Research on Optimal Design of High-Frequency Structure of a 110 GHz Gyrotron

开放式谐振腔的特征参数可以通过HFSS、CST等专业电磁仿真软件来研究，然而这些通用商业仿真软件是在一定算法的基础上，通过数值方法求解麦克斯韦方程组，其模拟结果是谐振腔内不同模式在某一频点上叠加后的电磁场特性参数，在研究寄生模式与工作模式的相对大小即模式纯度时，很难给出不同寄生模式准确的相对幅值；也就很难优化设计出性能优越的回旋振荡管高频系统。若结合具体边界条件，以无限长圆柱直波导中的矢量波函数作为正交基，借助耦合波理论对麦克斯韦方程组做进一步的推演，得到与各标准模式幅值相关的广义传输线理论；以此理论为基础，对谐振腔内可能存在的各种模式的特性参数展开研究，则可以得到某一频率下各模式间较为准确的相对幅值量；进而通过优化设计谐振腔结构，以提高腔内工作模式的模式纯度，提高回旋振荡管的互作用效率和稳定性。因此，以广义传输线理论为依据，能更合理、高效地优化设计回旋振荡管谐振腔。

回旋振荡管一般采用柱形谐振腔，且磁波与回旋电子注互作用更有效，所以在柱坐标系中，分别以横向场${{\boldsymbol{E}}_t} $、${{\boldsymbol{H}}_t} $和纵向场${E_z}{{\boldsymbol{e}}_z} $、${H_z}{{\boldsymbol{e}}_z}$表示谐振腔中的电磁场；对谐振腔中不同轴向位置(z)处的横向场${{\boldsymbol{E}}_t} $、${{\boldsymbol{H}}_t} $用该z处同截面的规则直圆波导中正交归一化矢量波函数展开^[8-10]：

式中，${\boldsymbol{e}}_{mn}^{(1)}({\boldsymbol{r}}, \phi ) $、${\boldsymbol{e}}_{mn}^{(2)}({\boldsymbol{r}}, \phi ) $分别为直圆波导中电波(TM)、磁波(TE)的正交归一化矢量波函数；$V_{mn}^{(1)}(z) $、$V_{mn}^{(2)}(z) $、$I_{mn}^{(1)}(z) $、$ I_{mn}^{(2)}(z)$分别为不同位置处电(磁)对应的矢量波函数的幅度函数。

把式(1)代入麦克斯韦方程组中的电、磁场满足的两个旋度方程为：

可得到回旋振荡管中注-波(TE波)互作用的有源广义传输线方程组为：

式中，a(z)是谐振腔半径；$ \gamma _{mn}^{(1)}$、$\gamma _{mn}^{(2)} $分别是电、磁波的传播常数；$ {J_z}$、${{\boldsymbol{J}}_t} $分别表示电子注的纵、横向电流密度；i(i')取“1”时是电波，取“2”时是磁波。当式(3)中的${{\boldsymbol{J}}_t} $和${J_z} $取零时，有源广义传输线方程组就蜕变为研究回旋振荡管高频结构特性的无源广义传输线方程组。

式(3)中，模式耦合系数^[10]满足：

式中，$ i, j$只取1, 2；$C_{pn}^{1, 1}\;{\rm{d}}a/(a{\rm{d}}z)$、$C_{pn}^{1, 2}\;{\rm{d}}a/(a{\rm{d}}z) $、$C_{pn}^{2, 1}\;{\rm{d}}a/(a{\rm{d}}z) $和$C_{pn}^{2, 2}\;{\rm{d}}a/(a{\rm{d}}z) $分别定义为电波模式与电波模式、电波模式与磁波模式、磁波模式与电波模式、磁波模式与磁波模式间的耦合系数，且满足：

仔细分析式(3)~式(8)可得，若各模式间的耦合系数变小，就能降低非工作模式与工作模式的幅值比，有效地抑制非工作模式；式(4)中，$C_{pn}^{1, 1} $、$C_{pn}^{1, 2} $、$C_{pn}^{2, 1} $和$C_{pn}^{2, 2} $在模式参数确定后即为常数，不可以优化；只有与高频结构参数有关的${\rm{d}}a/\left( {a{\rm{d}}z} \right) $项可以优化；该项涉及到谐振腔的四段渐变段，不能从理论上求得最优解，只能通过微调谐振腔不同渐变段的变化趋势与连接方式，以获得较优的工作模式纯度。基于上述理论分析，本文采用光滑小圆弧线与斜渐变线相切的曲线作为谐振腔的母线，连接腔体各半径突变部分，优化${\rm{d}}a/\left( {a{\rm{d}}z} \right) $，降低工作模式对非工作模式的耦合，以达到抑制竞争模式的目的。

