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自FDA概念提出以来[1]，国内外学者对FDA的阵列结构特性[2-4]、频控函数设计[5-6]及FDA与MIMO雷达[7-8]、认知雷达[9]的结合都有着广泛的研究。此外，也有基于FDA发射干扰机结构，分析FDA对无源雷达干涉仪测向系统、比幅法单脉冲测向系统以及测向时差组合定位系统欺骗效果的研究。文献[10-13]对近几年国内外学者的FDA研究现状有系统性的概括。但是，现有的文献大多基于阵元发射窄带条件下简单脉冲的假设，较少有对于脉冲压缩雷达信号FDA特性的研究。基于模糊函数的优化是雷达波形设计的重要手段[14-15]，而雷达发射波形设计是FDA方向图优化及电抗特研究的重要基础。因此，本文重点对FDA雷达的负型模糊函数展开系统的推导分析。
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图 1 ULA-FDA阵列基本结构
设载波频率为
${f_0}$ ，阵元$n$ 的辐射信号频率为：$${f_n} = {f_0} + n\Delta f\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}n = 0,1,2, \cdots ,N - 1$$ (1) 设阵元
$n$ 的发射信号为：$${s_n}\left( t \right) = \sqrt N w_n^*u{\rm{(}}t{\rm{)}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_n}t}}\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}\quad n = 0,1,2, \cdots ,N - 1$$ (2) 式中，
$N$ 为阵元总数；$w_n^*$ 为发射端信号加权的共轭；$u{\rm{(}}t{\rm{)}}$ 为发射端雷达波形。发射信号经加权之后到达远场目标$\left( {{R_0},{\theta _0}} \right)$ 的表达式为：$${s_t}\left( t \right) = \sqrt N \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {u\left( {t - \frac{R}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_n}\left[ {t - \frac{{\left( {R - {R_{{{0}}}}} \right) - nd\left( {\sin \theta - \sin {\theta {_0}}} \right)}}{c}} \right]}}} $$ (3) 式中，
${r_n} = R - nd\sin \theta $ ；R为参考阵元到目标点的距离；$d$ 为阵元间距；$c$ 表示光速。发射信号经目标
$\left( {{R_0},{\theta _0}} \right)$ 二次反射后被接收阵列阵元$m$ 接收的信号形式为：$$ \begin{split} & y(t,\xi ) ={s_t}\left( {t - \frac{{{r_m}}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_d}\left( {t - \frac{{{r_m}}}{c}} \right)}} \approx \\ & \sqrt N {{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R}}{c}}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} u\left( {t - \frac{{R + {r_m}}}{c}} \right)\times\\ & {\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_n}\left[ {t - \frac{{{r_m}}}{c} - \frac{{R - {R_0}}}{c} + \frac{{nd\left( {\sin \theta - \sin {\theta _0}} \right)}}{c}} \right]}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}} \approx \\ & \sqrt N {{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R}}{c}}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right)\times\\ &{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_n} \left[ {t - \frac{{2R - {R_0}}}{c} + \frac{{nd\left( {\sin \theta - \sin {\theta _0}} \right) + md\sin \theta }}{c}} \right]} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}} \end{split} $$ (4) 其中，阵元
$m$ 接收的回波信号包含着发射阵列中所有阵元辐射的回波能量。通过在接收阵元之后接入不同的滤波器，可以将FDA雷达接收信号的处理分为带限相干处理、全波段相干处理以及全波段伪相干处理3种发射−接收机结构[8]。带限相干处理接收端的复合信号经解调后可得接收端阵元
