2015, Vol. 44
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为了获得低损耗传输的圆波导模式及可以直接发射的天线馈源、高功率太赫兹源，如工作在TE0n模式的回旋管、工作在TM0n模式的虚阴极振荡器、相对论返波管，需要设计TE0n-TE01或TM0n-TM01模式变换器。圆波导模式变换器大都是根据Kovalev[1, 2, 3]提出的周期波导扰动理论进行设计，国内外许多学者基于模式耦合理论研究此类问题[4, 5, 6]。
1 圆波导模式变换器基本原理圆波导模式变换器的径向扰动几何周期λp大致由输入与输出模式的未扰动传播常数决定：
| ${\lambda _p} = (1 + \delta ){\lambda _b} = (1 + \delta )2{\rm{\pi }}/|{\beta _n} - {\beta _m}|$ | (1) |
式中，λb是两互作用模式的拍波波长；δ是几何周期因子。
绝大多数的波纹圆波导模式变换器都是通过求解耦合波方程组的边值问题来获得最优化设计参数，即有：
| $\begin{array}{c} \frac{{{\rm{d}}A_{mn'}^ + }}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\rm{d}}(\ln {\gamma _{mn'}})}}{{{\rm{d}}z}}A_{mn'}^ - - {\gamma _{mn'}}A_{mn'}^ + + \\ \sum\limits_{ + mn}^{} {A_{mn}^ + } C_{(mn')(mn)}^ + + \sum\limits_{ - mn}^{} {A_{mn}^ - } C_{(mn')(mn)}^ - \\ \frac{{{\rm{d}}A_{mn'}^ - }}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{1}{2}\frac{{{\rm{d}}(\ln {\gamma _{mn'}})}}{{{\rm{d}}z}}A_{mn'}^ + + {\gamma _{mn'}}A_{mn'}^ - + \\ \sum\limits_{ + mn}^{} {A_{mn}^ + } C_{(mn')(mn)}^ - + \sum\limits_{ - mn}^{} {A_{mn}^ - } C_{(mn')(mn)}^ + \end{array}$ | (2) |
| $\begin{array}{l} A_{mn}^ + {|_{z = 0}} = {\left[ {\left( {1,0} \right),\left( {0,0} \right), \cdot \cdot \cdot \cdot \left( {0,0} \right)} \right]^{\rm{T}}}\\ A_{mn}^ - {|_{z = L}} = {\left[ {\left( {0,0} \right),\left( {0,0} \right), \cdot \cdot \cdot \cdot \left( {0,0} \right)} \right]^{\rm{T}}} \end{array}$ | (3) |
式中，$A_{mn}^ + $和$A_{mn}^ - $分别是前向波和反向波的第mn个模式的幅值；$C_{(mn')(mn)}^ + $和$C_{(mn')(mn)}^ - $分别是前向波和反向
波的第mn个模式与第m¢n¢个模式的耦合系数；γmn=αmn+jβmn是第mn个模式的传播常数，βmn为波数，αmn为衰减常数。联立式(2)和式(3)进行数值求解，得到变换器的正反向波模式幅值。对于0.215 THz回旋管TE03-TE01变换器和0.32 THz相对论返波管TM03-TM01变换器，平均半径分别为5 mm和3 mm，可传输的模式数n均为6，需要数值求解带有边界条件的耦合波微分方程数为12。为避免数值计算较大微分方程组边值问题的困难并减少计算时间，本文采用基于复功率守恒技术的散射矩阵优化法对上述变换器进行设计。复功率守恒技术是一种能对波导突变问题进行全模式分析的可靠方法[7, 8]。利用波导突变处的横向电场模式匹配与复功率守恒，推导出圆-圆波导接头处的散射矩阵，再结合阶梯近似与周期级联算法可得到模式变换系统的广义散射矩阵。
