2015, Vol. 44
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回旋管是一种重要的毫米波-太赫兹辐射源器件，在受控核聚变、等离子体加热、等离子体诊断、雷达系统、通信及电子对抗、工业加工等方面具有重要的应用前景。近年来，随着太赫兹科学技术的发展，可产生大功率太赫兹辐射的回旋管日益受到各国广泛关注与研究。传统回旋管采用圆柱波导谐振腔，其重要特点是其模式密度随着频率的升高而逐渐增大。因而当工作频率进一步提高时，圆柱波导谐振腔会出现尺寸过小、模式竞争严重、高频损耗大、加工困难和功率容量小等问题。因此，高模式分割度的谐振腔是太赫兹回旋管研究中的一个重要课题[1, 2, 3, 4, 5]。
采用结合光学技术与微波技术的准光谐振腔被认为具有优良的模式选择特性，具有尺寸结构大、功率容量大、腔体易于加工等特点，自20世纪80年代中期开始逐渐被用于回旋管的研究工作中[6, 7]。初期研究通常采用的是Fabry-Perot共焦球面准光腔，功率提取较为困难，因而限制了其发展。
20世纪90年代末，美国麻省理工学院等离子体科学与聚变中心开始尝试采用共焦柱面准光波导取代传统圆柱波导作为回旋管的谐振腔，并进行了验证性实验，证明可采用这种准光波导作为回旋管谐振腔。与传统的Fabry-Perot共焦球面准光腔不同，采用共焦柱面准光波导作为谐振腔不需要在镜面上开孔，便于与磁控注入式电子光学系统以及波导输出系统相连接，结构更为简单，因而具有更大的应用前景[8, 9]。
本文对共焦柱面准光谐振腔回旋管进行了理论研究，结合光学理论中共焦腔的分析方法[10]与微波理论中开放式谐振腔的分析理论[5]，分析了共焦准光波导中模式的电磁场分布特性、色散特性与衍射损耗特性，证明了该结构中的模式密度远小于圆柱波导。在此基础上导出了采用该结构作为谐振腔的回旋管的起振电流方程，与多模时域非线性注波互作用方程，并采用文献[8]的实验数据进行了验证。研究结果表明，共焦柱面准光腔回旋管中模式竞争问题可大大降低，采用该结构有利于二次谐波工作，可以用于研制更高频率的太赫兹回旋管。
1 共焦柱面波导特性分析 1.1 共焦柱面波导场分布特性分析共焦柱面准光波导的结构如图 1所示，由上下两个共焦柱面镜构成，与Fabry-Perot共焦球面准光腔中工作模式为TEM模不同，共焦柱面准光波导中的模式与传统圆柱波导类似为TE模。
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| 图 1 共焦柱面准光波导的截面图 |
在xy平面，共焦镜间的场满足标量亥姆霍兹方程[10]为：
| ${\nabla ^2}\psi + {k^2}\psi = 0$ | (1) |
| $\psi = {\psi _ \bot }{{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}ky}}$ | (2) |
式中，k为波数。
利用傍轴近似条件为：
| $\left| {\frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}} \right| \ll \left| {k\psi } \right|$，$\left| {\frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {y^2}}}} \right| \ll \left| {k\frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}} \right| \ll \left| {{k^2}\psi } \right|$ | (3) |
式(1)近似为傍轴波动方程，有：
| $\frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} - 2jk\frac{{\partial \psi }}{{\partial y}} = 0$ | (4) |
式(4)与一维平面波方程形式相同，因而Y与沿y轴方向传播的高斯波束具有相同的形式，它的基模表达式为[11]：
| $\begin{array}{c} {\psi _0}(x,y) = \frac{C}{{w(y)}}\exp \left[ { - \frac{{{x^2}}}{{{w^2}(y)}}} \right] \times \sqrt {{b^2} - 4ac} \\ \exp \left\{ { - {\rm{i}}\left[ {k\left( {y + \frac{{{x^2}}}{{2R}}} \right) - \phi (y)} \right]} \right\} \end{array}$ | (5) |
式中，C为常数因子；其他符号的意义为:
| $k = \frac{{2{\rm{\pi }}}}{\lambda }$ | (6) |
| $w(y) = {w_0}\sqrt {1 + {{\left( {\frac{y}{F}} \right)}^2}} $ | (7) |
| $R(y) = y + \frac{{{F^2}}}{y}$ | (8) |
| $\phi (y) = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{2y}}{{kw_0^2}}} \right)$ | (9) |
