信道编码识别问题，即是根据解调后的比特流序列，辨识出所采用的纠错编码类型及相应参数，广义上还包括对交织和扰码的识别。它的主要应用场合为：1) ACM和协作通信中增加系统鲁棒性；2) 在非合作条件下进行通信侦察及电子对抗。

RS码是一种多进制线性分组码。自1961年问世以来，已在卫星、深空、无线等通信领域大量使用，并被CCSDS、IESS、DVB等纳入国际标准。因此，针对RS码的识别研究显得极为必要。文献[1]揭示了RS码在GF(2) 与GF(q)上的对应关系，提出了域上辗转相除法。文献[2, 3, 4]以此为基础，分别提出了基于域上欧几里德运算，中国剩余定理和域上高斯消元法的RS码识别策略。以上策略均基于线性变换，故对误码尤为敏感。针对该问题，文献[5, 6]分别利用形如VALEMBOIS^[7]的对偶码组发现模型，提出了具备一定抗误码能力的统计识别方案。

文献[8]最早将域上伽罗华域变换(GFFT)^[9]引入RS码识别问题，但该方法需事先设定多种先验参数，抗误码能力较弱。文献[10]在此基础上，利用信息差熵和码根统计，实现了RS码相关参数的容错辨识，由于缺乏相应的理论推导，该算法的判决门限仍需事先人为设定。文献[11]提出了在GFFT后进行频谱累积量统计的检测方法，并给出了较明确的判决门限和统计量参数计算式。文献[12]进一步拓展了前述思想，使用非线性变换和中值滤波，增大了GFFT谱分量的区分度，明显提高了求取本原多项式时的容错性能。但时，由于缺乏明确的码根判定策略，使得生成多项式的重建仍存在不确定性。由于低阶本原多项式个数有限，RS码识别问题在工程实现时常采用闭集识别策略，且闭集集合大小大于1。以上几种算法在此时的虚警概率明显偏高，并不适用于实际应用场景。

本文通过分析RS码特有的谱向量统计特征，提出基于欧氏距离测度的统计识别思想，设计并实现了针对本原多项式和生成多项式的识别算法。相比于前述同类算法，本文算法容错性能较高，并完全适用于闭集集合大于1的实际应用场合。

1 问题描述

设某RS码码组 $ \mathbf{c}(x) $的码元符号取自 $ {{m}_{p}} $阶本原多项式 $ p(x) $所构成的扩域 $ \text{GF}({{2}^{{{m}_{p}}}})={{F}_{2}}[x]/p(x) $，纠错性能为 $ 2t $。经信道传输，添加噪声向量 $ \mathbf{e}(x) $后形成接收向量，其中误码率记为 $ {{p}_{e}} $，有：

$ \mathbf{r}(x)=\mathbf{c}(x)+\mathbf{e}(x) $

(1)

RS码识别问题即是研究如何从接收向量 $ \mathbf{r}(x) $中恢复出RS码相关参数的问题，具体包括本原多 项式 $ p(x) $、所采用的码根 ${{\alpha }^{{{m}_{0}}}},{{\alpha }^{{{m}_{0}}+1}},\cdots ,{{\alpha }^{{{m}_{0}}+2t-1}} $、生成多项式 $ g(x)$。在实际通信中，RS码的码组起点和长度往往能够通过帧同步或卷积交织参数确定，为简化问题，本文假设其已知。

2 域上傅里叶变换及欧式测度 2.1 域上傅里叶变换及谱向量统计特性

类似实数域和复数域上的离散傅里叶变换，在有限域上也可以定义傅里叶变换，简称GFFT^[9]。

定义 1 令 $ \text{GF}(q) $上的多项式：

$ v(x)={{v}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+{{v}_{n-2}}{{x}^{n-2}}+\ldots +{{v}_{1}}x+{{v}_{0}}\text{ ,} {{v}_{i}}\in \text{GF}(q) $

(2)

在 $ \text{GF}({{q}^{m}}) $上的傅里叶变换多项式为：

$ V(Z)={{V}_{n-1}}{{Z}^{n-1}}+{{V}_{n-2}}{{Z}^{n-2}}+\cdots +{{V}_{1}}Z+{{V}_{0}}, {{V}_{j}}\in \text{GF}({{q}^{m}}) $

(3)

