DC/DC功率变换器已广泛地应用于诸如混合动力汽车、航空电源、新能源开发等各类功率变换场合^{[1, 2]}。随着应用场合的逐渐增多，对DC/DC功率变换器的要求也随之提高。然而，由于开关器件的离散的开关动作，DC/DC功率变换器是一类典型的混杂系统^[3]。基于状态空间平均法的建模方法忽略了功率器件的开关特性^{[4, 5]}，利用周期平均值来代替瞬时值得到相应的小信号系统模型，不能真实地反映功率变换器的动态特性。

因此，利用混杂系统理论对DC/DC功率变换器进行建模与分析，已引起了国内外专家学者的广泛关注^{[6, 7]}。文献^[6]研究了DC/DC功率变换器的混杂动态特征，并利用周期型切换模型分析了系统的能控性、能观性和能达性问题；文献^[7]运用混杂系统相关理论，研究了二阶DC/DC变换器的统一混杂系统模型，基于Lyapunov直接法分析系统稳定性，进而提出了一种新型的类滑模控制策略。

模型预测控制(model predictivecontrol, MPC)是一种非线性优化控制算法^{[8, 9]}。它利用内部模型预测系统的状态或输出，同时应用有限时域滚动计算和反馈校正，并通过对系统性能指标的优化计算以确定在预测控制时域内的最优控制序列，有着控制效果好、鲁棒性强等优点。目前，基于DC/DC功率变换器的混杂系统模型，结合非线性控制算法对其进行研究，已经成为一个重要的研究方向。文献^[10]基于滑模观测器建立了DC/DC变换器的混杂系统状态模型，基于混杂系统模型设计了预测控制器；文献^[11]研究了一类DC/AC变换器的混杂逻辑动态模型，通过求解混合整数规划问题得到预测控制的数值解；文献^[12]建立了DC/DC功率变换器的混杂系统模型，并考虑了约束条件下的优化控制问题，设计了一种离线控制器；文献^[13]基于DC/DC功率变换器的分段仿射模型，基于多参数二次规划算法设计系统的显式预测控制律，但只进行了仿真验证。

本文研究一类基于混杂模型的DC/DC功率变换器预测控制。首先，利用变换器的v步离散法，建立开关变换器混杂动态特征的分段仿射模型(PWA)，在一定程度上更深入地反映了输入控制量与状态变量之间的直接映射关系。在该模型的基础上，结合非线性预测控制方法，通过对给定的二次型性能指标的优化计算，并考虑引入预测误差对系统输出进行反馈校正，设计控制器得到DC/DC功率变换器所需的最优占空比控制序列。最后以Buck变换器为例，设计了实验样机，仿真结果和实验结果验证了PWA模型和控制器的正确性和有效性。 1 DC/DC变换器的PWA模型 1.1 DC/DC功率变换器

由于开关器件的离散动作，DC/DC功率变换器是一类典型的切换系统。其工作特性是在多个线性系统之间进行周期性的切换。以Buck变换器为例，如图 1所示。

假设变换器工作在电流连续状态，则Buck变换器的状态空间方程可以表示为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{d}}{\bf{x}}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = {\bf{Ax}}(t) + {\bf{B}}u(t)}\\ {y(t) = {\bf{Cx}}(t)} \end{array}} \right.k{T_{\rm{s}}} \le t \le (k + d(k){T_{\rm{s}}})$

(1)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{\rm{d}}{\bf{x}}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = {\bf{Ax}}(t)}\\ {y(t) = {\bf{Cx}}(t)} \end{array}} \right.(k + d(k){T_{\rm{s}}}) \le t \le (k + 1){T_{\rm{s}}}$

(2)

式中，有：

${\bf{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - \frac{1}{L}}\\ {\frac{1}{C}}&{ - \frac{1}{{RC}}} \end{array}} \right],{\bf{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{L}}\\ 0 \end{array}} \right],{\bf{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \end{array}} \right]$

