图1为本文研究的系统模型，在多播组中有K个多播用户和1个窃听者。在下行OFDMA单组多播系统中，以精细可伸缩视频编码(fine granular scalable, FGS)用于基站端。首先，原始多播数据被编码成一个基本层和多个增强层数据。基本层数据要求每个用户正确接收，增强层数据可以根据不同用户的不同信道条件进行接收。定义$R_{{\rm{base}}}^s$表示系统要求的保密基本层速率，$R_k^{s - {\rm{req}}}$表示满足用户k的保密QoS需求时所需要的保密速率，要求$R_k^{s - {\rm{req}}}$>$R_{{\rm{base}}}^s$。基站配置多根天线发送多播数据给多播组内的每个用户，每个用户采用单天线接收并且每个用户的保密QoS需求不同。假设发送基站配置的天线总数为${M_t}$，多播组中窃听者的天线数目为${M_e}$，并要求${M_e} < {M_t}$。系统中基站端与接收用户间的通信链路都是慢时变块衰落信道，并且基站通过发送导频训练序列可准确地估计用户的信道状态信息(channel state information, CSI)。主信道定义为多播组内合法用户与基站间的无线链路，窃听信道定义为窃听者与基站间的无线链路。整个多播系统的带宽B被划分为N个子载波。假设每个用户反馈瞬时CSI和保密QoS需求给基站。定义P_T表示基站总的发射功率，${p_n}$表示每个子载波所加载的功率。当M_t大于每次接收数据的用户数时，基站端在合法用户主信道的零空间产生人工噪声，然后将其与多播数据混叠后传输该信号。当信号通过主信道传输时，人工噪声由于处于主信道的零空间，因此不会干扰合法用户正确解码数据。但对于窃听信道而言，由于人工噪声一般不会处于窃听信道的零空间内，因此会对窃听者产生干扰，进而使窃听者的接收信噪比(signal noise ratio, SNR)恶化，无法正确解码数据，进而实现数据的安全传输。可见，基于人工噪声的物理层安全方法受限于M_t；当M_t小于每次接收数据的用户数时，信道增益矩阵${{H}}({{H}} \in {\Re ^{K \times {M_t}}})$不存在零空间，就无法通过引入人工噪声的方法来提高保密速率。

图  1  采用分层编码的物理层安全多播系统模型

定义用户k在子载波n上所对应的主信道与窃听信道增益矩阵分别为${H_{k,n}}$和${H_{e,n}}$；发送方在主信道的零空间内随机产生均值为0、方差为$\delta _v^2$的人工噪声${{{A}}_n}$，且满足${H_{k,n}}{{A} _n} = 0$。为了在安全多播传输中使用人工噪声技术，首先需要保证在每次传输中基站发送天线数量多于合法多播用户的接收天线数量(每个载波能够服务的用户数为${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$个)，目的是确保传输所用子载波n上存在合法用户信道的零空间。其次，根据这${L_n}$个合法用户反馈的瞬时CSI，在其信道零空间内引入人工噪声。因此，当使用子载波n时，定义多播组中的主信道与窃听信道的信道增益表示为：

式中，${\left| {{{\omega}} _n^{\rm H}{{{H}}_{k,n}}} \right|^2}$表示用户k与基站间在子载波n上的信道增益；${{{\omega}} _n}$为子载波n的波束赋形矢量；${{{H}}_{k,n}} = {\left[ {{h_{k,n,1 }}\;\;\;{h_{k,n,2}}\;\;\;\cdots\;\;{h_{k,n,{M_t}}} } \right]^{\rm{T}}}$表示多播组中的第k个用户在第n个子载波上的信道矢量，其中${h_{k,n,j}}$表示用户k与基站端天线j之间在子载波n上的瞬时信道增益；$\delta _{b,n}^2$表示主信道中的加性高斯白噪声的方差；$\delta _{e,n}^2$表示窃听信道中的加性高斯白噪声的方差。

依据香农式计算子载波n的传输速率为：

当系统中存在窃听者时，子载波n的保密容量表示为主信道传输速率与窃听信道传输速率之差：

式中，符号$R_n^s$表示子载波n上的保密容量；${[x]^ + } = \max (0,x)$，$ {\alpha _n} > {\beta _n}$。式(4)表示只有主信道的信道增益高于窃听信道时，才存在保密容量。

