包含1个基站和2K个用户的下行NOMA系统，如图1所示，基站和用户都配置单根天线。用户被分为K个簇，每个簇包含两个用户，分别用${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$表示第k个簇中的两个用户，k=1,2,···,K。假定${u_k}_{\rm{1}}$是近距离用户，${u_k}_2$是远距离用户。基站到${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$的信道分别为${h_k}_{\rm{1}}$和${h_k}_2$，${\left| {{h_k}_{\rm{1}}} \right|^2} \geqslant {\left| {{h_k}_2} \right|^2}$。基站为第k个簇分配的功率为${p_k}$，其中${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$的功率分别为${p_{k1}}$和${p_{k2}}$，${p_k} = {p_{k1}}{\rm{ + }}{p_{k2}}$，${p_{k1}} < {p_{k2}}$。基站为每个簇分配一个子频段，簇间子频段正交。

图  1  下行NOMA系统模型

分别用${y_k}_{\rm{1}}$和${y_k}_2$表示${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$的接收信号，${y_k}_{\rm{1}}$和${y_k}_2$的表达形式分别为：

式中，${x_k}_{\rm{1}}$和${x_k}_2$分别是${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$的期望接收信号；${n_k}_{\rm{1}}$和${n_k}_2$分别是${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$接收到的高斯白噪声，均值为零，方差为${\sigma ^2}$。

近距离用户${u_k}_{\rm{1}}$首先检测出${u_k}_2$的期望接收信号${x_k}_2$，并消除${x_k}_2$对${y_k}_{\rm{1}}$的干扰。${u_k}_{\rm{1}}$译码${x_k}_2$时的信干噪比(signal to interference and noise ratio, SINR)为：

若要正确译码${x_k}_2$，${s_{{u_{k1}} \to {x_{k2}}}}$必须高于某一值，假定该值是${a_0}$，即${s_{{u_{k1}} \to {x_{k2}}}} \geqslant {a_{\rm{0}}}$。${u_k}_{\rm{1}}$消除${x_k}_2$对${y_k}_{\rm{1}}$造成的干扰后，译码自身的期望接收信号${x_k}_{\rm{1}}$时的SINR为：

${u_k}_2$是远距离用户，可直接译码自身的期望接收信号${x_k}_2$。${u_k}_2$译码${x_k}_2$时的SINR为：

${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$的单位带宽速率${R_{k1}}$和${R_{k2}}$分别为：

分别用${r_{k1}}$和${r_{k2}}$表示${u_k}_{\rm{1}}$和${u_k}_2$所需的最低单位带宽速率。用${P_0}$表示满足所有用户最低速率需求所需的最低总功率，用${P_{\max }}$表示基站的总功率。${P_{\max }} \geqslant {P_0}$时，基站的总功率能够满足所有用户的最低单位带宽速率需求。所提方案的目标是：在满足每个用户最低单位带宽速率需求的情况下，公平地提高每个用户的速率。

根据以上所述，${P_{\max }} \geqslant {P_0}$时，功率分配的目标用公式表示为：

式中，C1表示基站的总功率为${P_{\max }}$；C2表示${u_k}_{\rm{1}}$的单位带宽速率不低于${r_{k1}}$；C3表示${u_k}_2$的单位带宽速率不低于${r_{k2}}$；C4表示${u_k}_{\rm{1}}$译码${x_k}_2$时对SINR的要求。

本节首先推导了满足所有用户最低速率需求时所需的最低总功率${P_0}$，然后再给出${P_{\max }} \geqslant {P_0}$时公平地提高每个用户速率的功率分配方案。

首先推导每个簇所需的最低功率。由式(8)中的C2和C3可得：

式中，${a_k}_{\rm{1}} = {2^{{r_k}_{\rm{1}}}} - 1$，是${u_k}_{\rm{1}}$的单位带宽速率为${r_{k1}}$时对应的SINR；${a_k}_{\rm{2}} = {2^{{r_k}_2}} - 1$，是${u_k}_2$的单位带宽速率为${r_{k2}}$时对应的SINR。

由于${a_0}$是${u_k}_{\rm{1}}$正确译码${x_k}_2$时对SINR的最低要求，因此${a_0} = {a_{k2}}$即可。$\,f(x) = \dfrac{{{p_k}_2x}}{{{p_k}_1x + {\sigma ^2}}}$是x的单调递增函数且${\left| {{h_k}_{\rm{1}}} \right|^2} \geqslant {\left| {{h_k}_2} \right|^2}$，式(10)成立时，式(8)中的C4必定成立。因此，${p_k}_1$和${p_k}_2$满足式(9)和式(10)时，式(8)中C2、C3和C4成立。