$m$ 的信号为[16]：$$\begin{split} &{y_{1m}}(t,\xi ,{\theta _0},{R_0}) = \sqrt N u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R + 2{f_0}\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}} \times \\ &\quad {{\rm{e}}^{{{\rm{ - j}}2{\text π}}\Delta {f_m}\frac{{2\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}2{\text π}}\xi t}}{{\rm{e}}^{{{\rm{j}}2{\text π}}{f_0}\frac{{2md\left( {\sin \theta - \sin {\theta _0}} \right)}}{c}} } \end{split} $$ (5) 全波段相干处理接收端的复合信号经解调后可得接收端阵元
$m$ 的接收信号为[16]：$$\begin{split} & {y_{2m}}(t,\xi ,{\theta _0},{R_0}) =\sqrt N u\left(\!\! {t - \frac{{2R}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R + 2{f_0}\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}} \times \!\!\! \\ & \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\frac{{2\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{nd\left( {\sin \theta - \sin {\theta _0}} \right) + md\left( {\sin \theta - \sin {\theta _0}} \right)}}{c}}}\!\!\! \end{split} $$ (6) -
模糊函数是时间−频率复合的二维自相关函数，一定程度上体现了雷达波形以及所运用的匹配滤波器的相关特性，是分析FDA阵列雷达距离和多普勒分辨力、旁瓣性能、方向图距离−角度耦合特性和噪声抑制性能的重要参数。模糊函数根据定义的不同可分为直观模糊函数与负型模糊函数。基于差平方积分原则，从分辨两个延迟差为
$\tau $ 、频移差为$\xi $ 的目标距离−速度二维分辨力出发，可得直观模糊函数[17-18]：$$\chi (\tau ,\xi ) = \int_{ - \infty }^\infty {u\left( t \right){u^ * }\left( {t + \tau } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}}} {\rm{d}}t$$ (7) 其频域表示为：
$$\chi (\tau ,\xi ) = \int_{ - \infty }^\infty {U\left( f \right){U^ * }\left( {f - \xi } \right){{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}f\tau }}} {\rm{d}}f$$ (8) 当信号具有多普勒频移时，其复包络为
$u\left( t \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}}$ ，此时信号经匹配滤波器输出的时域卷积即为负型模糊函数：$$\chi (\tau ,\xi ) = \int_{ - \infty }^\infty {u\left( t \right){u^ * }\left( {t - \tau } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\xi t}}} {\rm{d}}t$$ (9) 其频域表示为：
$$\chi (\tau ,\xi ) = \int_{ - \infty }^\infty {U\left( f \right){U^ * }\left( {f - \xi } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}f\tau }}} {\rm{d}}f$$ (10) 1)带限相干处理FDA雷达模糊函数
取
$\vartheta = \sin \theta $ ，根据式(5)，经带限相干处理的$M$ 个信号分别经过匹配滤波器输出后叠加可得：$$\begin{split} & \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\int_{ - \infty }^\infty {{y_{1m}}(t,\xi ,R,\vartheta )} } y_{_{1m}}^ * (t',\xi ',R',\vartheta '){\rm{d}}t = \\ & N{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R + 2{f_0}\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_m}\frac{{2\left( {R - R'} \right)}}{c}}}} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{2md\left( {\vartheta - \vartheta '} \right)}}{c}}} \times \\ & \qquad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right)} {u^ * }\left( {t - \frac{{2R'}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\left( {\xi - \xi '} \right)t}}{\rm{d}}t \end{split} $$ (11) 则经带限相干处理的FDA雷达模糊函数定义如下：
