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椭圆球面波函数(prolate spheroidal wave functions, PSWFs)是由文献[1]提出的一类非正弦函数集合，受到了国内外学者的广泛关注和研究。PSWFs信号具有最佳时频能量聚集性、完备正交性、时间带宽积灵活可控、时域奇偶对称等优良基础特性[2]，在无线通信、超宽带通信、卫星通信等领域都有所应用[3-5]。在多载波通信中，正交频分复用(orthogonal frequency division multiplexing, OFDM)多载波调制信号采用的矩形窗时间带宽积为固定的[6]，而PSWFs信号的时间带宽积灵活可控，可产生任意时间带宽积信号，且利用固定时间带宽积条件下的不同阶PSWFs作为载波信号，其本身为最佳带限信号的优势，可为下一代无线通信[7]、卫星通信[8]等提供一种新的灵活波形设计方案。
文献[9-10]最早提出了将正交椭圆球面波函数信号作为脉冲组加载信息的调制方法。该方法通过构建时域椭圆球面波正交脉冲集，选择多路时域正交脉冲叠加，不但易于形成大相对带宽信号，便于提高系统容量，而且可使已调信号在频域上相互混叠，有效提高系统频带利用率。为了进一步提高基于PSWFs的多载波调制信号频带利用率，文献[11-12]通过对PSWFs信号分组优化、利用信号索引与脉冲幅度调制进行2个维度的信息加载，提出了基于信号分组优化的椭圆球面波多载波调制方法(multi-carrier modulation scheme based on PSWFs with signal grouping optimization, MCM-PSWFs-SGO)。该方法在不增加信号路数和信号间干扰的前提下，既可保证信号高能量聚集性，又可有效提高现有信号频带利用率。但由于符号信息映射采用脉冲幅度调制(pulse amplitude modulation, PAM)方式，因此同传统的多载波调制技术一样，该方法仍然存在叠加后高信号峰均功率比(peak to average power ratio, PAPR)的问题。MCM-PSWFs-SGO信号高PAPR带来的直接问题是要求系统部分设备(如模/数、数/模、功放等)具有较宽的动态范围以适应该信号，否则会引起信号严重的非线性失真，导致子载波间的正交特性被破坏，进而导致系统性能大幅降低。因此有效降低现有方法多载波调制信号PAPR，对促进PSWFs在无线通信系统中的应用，尤其是在当前绿色通信及低功耗需求的无线通信应用场景中具有重要意义。
连续相位调制(continuous phase modulation, CPM)是一类数字角度调制方式，其信号相位是连续的，且具有频谱效率、功率效率高的特点[13-14]，广泛应用于移动通信和卫星通信、软件无线电通信等领域[15-17]。与传统的PAM、相移键控(phase shift keying, PSK)等调制方式不同，CPM调制通过信息符号序列在相位上的累加，保证相邻码元之间的相位连续性，从而使得调制信号包络是恒定的，其调制信号本身具有编码效应。充分利用这种CPM信号前后码元相关联特性，以CPM作为符号预调制方式，再将CPM调制后的信号加载到PSWFs载波信号上，通过选择合适的调制指数参数，可有效降低现有MCM-PSWFs-SGO调制信号的PAPR。
本文采用具有编码、网格特性的连续相位调制作为索引星座符号映射方式，以优化组合后的PSWFs信号作为索引调制载波波形，提出一种基于CPM的PSWFs信号多载波索引调制方法(multi-carrier index modulation based on PSWFs with CPM, MCM-PSWFs-IM-CPM)。在信号接收端，基于最大似然检测(maximum likelihood, ML)和CPM差分检测，实现MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测与解调，并对其调制解调信号性能进行分析。
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现有MCM-PSWFs-SGO信号调制解调方法主要包括：PSWFs信号选择与分组、信号索引设计与调制符号产生、基于顺序统计量的信号索引检测方法等[11]。这些方法主要是在信号发射端，采用PAM作为符号信息预调制方式，然而，多个PSWFs信号加载信息并叠加后，当相位一致时，调制信号会产生很大的幅值功率，因此，MCM-PSWFs-SGO调制信号存在高峰均功率比的问题。
CPM信号具有占用带宽小、旁瓣衰减快、不同调制指数情况下性能不同的特点。在OFDM系统中，通过采用CPM符号映射方式，充分利用CPM的网格特性及前后码元之间的相关性，可以降低其调制信号的峰均功率比[18]。因此，为进一步改善MCM-PSWFs-SGO信号性能，充分利用CPM相位状态相关的特点，本文提出MCM-PSWFs-IM-CPM信号调制解调方法，其原理如图1所示。
图 1 MCM-PSWFs-IM-CPM信号调制解调原理
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在信号发射端，首先产生用于信息加载的PSWFs信号，路数为