| $F = \frac{{{\rm{\pi }}w_0^2}}{\lambda }$ | (10) |
l是自由空间波长；w0是基模高斯光束的腰斑半径；F是高斯波束的共焦参数；R(y)是与传播轴线相交于y点的高斯波束等相位面的曲率半径；f(y)是与传播轴线相交于y点的高斯波束等相位面的相移；w(y)是与传播轴线相交于y点的高斯波束等相位面上的束斑半径。
对于对称共焦镜基模高斯波束的腰斑半径为:
| $w_0^2 = \frac{{2\lambda }}{{\rm{\pi }}}$ | (11) |
在共焦柱面准光结构中，在xy平面波场呈高斯分布，波沿z方向传播，因而构成柱对称稳定腔结构，其高阶横模由缔合拉盖尔多项式与高斯分布函数的乘积来描述，因而可表示为：
| $\begin{array}{c} {\psi _{mn}}(x,y) = {C_{mn}}\frac{{{w_0}}}{{w(y)}}{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{w(y)}}x} \right)^m}{{\rm{e}}^{ - \frac{{{x^2}}}{{w{{(y)}^2}}}}} \times \\ L_m^n\left( {2\frac{{{x^2}}}{{w{{(y)}^2}}}} \right){{\rm{e}}^{ - {\rm{j}}\left[ {ky + \frac{k}{{2R(y)}}{x^2} - \phi (y)} \right]}} \end{array}$ | (12) |
式中，$L_m^n$为缔合拉盖尔多项式。采用文献[8]中的结构参数对式(12)进行数值计算，得到TE06与TE15模式的场分布，如图 2a～图 2b所示。为了验证上述推导的正确性，采用CST软件对相同尺寸参数共焦柱面准光波导的电场分布进行了模拟，结果如图 2c～图 2d所示，Rc= L^=6.7 mm，b=3.1 mm。
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| 图 2 共焦柱面准光波导中TE06模TE15模归一化电场分布 |
从图 2可以看出，通过式(15)计算得到的场分布与CST模拟结果一致。
1.2 色散与衍射特性分析由于共焦柱面准光波导在x方向是开放式结构，因而在镜边缘存在衍射，这种边缘衍射对共焦柱面准光波导的传播特性将产生较大的影响，需要进行分析。
根据高斯波束的特性，对于式(12)，TE模的本征值满足[12]:
| ${k_ \bot }{L_ \bot } = n{\rm{\pi }} + \chi $ | (13) |
| $\chi = (2m + 1)\alpha + 2{\rm{\pi }}p$ | (14) |
式中，(2m+1)a是镜曲率对振荡频率的影响；2pp是镜边缘上衍射的影响，复数量p确定在L^/c时间内的衍射损耗Λ=4pp'';，及在同一时间内的附加相移Δ=2pp'。则有：
| $\alpha = {\sin ^{ - 1}}\left( {\sqrt {\frac{{{L_ \bot }}}{{2{R_c}}}} } \right)$ | (15) |
| $p = p' - jp''$ | (16) |
文献[12]证明，对于共焦柱面谐振腔式(13)和式(14)应改写为：
| ${k_{ \bot mn}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{{R_c}}}\left( {n + \frac{m}{2} + \frac{1}{4}} \right) - j\frac{\Lambda }{{2{R_c}}}$ | (17) |
式中，有：
| $\Lambda = 2\ln \left[ {\sqrt {\frac{{\rm{\pi }}}{{2{C_F}}}} \frac{1}{{R_{0,m}^{(1)}({C_F},1)}}} \right]$ | (18) |
| $R_{0,m}^{(1)}({C_F},t) = \frac{{f(t)}}{A}$ | (19) |
CF=(k^b2/L^)是菲涅耳衍射系数。
本征函数f(t)满足微分方程为：
| $(1 - {t^2})\frac{{{{\rm{d}}^2}f}}{{{\rm{d}}{t^2}}} - 2t\frac{{{\rm{d}}f}}{{{\rm{d}}t}} + C_F^2(\theta - {t^2})f = 0$ | (20) |
式中，常数q应选择使函数f(t)在t=±1时是有限的。对式(20)进行数值计算，可得到m=0, 1, 2模式的衍射损耗率b，如表 1所示。
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表 1 m=0, 1, 2模式在菲涅耳衍射系数 CF=2, 2.5, 3, 3.5时衍射损耗率 |
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m越大，单位距离上的衍射衰减越大；镜面宽度b越宽，单位距离上的衍射衰减越小。由此可见，通过调节b的宽度，可使m≠0模式的场从镜面侧面衍射出去，从而使这些模式不能稳定存在，这样对于共焦柱面谐振腔，可使其稳定存在的工作模式仅有m=0模式，此时模式分割度为:
| $\Delta f = \frac{c}{{2{R_c}}}$ | (21) |