$$ \begin{split} & {\chi _1}\!\left( {\xi ,R,\vartheta ,\xi ',R',{{\vartheta '}_s}} \!\right)\! =\!\!\! \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} \!\!{{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_m}\frac{{2\left( {R - R'}\! \right)}}{c}}}} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{2md\left( {\vartheta - \vartheta '} \!\right)}}{c}}} \times \!\!\!\!\\ &\quad\quad\quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right)} {u^ * }\left( {t - \frac{{2R'}}{c}} \right) {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\left( {\xi - \xi '} \right)t}}{\rm{d}}t' = \\ & \quad\quad\quad \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_m}\frac{{2\Delta R}}{c}}}} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{2md\Delta \vartheta }}{c}}} \times \\ &\quad\quad\quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t'} \right)} {u^ * }\left( {t' + \frac{{2\Delta R}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta \xi \left( {t' + \frac{{2R}}{c}} \right)}}{\rm{d}}t' \end{split} $$ (12) 式中，取
$t' = t - \dfrac{{2R}}{c}$ ，$\Delta \xi = \xi - \xi '$ ，$\Delta R = R - R'$ ，$\Delta \vartheta = \vartheta - \vartheta '$ 。式(12)是关于多普勒频移失配$\Delta \xi $ 和时延的函数，取时延失配$\Delta \tau = \dfrac{{2\Delta R}}{c}$ ，则经带限相干处理的FDA雷达模糊函数表示如下：$$ \begin{split} & {\chi_{\rm_{FDA}}}\left( {\Delta \tau ,\Delta \xi ,\Delta \vartheta } \right) = \\ & \quad \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\Delta \tau }}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{\left( {n + m} \right)d\Delta \vartheta }}{c}}}} } \times \\ & \quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( t \right)} {u^ * }\left( {t + \Delta \tau } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta \xi t}}{\rm{d}}t \\ \end{split} $$ (13) 2) FDA-MIMO雷达模糊函数
根据式(6)，经全波段相干处理的M组复合信号分别经过匹配滤波器的输出后叠加可得：
$$\begin{split} & \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\int_{ - \infty }^\infty {{y_{2m}}(t,\xi ,R,\vartheta )} } y_{2m}^ * (t',\xi ',R',\vartheta '){\rm{d}}t = \\ & \quad N{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\frac{{\xi R + 2{f_0}\left( {R - {R_0}} \right)}}{c}}}\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\frac{{2\left( {R - R'} \right)}}{c}}}} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{nd\left( {\vartheta - \vartheta '} \right)}}{c}}} \times } \\ & \quad {{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{md\left( {\vartheta - \vartheta '} \right)}}{c}}} \times \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right)} {u^ * }\left( {t - \frac{{2R'}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\left( {\xi - \xi '} \right)t}}{\rm{d}}t \end{split} $$ (14) 则经全波段相干处理的FDA雷达亦即FDA-MIMO雷达的模糊函数定义如下：
