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Near-Field Wireless Power Transmission Efficiency Based on Time Reversal Technique
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摘要: 收发天线间的无线功率传输效率（PTE）是表征室内近场微波无线传能（MPT）系统性能的最重要参量之一。时间反演（TR）作为一种高效无线传能技术被用于MPT系统中。为分析基于TR的近场PTE，基于互易定理推导了辐射式MPT场景中PTE的最优解，证明了TR可以实现最高的PTE。同时基于电磁全波仿真技术研究对比了TR在近场无线传能时相较于传统MPT方法如方向图综合法和相位补偿法的优势。理论和仿真表明，TR能够在平面天线阵列的近场区实现最高的PTE。Abstract: Power Transmission Efficiency (PTE) between transceiver antennas is one of the most significant parameters to characterize the performance of indoor near-field Microwave Power Transmission (MPT) systems. Time Reversal (TR) has been used in MPT systems as an efficient wireless power transmission technology. In this paper, the optimal solution of PTE is derived based on TR and the reciprocity theorem. At the same time, the advantages of TR over traditional MPT methods such as pattern synthesis and phase compensation methods in near-field wireless power transmission are compared based on electromagnetic full-wave simulation technology. Theory and simulation show that TR can achieve the highest PTE in the near-field region of the antenna.
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随着物联网和5G时代的到来，大量的传感器被集成到人体及其周围环境中，使人们的生活更加方便快捷。先进的5G技术显著提高了传感器的无线通信性能，但大多数传感器的电源供应仍依靠电池或电线，阻碍人们真正地进入无线时代。微波无线传能（microwave power transmission, MPT）技术作为一种无线功率传输技术在解决传感器无线供电问题上具有广泛的应用前景[1-2]。发射阵列与接收天线之间的功率传输效率（power transmission efficiency, PTE）是衡量MPT系统性能的最重要参量之一。在对室内传感器进行无线充电时，传感器上的接收天线处于发射天线阵列的近场区，利用传统MPT方法如方向图综合法[3-4]和相位补偿法[5-6]实现的PTE较低。近年来，时间反演（time reversal, TR）作为一种高效无线传能技术被应用于MPT系统[7-9]中。然而，TR相较于传统MPT方法在近场PTE方面的对比研究较少。
为此，本文基于辐射式MPT场景，利用电磁场理论中的互易定理推导了PTE的表达式，并从理论上证明了无论在天线近场区还是远场区，利用TR均可实现最高的PTE。接着利用电磁全波仿真技术，对基于TR、方向图综合法和相位补偿法在室内近场MPT场景中实现的PTE进行计算和分析，证明了相较于传统MPT技术，TR可实现最高的PTE。
1. 理论分析
1.1 辐射式MPT场景中的PTE理论推导
考虑图1所示的辐射式MPT场景。
图1中，假设区域A中有一无耗且与其传输线阻抗匹配的发射天线，它的实输入功率Pin1由电流源J1和磁流源M1产生。同时，J1和M1在自由空间中产生的电场为E1，磁场为H1。假设自由空间无耗，此时Pin1等于发射天线在B处的辐射功率P1，即：
$$ P_{1}=\frac{1}{4} \oint\left(\boldsymbol{E}_{1} \times \overline{\boldsymbol{H}}_{1}+\overline{\boldsymbol{E}}_{1} \times \boldsymbol{H}_{1}\right) {\rm{d}} {S} $$ (1) 式中，上划线代表复共轭运算。区域B中有一端接匹配负载RL的无耗接收天线。根据接收天线的开路电压等效模型[10]，接收天线接收的实功率为：
$$ P_{2}=\frac{V^{2}}{8 R_{{\rm{L}}}} $$ (2) 式中，V表示开路电压的峰值。
此外，假设当接收天线处于发射模式时，接收天线的实输入功率Pin2由电流源J2和磁流源M2产生，同时J2和M2在自由空间中产生的电场为E2，磁场为H2。此时，开路电压可由场和源共同表示为：