定义用户k在子载波n上的保密速率为：

本文提出的基于分层编码的物理层安全多播问题，是在基站端总的发射功率有限、多播合法用户信道条件优于窃听者信道条件，并保障每个合法用户保密QoS需求时保密容量最大化的最优化问题。因此，最优化问题式为：

满足：

如果用户k使用子载波n，则w_k,n为1，否则为0。式(7)表示合法用户信道条件优于窃听者信道条件；式(8)表示系统总功率受限；式(9)表示保证用户的保密QoS需求；式(10)表示子载波能够分配给哪些多播用户；式(11)表示子载波数量的限制。可知该最优化问题是一个非凸混合整数规划问题。

本文提出一个保障物理层安全的最优子载波分配算法(optimal subcarrier allocation with security scheme, OSASS)。因为计算线性整数规划问题的计算量要远小于与非凸混合整数规划问题^[15]，所以为了将最优化问题中的目标函数即式(6)和限制条件式(7)～(11)，转化为线性整数规划问题。将限定式(5)的结果向下取整数值，对于子载波的分配将采用遍历搜索的方法。这里对子载波的遍历搜索将有${2^{2KN}}$种可能的分配方式。根据多播传输的特点可知，某些子载波的分配方式是不必要的，因此，将$R_{k,n}^s$(k=1, 2,···,K)递减排列，即$R_{{l_1},n}^s \geqslant R_{{l_2},n}^s \geqslant \cdots \geqslant $$R_{{l_k},n}^s$。如果子载波n被分配给用户l_k，这时对于用户索引号l_i>l_k的用户也能以$R_{k,n}^s$的保密速率接收到该数据。在满足${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$条件下，需要确定给哪些用户分配哪些子载波时，能够使系统的保密容量达到最大，所以，为了确定最优的子载波分配方式，就需要计算${K^{2N}}$种分配方式。虽然该策略较穷举搜索法减少了计算量，但计算量仍然较大。

为了减少计算量，采用一种保障物理层安全的次优化子载波分配算法(suboptimal subcarrier allocation with security scheme, SSASS)，该算法分为保密基本层算法和保障QoS需求的保密增强层算法。在次优化子载波分配阶段，为每个子载波设置相等的功率。因此最优化问题的式(6)～(11)可重新表示为：

满足：

1)保密基本层算法

基于分层编码的特点，保密基本层数据将在保证安全传输的条件下，使用尽量少的子载波分配给所有的用户。

①初始化设置：B={1,2,···,K}，A={1,2,···,N}。${B_n} = \mathop {\min }\limits_{k \in B} R_{k,n}^s$，$n \in A$，若$R_{{\rm{base}}}^s \leqslant \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{B_n}} $则转到步骤②，否则退出。

②当$A \ne \emptyset $时，由于传输采用时分的方式，因此，在T₁时隙，找到一个子载波${n^*}$满足${n^*} =$$ \arg \mathop {\max }\limits_{n \in A} {B_n}$，将子载波${n^*}$分配给信道质量较好的前${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$个用户，如果有未被分配该子载波的用户，则在T₂时隙继续分配该子载波给剩余的用户，并要满足信道质量较好的前${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$个用户，直到所有用户都被分配完毕；更新$R_{{\rm{base}}}^s = R_{{\rm{base}}}^s - {B_{{n^ * }}}$，A=A−{${n^*} $}；如果$R_{{\rm{base}}}^s < 0$，则计算剩余子载波的集合为A^*={1,2,···}；否则，返回到步骤②。

③K个用户都被分配完，并且任意用户满足$R_k^s \geqslant R_{{\rm{base}}}^s$。

2)保障QoS需求的保密增强层算法

在该算法中，根据每个用户的不同QoS需求和信道差异来传输增强层数据，通过子载波分配使得系统的保密容量最大化。用${k_n}$表示子载波n传输数据的用户中信道质量最差的用户，$T_{{k_n},n}^s$表示子载波n的保密吞吐量(即保密容量之和)。