$$\begin{split} & {\chi _2}\left( {\xi ,R,\vartheta ,\xi ',R',{{\vartheta '}_s}} \right) = \\ & \quad \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\frac{{2\left( {R - R'} \right)}}{c}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{nd\left( {\vartheta - \vartheta '} \right) + md\left( {\vartheta - \vartheta '} \right)}}{c}}}} } \times \\ & \quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t - \frac{{2R}}{c}} \right)} {u^ * }\left( {t - \frac{{2R'}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\left( {\xi - \xi '} \right)t}}{\rm{d}}t' = \\ & \quad \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\frac{{2\Delta R}}{c}}}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{\left( {n + m} \right)d\Delta \vartheta }}{c}}}} } \times \\ & \quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( {t'} \right)} {u^*}\left( {t' + \frac{{2\Delta R}}{c}} \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta \xi \left( {t' + \frac{{2R}}{c}} \right)}}{\rm{d}}t' \end{split} $$ (15) 经过类似化简，最终得FDA-MIMO雷达模糊函数表示如下：
$$ \begin{split} & {\chi _{{\rm{FDA}} - {\rm{MIMO}}}}\left( {\Delta \tau ,\Delta \xi ,\Delta \vartheta } \right) = \\ & \quad \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\Delta \tau }}{{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}{f_0}\frac{{\left( {n + m} \right)d\Delta \vartheta }}{c}}}} } \times \\ & \quad \int_{ - \infty }^\infty {u\left( t \right)} {u^ * }\left( {t + \Delta \tau } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta \xi t}}{\rm{d}}t \end{split} $$ (16) 定义式(16)中阵元发射波形的模糊函数为：
$${\chi _{uu}}\left( {\Delta \tau ,\Delta \xi } \right) = \int_{ - \infty }^\infty {u\left( t \right)} {u^ * }\left( {t + \Delta \tau } \right){{\rm{e}}^{{\rm{j}}2{{\text π}}\Delta \xi t}}{\rm{d}}t$$ (17) -
基于式(16)，给出4种典型信号的FDA-MIMO负型模糊函数如下：
1) 简单矩形脉冲信号
对包络为矩形的固定载频信号，取脉冲幅度为
$1/\sqrt {{T_p}} $ ，${T_p}$ 为脉冲宽度。有：$${u_1}\left( t \right) = \left\{ \begin{split} & \frac{1}{{\sqrt {{T_p}} }}\qquad t \in \left[ {0,{T_p}} \right]\\ & 0\qquad\quad\; {\text{其他}} \end{split} \right.$$ (18) 令式(16)中
$\Delta \vartheta = 0$ ，则阵元发射矩形脉冲的FDA负型模糊函数为：$$ \begin{split} & \left| {{\chi _1}\left( {\xi ,\tau } \right)} \right| =\\ & {\left\{ {\begin{aligned} & {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \frac{{\sin {\text π} \xi \left( {{T_p} - \left| \tau \right|} \right)}}{{{\text π} \xi \left( {{T_p} - \left| \tau \right|} \right)}}\frac{{{T_p} - \left| \tau \right|}}{{{T_p}}}}}\quad{\left| \tau \right| \leqslant {T_p}}\\ & {0}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\qquad{\left| \tau \right| > {T_p}} \end{aligned}} \right.} \end{split} $$ (19) 2) 正调频LFM信号