$$ V=\frac{1}{I_{2}} \oint\left({\boldsymbol{E}}_{1} \cdot {\boldsymbol{J}}_{2}-{\boldsymbol{H}}_{1} \cdot {\boldsymbol{M}}_{2}\right) {\rm{d}} {{S}}_{2} $$ (3) 式中，I2表示接收天线处于发射模式下的端口电流；S2表示包围J2和M2的闭合曲面。
由互易定理[11]，V可表示为：
$$ V=\frac{1}{I_{2}} \oint\left({\boldsymbol{E}}_{2} \cdot {\boldsymbol{J}}_{1}-{\boldsymbol{H}}_{2} \cdot {\boldsymbol{M}}_{1}\right) {\rm{d}} {{S}}_{1} $$ (4) 式中，S1表示包围J1和M1的闭合曲面。此时，PTE可表示为：
$$ \eta=\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1}{2 R_{{\rm{L}}}\left|I_{2}\right|^{2}} \frac{\displaystyle\oint\left({\boldsymbol{E}}_{2} \cdot {\boldsymbol{J}}_{1}-{\boldsymbol{H}}_{2} \cdot {\boldsymbol{M}}_{1}\right) {\rm{d}} {{S}}_{1}}{\displaystyle\oint\left({\boldsymbol{E}}_{1} \times \overline{\boldsymbol{H}}_{1}+\overline{{\boldsymbol{E}}}_{1} \times \boldsymbol{H}_{\mathrm{t}}\right) {\rm{d}} {{S}}} $$ (5) 因Pin1、Pin2均为实数，可令Pin1=αPin2，α为实数，此时PTE可以表示为广义瑞利商形式[10]：
$$ \eta=\frac{1}{\alpha} \frac{\left|\left\langle{\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}, {\boldsymbol{\rho}}_{A}^{{\rm{H}}}\right\rangle_{{{S}}_{1}}\right|^{2}}{\left|\left\langle{\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}} Z, {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}\right\rangle_{{{S}}}\right|^{2}} $$ (6) 式中，上标T和H分别代表转置和共轭转置运算；˂f, g>S表示函数f和函数g的复共轭在曲面S上的内积运算。ψ和ρ分别表示场分量和表面电流分布，矩阵Z表示曲面S1法向波阻抗，即：
$$ {\boldsymbol{\psi}}=\left(\begin{array}{l} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{H} \end{array}\right) \tag{7a}$$ $$ {\boldsymbol{\rho}}=\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{J} \\ -\boldsymbol{M} \end{array}\right) \tag{7b}$$ $$ {\boldsymbol{Z}}=\left(\begin{array}{cc} ({\boldsymbol{r}} \cdot {\boldsymbol{n}}) / Z_{0} & 0 \\ 0 & ({\boldsymbol{r}} \cdot {\boldsymbol{n}}) Z_{0} \end{array}\right) \tag{7c}$$ 式中，r、n分别表示ψB的径向单位向量、曲面S1的法向单位向量；Z0表示自由空间中的波阻抗。
当α=1，r·n=1时，式(6)中的η取最大值，此时J1和M1的最优值可表示为：
$$ \left(\begin{array}{l} J_{ {{\rm{opt}} } 1} \\ M_{ {{\rm{opt}} } 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} k \overline{\boldsymbol{E}}_{B} / Z_{0} \\ -k Z_{0} \overline{\boldsymbol{H}}_{B} \end{array}\right) $$ (8) 式中，k为比例系数：
$$ k^{2}=\alpha \frac{\left\langle {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}} Z, {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}\right\rangle_{{{S}}}}{\left\langle{\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}} Z, {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}\right\rangle_{{{S}}_{1}}} $$ (9) 从式(8)可知，当发射天线的等效电流J1和磁流M1与接收天线在发射天线处产生的辐射场E2和H2的复共轭成正比时，PTE最高，其值为[10]：