用${p_{k0}}$表示第k个簇所需的最低功率，由式(9)和式(10)知${p_{k0}}$的取值为：

式(11)是单个簇满足用户最低速率需求时所需的最低功率，考虑到每个簇都有最低功率要求，因此满足所有用户的最低速率需求时所需的最低总功率${P_0}$的取值为：

求解式(8)就能得到${P_{\max }} \geqslant {P_0}$时的功率分配。若由式(8)直接求解功率，复杂度极高。

所提功率分配方案的优化目标是公平地提高每个用户的速率，文献[14]中MMF方案的优化目标是最大化系统的公平性，文献[15]的优化目标是最大化系统的能量效率。虽然所提功率分配方案与文献[14-15]的优化目标不同，然而三者的场景一致，故式(8)的求解可借鉴文献[14-15]的方法，即先求解第k个簇的总功率为${p_k}$时公平地提高该簇内两用户速率的功率分配，然后简化式(8)并求解簇间功率分配，最后根据簇间功率分配的结果为单个用户分配功率。

第k个簇的总功率为${p_k}$时，该簇内功率分配的目标用公式表式为：

式中，${v_{ki}}$表示用户实际的单位带宽速率与所需的最低单位带宽速率的差值(即提高的速率)，${v_{ki}} = {R_{ki}} - {r_{ki}}$，i=1,2；C1表示该簇的总功率约束；C2和C3表示${u_k}_i$的速率不低于${r_{ki}}$时${p_{ki}}$需要满足的条件。

在第k个簇的总功率${p_k}$保持不变的情况下，由于${p_k} = {p_{k1}}{\rm{ + }}{p_{k2}}$及${v_{ki}} = {R_{ki}} - {r_{ki}}$，i=1,2，增大${p_{k1}}$时，${v_{k1}}$增大且${v_{k2}}$减小，增大${p_{k2}}$时，${v_{k2}}$增大且${v_{k1}}$减小。所以只有当${v_{k1}}{\rm{ = }}{v_{k2}}$时，才能最大化$\min \left\{ {{v_{k1}},{v_{k2}}} \right\}$，此时在满足用户最低单位带宽速率需求的基础上，两个用户提高的速率相等，这样就公平地提高了两个用户的速率。${v_{k1}}{\rm{ = }}{v_{k2}}$等价于：

式(14)成立时，${p_k}_1$与该簇总功率${p_k}$之间的关系为：

式中，$a = {\left| {{h_{k1}}} \right|^2}{\left| {{h_{k2}}} \right|^2}$；$b = {\left| {{h_{k1}}} \right|^2} + {\left| {{h_{k2}}} \right|^2}$；$d = {2^{{r_{k1}} - {r_{k2}}}}$。

此时，${v_{k1}}$和${v_{k2}}$的取值均为：

假定第k个簇的总功率为${p_k}$，MMF方案中该簇内两个用户的速率相等即${R_{k1}} = {R_{k2}}$时，${u_k}_{\rm{1}}$的功率${p'_{k1}}$与该簇总功率${p_k}$之间的关系为：

根据式(15)和式(17)，可得：

当${r_{k1}} > {r_{k2}}$时，$d = {2^{{r_{k1}} - {r_{k2}}}} > 1$，${p_{k1}} > {p'_{k1}}$；

当${r_{k1}} = {r_{k2}}$时，$d = {2^{{r_{k1}} - {r_{k2}}}} = 1$，${p_{k1}} = {p'_{k1}}$；

当${r_{k1}} < {r_{k2}}$时，$d = {2^{{r_{k1}} - {r_{k2}}}} < 1$，${p_{k1}} < {p'_{k1}}$。

由文献[14]知，在单个簇的总功率保持不变时，为簇内强用户分配的功率越大，簇内两用户的和速率越高。因此，${r_{k1}} > {r_{k2}}$时，所提方案单簇和速率高于MMF方案；${r_{k1}} = {r_{k2}}$时，所提方案单簇和速率等于MMF方案；${r_{k1}} < {r_{k2}}$时，所提方案单簇和速率低于MMF方案。

令${v_k} = \max \left\{\min \left\{ {{v_{k1}},{v_{k2}}} \right\}\right\}$，式(16)给出了单个簇内的${v_k}$与该簇总功率${p_k}$之间的关系。接下来简化式(8)并求解簇间功率分配。此时，式(8)可转化为：

式中，C1表示基站的总功率为${P_{\max }}$；C2表示满足单个簇中用户最低速率需求时该簇的总功率需要满足的条件。当式(18)中的C2成立且按式(15)分配功率时，式(8)中C2、C3和C4必定成立。