由此可见，该条件下共焦柱面谐振腔中模式密度不随频率的增高而改变。因此在高频超尺寸情况下，其模式分割度远大于传统圆柱波导。
根据波导理论，有耗波导中的色散特性满足:
| $k_z^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}} - k_ \bot ^2 + 2(1 + i)\frac{\omega }{c}\left( {1 - \frac{{k_ \bot ^2{c^2}}}{{{\omega ^2}}}} \right)\beta $ | (22) |
因而可计算得到共焦柱面准光波导中TE0n的色散曲线，如图 3所示。
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| 图 3 共焦柱面准光波导的色散曲线 |
2 共焦柱面准光腔回旋管特性分析 2.1 谐振腔特性分析
共焦柱面准光谐振腔结构的截面图如图 4所示，在横向上是共焦柱面准光波导，在z向上是纵向开放式谐振腔结构，谐振腔分为三段，中间段B为共焦柱面准光波导；靠电子枪一端，为渐变段A;另一端，通过渐变段C，与输出波导相连，在谐振腔中产生的辐射沿z方向输出。
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| 图 4 共焦柱面谐振腔结构的截面图 |
由图 4可知，由共焦柱面准光波导构成的谐振腔在z方向是缓变截面开放式谐振腔结构，因而其计算可归结为不均匀弦方程[9]及边界条件的定解问题，可进行数值计算求解，即有：
| $\frac{{{{\rm{d}}^2}f(z)}}{{{{\rm{d}}^2}z}} + k_z^2f(z) = 0$ | (23) |
| $\frac{{{\rm{d}}f(z)}}{{{\rm{d}}z}} - j{k_z}f(z)\left| {_{z = {z_{in}}}} \right. = 0$ | (24) |
| $\frac{{{\rm{d}}f(z)}}{{{\rm{d}}z}} + j{k_z}f(z)\left| {_{z = {z_{{\rm{out}}}}}} \right. = 0$ | (25) |
根据文献8中的结构尺寸进行数值计算与CST仿真并与文献采用的近似方法结果进行比较，结果如表 2所示。
| 表 2 共焦柱面准光谐振腔冷腔参数 |
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表 2中，尺寸1对应的TE061、TE062模式的冷腔场分布曲线如图 5所示，Rc= L^=6.7 mm，b=3.1 mm，L1= 10 mm，L2=17mm，L3=10 mm，q1=4.3°，q2=2.3°。结果表明数值计算与CST模拟结果基本吻合，并且相比文献，采用式(23)～式(25)进行数值计算，可更准确地获得谐振腔中的纵向场分布，得到q1、q2不同情况下的冷腔电磁特性。
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| 图 5 共焦柱面准光谐振腔纵向场分布 |
根据回旋管动力学理论[5]，推导得到共焦柱面准光腔回旋管的起振电流为:
| $\begin{array}{c} {I_{st}} = \frac{4}{{{\rm{\pi }}{\mu ^2}}}\left( {\frac{{{{\rm{e}}^{2{x^2}}}}}{{\mu x - s}}} \right){\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \right)^{5/2}}\frac{{{\varepsilon _0}{\gamma _0}{m_e}{c^3}}}{{eQ{I_A}}}\beta _{ \bot 0}^{2(3 - s)} \times \\ \left( {\frac{L}{\lambda }} \right){\left( {\frac{{{2^s}s!}}{{{s^s}}}} \right)^2}\frac{{16{\rm{\pi }}\int_{S \bot } {{{\left| {\psi (x,y)} \right|}^2}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} }}{{\left\langle {{{\left| {{M_1}} \right|}^2}} \right\rangle {\lambda ^2}}} \end{array}$ | (26) |
其中：
| $\mu = {\rm{\pi }}\frac{{\beta _{ \bot 0}^2}}{{{\beta _{z0}}}}\frac{L}{\lambda }$,$x = \frac{\mu }{{2\beta _{ \bot 0}^2}}\left( {1 - \frac{{s\Omega }}{{\gamma \omega }}} \right)$ | (27) |
| $\begin{array}{c} \left\langle {{{\left| {{M_1}} \right|}^2}} \right\rangle = \\ \frac{1}{{2{\rm{\pi }}}}\int_0^{2{\rm{\pi }}} {{{\left| {\frac{1}{k}\left( {\frac{\partial }{{\partial X}} + i\frac{\partial }{{\partial Y}}} \right)\psi (X,Y)} \right|}^2}{\rm{d}}} \varphi \end{array}$ | (28) |