2 散射矩阵优化设计方法采用相位重匹配技术的波纹圆波导模式变换器的半径渐变为[9]：
| $a(z) = {a_0}\frac{{\left[ {1 - {\varepsilon _1}\cos (2{\rm{\pi }}z/{\lambda _p}) - {\varepsilon _2}\cos (4{\rm{\pi }}z/{\lambda _p})} \right]}}{{1 - {\varepsilon _1} - {\varepsilon _2}}} $ | (4) |
式中，a0是平均半径；ε1和ε2是半径扰动幅值系数。TE03-TE01变换器由TE03-TE02和TE02-TE01两段结构组成，TM03-TM01变换器由TM03-TM02和TM02-TM01两段结构组成，优化后的几何结构如图 1所示。
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| 图 1 模式变换器的几何结构 |
为了便于分析，本文采用特定步长建立变换器的阶梯近似模型。变换器分解为数个高度微小突变的圆波导接头，如图 2所示。每个独立接头处的散射矩阵通过复功率守恒技术推导得到，接头矩阵不断级联得到系统的总散射矩阵，从而计算出各个传输模式在变换器任意位置处的传输与反射系数。
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| 图 2 模式变换器阶梯近似模型的散射矩阵级联示意图 |
基于模式正交性与复功率守恒可以得到电场和磁场的匹配方程[10]：
| $b_{2n}^ - + b_{2n}^ + = [M_{nm}^1]{\rm{(}}a_{{\rm{1}}m}^ + + a_{{\rm{1}}m}^ - {\rm{)}}$ | (5) |
| ${[M_{nm}^1]^{\rm{H}}}[{Y_{{\rm{2}}n}}]{\rm{(}}b_{2n}^ - - b_{2n}^ + ) = [{Y_{{\rm{1}}m}}]{\rm{(}}a_{{\rm{1}}m}^ + - a_{{\rm{1}}m}^ - {\rm{)}}$ | (6) |
式中，${a_{ \pm 1m}}$和${a_{ \pm 2m}}$分别是接头1处两侧波导1和波导2的入射与出射模式矩阵；$[M_{nm}^1]$是接头1处的m阶模式与n阶模式的电场模式匹配矩阵；“H”是Hermitian转置。[Y1m]和[Y2n]分别是波导1和2的波导纳。通过式(5)和式(6)可以得到接头1和2处的散射矩阵。首先需要推导接头1左右两边圆波导的电场模式匹配矩阵$[{M^1}]$。根据模式耦合原则，对于周期性径向扰动TEmn-TEm¢n¢和TMmn-TMm¢n¢模式变换器：$\Delta m = 0$，$\Delta n = \pm 1$。当m=0时，$[{M^1}]$矩阵的可以表示为：
| ${M^1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{M_{ee}}}&{{M_{eh}}}\\ {{M_{he}}}&{{M_{hh}}} \end{array}} \right]$ | (7) |
| ${M_{ee}} = \frac{{ - 2k_{2n}^2}}{{k_{2n}^2 - k_{1m}^2}}\frac{{{J_0}\left( {\frac{{{\nu _{2n}}}}{{{a_2}}}{a_1}} \right)}}{{{\nu _{2n}}{J_1}({\nu _{2n}})}}$ | (8) |
| ${M_{eh}} = 0,{M_{he}} = 0$ | (9) |
| ${M_{hh}} = \frac{{2k_{1m}^{'2}}}{{2k_{1m}^{'2} - 2k_{2n}^{'2}}}\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}}\frac{{{J_1}\left( {\frac{{{\mu _{2n}}}}{{{a_2}}}{a_1}} \right)}}{{{J_0}({\mu _{2n}}){\mu _{1m}}}}$ | (10) |