$c - l \;(l \in [1,c - 1]$ ，c表示基带PSWFs信号时间带宽积)、信号分组数为G、每组信号路数为N、激活载波信号路数为K，对能量聚集性高的PSWFs信号进行优选和分组；其次，利用索引比特来选择激活的PSWFs载波信号位置，并采用符号映射信息进行CPM预调制；然后将CPM调制后的信息加载到G组N阶PSWFs载波信号上，其中真正用于传输CPM符号数据的PSWFs载波数为K个，空载波数为N−K个；最后，将每组CPM调制后的信号加载到PSWFs载波上后进行叠加，从而产生MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号(如图1左半部分所示)。MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号产生具体流程如下。
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由于PSWFs信号在一定时间带宽积条件下，产生的不同阶PSWFs信号能量聚集度不同，因此可根据系统对信号能量聚集性的要求、PSWFs信号选择参数和载波数目等，尽可能地选择能量聚集性较高的PSWFs信号用于传输信息。通常需要信号能量聚集度大于
$\lambda '$ 时，选择前c−l阶PSWFs信号，且l满足$l = \left\lfloor {\left[ {\ln \left( {1/\lambda ' - 1} \right)\log \left( {2\sqrt {{\text{π}}c} } \right)} \right]/{{\text{π}}^2}} \right\rfloor$ 。PSWFs信号的产生，由以下椭圆球面波函数积分定义式得到：$$ \int_{ - T/2}^{T/2} {{\psi _i}} (c,\tau )\frac{{\sin B(t - \tau )}}{{{\text{π}} (t - \tau )}}{\rm{d}}\tau = {\psi _i}(c,\tau ){\lambda _i}(c) $$ (1) 式中，
$ {\psi _i}(c,t )$ 是带限于$[ - B,B]$ 、又在时域区间[−T/2, T/2]上集中分布的共i阶椭圆球面波函数，i=0,1,2$,\cdots $ ，且i为整数，c=BT(Hz·s)是PSWFs的时间带宽积；$ {\lambda _i}$ 是对应于$ {\psi _i}(c,t)$ 的特征值，如$ {\psi _0}(c,t)$ 是0阶PSWF信号，$ {\lambda _0}$ 就是对应于$ {\psi _0}(c,t)$ 的特征值，不同阶PSWFs信号对应各自的特征值。将产生的共i阶PSWFs载波信号取前
$c - l$ 阶PSWFs信号，并将$c - l(l \in [1,c - 1])$ 支路信号平均分为$G = \left\lfloor {\left( {c - l} \right)/N} \right\rfloor $ 组，每组有$N$ 个PSWFs载波信号。 -
如果每个PSWFs符号有M个载波信号去传输A比特信息，那么将这A比特信息经过比特分流器后分为G组，每组有p比特信息，其中A=pG。每组p比特信息映射到一个长度为N的PSWFs子载波组上，其中，N=M/G。
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传输到每组的p比特信息被分为p1和p2两部分，其中，p1为索引比特，用来控制活跃PSWFs载波信号的位置。这里采用查表法(look-up table, LUT)[19]来实现索引比特与活跃载波位置的映射，表1是表格大小
$ \kappa = 4 $ ，$(N,K) = (4,3)$ 时，查表法对应的PSWFs载波索引方案，其中K表示活跃载波路数。在发送端和接收端建立一张大小为$ \kappa = {2^{{p_1}}} $ 的表格，在发送端通过查表，将p1比特映射到载波位置上，在信号接收端，根据活跃子载波的位置去查表得到相应的比特。p2用于产生调制符号，在每组PSWFs载波信号中，不是每个PSWFs载波都传输星座符号，而是N个子载波中有K个传输星座符号，其余的N−K个子载波为空子载波，这里的星座映射采用具有相位编码特性的CPM调制方式，且该星座映射图与CPM调制指数有关，CPM映射星座图如图2所示(以调制指数h=0.5为例)。表 1 索引调制查表法映射表 (N, K)=(4,3)
输入比特 活跃载波序号 映射子载波组 [0 0] {1, 2, 3} [sg,1 sg,2 sg,3 0]T [0 1] {1, 2, 4} [sg,1 sg,2 0 sg,3]T [1 0] {1, 3, 4} [sg,1 0 sg,3 sg,2]T [1 1] {2, 3, 4} [0 sg,1 sg,2 sg,3]T 
图 2 CPM映射星座图(h=0.5)
对于第g组，p1比特被送入索引选择器，用来对从N个PSWFs载波信号中选择的K个PSWFs信号进行激活。PSWFs载波信号选择序号表示为：
$$ {{\boldsymbol{I}}_g} = \left\{ {{i_{g,1}},{i_{g,2}}, \cdots ,{i_{g,k}}} \right\} $$ (2) 式中，