(3)

状态变量${\bf{x}}(t) = {[\begin{array}{*{20}{c}}{{i_L}(t)}&{{V_o}(t)}\end{array}]^{\rm{T}}}$；${i_L}(t)$为电感电流；${V_o}(t)$为输出电容两端的电压；输出变量$y(t) = {V_o}(t)$；控制变量$u(t) = {V_{in}}(t)$；$d(k)$是第k个周期的占空比信号。

由式(3)可得，在电流连续模态下的功率变换器存在两种不同的工作模态，通过开关管Q₁、Q₂的离散动作，使得Buck变换器在工作模态式(1)和工作模态式(2)之间来回切换。而大多数的控制器设计通常将一个周期内的开关作用效果进行了平均，等效为一个常值，忽略了开关器件的离散动作。 1.2 v步离散法

虽然DC/DC功率变换器是一类典型的混杂系统，但它具有特定的工作规律，即在开关周期内开关器件只关断一次。为此，将一个开关周期T_s均分为$\nu (\nu \ge 2)(\nu \ge 2)$个子区间，如图 2所示，每个子区间的周期${\tau _s} = {T_s}/\nu $。

开关管Q₁在各个子区间的状态可划分为3类：

1)Q₁处于导通状态(区间Ⅰ)；

2)Q₁由导通转向关断的过渡状态中(区间Ⅱ)；

3)Q₁处于关断状态(区间Ⅲ)。

显而易见，功率变换器只在区间Ⅱ下存在切换动作，而在区间Ⅰ和区间Ⅲ下即为特定的线性定常系统。因此，根据线性系统理论，定义功率变换器按照下式进行状态更新^{[11, 12]}：

${\bf{\xi }}(n + 1) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\bf{\Phi \xi }}(n) + {\bf{\Gamma }}\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}} \end{array}{\sigma _n} \wedge {\sigma _{n + 1}}} \end{array}}\\ {{\bf{\Phi \xi }}(n) + {\bf{\Gamma }}(\nu d(k) - n)\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{\sigma _n} \wedge {{\bar \sigma }_{n + 1}}} \end{array}}\\ {{\bf{\Phi \xi }}(n)\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&{{{\bar \sigma }_n}} \end{array}} \end{array}}&{} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \end{array}} \right.$

(3)

式中，${\bf{\Phi }} = {{\rm{e}}^{{\bf{A}}{\tau _s}}}$；${\bf{\Gamma }} = \int_0^{{\tau _s}} {{{\rm{e}}^{{\bf{A}}({\tau _s} - \tau )}}} {\bf{B}}u(\tau ){\rm{d}}\tau $；${\sigma _n}$是引入的一个二元变量，用来标记开关管Q₁在子区间的开通状态和关断状态。 1.3 PWA切换模型

根据式(3)可推导出功率变换器的PWA切换仿射模型。以Buck变换器为例，把开关周期均分为3个子区间($\nu = 3$)时，有：

${\bf{x}}(k + {\rm{1}}) = \left\{ \begin{array}{l} {{\bf{A}}_1}{\bf{x}}(k) + {{\bf{B}}_1}d(k) + {{\bf{f}}_1}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{d(k) \in [0,1/3)} \end{array}\\ {{\bf{A}}_2}{\bf{x}}(k) + {{\bf{B}}_2}d(k) + {{\bf{f}}_2}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{d(k) \in [1/3,2/3)} \end{array}\\ {{\bf{A}}_3}{\bf{x}}(k) + {{\bf{B}}_3}d(k) + {{\bf{f}}_3}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{d(k) \in [2/3,1]} \end{array} \end{array} \right.$

(4)

则有：

${\bf{x}}(k + 1) = {{\bf{A}}_i}{\bf{x}}(k) + {{\bf{B}}_i}d(k) + {{\bf{f}}_i}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{i = 1,2,3} \end{array}$

(5)