其中，

$ {{V}_{j}}=v({{\alpha }^{j}})=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{v}_{i}}{{({{\alpha }^{j}})}^{i}}}\text{ }0\le j\le n-1 $

(4)

称为 $ V(X) $的第 j个谱分量。使用矩阵可表示为：

$ \left[ \begin{matrix} {{V}_{0}} \\ {{V}_{1}} \\ \vdots \\ {{V}_{n-2}} \\ {{V}_{n-1}} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ {{({{\alpha }^{1}})}^{n-1}} & {{({{\alpha }^{1}})}^{n-2}} & \cdots & {{({{\alpha }^{1}})}^{1}} & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ {{({{\alpha }^{n-2}})}^{n-1}} & {{({{\alpha }^{n-2}})}^{n-2}} & \cdots & {{({{\alpha }^{n-2}})}^{1}} & 1 \\ {{({{\alpha }^{n-1}})}^{n-1}} & {{({{\alpha }^{n-1}})}^{n-2}} & \cdots & {{({{\alpha }^{n-1}})}^{1}} & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{v}_{0}} \\ {{v}_{1}} \\ \vdots \\ {{v}_{n-2}} \\ {{v}_{n-1}} \\ \end{matrix} \right] $

(5)

其中，向量 $ \mathbf{V}=[{{V}_{0}},{{V}_{1}},\cdots ,{{V}_{n-1}}] $为 $ v(x) $在 $ \text{GF}({{q}^{m}}) $上的谱向量。

定理 1 多项式 $ v(x) $以 $ {{a}^{j}} $为根的充要条件是谱向量 $ \mathbf{V}=\left[ {{V}_{0}},{{V}_{1}},\cdots ,{{V}_{n-1}} \right] $的第 j个谱分量 $ {{V}_{j}} $为0。

因此，若给定一最小距离为 $ d=2t\text{+}1 $的RS码，将生成多项式定义为：

$ g(x)=(x-{{\alpha }^{{{m}_{0}}}})(x-{{\alpha }^{{{m}_{0}}+1}})\cdots (x-{{\alpha }^{{{m}_{0}}+2t-1}}) $

(6)

式中， $ {{m}_{0}}\ge 1 $； $ \alpha $是本原多项式 $ p(x) $的本原元。

定理 2 生成多项式 $ g(x) $的谱多项式 $ G(Z) $存在 $ 2t $个0系数，即：

$ {{G}_{j}}=0\text{ }{{m}_{0}}\le j<{{m}_{0}}+2t-1 $

(7)

由于循环码是 $ {{x}^{n}}-1 $剩余系中以 $ g(x) $为生成元的理想，每一个码多项式 $ c(x) $必满足 $ g(x)|c(x) $。因此，存在以下定理。

定理 3 码字多项式 $ c(x) $的谱多项式 $ C(Z) $，至少存在 $ 2t $个连0，即：

$ {{C}_{j}}=0\text{ }{{m}_{0}}\le j<{{m}_{0}}+2t-1 $

(8)

对接收序列 $ \mathbf{r}(x) $做 $ \text{GF}({{2}^{{{m}_{q}}}})={{F}_{2}}[x]/q(x) $上GFFT， $ q(x) $阶数为 ${{m}_{q}} $，谱向量记为 $ \mathbf{R}=[{{R}_{1}},{{R}_{2}}, $ $ \cdots ,{{R}_{n}}] $。可以证明，谱向量内元素的概率分布遵循如下定理。

定理 4 码元符号取自 $ {{F}_{2}}[x]/p(x) $的含噪编码序列 $ r(x) $，做 $ {{F}_{2}}[x]/q(x) $上GFFT得 $ R(Z) $， $ \partial (q(x)) $ $ =m $，则 $ R(Z)$第 j个谱分量为0的概率为：

$ \Pr \left[ {{R}_{j}}=0 \right]=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{{{2}^{m}}}+{{(\text{1}-{{p}_{e}})}^{({{2}^{m}}-1)m}}\left( 1-\frac{1}{{{2}^{m}}} \right)\text{ }j\in U,\text{ }p(x)=q(x) \\ & \frac{1}{{{2}^{m}}}\text{ }j\notin U\text{ or }p(x)\ne q(x) \\ \end{align} \right. $

(9)

