of the method and numerical simulations are discussed. The simulation results show the effectiveness of the proposed method.
Citation: | LU Jin-bo, HOU Xiao-rong, LUO Min. Parametric Stabilization Method for a Class of Hopf Bifurcation Systems[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2016, 45(6): 944-949. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.06.012 |