式中，${{\bf{A}}_1}{\rm{ = }}{{\bf{A}}_2}{\rm{ = }}{{\bf{A}}_3}{\rm{ = }}{{\bf{\Phi }}^3}$；${{\bf{B}}_1}{\rm{ = }}3{{\bf{\Phi }}^2}{\bf{\Gamma }}$；${{\bf{B}}_2}{\rm{ = 3}}{\bf{\Phi \Gamma }}$；${{\bf{B}}_2}{\rm{ = 3}}{\bf{\Phi \Gamma }}$；${{\bf{f}}_1}{\rm{ = }}0$；${{\bf{f}}_2}{\rm{ = }}{{\bf{\Phi }}^2}{\bf{\Gamma }} - {\bf{\Phi \Gamma }}$；${{\bf{f}}_2}{\rm{ = }}{{\bf{\Phi }}^2}{\bf{\Gamma }} + {\bf{\Phi \Gamma }} - 2{\bf{\Gamma }}$。

式(5)直接反映了当前占空比控制量d(k)处于不同子区间时，下一时刻DC/DC功率变换器的状态转移情况，体现了开关动作与系统状态的直接关系。子区间划分的越多，状态变量x(k+1)计算得越准确，但同时也大大增加了计算量。 2 模型预测控制 2.1 预测模型

根据已建立的PWA切换仿射模型，即可预测未来时域内的系统状态。取预测步长为H_P，控制步长为H_u (H_u≤H_P)，则有：

${\bf{X}}(k + 1) = {\bf{\tilde Ax}}(k) + {\bf{\bar B}}d(k - 1) + {\bf{\tilde B}}\Delta {\bf{d}}(k) + {\bf{\bar A}}{{\bf{f}}_i}$

(6)

$\begin{array}{c} {{\bf{Y}}_c}(k + 1) = {\bf{\bar CX}}(k + 1) = \\ {\bf{\Psi x}}(k) + {\bf{\gamma }}d(k - 1) + {\bf{\Theta }}\Delta {\bf{d}}(k) + {\bf{M}}{f_i} \end{array}$

(7)

式中，${\bf{\tilde A}}$,${\bf{\bar A}}$,${\bf{\tilde B}}$,${\bf{\bar B}}$,${\bf{\bar C}}$,${\bf{\Psi }}$,${\bf{\gamma }}$,${\bf{\Theta }}$,${\bf{M}}$,${{\bf{f}}_i}$为相应维数的矩阵或向量。

${\bf{X}}(k + 1) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {\bf{\hat x}}(k + 1)\\ {\bf{\hat x}}(k + 2) \end{array}\\ \vdots \\ {{\bf{\hat x}}(k + {H_{\rm{u}}})}\\ \vdots \\ {{\bf{\hat x}}(k + {H_{\rm{p}}})} \end{array}} \right]$

${{\bf{Y}}_c}(k + 1) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \hat y(k + 1|k)\\ \hat y(k + 2|k) \end{array}\\ \vdots \\ {\hat y(k + {H_{\rm{u}}}|k)}\\ \vdots \\ {\hat y(k + {H_{\rm{p}}}|k)} \end{array}} \right]$

$\Delta {\bf{d}}(k) = \left[ \begin{array}{c} \Delta \hat d(k|k)\\ \Delta \hat d(k|k)\\ \vdots \\ \Delta \hat d(k + {H_{\rm{u}}} - 1|k) \end{array} \right]$

$\Delta \hat d(k + i|k) = \hat d(k + i|k) - \hat d(k + i - 1|k)$

(8)

2.2 预测控制

在大信号扰动情况下，总是期望功率变换器能有最佳的动态性能，即输出电压有着最短的调节时间和最小的超调/欠调量。因此，综合考虑如下优化性能指标：

$J = \left\| {{{\bf{Y}}_c}(k + 1) - {{\bf{Y}}_{{\rm{ref}}}}(k + 1)} \right\|_{\bf{Q}}^2 + \left\| {\Delta {\bf{d}}(k)} \right\|_{\bf{R}}^2$