${i_{g,k}} \in \left[ {1,2, \cdots ,N} \right]$ ；$g=1,2,\cdots,G $ ；$k=1,2,\cdots,$ K。由此可知，索引比特选择器传输的比特数
$p_1 $ 为：$$ {p_1} = \left\lfloor {{{\log }_2}C_N^K} \right\rfloor $$ (3) 式中，
$ \left\lfloor * \right\rfloor $ 表示对“*”向下取整；$ C_N^K $ 为二项式系数或者为激活载波信号的组合数。p2比特被送入CPM调制器，K个PSWFs载波信号加载CPM调制后的信息，N−K个PSWFs载波默认加载符号信息为零。为不失一般性，以二进制为例，CPM调制过程首先将输入G组p2比特并串转换为$ s $ ：$$ \begin{split} & \left. \begin{array}{l} {p}_{{\text{1,2}}} = \left\{ {{b_1},{b_2}, \cdots ,{b_k}} \right\} \\ {p}_{{\text{2,2}}} = \left\{ {{b_{k + 1}},{b_{k + 2}}, \cdots ,{b_{2k}}} \right\} \\ \vdots \\ {p}_{{\text{g,2}}} = \left\{ {{b_{(g - 1)k + 1}},{b_{(g - 1)k + 2}}, \cdots ,{b_{gk}}} \right\} \end{array} \right\} \Rightarrow s \\ & s{\text{ = }}\left\{ {b_1},{b_2}, \cdots ,{b_k},{b_{k + 1}},{b_{k + 2}}, \cdots , {b_{2k}},\cdots, \right.\\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\left.{b_{(g - 1)k + 1}},{b_{(g - 1)k + 2}}, \cdots ,{b_{gk}} \right\} \end{split} $$ (4) $式中，g=1,2,\cdots,G，k=1,2,\cdots, $ K。上式中转换后的比特数据s，通过双极性码转换后为α，s与α的转换关系为：$$ {{s}} = \left\{ \begin{array}{l} 0 \hfill \\ 1 \hfill \end{array} \right. \Rightarrow \alpha = \left\{ \begin{array}{l} - 1 \hfill \\ + 1 \hfill \end{array} \right. $$ (5) 再将转换后数据α输入到CPM预调制器，得到的累积相位值
$ {\theta _{gk}} $ 为：$$ {\theta _{gk}} = {\text{π}}h{\alpha _{gk}} + {\text{π}}h\sum\limits_{i = 1}^{gk - 1} {{\alpha _i}} + {\phi _0} $$ (6) 式中，h为CPM调制指数参数；
$ {\phi _0}$ 为初始映射相位点，一般默认为0，相位角$ {\theta _{gk}} $ 不仅与当前时刻比特数据有关，而且与之前比特数据有关。图3是相位角$ {\theta _{gk}} $ 在二进制条件下、调制指数为0.5时的相位树(即可能的相位路径)。那么，经CPM调制器输出的信号可以表示为：$$ {c_{gk}} = \cos ({\theta _{gk}}{\text{) + }}{\rm{j}}\sin ({\theta _{gk}}{\text{)}} $$ (7) 
图 3 CPM相位树(二进制)
然后，将该复数
$ {c_{gk}} $ 串并转换，恢复为G组、每组K个数据的信号${{\boldsymbol{s}}_g}$ ：$$ {{\boldsymbol{s}}_g} = \left\{ {{s_{g,1}},{s_{g,2}}, \cdots ,{s_{g,k}}} \right\} $$ (8) 式中，
$ {s_{g,k}} \in {c_{gk}} $ ；$g=1,2,\cdots,G，k=1,2,\cdots,K $ ；$ {c_{gk}} $ 表示CPM映射星座单位圆上的相位点。对${{\boldsymbol{s}}_g}$ 信号共g组中的每个CPM符号数据进行归一化处理，并分别乘以功率增益$\sqrt {N/K} $ 后，得到调制符号数据${{\boldsymbol{x}}_g}$ ：$$ {{\boldsymbol{x}}_g} = {\left[ {{x_g}(1),{x_g}(2), \cdots ,{x_g}(N)} \right]^{\rm{T}}} $$ (9) 式中，
$g=1,2,\cdots,G， $ $ {{\boldsymbol{x}}_g} $ 即为PSWFs信号需要加载的符号数据，且$ {{\boldsymbol{x}}_g} $ 满足：$$ {{\boldsymbol{x}}}_{g}(n)=\left\{ \begin{array}{l}{{\boldsymbol{s}}}_{g,n}\;\;\;n\in {{\boldsymbol{I}}}_{g}\\ 0\;\;\;\;\;其他\end{array} \right. $$ (10) 式中，