对 $ N $组 $ \mathbf{r}(x) $做GFFT，统计$ N $组谱向量 $ \mathbf{R} $中谱分量 $ R_{j}^{i} $为0的个数，组成向量 $ \mathbf{M}=[{{M}_{1}},{{M}_{2}},\cdots , $ $ {{M}_{n}}] $。

$ {{M}_{j}}=N-\sum\limits_{i=1}^{N}{R_{j}^{i}}\text{ }j=1,2,\cdots ,n $

(10)

又设 $ \mathbf{M} $关于$ N $的比值：

$ \mathbf{q}=\left[ {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}} \right]=\mathbf{M}/N $

(11)

称为比值向量 $ \mathbf{q} $。显然，当统计次数$ N $足够大时，$ \mathbf{q} $应满足定理4。

例1 已知存在本原多项式 $ {{p}_{1}}(x)={{x}^{4}}+x+1 $ 、 $ {{p}_{2}}(x)={{x}^{4}}+{{x}^{3}}+1 $及 $ {{p}_{3}}(x)={{x}^{5}}+{{x}^{2}}+1 $。现有码元符号取自 $ {{F}_{2}}[x]/{{p}_{1}}(x)$的(15,11)RS码，其生成多项式 $ g(x) $以 $ \alpha ,{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}},{{\alpha }^{4}} $为根。对含误码码字分别在 $ {{F}_{2}}[x]/{{p}_{1}}(x)$、 $ {{F}_{2}}[x]/{{p}_{2}}(x) $和 $ {{F}_{2}}[x]/{{p}_{3}}(x) $上做GFFT，绘制图 1。图中纵轴对应比值向量 $ \mathbf{q}=[{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{{{2}^{m-1}}}}] $，误码率 $ {{p}_{\text{e}}}={{10}^{-3}} $。统计结果与定理4相吻合。

2.2 平方欧几里德距离测度

如果能设计一种有效的不平衡准则，从形如图 1的有限组统计结果中，确认具有最大差异性的一组比值向量 $ \mathbf{q}=[{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}}]$，则等价于实现了对本原多项式的闭集识别。

区分向量间的差异性，需要通过设计某种差异性测度来实现。为此，本文引入平方欧几里德距离 $ d $，用以刻画$ \mathbf{q} $与均匀分布的差异性：

$ d=\sum\limits_{j=1}^{{{2}^{m}}-1}{{{\left( {{q}_{j}}-\frac{1}{{{2}^{m}}} \right)}^{2}}} $

(12)

可证明，测度$ d $满足如下定理：

定理 5 对码元符号取自 $ {{F}_{2}}[x]/p(x) $的$ N $组含噪编码序列 $ r(x) $做 $ {{F}_{2}}[x]/q(x) $上GFFT， $ \partial (q(x))=m $，统计结果的平方欧几里德距离$ d $的均值满足：

$ E(d)=\left\{ \begin{align} & {{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{m}}} \right)}^{2}}{{(\text{1}-{{p}_{e}})}^{2({{2}^{m}}-1)m}}2t\text{ }{{H}_{\text{0}}} \\ & {{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{m}}} \right)}^{2}}\frac{1}{N}\text{ }{{H}_{1}} \\ \end{align} \right. $

(13)

式中，事件 ${{H}_{0}}$和 ${{H}_{1}}$分别表示为：

$ \left\{ \begin{align} & {{H}_{0}}:p(x)=q(x) \\ & {{H}_{1}}:p(x)\ne q(x) \\ \end{align} \right. $

(14)

例2 如图 2所示，先后给定若干RS码，分别统计在 $ {{H}_{\text{0}}} $条件下比值向量$ \mathbf{q} $的欧氏距离 $ d\text{-Sta}$，同时标记理论值 $ d\text{-Theory} $。

例3 如图 3所示，构造码元符号取自$ {{F}_{2}}[x]/p(x) $ 的(31,23)RS码， $ p(x)={{x}^{5}}+{{x}^{2}}+1 $，在 $ {{H}_{1}} $条件下做 $ {{F}_{2}}[x]/q(x) $上GFFT，统计其平方欧几里德距离$ d $，其中 $ q(x) $分别如图 3所示。

例2与例3充分验证了前述定理的正确性。在一定误码率范围内，欧氏距离$ d $对事件$ {{H}_{\text{0}}} $和$ {{H}_{\text{1}}} $具备明显的区分度。