式中，[Mee]和[Meh]分别表示接头处TM-TM和TM-TE的模式匹配矩阵；[Mhh]和[Mhe]分别表示接头处TE-TE和TE-TM的模式匹配矩阵；K=v/a和K¢=μ/a是临界波数；v是J0(x)的第m或第n个模式的根；μ是${J'_0}(x)$的第m或第n个模式的根；a1是波导1的半径；a2是波导2的半径，下标“1m”和“2n”分别表示波导1和2的第m和第n个模式。接头1处的散射矩阵为：
| $\begin{array}{c} [S_{11}^1] = {([{Y_{L1}}] + [{Y_1}])^{ - 1}}([{Y_1}] - [{Y_{L1}}])\\ [S_{21}^1] = [{M^1}]([I] + [S_{11}^1])\\ [S_{12}^1] = 2{([{Y_1}] + [{Y_{L1}}])^{ - 1}}{[{M^1}]^H}[{Y_2}]\\ [S_{22}^1] = [{M^1}][S_{12}^1] - I \end{array}$ | (11) |
式中，[I]是单位矩阵；${Y_{L{\rm{1}}}} = {{\rm{(}}{M^{\rm{1}}}{\rm{)}}^{\rm{H}}}{Y_2}{M^{\rm{1}}}$；[YL1]为接头1网络的输入导纳矩阵。对N个波导有N-1个突变接头，每个接头处的散射矩阵[S1]，[S2]，…，[SN-1]通过相关传输矩阵L联系，可以得到模式变换器总的散射矩阵。接头1和2联立得到的级联散射矩阵为[11]：
| $\begin{array}{c} [S_{11}^{1,2}] = [S_{11}^1] + [S_{12}^1]A{L_2}[S_{11}^2]{L_2}[S_{21}^1{\rm{]}}\\ [S_{12}^{1,2}] = [S_{12}^1]A{L_2}[S_{12}^2]\\ [S_{21}^{1,2}] = [S_{21}^2]{L_2}B[S_{21}^1{\rm{]}}\\ [S_{22}^{1,2}] = [S_{22}^2] + [S_{21}^2]{L_2}B[S_{22}^1]{L_2}[S_{12}^2] \end{array}$ | (12) |
式中，L2是波导2的传输矩阵；exp(-jβ2Δl)是矩阵对角元素；β2是波导2的模式传播常数；Δl是单个阶梯长度；$A = {(I - {L_2}S_{11}^2{L_2}S_{22}^1)^{ - 1}}$；$B = (I -S_{22}^1{L_2}S_{11}^2{L_2}{)^{ - 1}}$ 。模式变换器入射模式为TE03或TM03，相对入射模式归一化的波导反向波和传输模式功率分别为：
| $P_{1,m}^R = |S_{{\rm{11}}}^{}{|^{\rm{2}}}\frac{{Y_{{\rm{1}},m}^{\rm{*}}}}{{Y_{{\rm{1,03}}}^{\rm{*}}}}$ | (13) |
| $P_{N,n}^{\rm{T}} = |S_{N{\rm{1}}}^{}{|^{\rm{2}}}\frac{{Y_{N,n}^{\rm{*}}}}{{Y_{{\rm{1,03}}}^{\rm{*}}}}$ | (14) |
式中，上标R和T分别代表反向波和前向波；*表示复共轭变化。
基于复功率守恒原理可得：
| ${R_e}\left[ {\sum\limits_m {P_{{\rm{1,}}m}^{\rm{R}}} + \sum\limits_n {P_{N{\rm{,}}n}^{\rm{T}}} } \right] = 1$ | (15) |
综合考虑计算速度和精度，根据径向微扰变化量设定单个阶梯长度Δl随径向曲线梯度函数的变化值。fc=0.215 THz，a0=5 mm，TE03-TE02变换时，阶梯长度和模式数对收敛精度与计算时间的影响如图 3所示。图 3a为阶梯长度与收敛精度和计算时间的关系，当l/Δl≤3时模式传输系数不收敛；l/Δl=4～7时模式传输系数收敛，且处于一个稳定的区间(0.99580～0.995 81)；l/Δl≥8时由于阶梯数增多导致累积误差增大，模式传输系数出现逐渐减小的趋势。功率守恒精度保持在1E-15量级，计算时间随阶梯长度的减小呈线性增长的趋势。综合考虑收敛精度和计算时间，确定阶梯长度为l/4。