| $X = {r_b}\cos \varphi $,$X = {r_b}\sin \varphi $ | (29) |
根据文献[8]中的电子束参数进行数值计算，得到基波TE0,5与TE0,6以及二次谐波的TE0,10、TE0,11与TE0,12模式的起振电流与回旋管外加磁场的关系，如图 6所示，V=60 kV，a=1.0。从图中可以看出，共焦柱面准光腔回旋管中模式竞争比传统的圆柱波导谐振腔回旋管中模式竞争要小，由于m>0模式的衍射损耗大，因而无法在腔体中激励起谐振，仅有m=0的模式可以作为工作模式产生注波互作用。并且当二次谐波工作在TE0,n (n=1,3,5…)模式时，没有基波竞争模式存在，因而更利于二次谐波稳定工作，并产生大功率输出。
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| 图 6 起振电流图 |
根据回旋管的注波互作用理论，导出共焦柱面准光回旋管的时域多模注波互作用方程为：
| $\begin{array}{c} \frac{{{\rm{d}}a}}{{{\rm{d}}\zeta }} - i(|a{|^2} - 1 + \Delta ) = \\ - {\left( {\sum\limits_{mn} {{a^{s - 1}}{f_{mn}}\exp [{\rm{i}}({\psi _{mn}} - s{\vartheta _0})]} } \right)^*} \end{array}$ | (30) |
| $\begin{array}{c} \frac{\partial }{{\partial {\zeta ^2}}}{f_{mn}} + s{\delta ^2}{f_{mn}} - is\frac{\partial }{{\partial \tau }}{f_{mn}} = - i{I_s} \times \\ \frac{1}{{4{{\rm{\pi }}^2}}}\int_0^{2\pi } {\int_0^{2\pi } {{{({a^*})}^s}\exp \{ - {\rm{i}}[{\psi _{mn}} - s{\vartheta _0}]\} {\rm{d}}{\vartheta _0}{\rm{d}}\varphi } } \end{array}$ | (31) |
式中，ζ和τ为归一化轴向长度与归一化时间；φ为角向位置；Δ为归一化频偏；Ψ为模式相位；δ为谐振腔轴线的截止频率的变化；Is为归一化电流，则有:
| $\begin{array}{c} {I_s} = I\frac{{8e{\mu _0}}}{{{m_e}c}}\frac{{\beta _{ \bot 0}^{2(s - 4)}{\beta _{z0}}s}}{{{\gamma _0}}}\left( {\frac{{{s^{s + 1}}}}{{s!{2^s}}}} \right) \times \\ \frac{{\left\langle {{{\left| {{M_1}} \right|}^2}} \right\rangle {\lambda ^2}}}{{16{\rm{\pi }}\int_{{S_ \bot }} {{{\left| {\psi (x,y)} \right|}^2}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} }} \end{array}$ | (32) |
根据文献[8]中的电子束参数进行数值计算可以得到考虑基波TE0,5与TE0,6以及二次谐波TE0,10、TE0,11与TE0,12模式时，进行多模非线性计算得到的输出功率随磁场的变化关系，如图 7所示，计算结果与文献[8]中的实验结果基本吻合。计算结果表明，文献[8]中磁场为5.1～5.2T之间测得较大的输出功率是由TE0,11模式的二次谐波工作产生的；TE0,10与TE0,5之间以及TE0,12与TE0,6之间存在模式竞争，因而TE0,10与TE0,12难以起振，而TE0,11介于TE0,5与TE0,6之间，模式间隔大，容易起振。由此可以推断TE0,n(n=1,3,5…)模式有利于二次谐波工作，并与图 7所示结果一致。
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| 图 7 输出功率随磁场强度变化曲线图 |
本文对一种采用共焦柱面准光波导作为谐振腔的共焦柱面准光腔回旋管进行了研究。结合光学理论中共焦腔的分析方法与微波理论中开放式谐振腔的分析理论，推导了共焦柱面准光波导的场分布方程，给出了高阶模式下的电磁模式分布特性，分析了色散特性与衍射特性及共焦柱面准光谐振腔的冷腔电磁特性，证实了该结构模式密度远小于圆柱波导。分析了共焦柱面准光谐振腔的冷腔特性，推导了共焦柱面准光腔回旋管的起振电流公式与时域多模注波互作用方程，数值计算结果与文献实验结果一致。
理论研究结果证明，共焦柱面准光腔回旋管中模式竞争远小于传统的回旋管；若二次谐波工作在TE0,n(n=1,3,5…)模式工作，将没有基波进行模式竞争，有利于二次谐波大功率输出。本文的结果有助于进行更高频率太赫兹回旋管的研究工作。
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