取正调频LFM信号表示如下：
$${u_2}\left( t \right) = \left\{ {\begin{split} & {\frac{1}{{\sqrt {{T_p}} }}{{\rm e}^{ - {\rm{j}}\mu {t^2}}}}\qquad{t \in \left[ {0,{T_p}} \right]}\\ & {0}\qquad\qquad\quad\;\,{{\text{其他}}} \end{split}} \right.$$ (20) 令式(16)中
$\Delta \vartheta = 0$ ，则正调频LFM信号的负型模糊函数为：$$ \begin{split} & \left| {{\chi _2}\left( {\xi ,\tau } \right)} \right| =\\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \frac{{\sin {\text π} {T_p}\left( {\mu \left| \tau \right| + \xi } \right)}}{{{\text π} {T_p}\left( {\mu \left| \tau \right| + \xi } \right)}}\frac{{{T_p} - \left| \tau \right|}}{{{T_p}}}}}\quad{\left| \tau \right| \leqslant {T_p}}\\ & {0}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad{\left| \tau \right| > {T_p}} \end{aligned}} \right. \end{split} $$ (21) 3) 相干脉冲串信号
归一化的相干脉冲串信号可表示为[20]：
$${u_3}\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt K }}\sum\limits_{k = 0}^{K - 1} {{u_1}\left( {t - k{T_r}} \right)} $$ (22) 式中，K为脉冲串中的脉冲数；
${T_r}$ 为脉冲重复周期；${u_1}\left( t \right)$ 为式(18)所示的单个矩形脉冲。令式(16)中$\Delta \vartheta = 0$ ，则相干脉冲串信号的FDA负型模糊函数为：$$\left| {{\chi _3}\left( {\xi ,\tau } \right)} \right| = \left\{ {\begin{aligned} & {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \sum\limits_{q = - \left( {K - 1} \right)}^{K - 1} {\frac{{{{\rm e}^{{\rm j}2{\text π} \xi \left( {K - 1 + q} \right){T_r}}}{{\rm e}^{{\rm j}2{\text π} \xi \left( {\tau - q{T_r}} \right)}}}}{{K{T_p}}}\frac{{\sin {\text π} \xi \left( {{T_p} - \left| {\tau - q{T_r}} \right|} \right)}}{{{\text π} \xi }}} \frac{{\sin {\text π} \xi \left( {K - \left| q \right|{T_r}} \right)}}{{{\text π} \xi {T_r}}}} }\qquad{\left| \tau \right| \leqslant {T_p}}\\ & {0}\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\left| \tau \right| > {T_p}} \end{aligned}} \right.$$ (23) 4) 相位编码信号
$L$ 个脉宽为${\tau _c}$ 的连续子脉冲组成的相位编码波形为：$$\begin{split} & x\left( t \right) = \sum\limits_{l = 0}^{L - 1} {{x_l}\left( {t - l{\tau _c}} \right)} \\ &{x_l}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\exp \left( {{\rm{j}}{\phi _l}} \right)}&{t \in \left[ {0,{\tau _c}} \right]}\\ {0}&{{\text{其他}}} \end{array}} \right. \end{split}$$ (24) 以