式(8)要求解2K个用户的功率分配，而式(18)仅求解K个簇的功率分配，因此，式(18)是式(8)的一种简化表达形式。但是，此时仍无法直接给出式(18)的闭合解，为此接下来给出一种迭代的簇间功率分配方案。该方案的思路如下：首先为第k个簇分配满足用户最低速率需求的最低功率${p_{k0}}$，则${P_{\max }} - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{p_{k0}}} $是用于提高所有用户速率的功率，再将这些功率平均分配给每个簇作为该簇功率的初始值，然后开始迭代；在每次迭代过程中，计算第k个簇中用户提高的速率${v_k}$并组成向量${\bf{mv}} = \left\{ {{v_k}} \right\}$，找出mv中的最大元素对应的簇和最小元素对应的簇，分别用簇m和簇j表示，在满足该簇最低速率需求的条件下，减少第m个簇的功率同时增加第j个簇的功率，继续下次迭代并并计算得到mv；若本次迭代中的$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$大于等于前一次迭代中的$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$，则继续迭代，否则停止迭代，前一次迭代时的功率即为所提方案为每个簇分配的功率。迭代的簇间功率分配方案的具体步骤如下。

1) 根据信道条件以及用户所需的最低单位带宽速率计算第k个簇所需的最低功率${p_{k0}}$，令$\,\beta = {{\left( {{P_{\max }} - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^K {{p_{k0}}} } \right)} / K}$且${p_k} = {p_{k0}} + \beta $，令minrateup=0且i=1，令矩阵${{U}} = \left[ {{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_K}} \right]$，K是簇的总数，i表示迭代次数，U的每行用来存放每次迭代过程中的${p_k}$。

2)根据${p_k}$计算${v_k}$，若$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\} \geqslant {\rm{minrateup}}$，令$i = i + 1$、index=0且${\rm{minrateup}} = \min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$，执行步骤3)及其后面的步骤，若$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\} < {\rm{minrateup}}$，则${{U}}(i - 1,k)$就是所提方案为第k个簇分配的功率，即令${p_k} = {{U}}(i - 1,k)$，无需执行步骤3)，停止迭代。

3)找出$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$对应的簇，用簇j表示，令${p_j} = {p_j} + \theta $，$0 < \theta < \beta $。

4)找出$\max \left\{ {\bf {mv}} \right\}$对应的簇，用簇m表示，若${p_m} - \theta \geqslant {p_{m0}}$，将${p_m} - \theta $赋值给${p_m}$且令index=1，若${p_m} - \theta < {p_{m0}}$，从mv中删除${v_m}$，再次执行该步骤，直到index=1；

5)将$\left[ {{p_1},{p_2}, \cdots ,{p_K}} \right]$赋值给U的第i行，再次执行步骤2)。

minrateup表示前一次迭代过程中mv的最小元素值，$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$表示本次迭代过程中mv的最小元素值。若$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\} < {\rm{minrateup}}$，则表示前一次迭代时的功率能更公平地提高用户的速率，停止迭代；若$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\} \geqslant {\rm{minrateup}}$，则表示此次迭代的功率能更公平地提高用户的速率，继续进行功率调整以更公平地提高每个用户的速率，即执行步骤3)～5)。在步骤3)中找到$\min \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$对应的簇，增加该簇的功率；在步骤4)中，找出$\max \left\{ {{\bf{mv}}} \right\}$对应的簇，用簇m表示，若将第m个簇的功率减少$\theta $后仍不低于该簇所需的最低功率，则将${p_m} - \theta $赋值给${p_m}$，否则不对簇m的功率进行调整，并且从mv中删除${v_m}$，采用同样的方法找出可以减少功率的簇。

$\theta $表示每次迭代过程中功率的调整量，index表示每次迭代过程中是否调整过功率，index=1表示已经调整过功率，可以进行下一次迭代。

采用上述方法得到第k个簇的功率${p_k}$后，为每个用户分配功率，其中，${u_k}_{\rm{1}}$的功率${p_{k1}}$与${p_k}$的关系如式(15)所示，${u_k}_2$的功率为${p_{k2}} = {p_k} - {p_{k1}}$。

本节仿真了所提功率分配方案的性能，并与文献[14]中的MMF方案进行了对比。假定单个基站服务了10个用户，每个簇中有2个用户，即簇数目K=5，信道服从独立的瑞利分布，高斯白噪声的均值为0、方差为1。由2.2节中的分析可知：单个簇的总功率相等的情况下，当${r_{k1}} \geqslant {r_{k2}}$时，所提方案的单簇和速率不低于MMF方案，当${r_{k1}} < {r_{k2}}$时，所提方案的单簇和速率低于MMF方案，故本节分别仿真了${r_{k1}} > {r_{k2}}$和${r_{k1}} = {r_{k2}}$时，两种方案下系统提高的最低速率及中断概率。