3 RS码识别算法描述

RS码识别问题可分解为辨识本原多项式 $ p(x) $和恢复生成多项式 $ g(x)$两部分。尽管RS码在码率、纠错能力、生成多项式的构造上可以不同，但均依赖于为数不多的若干本原多项式。基于这一事实，本文可对任意RS码采用闭集识别策略，通过事先构造本原多项式集合 $ Q=\{{{q}_{1}}(x),{{q}_{2}}(x),\cdots \}$，设计RS码的分步识别方法。

1) 辨识本原多项式 $ p(x) $。

首先使用集合 $ Q $中的本原多项式，分别对接收向量 $ \mathbf{r}(x) $做GFFT，获得各自的谱向量；接着通过测度$ d $刻画谱向量；最后选取差异度最大的$ d $对应的本原多项式$ p(x) $作为识别结果。算法描述如下：

输入：码元符号取自 $ {{F}_{2}}[x]/p(x) $的$ N $组编码向量 $ \mathbf{r}(x) $

本原多项式集合 $ Q=\{{{q}_{1}}(x), $ $ {{q}_{2}}(x),\cdots \} $

输出：本原多项式$ p(x) $

① For $ {{q}_{i}}(x)\in Q $， $ m=\partial ({{q}_{i}}(x)) $

$ r\left( x \right)\underset{\text{over }{{F}_{2}}[x]/{{q}_{i}}(x)}{\overset{GFFT}{\mathop{\to }}}\,N $组 $ \mathbf{R} $

② 利用式(10)计算向量 $ \mathbf{M}=[{{M}_{1}},{{M}_{2}},\cdots ,{{M}_{n}}] $

③ 利用式(11)计算比值向量 $ \mathbf{q}=[{{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots , $ $ {{q}_{{{2}^{m-1}}}}] $

④ 利用式(12)计算欧式距离测度 $ d $

⑤ If $ d>{{(1-1/{{2}^{m}})}^{2}}/N $

$ p(x)={{q}_{i}}(x) $，识别成功。

2) 恢复生成多项式 $ g(x) $，即辨识码根集合 $ U=\{j|g({{\alpha }^{j}})=0,j\in [1,{{2}^{{{m}_{q}}}}-1]\} $。

已知本原多项式$ p(x) $及欧几里得测度$ d $，依据定理5，可通过纠错性能 $ t $，计算出对应的误码率：

$ {{p}_{\text{e}}}=1-\exp \left[ \frac{1}{2({{2}^{m}}-1)m}\ln \frac{d}{2t{{(1-1/{{2}^{m}})}^{2}}} \right] $

(15)

依据定理4，可获得在此误码率下谱分量为0概率的理论值。显然，比值向量$ \mathbf{q} $应与该理论值吻合。如果存在某个集合 $ M =\{{{m}_{0}},{{m}_{1}},\cdots ,{{m}_{0+2t-1}}\} $，使得：

$ {{q}_{j}}=\left\{ \begin{align} & P\left[ {{R}_{j}}=0|j\in U \right]\text{ }j\in M \\ & P\left[ {{R}_{j}}=0|j\notin U \right]\text{ }j\notin M \\ \end{align} \right. $

(16)

则 $ U=M $，该RS码必以 $ {{\alpha }^{{{m}_{0}}}},{{\alpha }^{{{m}_{0}}+1}},\cdots ,{{\alpha }^{{{m}_{0}}+2t-1}} $作为其生成多项式的根，生成多项式表示为：

$ g(x)=\prod\limits_{j\in U}{{}}(x-{{\alpha }^{j}}) $

(17)