${{\boldsymbol{x}}_g}(n)$ 即包含了CPM调制处理后乘以增益系数的符号数据，也包括了PSWFs空载波信号加载的信息(为零值)。如果传输的星座点能量为归一化能量，则CPM映射器传输的比特数p2为：$$ {p_2} = K{\log _2}M $$ (11) 式中，M表示CPM信号符号进制数。
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经过PSWFs载波位置索引与CPM预调制后，将G组、每组N个需加载符号数据
${{\boldsymbol{x}}_g}$ (包括空载波信号加载符号数据)，分别加载到每组同一时间带宽积参数条件下、不同阶的PSWFs信号上。再将不同组PSWFs载波信号加载符号数据后的信号进行叠加，得到调制信号$ {s_g}(t) $ ：$$ {s_g}(t) = \sum\limits_{i = 1}^N {{{\boldsymbol{x}}_g}(i) \cdot {\psi _{i - 1}}(c,t)} $$ (12) 式中，
$g=1,2,\cdots,G； $ $ {\psi _{i - 1}}(c,t) $ 表示第i−1阶PSWF信号；$i=1,2,\cdots,N $ 。最后，将调制信号$ {s_g}(t) $ 通过天线发送出去。 -
由于MCM-PSWFs-IM-CPM信号对输入数据采用了CPM星座映射方式，故在高斯信道条件下，在MCM-PSWFs-SGO信号解调方法基础之上，结合索引调制ML检测算法和CPM差分解码的方法[20]，实现MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测与解调。其原理如图1右半部分所示，主要分为激活载波PSWFs信号的索引位置和CPM调制符号两部分信息的检测与解调。
MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测与解调具体实现过程如下。
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在接收端，将过高斯信道后的接收信号与PSWFs信号求相关，使得CPM调制的符号信息从PSWFs载波上卸载下来。通常在频域索引调制中，PSWFs信号作为载波信号加载符号映射信息，在接收端，只需要与各组正交PSWFs信号求相关处理，该过程不会影响索引调制信号检测性能，即索引调制的检测性能与符号信息加载的子载波波形无关。故对MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测，也可以载波信号加载前的预调制符号数据直接过信道后作为检测统计量进行分析。
假定调制信号经过高斯噪声信道，其中n(t)表示均值为零、方差为N0的加性白高斯噪声(additive white Gaussian noise, AWGN)信号，那么过信道后的接收信号r(t)可以表示为：
$$ r(t) = s(t) + n(t) $$ (13) 将接收信号r(t)与各阶PSWFs载波组信号求互相关，得到信号rg(t)，其表达式为：
$$ {{{r}}_g}(t) = < {s_g}(t) \cdot {\psi _i}(c,t) > \;\; {\text{ 0}} \leqslant i \leqslant N - 1 $$ (14) 为了检测每组的激活PSWFs子载波的位置，在接收端，将加噪后的信号分为G组，对于第g组，
$g=1,2,\cdots,G， $ 其数据${{\boldsymbol{r}}_g}$ 又可以表示为：$$ {{\boldsymbol{r}}_g} = {\left[ {{{{r}}_g}(1),{r_g}(2), \cdots ,{r_g}(N)} \right]^{\rm{T}}} $$ (15) 式中，
${{\boldsymbol{r}}_g} = {\left[ {{r_g}(1),{r_g}(2), \cdots ,{r_g}(N)} \right]^{\rm{T}}}$ 也可以认为是${{\boldsymbol{x}}_g} = $ $ {\left[ {{x_g}(1),{x_g}(2), \cdots ,{x_g}(N)} \right]^{\rm{T}}}$ 过信道后的数据。 -
假设每个非零符号的平均传输功率为
$ \varphi {E_{\text{s}}} $ ，那么$ \varphi = N/K $ 即为功率分配系数(或功率增益为$ \sqrt {N/K} $ )，$ {E_s} $ 为每个载波信号的平均功率。因此每个激活PSWFs载波信号的平均信噪比(signal to noise ratio, SNR)为$ \overline \gamma = \varphi {E_{\text{s}}}/{N_0} $ 。对${{\boldsymbol{r}}_g}$ 进行分组并去除功率增益后，在每个PSWFs载波信号上，通过最大似然判决单独估计出激活子载波上加载的CPM调制数据$\hat{\boldsymbol{x}}$ 表示为：$$ \hat{\boldsymbol{x}}(\hat \alpha ) = \arg \mathop {\min }\limits_{x(\hat \alpha ) \in S} {\left| {{r_g}(\hat \alpha ) - {{\boldsymbol{x}}_g}(\hat \alpha )} \right|^2}\forall \hat \alpha $$ (16) 式中，