(9)

式中，${\bf{Q}},{\bf{R}}$为相应维数的权值矩阵，分别表示对系统跟踪误差及控制变量的加权。

${{\bf{Y}}_{{\rm{ref}}}}(k + 1) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {y_{{\rm{ref}}}}(k + 1)\\ {y_{{\rm{ref}}}}(k + 2) \end{array}\\ \vdots \\ {{y_{{\rm{ref}}}}(k + {H_{\rm{u}}})}\\ \vdots \\ {{y_{{\rm{ref}}}}(k + {H_{\rm{p}}})} \end{array}} \right]$

(10)

结合预测模型式(6)～式(8)，对性能指标式(9)求最优，令：

$\frac{{\partial J}}{{\partial \Delta {\bf{d}}(k)}} = 0$

(11)

得到当前k时刻的最优控制序列:

$\Delta {{\bf{d}}^ * }(k) = {{\bf{\Lambda }}^{ - 1}}{{\bf{\Theta }}^{\rm{T}}}{\bf{Q\varepsilon }}(k)$

(12)

其中有：

${\bf{\Lambda }} = {{\bf{\Theta }}^{\rm{T}}}{\bf{Q\Theta }} + {\bf{R}}$

(13)

$\varepsilon (k) = {{\bf{Y}}_{ref}}(k + 1) - {\bf{\Psi x}}(k) - {\bf{\gamma }}d(k - 1) - {\bf{M}}{{\bf{f}}_i}$

(14)

由于预测控制采用滚动优化的控制策略，只取最优控制序列的第一个控制量作用于被控对象，因此有：

$\Delta {d^ * }(k) = [\begin{array}{*{20}{c}} 1&0& \cdots &0 \end{array}]\Delta {{\bf{d}}^ * }(k)$

(15)

${d^ * }(k) = d(k - 1) + \Delta {d^ * }(k)$

(16)

${d^ * }(k)$即为所求得的最优占空比信号，将其作用于功率变换器，调节系统的输出$y(k)$，待到第$k + 1$时刻，再根据系统新一轮的采样信号，得到下一时刻的最优占空比信号，从而实现快速跟踪输出参考信号的目的。 2.3 误差反馈校正

考虑到实际系统存在模型失配、外界扰动等不确定因素，利用预测模型计算出来的输出值与系统的实际输出值有可能不相符，因此定义如下预测误差：

$e(k) = y(k) - \hat y(k)$

(17)

引入该误差对系统的输出预测值进行反馈校正：

$\bar y(k + j|k) = \hat y(k + j|k) + {h_j}e(k)\begin{array}{*{20}{c}} {}&{j = 1,2, \cdots ,{H_{\rm{p}}}} \end{array}$

(18)

式中，${h_j}$为加权系数。将式(18)改写成向量形式：

${{\bf{\bar Y}}_{\rm{c}}}(k + 1) = {{\bf{Y}}_{\rm{c}}}(k + 1) + {\bf{H}}e(k)$

(19)

式中，${\bf{H}}{\rm{ = diag}}\begin{array}{*{20}{c}}{({h_1}}&{{h_2}}& \cdots &{{h_{{H_{\rm{p}}}}})}\end{array}$为加权矩阵。

引入预测误差项后，重新计算式(11)，最优控制序列改写为：

$\Delta {{\bf{d}}^ * }(k) = {{\bf{\Lambda }}^{ - 1}}{{\bf{\Theta }}^{\rm{T}}}{\bf{Q\bar \varepsilon }}(k)$

(20)

式中，有：

${\bf{\Lambda }} = {{\bf{\Theta }}^{\rm{T}}}{\bf{Q\Theta }} + {\bf{R}}$

(21)