$$ \eta_{ {{\rm{opt}} }}=\frac{\left|\left\langle{\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}} Z, {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}\right\rangle\right|_{{{S}}_{1}}}{\left|\left\langle{\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}} Z, {\boldsymbol{\psi}}_{B}^{{\rm{T}}}\right\rangle\right|_{{{S}}}} $$ (10) 由式(10)可知，当区域A处的曲面S能够全部接收J2和M2产生的电磁波，即S=S1时，ηopt=1，PTE可达100%[10,12]。
现证明利用TR和单频正弦激励信号可实现最大的PTE。仍考虑图1所示的辐射式MPT场景，假设区域A中的发射天线能够完全接收到来自区域B中接收天线产生的单频电磁波，接收到的电场为单频正弦形式：
$$ E(\boldsymbol{r}, t)=E_{ {m }}(\boldsymbol{r}) {\rm{cos}} \left(\omega t+\varphi_{0}\right) $$ (11) 式中，Em(r)为振幅，仅为空间坐标r的函数；w为角频率；
$\varphi_{0} $ 是与时间无关的初相位。E(r,t)的复振幅为：$$ \dot{E}(\boldsymbol{r})=E_{m}(\boldsymbol{r}) {\rm{e}}^{{\rm{j}} \varphi_{0}} $$ (12) 对式(12)作相位共轭操作，得：
$$ \overline{\dot{E}}(\boldsymbol{r})=E_{m}(\boldsymbol{r}) {\rm{e}}^{-{\rm{j}} \varphi_{0}} $$ (13) 式(13)对应的时域信号为：
$$ \overline{E}(\boldsymbol{r}, t)=E_{m}(\boldsymbol{r}) {\rm{cos}} \left(-\omega t+\varphi_{0}\right)=E(\boldsymbol{r},-t) $$ (14) 同理，式(11)也可用磁场表示为：
$$ \overline{H}(\boldsymbol{r}, t)=H_{m}(\boldsymbol{r}) cos \left(-\omega t+\varphi_{0}\right)=H(\boldsymbol{r},-t) $$ (15) 式(14)和式(15)表明，具有单频正弦形式的电场或磁场在相位上的共轭等于在时间上的反转，即TR[12]。值得注意的是，上述推导均基于普适的电磁场理论，因此由式(8)、式(14)和式(15)可知，无论在天线的近场区或是远场区，利用TR和单频正弦激励信号均可实现最高的PTE。
1.2 室内近场MPT场景
在实际的室内MPT场景中，传感器上的天线位于平面发射阵列的近场区，同时由于传感器尺寸的限制，单个传感器上往往只能配备一个接收天线用于射频能量的接收。对此，本文仅讨论单个接收天线正对平面发射阵列中心时的MPT场景，如图2所示。
图2中，用于射频能量发射的Nx×Ny个单元的平面发射阵列放置在xy平面，并取阵列中心为坐标原点，建立直角坐标系。其中，平面发射阵列的行间距为dx，列间距为dy，第mn个天线单元Amn的坐标为(xm,yn,0)，xm=(2m−Nx+1)d/2，yn=(2n−Ny+1)d/2。正对阵列中心上方放置一个接收天线用于接收射频能量，其坐标为(0,0,d)，d表示收发天线间的距离，当d发生改变时，接收天线形式保持不变。
1.3 MPT方法及其所需的幅相激励
本节考虑图2所示室内近场MPT场景，概述MPT方法，即TR、传统MPT方法（方向图综合法和相位补偿法）。与此同时，分析在电磁仿真软件CST中仿真时，各方法所需激励的幅度和相位。
1.3.1 TR
基于接收天线与平面发射阵列间信道互联的TR技术包含两个阶段，即信道探测阶段和功率传输阶段[12]。信道探测阶段，接收天线发出单频正弦信号，其复信号向量为b1，则平面发射阵列中第k (k=1,2,···,M; M=Nx×Ny)个天线单元接收到的信号为：
$$ d_{k}={\boldsymbol{b}}_{1} h_{k1} $$ (16) 式中，hk1表示接收天线到第k个天线单元的信道传输系数。
在功率传输阶段，对信道探测信号dk进行TR处理。值得注意的是，dk在时域上的表现形式为单频正弦信号，由1.1节可知，此时的TR处理等效于复共轭操作。此外，假设平面发射阵列拟输送的能量信号为c=[c1,c2,···,cM]T，此时第k个天线单元的发射信号为：
$$ t_{k}=c_{k} \bar{d}_{k}=c_{k} \bar{{\boldsymbol{b}}}_{1} \bar{h}_{k 1} $$ (17) 对发射信号tk做傅里叶变换，得到其在工作频点上的幅度Ak和相位
$\varphi_k $ 。由式(14)和式(15)可知，对$\varphi_k $ 进行相位共轭后即可实现单频连续正弦波激励下的时间反演。此时，基于TR所需单频连续正弦波激励的幅度为Ak，相位为$-\varphi_k $ 。此时，接收天线接收到稳定的单频连续正弦波信号，其在频域上可以表示为：