在式(3)中，每个宏电子的运动速度满足：

式中，v是电子的运动速度；E是电子遭遇的电场；B=B₀+B_w，其中，B₀为轴向外加磁场，B_w为波磁场。

各模式在谐振腔的左、右端口满足边界条件：

式(3)、式(9)和式(10)构成回旋管自洽非线性理论，可以研究回旋管中的注-波互作用。

为了充分认识高频结构对110 GHz高次模回旋管性能的影响，本论文选择TE_{22, 6}为工作模式，从冷腔中工作模式纯度与高频结构间的关系和热腔中的注-波互作用效率等两个方面开展研究工作。

在上述理论分析的基础上，采用四阶龙格库塔法对方程组式(3)进行数值求解，并通过可变多面体法使各模式解均满足边界条件式(10)；得到冷腔优化设计程序，借助该程序开展数值模拟研究。

折线渐变单谐振腔一般由三段渐变段L₁、Lc和L₂组成，结构如图 1所示。为了防止高功率电磁波反向进入电子枪区并预调制电子注，输入渐变段对在工作频率附近的工作模式深度截止。

通过大量优化设计，得到特征参数满足110 GHz兆瓦级回旋振荡管工作的传统单谐振腔，其结构和特性参数如表 1所示。

工作模式TE_{22, 6}和非工作模式TE_{22, 5}在腔内的模式幅值如图 2所示，相位分布如图 3所示。

为了验证自编程序的准确性，本文采用专业电磁仿真软件HFSS对优化设计好的三段腔进行数值模拟，其纵向模式结构和角向剖分1/22后的横向场分布分别如图 4和图 5所示。

依据导波场理论，腔内TE_{22, 6}模式的纵、横向场分布分别为图 6和图 7所示。

两种模拟手段得到的谐振腔特征参数如表 2所示。对比图 2~图 7，以及表 2中的模拟数据可知，基于无源广义传输线方程组的模拟结果与通用商业电磁软件模拟的结果近乎相同。但在计算效率上，自编程序模拟一次腔体参数耗时约5 min，而专业电磁仿真软件在角向对称剖分后耗时至少10 h以上，如果不进行对称剖分，在对电脑硬件要求较高的同时至少耗时70 h以上。可见在回旋管谐振腔对特征参数要求不很精确地情况下，自编程序是很好优化设计工具。

结合本文第一部分中关于工作模式纯度与高频结构间关系的理论分析，本文把谐振腔的折线过渡改为圆弧过渡，使谐振腔不同半径间的轴向渐变段光滑连接(相切)。如图 8所示，r₁、r₂、r₃、r₄，分别为圆弧的半径。在大量优化模拟的基础上，不断调整圆弧段段r₁、r₂、r₃、r₄的长度，最终得到了一组由特定长度圆弧段组合而成的110 GHz兆瓦级回旋振荡管谐振腔，使工作模式在谐振腔内和谐振腔出口处均保持较高的模式纯度。其结构示意图如图 8所示；腔内的模式纵向幅值分布如图 9所示。

若定义模式纯度为：

式中，V_mn表示工作模式TE_mn纵向幅值函数的最大值；V_mn’表示非工作模式TE_mn’纵向幅值函数的最大值。与图 2相比较可以看出，腔内寄生模式归一化幅值由原来的0.025减小为0.014 5，模式纯度提高约4.7 dB。优化过程中各弧线与模式纯度间的关系如图 10所示。可见，r₁、r₄段对腔内模式纯度的影响不大，r₂和r₃对腔内工作模式纯度有较大影响；通过改变谐振腔的缓变结构能有效地抑制寄生模式。

与合适的电子注参数、引导磁场参数相配合，谐振腔抑制模式竞争的能力才能充分体现出来。为此，本文以第一部分得到的回旋管自洽非线性理论为基础，进一步考察了优化设计的110 GHz兆瓦级回旋振荡管高频结构中的注-波互作用。在回旋注电压96 kV，注电流40 A，速度比1.4，归一化引导中心半径0.51，引导磁场4.41 T时，优化设计的圆弧渐变回旋振荡管谐振腔中注-波互作用效率约为50%，在110.1 GHz输出功率超过1.9 MW。两种结构腔中的互作用效率如图 11所示，从图可以看出，采用圆弧过渡方式，相应的注波互作用效率提高了约4%。

本文根据回旋管的自洽非线性理论，编写了针对回旋振荡管高频结构设计及注-波互作用分析的模拟计算程序。通过对广义传输线方程组反应出的模式纯度与谐振腔结构参数(${\rm{d}}a/\left( {a{\rm{d}}z} \right) $)间关系的理论分析，找到了抑制非工作模式的途径：最小化模式耦合系数，可以有效地抑制非工作模式；微调渐变段的形状，可以改变腔内非工作模式与工作模式间的相互耦合程度。通过对优化设计的110 GHz兆瓦级回旋振荡管，在折线渐变和圆弧渐变高频结构中模式纯度(冷腔)和注-波互作用(热腔)效率的模拟分析和对比，计算结果表明，相对于折线渐变结构，采用圆弧渐变结构的谐振腔耦合系数明显减小，使工作模式纯度提高了约4.7 dB，互作用效率提高约4%，有效地抑制非工作模式的方法，对研制高次模、高功率波源具有参考意义。