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新型冠状病毒肺炎(COVID-19,以下简称新冠肺炎)全球确诊病例已超过百万例,受疫情影响的国家和地区已达200多个。疫情在中国得到有效控制,目前境内确诊病例仅有零星散发。在积极干预的背后,流行病传播动力学研究为趋势判断和防控决策提供了重要参考。早期研究受限于时间跨度短、干预成效未完全显现以及对病毒特性的认知局限。目前国内疫情态势渐趋明朗,具备了更完整的数据观测周期和更丰富的临床认知佐证,使研究具有更多优化和拓展空间。
本文以SIR经典仓室模型为逻辑架构,设计了分群、分阶段的非均匀感染力扩展模型,对全国、湖北、武汉3层次分形网络进行建模训练,通过降阶得到更有效的子过程迭代,在参数设置和精度优化方面有所突破。在各干预杠杆强度上下浮动20%的场景设定下模拟疫情发展进程,评估中国防控模式的成效,并为我国和全球其他国家的后续防控工作提供有益参考。
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基于经典SIR仓室模型[9]进行扩展,如图1所示。为体现感染力异质性,根据人群流动自由度分群:
S为易感者(susceptible),包括自由易感者Sf和隔离易感者Sq,对新冠肺炎人群普遍易感。
I为感染者(infectious),包括自由感染者If、隔离感染者Iq和收治感染者Ih,按其是否被隔离分别包含于If和Iq中,其中If主要包含潜伏期感染者及始终无症状感染者[10-11]。
R为移除者(removed),包括治愈者和病亡者。
感染路径仅有一条,即自由感染者If传染自由易感者Sf。人群转化路径包括以隔离效率系数q监测并隔离有密切接触史或疑似症状的自由易感者Sf,如其未感染则成为隔离易感者Sq,并在隔离结束后再次成为自由易感者Sf (隔离解除率λ为隔离期的倒数);如其已感染则成为隔离感染者Iq。自由易感者Sf以接触效率系数c和日感染率β被感染,转化为自由感染者If。If和Iq继而以收治效率系数δ转化为收治感染者Ih。三类感染者分别以治愈效率系数γ及日病亡率α成为移除者R。考虑分形架构,令i={1,2,3}分别表示武汉、湖北、全国3个层次。模型微分方程如下:
$$ \begin{split} & {\frac{{\rm d}{S}_{f,i}}{{\rm d}t}=-({c}_{i}{q}_{i}-\beta {c}_{i}{q}_{i}+\beta {c}_{i}){I}_{f,i}{S}_{f,i}/{N}_{i}+{\lambda }_{i}{S}_{q,i} } \\ & \quad\;\; {\frac{{\rm d}{S}_{q,i}}{{\rm d}t}=(1-\beta ){c}_{i}{q}_{i}{I}_{f,i}{S}_{f,i}/{N}_{i}-{\lambda }_{i}{S}_{q,i}} \\ & {\frac{{\rm d}{I}_{f,i}}{{\rm d}t}=\beta {c}_{i}(1-{q}_{i}){I}_{f,i}{S}_{f,i}/{N}_{i}-({\delta }_{i}+{\gamma }_{i}+{\alpha }_{i}){I}_{f,i}} \\ &\quad {\frac{{\rm d}{I}_{q,i}}{{\rm d}t}=\beta {c}_{i}{q}_{i}{I}_{f,i}{S}_{f,i}/{N}_{i}-({\delta }_{i}+{\gamma }_{i}+{\alpha }_{i}){I}_{q,i} } \\ & \qquad\;\; {\frac{{\rm d}{I}_{h,i}}{{\rm d}t}={\delta }_{i}({I}_{f,i}+{I}_{q,i})-({\gamma }_{i}+{\alpha }_{i}){I}_{h,i}} \\ &\qquad\;\; {\frac{{\rm d}{R}_{i}}{{\rm d}t}=\left({\gamma }_{i}+{\alpha }_{i}\right)\left({I}_{f,i}+{I}_{q,i}+{I}_{h,i}\right) } \end{split} $$ (1) 感染力为每位感染者的日均感染人数,即FOI=βcSf/N=R/DI(在干预初期为Ro/DI)。
病毒特性参数包括基础再生数Ro、世代间隔DI、日感染率β、日病亡率α,为不变参数,由病毒本身特性决定[12-13],不随阶段改变而改变,其中前3项参数在武汉、湖北、全国3个层次保持一致,日病亡率α考虑供给保障能力有所不同而保留差异。干预杠杆参数包括接触效率系数c、隔离效率系数q、收治效率系数δ、治愈效率系数γ,为可变参数,在不同阶段、不同层次具有不同的参数值,从而模拟空间分布上感染力的非均匀性。
一个完整的疫情周期需要经历自由感染者高峰、隔离和收治感染者高峰、移除者新增高峰,根据峰值点数据观测,将观察期划分干预初期(2020年1月20日−2月4日)、探索期(2020年2月5日−2月17日)、掌控期(2020年2月18日−2月27日)、平稳期(2020年2月28日之后) 4个阶段,从而模拟时间分布上感染力的非均匀性。
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时间步t表示从起始日(1月20日)开始计算的第t天,每日样本矩阵X=(Sf, Sq, If, Iq, Ih, R)。第t+1步状态变量仅由第t步状态变量决定,视为有限状态空间内的马尔可夫过程,x(t+1)=x(t)A,x(t)为n维状态向量,A为状态转移矩阵。因自由易感者人口占比超过99.5%,Sf /N≈1,则有:
$$ \begin{split} & {{ A}\approx \left(\begin{array}{cc|cccc}1-\left[\beta c+\left(1-\beta \right)cq\right]{I}_{f}& \left(1-\beta \right)cq{I}_{f}& \beta c\left(1-q\right){I}_{f}& \beta cq{I}_{f}& 0& 0\\ \lambda & 1-\lambda & 0& 0& 0& 0\\ \hline 0& 0& 1-\delta -\gamma -\alpha & 0& \delta & \gamma +\alpha \\ 0& 0& 0& 1-\delta -\gamma -\alpha & \delta & \gamma +\alpha \\ 0& 0& 0& 0& 1-\gamma -\alpha & \gamma +\alpha \\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right)= } \\ &\qquad\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad { \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{ A_1}}&{{ A_2}} \\ 0&{{ A_3}} \end{array}} \right)} \end{split} $$ (2) 分块降阶,则:
$$ \begin{split} & \qquad\qquad\quad { x}\left(t+1\right)={ x}\left(t\right){ A} =\\ & \left(\left({S}_{f},{S}_{q}\right){ A}_{1} \left({S}_{f},{S}_{q}\right){ A}_{2}+\left({I}_{f},{I}_{q},{I}_{h},R\right){ A}_{3}\right) =\\ & \qquad\quad {\left(\left({S}_{f},{S}_{q}\right){ A}_{1} \left({I}_{f},{I}_{q},{I}_{h},R\right){ A}_{4}\right)} \end{split} $$ $$ \begin{split} &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; { A}_{4}=\\ & \left(\!\!\!\!\begin{array}{cccc}1+\beta c(1-q)-\delta -\gamma -\alpha &\!\! \beta cq&\!\! \delta &\!\! \gamma +\alpha \\ &\!\! 1-\delta -\gamma -\alpha & \!\!\delta & \gamma +\alpha \\ & \!\!&\!\! 1-\gamma -\alpha & \gamma +\alpha \\ &\!\! &\!\! & 1\end{array}\!\!\!\!\right) \end{split} $$ (3) 由此分离为两个子过程,即易感者迭代(Sf, Sq) A1、感染与移除者迭代(If, Iq, Ih, R) A4,对于疫情的模拟主要基于后者。两个子过程数据量级相差百倍以上(易感者与感染和移除者的数量比值武汉超过200倍,湖北超过800倍,全国超过17 000倍),分离迭代有利于提高模型精度和计算效率。但子过程转移矩阵首行元素和不为1,不再是完整的马尔可夫过程。
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数据来源为国家卫健委、湖北卫健委、武汉卫健委发布数据,并进行了两次修正。一是2020年2月12日湖北确诊方式增加“临床诊断”,导致数据跃升,按确诊和临床病例比例对前序数据进行修正;二是2020年1月24日9家持有资质的医院和武汉市疾控中心获得检测授权,短期内大量积压待检病例得到确诊导致数据跃升,按平均增速对前序数据进行修正。
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假设新增确诊人数x~Gamma(Nt,1),其中Nt为第t日新增病例数观测值;
$ x\left(t\right)={R}_{0}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{d}}P\left(i\right){N}_{t-i} $ ,其中P为世代间隔DI的分布概率,DI服从Gamma分布,d表示世代间隔的最大值[14]。有似然函数:$$ \begin{split} &\qquad L\left({R}_{0},{D}_{I}|{N}_{1},{N}_{2},\cdots, {N}_{T}\right)\\ & =P\left({N}_{1},{N}_{2},\cdots , {N}_{T}|{R}_{0},{D}_{I}\right)=\prod _{t=1}^{T}\frac{{\rm e}^{-{{x}}}{x}^{{N}_{t}-1}}{\varGamma \left({N}_{t}\right)} \end{split} $$ (4) 采用马尔可夫链蒙特卡罗方法(MCMC)进行二维吉布斯采样(Gibbs sampling),基于干预初期数据通过80 000次burn-in和总数100 000次迭代,得到:
${\hat R_o}$ =3.762 4(95%置信区间:3.733 9~3.970 8),${\hat D_I}$ =6.872 0(95%置信区间:6.810 8~6.933 0)。初始接触效率co为相对值常量,近似取各步长累计追踪密切接触者与累计确诊者比值的最大值10。βcSf/N=R/DI,干预初期Sf/N≈1,则$\hat \beta $ =0.054 75(95%置信区间:0.538 6~0.556 6)。日病亡率α根据观测数据做无信息先验分布Metropolis-Hastings采样,得到$\hat \alpha $ =0.119 2%(95%置信区间0.110 0%~0.128 5%)。 -
在获得病毒特性参数估计值的基础上,干预杠杆参数估计转化为求各阶段线性定常系统状态转移矩阵的方程解析解。
通过分形理论的支持,如拓扑学和动力学领域时变曲线的无标度属性,可以综合利用武汉、湖北、中国3个层次的统计数据进行参数估计。结合拟合特征,应用监督式机器学习GPR高斯过程回归方法,将各时间步解向量作为样本对回归模型进行训练,得到4个阶段的参数估计如表1所示。
接触效率系数在干预初期受春节影响明显上浮,在交通管制、社区封闭等最大限度控制人口流动和聚集的应急干预下出现几何级数下降。隔离效率系数总体平稳略增,武汉以外区域优于武汉,湖北以外区域优于湖北。拟合周期主体处于医疗资源非挤兑期,全国实行统一诊疗方案、防控方案,收治效率系数在探索期出现短期提升,源于增加“临床诊断”和全面排查应收尽收。治愈效率系数随诊疗方案不断成熟而显著改善,通过提高医疗资源周转率,避免收治和隔离环节拥塞。
表 1 干预杠杆参数估计均值
接触效率系数(武汉/湖北/全国) 干预初期 12.248 4 14.513 9 15.281 1 探索期 3.300 9 2.304 6 1.050 1 掌控期 1.950 1 1.950 1 1.950 1 平稳期 0.191 9 0.191 9 0.191 9 隔离效率系数(武汉/湖北/全国) 干预初期 0.507 5 0.536 9 0.597 1 探索期 0.532 8 0.563 7 0.626 9 掌控期 0.559 5 0.591 9 0.658 3 平稳期 0.587 5 0.621 5 0.691 2 收治效率系数 治愈效率系数 干预初期 0.081 9 0.004 6 探索期 0.127 5 0.010 5 掌控期 0.085 8 0.036 2 平稳期 0.067 2 0.072 5 -
基于参数估计计算模型在各时期3个区域层次的感染力均值如表2所示。
表 2 各阶段非均匀感染力FOI
分阶段 武汉 湖北 全国 干预初期 0.670 6 0.794 6 0.836 6 探索期 0.180 7 0.126 2 0.057 5 掌控期 0.106 8 0.106 8 0.106 8 平稳期 0.010 5 0.010 5 0.010 5 模型对疫情发展实际趋势拟合良好,以此作为基础场景,如图2所示。
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分析疫情态势对干预杠杆参数变化的敏感度SAF[15]。态势变量包括感染者峰值规模NP、峰值周期TP、终值规模NF、终值周期TF。设杠杆参数为x,有:
$$ {\rm {SAF}}=\left(\frac{\dfrac{\Delta {N}^{P}}{{N}^{P}}}{\dfrac{\Delta x}{x}},\dfrac{\dfrac{\Delta {T}^{P}}{{T}^{P}}}{\dfrac{\Delta x}{x}},\dfrac{\dfrac{\Delta {N}^{F}}{{N}^{F}}}{\dfrac{\Delta x}{x}},\dfrac{\dfrac{\Delta {T}^{F}}{{T}^{F}}}{\dfrac{\Delta x}{x}}\right) $$ (5) 以现有干预强度为基础场景,增强或减弱单项杠杆的强度,使其变化幅度达到20%,发现敏感度在趋强和趋弱两个方向上存在不对称的边际效应,弱干预场景下边际损失递增,强干预场景下边际收益递减,详见图3,
$ {I}_{f1} $ /$ {I}_{f2}/{I}_{f3} $ 分别为武汉/湖北/全国自由感染者,$ {I}_{q1}/{I}_{q2}/{I}_{q3} $ 为分别为武汉/湖北/全国隔离感染者,$ {I}_{h1}/{I}_{h2}/{I}_{h3} $ 分别为武汉/湖北/全国收治感染者,$ {R}_{1}/{R}_{2}/{R}_{3} $ 为分别为武汉/湖北/全国移除者。弱干预场景中,如人口流动性干预降低20%,全国可达21万累计确诊规模;如对密切接触者和疑似者的隔离效率降低20%,全国可达15万累计确诊规模;如集中收治效率降低20%,全国可达10万累计确诊规模。强干预场景下,除降低接触和提高收治会使峰终值降至基础场景的37%和80%以外,加强其他两个杠杆对峰终值影响不大。表3为干预杠杆参数的多场景调控幅度模拟值。
表 3 干预杠杆参数的多场景调控幅度模拟值
场景 态势变量 接触效率
系数隔离效率
系数收治效率
系数治愈效率
系数弱干预 峰值规模 武汉 108 343 43 096 47 817 39 408 湖北 138 275 66 953 61 480 52 920 全国 154 543 100 037 68 848 62 900 峰值周期 35 32 33 34 终值规模 武汉 151 869 66 025 56 365 52 382 湖北 189 223 98 522 75 535 69 155 全国 211 092 144 379 99 050 85 216 终值周期 94 86 88 90 强干预 峰值规模 武汉 13 712 35 596 30 227 36 378 湖北 18 369 48 768 42 121 48 720 全国 22 789 59 923 52 699 58 120 峰值周期 29 29 27 27 终值规模 武汉 18 217 48 932 39 096 49 154 湖北 24 283 65 994 54 056 66 716 全国 30 299 80 492 67 570 81 001 终值周期 70 73 68 70 *周期为从起始时点(2020年1月20日)开始计算的天数。 表 4 干预杠杆参数的敏感度