$$ a_{1}=\sum_{k=1}^{M} t_{k} h_{1 k}=\sum_{k=1}^{M} c_{k} \bar{{\boldsymbol{b}}}_{1} \bar{h}_{k 1} h_{k 1} $$ (18) 式中，h1k表示第k个天线单元到接收天线的信道传输系数，由信道互易可知，hk1=h1k。此时由于信道的自相关特性，平面发射阵列发射的电磁波能量大部分汇聚于接收天线处，从而实现MPT。此时，在CST中可以获得所接收到的单频连续正弦波信号的幅值aM，因此，PTE可以用下式计算：
$$ \eta=\left|a_{M}\right|^{2} \left/ \sum_{k=1}^{M}\left|A_{k}\right|^{2}\right. $$ (19) 1.3.2 方向图综合法
假设图2所示的平面发射阵列为均匀平面阵，即各单元的激励幅度相等。此时平面阵的波束指向(
${\theta _0},\; \varphi_0$ )可表示为[13]：$$ \varphi_{0}=\arctan \frac{\alpha_{y} d_{x}}{\alpha_{x} d_{y}} $$ (20) $$ \theta_{0}= \pm \arcsin \sqrt{\left(\frac{a_{x}}{k d_{x}}\right)^{2}+\left(\frac{a_{y}}{k d_{y}}\right)^{2}} $$ (21) 式中，αx、αy分别是沿x和y方向排列的直线阵列的均匀递变相位。若平面发射阵列要对接收天线进行无线能量传输，波束指向应为θ0=0，此时αx=0，αy=0，即基于“方向图综合法”所需的激励等幅同相。
1.3.3 相位补偿法
根据图2所示的平面发射阵列各单元与接收天线的空间相位关系，天线单元Amn相对坐标原点距离接收天线的补偿相位
$\varphi_{mn} $ 可表示为：$$ \varphi_{m n}=k \sqrt{x_{m}^{2}+y_{m}^{2}+d^{2}}-k d $$ (22) 式中，相位常数k=2π/λ。此时，基于“相位补偿法”所需的激励幅度相等，相位满足式(22)。
2. 电磁仿真实例
2.1 收发天线结构设计
将8×8个相同的微带贴片天线在x、y方向均匀排布组成平面发射阵列，阵元间距为0.58λ，如图3a所示。其中，微带贴片天线采用同轴馈电线馈电，工作频率为5.8 GHz（波长λ=5.17cm），如图3b所示。此外，接收天线也采用相同的微带贴片天线形式。收发天线的结构参数如表1所示，介质基板的介电常数εr=3.48，厚度H=0.1 cm。仿真结果表明，微带贴片天线在5.8 GHz处的S11为−19 dB，10 dB带宽为0.13 GHz，如图4所示。
表 1 收发天线尺寸m 参数 数值 参数 数值 W1 24 L1 24 W2 3 L2 3 W3 1.31 L3 1.31 W4 0.654 L4 0.46 此外，为保证恒定的无线功率传输，收发天线均采用单频连续正弦激励信号，时长以20 ns为例。
2.2 仿真结果与分析
在电磁全波仿真中，将2.1节设计的收发天线结构应用于图2所示的室内近场MPT场景中。同时，为对比TR相较于传统MPT方法如方向图综合法和相位补偿法在近场无线传能中的优势，利用电磁仿真技术，分别基于“TR”“方向图综合法”和“相位补偿法”计算PTE随收发距离d(d=1～15λ)的变化情况，如图5所示。
图5中，根据有限尺寸天线的场区划分原则，当d<10.4λ、10.4λ<d<15λ时，接收天线分别处于平面发射阵列的感应近场区、菲涅尔区。图5表明，在感应近场区和菲涅尔区，基于TR实现的PTE高于方向图综合法和相位补偿法实现的PTE。值得注意的是，受限于平面发射阵列的辐射口径，上述3种方法实现的PTE均较小即在51%以下，但这不影响TR与传统MPT方法在PTE方面的对比结果。
此外，为直观解释图5中利用TR在近场区可实现最高PTE的原因，计算z=d处的观测平面（24 cm×24 cm）上的归一化电场分布，如图6所示。图6a、6b、6c为基于方向图综合法的归一化电场分布图，图6d、6e、6f基于相位补偿法，图6g、6h、6i基于TR。
根据功率下降1/2的聚焦斑半径计算原则，计算观测平面中心处的聚焦斑，聚焦斑在x、y方向上的尺寸如图7所示。图7中，在d>11λ时，中心聚焦斑大于观测平面在y方向上的尺寸，图中以24 cm计。
图5、图6和图7表明，基于“方向图综合法”在d为1～4λ时观测平面处的电场分布较为均匀，没有在观测面中心形成明显的聚焦斑，这将导致接收天线接收的电磁波能量较少，使得PTE很低。在d为5～15λ时，观测平面中心处的聚焦斑尺寸此时，由于聚焦斑尺寸远大于接收天线有效口径，导致大部分电磁能量无法被接收天线接收，使得PTE也很低。
此外，在d=1λ时，基于“TR”和“相位补偿法”的观测平面处的中心聚焦斑接近于接收天线尺寸（3 cm×3 cm），但基于“相位补偿法”的中心聚焦斑周围的副瓣较大，因此基于“相位补偿法”的PTE较低。
物理机制上，在近场区，接收天线与平面发射阵列之间的互耦较强，导致利用相位补偿法补偿的空间相位会有较大的误差，使得平面发射阵列各单元发射的电磁波信号不完全在接收天线处同向叠加，导致PTE降低；而TR仅考虑收发天线间的完整的传输信道，包含了天线间的互耦合邻近效应，即仅考虑发射波与接受波之间的相位关系，因此相位准确度高，PTE较高。此外，随着d的增大，基于“TR”“方向图综合法”和“相位补偿法”在观测平面处的中心聚焦斑尺寸逐渐大于接收天线尺寸，接受天线仅能接收到一部分电磁场能量，使得PTE逐渐降低。
3. 结 束 语
本文基于互易定理推导了辐射式MPT场景中PTE的最优解并证明了基于TR可实现最高的PTE。同时，通过电磁仿真实例验证了在室内近场MPT场景中，相较于传统的MPT技术如方向图综合法和相位补偿方法，利用TR可实现最高的PTE。
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