①初始化设置：对$R_k^{s - {\rm{req}}}$按递减排序，选取$R_k^{s - {\rm{req}}}$最大的用户k，进行增强层子载波分配，对用户k上可用的子载波的保密速率$R_{k,1}^s,R_{k,2}^s, \cdots ,R_{k,N}^s$($k \in B$，$n \in {A^ * }$)按递减次序排列。

②当${A^*} \ne \emptyset $时，计算$T_{{k_n},n}^s = \displaystyle \sum \limits_{k = 1}^K R_{{k_n},n}^s1(R_{k,n}^s \geqslant R_{{k_n},n}^s)$。1(A)表示当满足条件A时，1(A)值为1，否则为0。找到一个用户满足${k^*} = \arg \mathop {\max }\limits_{{k_n} \in B} T_{{k_n},n}^s$，设置${w_{k,n}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{R_{k,n}^s \geqslant R_{k_n^*,n}^s}\\0&{\text{其他}}\end{array}} \right.$，并判断子载波n能被分配的用户数${L_n}$是否满足${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$，如果满足则进行分配，更新$R_k^{s - {\rm{req}}} = R_k^{s - {\rm{req}}} - R_{{k^*},n}^s$，返回步骤①；否则将排除被分配的用户中保密速率最小的用户，并重新进行判断条件${L_n}({L_n} \leqslant {M_t} - 1)$，直到满足条件。

③N个子载波都被分配完毕。

在次优化子载波分配阶段，假设每个子载波等功率，这种功率分配方式并不能最优地利用有限的功率，因此在功率分配阶段，研究了加入人工噪声时的功率分配算法(power allocation base on artificial noise, PAAN)。这时最优化问题的式(12)～(17)又可以重新表示为：

满足：

功率分配问题可采用拉格朗日方法求解，构造式(18)的拉格朗日算子函数：

式中，$\lambda $为拉格朗日算子。对式(20)中的L求偏导，即：

每个子载波上可分配的功率表示为：

可将式(22)代入式$\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{p_n}} = {P_T}$来求解$\lambda $。

1) 初始化设置：

初始化$\lambda $，根据多播用户反馈的CSI计算载波的信道增益，如果${\alpha _n} > {\beta _n}$，则执行步骤2)，否则结束PAAN功率分配过程；

2) 根据式(22)计算分配给各载波的功率，若满足式$\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{p_n}} {\rm{ = }}{P_T}$，则执行步骤3)，否则重新选取拉格朗日算子$\lambda $，重复步骤1)；若每个载波加载的功率${p_n}$$ \geqslant $0，则PAAN算法结束；否则重新回到步骤2)。

3) 所有的${p_n}$都大于等于0。

将本文算法、文献[15]中的算法、传统安全多播传输算法(conventional multicast with security scheme, CMSS)进行仿真对比。文献[15]的算法中，在子载波等功率分配时，采用3步次优化算法进行子载波的分配。采用图1所示的仿真场景。合法用户的平均SNR表示为SNRB，窃听者的平均SNR表示为SNRE。根据3GPP标准规定的城市部署场景^[16]，表1列出了仿真实验的仿真参数。

在仿真过程中，信道模型采用复合信道衰落模型，信道模型由大、中、小尺度衰落组成。设置大尺度衰落的路径损耗指数为3、中等尺度的阴影衰落指数为8，小尺度衰落指数为均值为0和方差为1的复高斯随机变量，其幅度服从瑞利分布。用户随机分布在小区覆盖的范围内。

图2比较了本文的OSASS-PAAN算法、SSASS-PAAN算法、SSASS算法、文献[15]的算法、CMSS算法在窃听方的SNRE=3 dB、合法用户SNRB增大的情况下，系统总的保密容量的变化情况。仿真显示，在合法用户的SNRB增大的情况下，OSASS-PAAN算法与SSASS-PAAN算法之间的差距逐渐减少。这说明SSASS-PAAN算法是合理可行的。CMSS算法实现的保密容量远低于本文算法，这是因为本文算法通过FGS分层编码，能够获得来自不同信道条件的多用户的分集增益，通过仿真还可以看到添加功率分配算法的保密容量要高于没有功率分配算法的保密容量。而CMSS算法系统保密容量受限于多播组中信道质量最差的用户，并且CMSS算法中每个子载波采用的是等功率的分配方式，没有根据不同用户的信道条件有效的利用好有限的功率。