${\bf{\bar \varepsilon }}(k) = {{\bf{Y}}_{{\rm{ref}}}}(k + 1) - {\bf{\Psi x}}(k) - {\bf{\gamma }}d(k - 1) - {\bf{M}}{{\bf{f}}_i} - {\bf{H}}e(k)$

(22)

可以看出，预测误差项仅在输出预测值与实际输出值存在偏差时才起作用。同时，预测误差项的引入也构成了闭环系统，从而提高系统的性能。 3 仿真验证

为验证本文所提控制方案的有效性，利用Matlab仿真软件进行验证。Buck变换器主电路参数有：输入电压V_in=5 V，输出电压V_o=2.5 V，输出电感L=1 μH，输出电容C=200 μF，开关频率f_s=400 kHz。子区间的个数为$\nu = 3$，预测步长和控制步长分别选择为H_u=H_p=2。主电路在simulink界面下搭建，设定采样频率，利用采样保持器完成对电感电流i_L、输入电压V_in和输出电压V_o的离散采样。先借助于工程计算软件Mathcad进行离线简化计算本文算法，再利用Matlab中的S函数编写功率变换器的切换模型和控制律，最后计算出的最优占空比与三角载波进行比较产生PWM信号，用来控制主电路的开关器件动作。

本文选择峰值电流控制算法(peak current mode, PCM)进行对比，PCM算法虽然基于小信号模型，但由于采用了电流反馈的作用，因此具有良好的动态特性。经校正后的PCM算法的带宽为35 kHz，相角裕度约为47.2°。负载扰动下的动态仿真结果如图

图 3a是负载电流正跃变时的仿真结果，在0.000 5 s时刻，负载电流由5 A正跃变为10 A。从图中可以看出，基于小信号模型的峰值电流模式下，功率变换器的恢复时间为130 μs，欠调量为210 mV。而本文的方案使得功率变换器的输出电压能在很短的时间内调节恢复稳态，并跟随参考电压，调节时间为35 μs，超调量为140 mV，系统具有较好的动态特性。图 3b为负载电流负跃变(10 Aà5 A)情况下的仿真结果。本文方案的输出电压超调量为145 mV，而动态过程的恢复时间为40 μs。 4 实验结果

为了验证控制方案在实际电路中的可行性，本文设计了一台额定功率为50 W的实验测试样机，如图 4所示。主电路参数与仿真研究中的参数相同。A/D采样选用TI公司的8位A/D芯片TLC5510，数字控制器采用Altera公司的DE2-70 FPGA开发板，时钟信号为50 MHz，控制算法在QuartusII集成开发软件环境中，利用原理图(Block Diagram)的形式编写，计算出的DPWM信号采用9位计数器+3位延迟线法的方法予以实现。驱动芯片则采用Intersil公司的专用驱动芯片HIP6601B。

硬件实验结果如图 5和图 6所示。为方便观测波形，图中输出电压测量均为交流模式。

从图 5看出，在负载电流发生正跃变时，本文算法的输出电压欠调量与PCM控制算法的输出电压欠调量相比，减少了22%，恢复时间则减少了60%。而在负载电流发生负跃变时(图 6)，MPC控制算法的恢复时间减小为65 μs，输出电压超调量减少为160 mV。因此本文所提的基于PWA切换模型的预测控制算法明显改善了功率变换器在大信号扰动情况下的动态特性，大大减小了负载电流扰动时的超调/欠调量和恢复时间。 5 结 束 语

本文研究DC/DC功率变换器的混杂动态特性，提出了一种基于混杂系统模型的预测控制算法。建立了开关变换器的分段仿射模型(PWA)，结合预测控制方法计算出功率变换器的最优占空比控制序列，设计了控制器。通过Matlab仿真和实验验证了该方法的可行性。

当然，本文所得到的研究结果还比较粗糙，还有很多问题值得深入研究，例如子区间的最佳划分，控制算法的简化，进一步分析新模型的系统特性等。