另一个影响收敛精度和计算时间的重要因素是模式数的选择，如图 3b所示。太赫兹波纹圆波导周期性的径向微扰带来很小的形变，即a2/a1≈1，在每个接头处都只会发生少量的模式变换，因此可选择每个波导段的模式数相等，模式数大于或等于可传播模式数。当n≤5时，由于忽略了部分可传输模式的影响，模式传输系数误差较大。当n≥6时，模式传输系数保持在0.99580±0.000 01范围内。随着模式数的变大，系统散射矩阵运算量增大，计算时间线性增加，同时引入的收敛误差导致功率守恒精度呈下降趋势。当n≤6时，功率守恒精度达到10-15；当n≥6时，功率守恒精度为10-6。根据上述分析，选择阶梯长度为λ/4、模式数为6时可很好地兼顾计算精度和时间。
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| 图 3 阶梯长度与模式数对收敛精度和计算时间的影响 |
要得到最大模式转换效率，需要对变换器的周期因子、几何波长、周期数和半径扰动幅值系数等进行优化。与毫米波源器件相比，太赫兹源器件输出波导高度过模，要得到很高的模式变换效率，变换器电长度更长，形变比例系数更小。根据太赫兹波纹模式变换器的特点，参考毫米波段变换器参数，对几何周期因子和半径扰动幅值系数设定变量边界约束，以目标模式输出功率最大化为目标函数，采用Nelder-Mead型简单搜寻法进行数值优化。
表 1给出了优化模型参数及分别利用Matlab自编的散射矩阵计算程序、打靶法求解耦合波方程组程序和商业电磁软件HFSS对变换器的计算结果，fc=0.215 THz，a0=5 mm；fc =320 GHz，a0=3 mm，3种方法结果基本一致。对于TE03-TE02、TE02- TE01、TM03-TM02和TM02-TM01变换器，3种方法计算的基本单位数比较为：散射矩阵法计算的波导接头数分别为654、666、648和743；耦合波法计算的微分方程组的轴向点数分别为4 993、5 073、3 289和3 773；HFSS仿真法计算的有限元网格数分别为434 007、464 958、462 186和533 143。计算时间排序为散射矩阵法最短，耦合波法其次，HFSS仿真法最长。
| 表 1 TE03-TE01 & TM03-TM01变换器优化结果 |
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图 4是TE03-TE01变换器的轴向模式变换情况，插图是TE0n模反射功率的轴向分布。两段变换器分别得到的TE02和TE01模式占比为99.58%和99.71%。末端寄生模式功率占比分别为0.42%和0.28%。反射波功率占比很小，两段分别为1.39×10-6%和3.63×10-7%。
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| 图 4 TE03-TE01变换器功率轴向分布 |
图 5是TM03-TM01变换器的轴向模式变换情况，插图是TM0n模反射功率的轴向分布。两段变换器后得到的TM02和TM01模式占比分别为99.53%和99.75%。寄生模式功率占比分别为0.47%和0.25%。反射波功率占比很小，两段分别为1.22×10-6%和3.46×10-6%。
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| 图 5 TM03-TM01变换器功率轴向分布 |
本文研究了太赫兹波纹圆波导模式变换器，目标模式转换效率的影响主要来自寄生模式，努力消除寄生模可以有效提高模式转换效率。在需要计算模式变换器反向波模式幅值时，采用广义散射矩阵优化法、耦合波法和HFSS仿真法的结果基本一致，但前者的计算速度更快，耗费的时间更短。
4 结 论本文提出采用广义散射矩阵技术结合Nelder- Mead优化算法对太赫兹波纹圆波导模式变换器进行优化设计。分析表明基于电场匹配和复功率守恒的散射矩阵法，可以对圆波导径向扰动模式变换进行准确的全波分析。对于太赫兹波纹波导高过模结构，散射矩阵法的计算结果与HFSS仿真结果和耦合波法计算结果吻合很好，计算时间小于后两种方法。
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