反之，若无法找到这样的集合，则说明假设的纠错性能 $ t $错误，需重新进行假设，直到找到正确的$ t $值。

算法描述如下：

输入：比值向量 $ \mathbf{q}=\left[ {{q}_{1}},{{q}_{2}},\cdots ,{{q}_{n}} \right] $

平方欧几里德测度$ d $

纠错性能集合 $ T=\left\{ {{t}_{1}},{{t}_{2}},\cdots \right\} $

输出：码根集合 $ U $

生成多项式 $ g(x) $

① For $ {{t}_{i}}\in T $

利用式(15)计算当前误码率

利用式(9)计算谱分量为0的理论概率值

② For $ {{m}_{0}}=1,2,\cdots $

$ M =\{{{m}_{0}},{{m}_{1}},\cdots ,{{m}_{0+2t-1}}\} $

③ If 式(16)成立

$ U=M $，利用式(17)构造生成多项式，识别成功。

4 仿真及性能分析 4.1 算法仿真

例4 某误码率为 $ {{p}_{\text{e}}}=0.01 $的(31,27)RS码序列被第三方截获，现对其展开识别。

1) 分别计算数据在不同扩域下作GFFT后的欧式距离$ d $，如图 4所示，横轴分别对应集合 $ Q $ $ Q $中不同本原多项式 $ q(x) $所生成的扩域 $ {{F}_{2}}(x)/q(x) $，集合$ Q $依次为 $ {{x}^{4}}+x+1 $、 $ {{x}^{5}}+{{x}^{2}}+1 $、 $ {{x}^{6}}+x+1 $、 $ {{x}^{7}}+x+1 $及 $ {{x}^{8}}+{{x}^{4}}+ $ $ {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+1 $。

由图 4可得，以最大值 $ d=0.155 $所对应的本原多项式 $ p(x)={{x}^{5}}+{{x}^{2}}+1 $作为识别结果。

2) 做 $ {{F}_{2}}(x)/p(x) $上GFFT如图 5所示，图中横轴对应$ {{F}_{2}}(x)/p(x) $中元素 $ \{1,\partial ,{{\partial }^{2}},{{\partial }^{3}},{{\partial }^{4}},\cdots ,{{\partial }^{30}}\} $，纵轴为比值向量$ \mathbf{q} $。

可见，存在集合 $ M=\{{{\partial }^{3}},{{\partial }^{4}},{{\partial }^{5}},{{\partial }^{6}}\} $，使 $ \text{ }j\in M $时，$ {{q}_{j}}\approx \text{0}\text{.219} $； $ \text{ }j\notin M $时， $ {{q}_{j}}\approx \text{0}\text{.031} $。当 $ t=2 $时，由式(15)可知理论误码率 $ {{p}_{\text{e}}}=0.010\text{ }4 $。依据式(9)， $ {{R}_{j}}=0 $概率满足： $ \text{ }j\in U $时， $ \Pr [{{R}_{j}}=0]=0.222\text{ }1 $；当 $ j\notin U $时， $ \Pr []{{R}_{j}}=0=0.031\text{ }3 $。其中集合 $ U $大小为 $ 2t=4 $。由此，本文可认定 $ U=M $，生成多项式 $ g(x) $必以 $ M=\{{{\partial }^{3}},{{\partial }^{4}},{{\partial }^{5}},{{\partial }^{6}}\}$中元素为根，即：

$ \begin{matrix} g(x)=(x-{{\alpha }^{3}})(x-{{\alpha }^{4}})(x-{{\alpha }^{5}})(x-{{\alpha }^{6}})= \\ {{x}^{4}}+{{\alpha }^{26}}{{x}^{3}}+{{\alpha }^{18}}{{x}^{2}}+{{\alpha }^{4}}x++{{\alpha }^{18}} \\ \end{matrix} $

(18)

综上，本文成功地识别了该(31,27)RS码的生成多项式。

4.2 对比测试

文献[8, 12]同样提出了基于GFFT的RS码识别算法。文献[8]关注谱向量的连零特征，若1个接收码组 $ \ \mathbf{r} $ 的谱向量 $ \mathbf{R}=[{{R}_{1}},{{R}_{2}},\cdots ,{{R}_{n}}] $中，码根位置 $ U $处存在连零，则称为一次记录，若记录次数大于 $ \left\lceil 0.51N \right\rceil $，即判定 $ p(x)=q(x) $。文献[12]则通过非线性变换和中值滤波，扩大了谱向量间的差异度，在此基础上，只要 $ \overline{{{Q}_{1}}}>\overline{{{Q}_{2}}} $，即判定 $ \ p(x)=q(x) $，其中， $ {{Q}_{1}}=\{{{R}_{j}}|j\in U\} $， $ {{Q}_{2}}=\{{{R}_{j}}|j\notin U\} $。现将本文算法与这两种算法进行对比测试。

例5 给定(31,27)RS码，统计量 $ N=50 $，3种算法的识别成功率曲线如图 6所示。

可见，本文算法在高误码时劣于文献[12]算法，但明显优于文献[8]算法。现实中码根集合 $ U$未知，文献[8, 12]的算法回避了该问题，而本文利用式(16)可实现集合$ U$的检测和重建。为便于仿真比对，例5中为文献[8, 12]的算法事先设定了此集合。