图  2  合法用户平均信噪比(SNRB)与系统总保密容量的关系(N=16，K=6)

图3仿真了当多播用户数目增多时，5种算法的系统保密容量的变化情况。在窃听方的SNRE=3 dB、合法用户SNRB=15 dB时，除CMSS算法以外其余4种算法，都随着用户数的增加系统保密容量也在不断增加。但采用CMSS算法时系统保密容量将达到饱和。这是因为OSASS-PAAN/SSASS-PAAN算法与SSASS算法均使用了FGS分层编码，克服了系统性能受限于多播组中信道质量最差用户的情况，因此获得了编码增益。从仿真分析还可以看出本文算法与CMSS算法相比，更适合多播组用户数较多的场景。另外，在系统保密容量上，SSASS-PAAN算法、SSASS算法的系统性能都高于文献[15]的算法，原因是这两种算法不限制子载波的保密速率必须取整数值，然而文献[15]的算法限定了子载波的保密速率的取值范围，因此损失掉了一部分系统性能。

图  3  用户数与系统总保密容量的关系(N=8)

图4比较了用户总数目增加时，有不同保密QoS需求的3个合法多播用户的保密速率的变化情况。在窃听方的SNRE=3 dB、合法用户SNRB=15 dB时，假设用户1、用户2和用户3有不同的保密QoS需求。用户1到用户3的保密QoS需求$R_1^{s - {\rm{req}}}$、$R_2^{s - {\rm{req}}}$和$R_3^{s - {\rm{req}}}$分别是0.31 Mb·s⁻¹、0.27 Mb·s⁻¹和0.18 Mb·s⁻¹。而其他用户有相同的保密QoS需求即$R_k^{s - {\rm{req}}}$=0.15 Mb·s⁻¹ ($k \ne $ $1,2,3$)。规定所有多播用户的$R_{{\rm{base}}}^s$是0.09 Mb·s⁻¹。通过仿真可知当用户数目增多时，3个用户的保密速率依次降低到0.31 Mb·s⁻¹、0.27 Mb·s⁻¹和0.18 Mb·s⁻¹。当用户数继续增加时，这3个用户的保密速率继续降低到0.09 Mb·s⁻¹。从仿真可以看到本文算法的可行性，当用户增多时，用户的保密速率首先降低到各自的保密QoS需求的速率，之后再降低到保密基本层速率，这与本文采用的FGS分层编码的特点相一致。

图  4  用户数与用户保密速率的关系(N=64，K=6)

图5给出了K=4、窃听方的SNRE=25 dB时，SSASS-PAAN算法下的系统保密速率与子载波数目变化的关系。N=1时表示单播传输模式，系统中只有一个子载波可以使用，在该子载波上如果合法用户的信道质量低于窃听者的信道质量，根据式(4)的分析可知，此时不能采用物理层安全传输技术，所以系统保密速率为零。当系统中可以利用的子载波有越多时，合法用户的信道质量高于窃听者的信道质量的概率也会越来越大，此时将人工噪声技术添加到合法用户的信道零空间来降低窃听者接收信号的信噪比，从而确保安全多播系统的保密传输速率。

图  5  载波数与保密速率的关系

表2比较了CMSS和SSASS-PAAN所需的平均计算时间占最优化算法OSASS-PAAN所需的平均计算时间的比例。可以看到OSASS-PAAN算法复杂度高，计算时间长。SSASS-PAAN算法的复杂度低，计算时间短，仅为OSASS-PAAN算法的61%～84%。

本文提出了一个基于分层编码的物理层安全多播资源分配算法。该算法采用FGS分层编码来提升多播系统保密容量，并在多播传输中添加人工噪声作为物理层传输技术。针对最优化求解计算复杂度高的问题，提出了一种低复杂度的两阶段次优化算法，分为保障安全多播的子载波分配阶段和加入人工噪声的功率分配阶段。仿真可知，虽然所提出的最优化算法比次优化算法的系统性能略高，但次优化算法的计算时间要远低于最优化算法，而且所提出的算法所达到的系统性能要远远超过传统安全多播算法，也比文献[15]的算法有更好的系统功效。

本文研究工作还得到中国刑事警察学院2019年重大项目培育计划(D201902001)的资助，在此表示感谢。