$\left\{ {{A_l}} \right\} = \left\{ {\exp \left( {{\rm{j}}{\phi _l}} \right)} \right\}$ 表示${x_l}\left( t \right)$ 的复幅度序列，令$t = p{\tau _c} + \eta ,\;\;\eta \in \left[ {\left. {0,{\tau _c}} \right)} \right.$ ，利用文献[19]的结论，可得相位编码信号的模糊函数为：$$ \begin{split} & \left| {{\chi _4}\left( {\xi ,\tau } \right)} \right| = \\ & \left\{ {\begin{aligned} & {\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \left( {1 - \frac{\eta }{{{\tau _c}}}} \right){s_A}\left[ p \right] + \frac{\eta }{{{\tau _c}}}{s_A}\left[ {p + 1} \right]}}\quad{\left| t \right| \leqslant {\tau _c} }\\ & {0}\qquad\;\;\;\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\left| t \right| \leqslant {\tau _c}} \end{aligned}} \right. \end{split} $$ (25) -
对采用几种典型发射信号形式以及采用不同非线性频控函数的FDA雷达负型模糊函数展开仿真分析。考虑一个阵元数为12的ULA-FDA发射接收共型阵，设阵元间距
$d = c/(2{f_0})$ ，载频为${f_0} = 1\;{\rm{GHz}}$ ，阵元间频偏为$\Delta f = 4.5\;{\rm{kHz}}$ ，脉冲宽度为${T_p} = 0.1\;{\rm{ms}}$ 。仿真1：FDA-MIMO雷达的矩形脉冲负型模糊函数。
图2为矩形脉冲FDA雷达的负型模糊图。当
$\xi = 0$ 时，式(19)改写为$\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \dfrac{{{T_p} - \left| \tau \right|}}{{{T_p}}}} $ ，如图3所示。相当于用$\xi = 0$ 且过原点与$\xi $ 轴正交的平面截模糊图所得的交迹。与相控阵的三角形曲线不同，图3为sinc函数形式。当$\tau = 0$ 时，式(19)改写为$MN\dfrac{{\sin {\text π} \xi {T_p}}}{{{\text π} \xi {T_p}}}$ ，如图4所示。相当于用$\tau = 0$ 且过原点与$\tau $ 轴正交的平面截模糊图所得的交迹。图5为矩形脉冲FDA阵列负型模糊函数的二维等高图，可以用于分析信号的分辨力、混淆情况以及抗干扰状态。图5近似为椭圆，其形状由脉冲宽度${T_p}$ 决定：宽脉冲时，椭圆长轴和$\tau $ 轴一致；窄脉冲时，椭圆长轴和$\xi $ 轴一致，原点附近不能沿$\tau $ 轴和$\xi $ 轴缩短到任意程度。通过图2与后续仿真2～仿真4的结果对比，简单矩形脉冲的距离及多普勒分辨力较低。
图 2 矩形脉冲FDA-MIMO模糊图
图 3
$\xi = 0$ 的矩形脉冲FDA-MIMO模糊图
图 4
$\tau = 0$ 的矩形脉冲FDA-MIMO模糊图
图 5 矩形脉冲FDA-MIMO负型模糊函数等高图
仿真2：FDA-MIMO雷达的正调频LFM信号负型模糊函数。
减小简单脉冲的脉宽
$\tau $ 可以显著提高雷达的距离分辨力，但同时不可避免地会降低平均发射功率。LFM脉冲压缩波形能够实现能量和分辨力的解耦，得到大时宽带宽积。由于FDA阵列频偏增量$\Delta f$ 千赫兹量级的取值对式(21)中乘子${{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}$ 的影响，本例中选择扫描带宽$B = 10\;{\rm{MHz}}$ ，时宽$\tau = 1\;{\rm{ \mu s}}$ 的LFM信号。图6为矩形脉冲FDA雷达的负型模糊图。当
$\xi \! =\! 0$ 时，式(21)改写为$\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\rm{e}}^{{\rm{ - j}}2{{\text π}}\Delta {f_n}\tau }}} \dfrac{{\sin {\text π} {T_p}\mu \left| \tau \right|}}{{{\text π} {T_p}\mu \left| \tau \right|}}\dfrac{{{T_p} - \left| \tau \right|}}{{{T_p}}}} $ ，如图7所示，等效于用$\xi = 0$ 且过原点与$\xi $ 轴正交的平面截模糊图所得的交迹。当$\tau = 0$ 时，式(21)改写为$MN\dfrac{{\sin {\text π} {T_p}\xi }}{{{\text π} {T_p}\xi }}$ ，如图8所示，相当于用$\tau = 0$ 且过原点与$\tau $ 轴正交的平面截模糊图所得的交迹。图9为线性调频FDA阵列负型模糊函数的二维等高图，可以用于分析信号的分辨力及混淆情况。图9近似为一个倾斜的椭圆，其形状由带宽$B = \dfrac{{\mu {T_p}}}{{2{\text π} }}$ 和时宽${T_p}$ 决定。波形的大瞬时带宽需要模数转换器具有较高的采样效率，实际应用中通过去斜处理实现。与图2相比，图6具有更为狭窄的主峰，即具有更高的距离和多普勒分辨力。且图6的主峰周围有更为均匀的非零台基，意味着有低且均匀的旁瓣，可使遮挡效应最小化。
图 6 LFM信号FDA-MIMO模糊图
图 7
$\xi = 0$ 的LFM信号FDA-MIMO模糊图
图 8
$\tau = 0$ 的LFM信号FDA-MIMO模糊图
图 9 LFM信号FDA-MIMO负型模糊函数等高图
仿真3：FDA-MIMO雷达的相干脉冲串信号负型模糊函数。
为克服简单脉冲多普勒分辨力低的不足，可考虑采用相干脉冲串信号通过延长观测时间提高分辨力。发射全相参信号的雷达，接收到的回波信号即为相参脉冲串，这类信号具有较高的距离和多普勒分辨力。本例仿真分析相干脉冲串信号的FDA-MIMO负型模糊图特性。假设相干脉冲串信号的脉冲宽度为