图2仿真了${r_{k1}} > {r_{k2}}$时两种功率分配方案下用户提高的最低速率，即$\min \left\{ {{v_k}} \right\}$。可以看出，参数相同时，所提方案用户提高的最低单位带宽速率高于MMF方案。信噪比(signal to noise ratio, SNR)范围为[10, 20] dB时，两种参数下所提方案用户提高的最低速率比MMF方案高出了0.5 bps/Hz。原因在于所提方案在进行功率分配时考虑了每个用户的最低单位带宽速率需求，在满足用户最低单位带宽速率需求的基础上公平地提高了每个用户的速率，而MMF方案没有考虑用户的最低单位带宽速率需求。从图中还能看出，${r_{k1}}$=2，${r_{k2}}$=1时用户提高的最低速率高于${r_{k1}}$=3，${r_{k2}}$=2时用户提高的最低速率。原因在于当基站总功率${P_{\max }}$保持不变时，一部分功率用来满足用户的最低速率需求，另一部分功率用于提高用户的速率，当用户的最低速率需求越低，用于提高用户速率的功率越高。

图  2  ${r_{k1}} > {r_{k2}}$时两种方案用户提高的最低速率

图3仿真了${r_{k1}}$和${r_{k2}}$相等时两种功率分配方案下用户提高的最低速率。可以看出，参数相同时，所提方案提高的最低速率与MMF方案相同。原因在于MMF方案功率分配的目标是最大化用户的最低速率，所提方案的目标是最大化用户提高的最低速率，当${r_{k1}}$=${r_{k2}}$时，两种功率分配方案的目标一致。从图3中还能看出，${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=1时用户提高的最低速率高于${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=2时用户提高的最低速率。原因在于当基站总功率${P_{\max }}$保持不变时，用户的最低速率需求越高，${P_0}$越高，从而用于提高用户速率的功率${P_{\max }} - {P_0}$越低。因此，用户的最低速率需求越高，提高的速率越低。

图  3  ${r_{k1}} = {r_{k2}}$时两种方案用户提高的最低速率

图4仿真了${r_{k1}} > {r_{k2}}$时两种功率分配方案的中断概率。中断概率定义为：用户的速率${R_{ki}} < 门限值{r_{ki}}$的概率，即$P({R_{ki}} < {r_{ki}}) = 1 - P({R_{ki}} \geqslant {r_{ki}})$，i=1,2。仿真参数与图2中的相同，${r_{k1}}$=3且${r_{k2}}$=2时，所提方案用户${u_{k1}}$和用户${u_{k2}}$的门限值分别为3和2，MMF方案中两用户门限值均为2.5；${r_{k1}}$=2且${r_{k2}}$=1时，所提方案用户${u_{k1}}$和用户${u_{k2}}$的门限值分别为2和1，MMF方案两用户门限值均为1.5。MMF方案两用户的门限值之和与所提方案两用户的门限值之和相等。从图4能看出，参数相同时，所提方案的中断概率小于MMF方案，原因在于所提方案在满足用户最低速率需求的基础上公平地提高了每个用户的速率，MMF方案没有考虑用户的最低速率需求，当所有用户的速率都相同时，有可能部分用户的速率超出了该用户所需的速率，而另一部分用户的速率低于该用户所需的速率。从图4中还能看出，${r_{k1}}$=2且${r_{k2}}$=1时两种方案的中断概率均低于${r_{k1}}$=3且${r_{k2}}$=2时的中断概率。原因在于在其他条件相同的情况下，门限值越低，中断概率越低。

图  4  ${r_{k1}} > {r_{k2}}$时两种方案的中断概率

图5仿真了${r_{k1}}$和${r_{k2}}$相等时两种功率分配方案的中断概率。仿真参数与图3中的相同，${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=2时，所提方案和MMF方案用户的门限值均为2；${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=1时，所提方案和MMF方案的门限值均为1。从图5中能看出，参数相同时，所提方案的中断概率与MMF方案相同，原因在于当${r_{k1}}$和${r_{k2}}$相等时，两种功率分配方案的目标一致。从图中还能看出，${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=1时两种功率分配方案的中断概率均低于${r_{k1}}$=${r_{k2}}$=2时的中断概率，原因如前所述。

图  5  ${r_{k1}} = {r_{k2}}$时两种方案的中断概率

本文研究了单小区下行NOMA系统中的功率分配方案。基于用户的最低速率需求，建立公平的提高用户速率的功率分配优化问题，简化该问题并用迭代算法进行求解。所提功率分配方案既满足了用户的最低速率需求，又公平地提高了用户的速率。由于所提功率分配方案仅考虑了每个NOMA簇包含两用户的场景，如何将该方案扩展到多簇且每个簇包含任意用户的场景有待于进一步研究。