例5考察了3种算法在闭集集合大小为1时的RS码闭集识别性能。闭集识别即是给定备选集合后，判定给定目标是否为某一备选项的模式匹配问题。由于低阶本原多项式$ p(x) $个数非常有限，在实际工程应用中RS码识别问题常采用闭集识别策略。因此，有必要考察3种算法在闭集集合大小大于1时的识别能力。

例6 给定包含(15,11)、(31,27)、(63,57)、(127, 119)、(255,239)共5种RS码的闭集集合。采用3种算法对(31,27) RS码进行识别，码组个数 $ N=50 $。测试结果如图 7所示，文献[12]算法的检测性能明显下降。

综上，本文算法比同类识别方法更为稳健，适合于实际工程应用场景。

4.3 统计量N对识别成功率的影响

基于GFFT的统计识别算法取决于能否获得足够多的正确码组，本节重点讨论统计量$ N $与识别成功率的关系。

对于一个符号取自 $ \text{GF}({{2}^{m}}) $上的 $ (n,k) $RS码，出现一个正确码字的概率为：

$ {{p}_{\text{1 block no error}}}={{(1-{{p}_{\text{e}}})}^{({{2}^{m}}-1)m}} $

(19)

式中， $ {{p}_{\text{e}}} $表示当前误码率。在$ N $个码组中至少出现一个正确码组的概率为：

$ {{p}_{N\text{ block no error}}}=1-{{(1-{{(1-{{p}_{\text{e}}})}^{({{2}^{m}}-1)m}})}^{N}} $

(20)

因此，只有当 $ {{p}_{N\text{ block no error}}}\ge 1/N $时，才真正存在至少一个正确码组，此时误码率应满足：

$ {{p}_{\text{e}}}\le 1-{{[1-{{(1-1/N)}^{1/N}}]}^{\frac{1}{({{2}^{m}}-1)m}}} $

(21)

设 $ {{p}_{\text{eu}}} $为误码率上限。显然， $ {{p}_{\text{eu}}} $随着统计量$ N $的增加而提高。任何以获取正确码组作为前提的识别算法，性能都不可能超越此误码率上限。结合式(13)可知，若希望正确识别本原多项式，应满足：

$ {{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{m}}} \right)}^{2}}{{(\text{1}-{{p}_{\text{e}}})}^{2({{2}^{m}}-1)m}}2t>{{\left( 1-\frac{1}{{{2}^{{{m}'}}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{N}'}} $

(22)

式中， $ m $、 $ {m}' $分别代表本原多项式的真实阶数和试探阶数； $ {N}' $为由真实统计量$ N $换算为试探本原多项式后的统计量。两者关系为：

$ {N}'=N\frac{({{2}^{{{m}_{1}}}}-1)m}{({{2}^{{{m}_{2}}}}-1){m}'} $

(23)

因此，只要$ N $与误码率 $ {{p}_{\text{e}}} $满足：

$ N>{{\left( \frac{{{2}^{{m}'-1}}}{{{2}^{m-1}}} \right)}^{3}}{{({{2}^{m-{m}'}})}^{2}}{{(1-{{p}_{\text{e}}})}^{-2({{2}^{m-1}})m}}2t $

(24)

即可保证算法1的有效进行。

例7 给定包含(15,11)、(31,27)、(63,57)、(127,119)、(255,239)共5种RS码的闭集集合。采用本文算法对(31,27)RS码进行识别，$ N $依次设为25、50、100、200。

测试结果如图 8所示。由图可见，随着统计量$ N $的增加，算法的识别准确率明显提高。因此，足够的统计量$ N $是算法保证有效性、提高容错性的充分条件之一。

5 结 束 语

本文使用伽罗华域傅里叶变换(GFFT)，设计和实现了针对RS码的统计识别算法。通过对欧几里得测度统计特性的详细推导和证明，借助测度间的差异性实现了对本原多项式的辨识，并在此基础上完整恢复出生成多项式。同时本文还与两种同类算法进行比对，仿真结果显示，本文算法的识别稳健性更高，且完全适用于闭集集合大于1的实际应用场景。最后还讨论了识别成功率与统计量的关系，为该算法的使用提供了理论参考。