场景 态势变量 接触效率
系数隔离效率
系数收治效率
系数治愈效率
系数弱干预敏感度SAFW 峰值规模 8.497 8 1.912 2 1.067 2 0.268 8 峰值周期 0.810 2 0.324 1 0.486 1 0.648 1 终值规模 8.628 5 2.404 8 1.363 3 0.123 5 终值周期 1.313 8 0.788 3 0.919 7 1.051 0 强干预敏感度SAFS 峰值规模 3.139 6 0.112 8 0.774 5 0.131 9 峰值周期 0.666 7 0.166 7 0.666 7 0.500 0 终值规模 3.198 1 0.158 9 1.034 9 0.123 7 终值周期 0.270 3 0.067 6 0.405 4 0.270 3 4类干预杠杆中,降低接触是有效抑制疫情的核心杠杆,敏感度是其他干预杠杆的3.5倍以上。隔离、收治、治愈属于防御型杠杆,可维持疫情态势平稳发展。
表4为干预杠杆参数的敏感度值。弱干预敏感度提示了防控的重要风险点,降低接触是防止疫情失控的最基础手段;其次是隔离和收治,可避免峰终值过载;治愈可避免峰值周期不断拖延。强干预敏感度表明了主动防控的提升空间,降低接触是控制疫情规模和周期收效最为显著的手段,及时收治可以在一定程度上抑制终值规模。
A Transmission Model of COVID-19 with Heterogeneous Force of Infectiousness and Intervention Analysis
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摘要: 新冠肺炎疫情在中国得到有效控制,为干预分析提供了实证研究基础。基于SIR扩展的非均匀感染力模型,以2020年1月20日−3月23日数据构建全国、湖北、武汉3层次分形子模型,应用吉布斯抽样和机器学习高斯过程回归获得参数估计,模拟差异化场景进行干预敏感度分析,模型在参数设置和精度优化方面有所突破。研究发现降低接触是有效抑制疫情的核心杠杆,其敏感度是其他杠杆的3.5倍以上。强弱场景边际效应不对称,反映了中国方案对帕累托最优的趋近。模拟分析评估了干预成效,为我国和全球其他国家后续判断疫情风险、掌控干预节奏、制定防控策略提供有益参考。Abstract: The epidemic of COVID-19 has been effectively controlled in China, which provides an empirical basis for intervention analysis. An extended SIR transmission model with heterogeneous force of infectiousness is presented including three fractals sub-models of Wuhan, Hubei and China. The model is built upon the data from January 20 to March 23, 2020. The Markov chain Monte Carlo (MCMC) Gibbs sampling and machine learning of Gaussian process regression are applied to solve the parameters estimation and the sensitivity analysis is used in various scenarios. The model has a breakthrough in parameter setting and accuracy optimization. It is found that contact reduction is the most effective core lever to control the epidemic, with 3.5 times or more sensitivity as much as other levers. The asymmetric marginal effect in strong and weak scenarios proves that Chinese controlling strategy is close to the Pareto Optimality. The intervention effectiveness of COVID-19 in China is evaluated by simulation analysis. The result provides valuable reference for China and other countries to judge the epidemic risk, control the intervention pace, and formulate prevention strategies in the future.