$0.3\;{\rm{s}}$ ，脉冲串中的脉冲数$K = 5$ ，脉冲重复周期${T_r} = 1\;{\rm{s}}$ ，得到图10和图11。
图 10 相干脉冲串信号FDA-MIMO负型模糊图
图 11 相干脉冲串信号FDA-MIMO负型模糊图
综合分析图10和图11可知，相干脉冲串“钉板状”模糊图的
$\tau $ 和$\xi $ 轴分别由${T_p}$ 和$K{T_r}$ 决定，其测速精度较单个脉冲提高了$K{T_r}/{T_p}$ 倍。由于波形的不连续，相干脉冲串模糊图中存在着距离和多普勒模糊的问题。PD和MTI雷达中这一问题可以通过在多种脉冲重复频率下，采用多个脉冲串波形加以解决。仿真4：FDA-MIMO雷达的二相编码信号负型模糊函数。
巴克码是雷达系统中最为重要的二相编码方式，图12～图13为13位巴克码编码信号的模糊图。由于巴克码的码长限制了信号旁瓣抑制性能的提升，采用伪随机序列可以生成更长的具有良好旁瓣抑制性能的PRN码，图14～图15为15位PRN码编码信号的模糊图。
图 12 巴克码编码信号FDA-MIMO负型模糊图
图 13 巴克码编码信号FDA-MIMO负型模糊图
图 14 PRN编码信号FDA-MIMO负型模糊图
图 15 PRN编码信号FDA-MIMO负型模糊图
综合分析图12和图13可知，与相同脉宽的简单脉冲频谱相比，巴克码频谱的瑞利带宽
$\,\beta = 1/{\tau _c}\;{\rm{Hz}}$ ，约为简单脉冲主瓣宽度的12倍。峰值旁瓣比约为−22.3 dB。同时，其频谱旁瓣的衰减速度减慢。但目前只有7种长度小于13位的巴克码，限制了旁瓣抑制性能的提升及雷达信号的隐蔽。此外，巴克码波形要求最大多普勒频移和目标速度满足${\xi _{\max }}\tau < 1/4 \Rightarrow {v_{\max }} < \lambda /8\tau $ ，这使得巴克码的多普勒失配损失被限制在$1\;{\rm{dB}}$ 以下。综合分析图14和图15可知，PRN码模糊图主峰为“针状”，主峰在
$\tau $ 轴的宽度为$1/{B_e}$ ，在$\xi $ 轴的宽度为$1/{T_e}$ 。其中${B_e}$ 和${T_e}$ 分别为信号的等效带宽和等效时宽，信号的距离和多普勒分辨力取决于${B_e}$ 和${T_e}$ 的取值。15位PRN码的距离旁瓣值约为$ - 10{\log _{10}}15 \approx - 11\;{\rm{dB}}$ 。 -
FDA雷达波束的时间−距离−角度三维相关特性与传统的相控阵雷达有最主要的不同。本文针对4种典型脉冲压缩雷达信号的FDA-MIMO模糊函数特性展开分析，在建立FDA数据模型及3种发射接收信号处理机制的基础上系统推导了FDA-MIMO的负型模糊函数，仿真分析了矩形脉冲、线性调频、相干脉冲串以及相位编码信号的模糊函数特性，从而为基于模糊函数的抗干扰雷达波形设计奠定了基础。
Research on FDA Characteristics of Pulse Compression Radar Signal
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摘要: 考虑到现有关于频率分集阵列(FDA)的文献中大多只基于窄带条件下的简单脉冲假设，较少有对其他脉冲压缩信号的分析。该文在建立FDA数据模型的基础上，推导了FDA收发共型线阵不同接收信号处理机制对应的负型模糊函数。之后，在全波段相干处理FDA雷达结构的基础上对矩形脉冲、线性调频(LFM)、相干脉冲串以及相位编码信号的模糊函数特性分别展开仿真分析。验证了上述几种典型的脉冲压缩雷达信号对该结构的适应性，为后续基于模糊函数优化的FDA雷达发射波形设计及电抗特性研究奠定了基础。Abstract: The research of frequency diverse array (FDA) in existing literature is mostly based on the hypothesis of simple pulse under narrowband conditions, but less on other pulse compression signals. Therefore, based on the establishment of the FDA array data model, this paper systematically derives the negative ambiguity function and its characteristics under the FDA-MIMO transmit/receive model. Then, based on the full-band coherent processing of the FDA radar architecture, the ambiguity function characteristics of rectangular pulses, linear frequency modulate (LFM), coherent pulse trains, and phase-encoded signals are simulated and analyzed. The adaptability of the above-mentioned typical pulse compression radar signals to the architecture is verified, which lays an important foundation for the follow-up FDA radar transmission waveform design and reactance characteristics optimization based on ambiguity function optimization.
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