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Key words:
- COVID-19 /
- heterogeneous force of infectiousness /
- intervention lever /
- sensitivity analysis /
- SIR
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表 1 干预杠杆参数估计均值
接触效率系数(武汉/湖北/全国) 干预初期 12.248 4 14.513 9 15.281 1 探索期 3.300 9 2.304 6 1.050 1 掌控期 1.950 1 1.950 1 1.950 1 平稳期 0.191 9 0.191 9 0.191 9 隔离效率系数(武汉/湖北/全国) 干预初期 0.507 5 0.536 9 0.597 1 探索期 0.532 8 0.563 7 0.626 9 掌控期 0.559 5 0.591 9 0.658 3 平稳期 0.587 5 0.621 5 0.691 2 收治效率系数 治愈效率系数 干预初期 0.081 9 0.004 6 探索期 0.127 5 0.010 5 掌控期 0.085 8 0.036 2 平稳期 0.067 2 0.072 5 表 2 各阶段非均匀感染力FOI
分阶段 武汉 湖北 全国 干预初期 0.670 6 0.794 6 0.836 6 探索期 0.180 7 0.126 2 0.057 5 掌控期 0.106 8 0.106 8 0.106 8 平稳期 0.010 5 0.010 5 0.010 5 表 3 干预杠杆参数的多场景调控幅度模拟值
场景 态势变量 接触效率
系数隔离效率
系数收治效率
系数治愈效率
系数弱干预 峰值规模 武汉 108 343 43 096 47 817 39 408 湖北 138 275 66 953 61 480 52 920 全国 154 543 100 037 68 848 62 900 峰值周期 35 32 33 34 终值规模 武汉 151 869 66 025 56 365 52 382 湖北 189 223 98 522 75 535 69 155 全国 211 092 144 379 99 050 85 216 终值周期 94 86 88 90 强干预 峰值规模 武汉 13 712 35 596 30 227 36 378 湖北 18 369 48 768 42 121 48 720 全国 22 789 59 923 52 699 58 120 峰值周期 29 29 27 27 终值规模 武汉 18 217 48 932 39 096 49 154 湖北 24 283 65 994 54 056 66 716 全国 30 299 80 492 67 570 81 001 终值周期 70 73 68 70 *周期为从起始时点(2020年1月20日)开始计算的天数。 表 4 干预杠杆参数的敏感度
场景 态势变量 接触效率
系数隔离效率
系数收治效率
系数治愈效率
系数弱干预敏感度SAFW 峰值规模 8.497 8 1.912 2 1.067 2 0.268 8 峰值周期 0.810 2 0.324 1 0.486 1 0.648 1 终值规模 8.628 5 2.404 8 1.363 3 0.123 5 终值周期 1.313 8 0.788 3 0.919 7 1.051 0 强干预敏感度SAFS 峰值规模 3.139 6 0.112 8 0.774 5 0.131 9 峰值周期 0.666 7 0.166 7 0.666 7 0.500 0 终值规模 3.198 1 0.158 9 1.034 9 0.123 7 终值周期 0.270 3 0.067 6 0.405 4 0.270 3 -
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