$ \alpha {\text{ = }}1, 2,\cdots ,N $ ，$ g = 1,2, \cdots ,G $ 。再通过查表法实现索引比特的恢复，根据查表用$ {{\boldsymbol{r}}_K} $ 恢复索引比特p1，同样以N=4，K=3为例，那么$ {{\boldsymbol{r}}_K} $ 与p1比特对应关系如表2所示。表 2 查表法中索引比特对应关系(N, K)=(4, 3)
PSWFs载波索引${ {\boldsymbol{r} }_K}$ 比特p1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 -
对分组复数映射信息
$\hat{\boldsymbol{x}}$ 并串转换后，再输入CPM解码器，采用CPM差分检测方法[20]实现对符号映射比特p2的解调，并将p2数据并行分为G组，最后将每组比特p1与p2合并，输出串行数据流共A比特信息。至此实现MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测与解调。 -
本节对提出的MCM-PSWFs-IM-CPM信号的功率谱特性、峰均功率比、解调误码性能及算法实现复杂度进行实验仿真与分析，并与MCM-PSWFs-SGO信号性能进行对比。仿真具体参数设置如表3所示。
表 3 仿真参数设置
名称 数值 每组PSWFs载波路数N 16 每组PSWFs激活载波路数K 8 进制数M 2 时间带宽积c/Hz·s−1 20 时域采样点数 256 CPM调制指数h 0.25、0.50、0.75 -
图4是MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号与MCM-PSWFs-SGO调制信号的功率谱特性对比图。由图4可知，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号在不同调制指数条件下，功率谱密度(power spectral density, PSD)特性不同，且会随着CPM调制指数h的变化而改变。当h=0.25时，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号相比MCM-PSWFs-SGO调制信号的PSD带外衰减较快，当h≥0.5，且
$h \in (0,1)$ ，其功率谱特性与MCM-PSWFs-SGO调制信号PSD性能基本相当。对于MCM-PSWFs-IM-CPM调制而言，其符号映射方式采用CPM映射器时，相比传统PAM、相移键控等映射方式的单一性，CPM映射器可以通过调节其调制指数参数h，改变调制信号的功率谱密度带外衰减程度，起到对调制信号PSD旁瓣不同程度的抑制效果，且其主瓣能量聚集度几乎不变。总之，采用PSWFs载波信号波形，并结合CPM映射方式，可以改善现有MCM-PSWFs-SGO调制信号功率谱密度特性。
图 4 调制信号功率谱
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根据MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号产生原理可知，当M为二进制，α满足CPM预调制输入数据格式，且满足
${\alpha _i} \in \{ + 1, - 1\} ,{\text{ }}i \in \{ 1,2,\cdots,n\}$ ，CPM调制符号能量归一化后，每个符号的功率分配系数为$\sqrt {N/K} $ ，那么以n个码元周期、一个PSWFs符号间隔内传输信号s(t)为例，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号的PAPR可以表示为：$$ \begin{split}& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{PAPR(dB) = 10lg}}\frac{{\max \left\{ {{{\left| {s(t)} \right|}^2}} \right\}}}{{E\left\{ {{{\left| {s(t)} \right|}^2}} \right\}}} = \\ &10\lg \frac{{\max \left\{ {{{\left| {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _{i - 1}}(c,t)\sqrt {N/K} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}({\alpha _n}{\text{π}}h + {\text{π}}h\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{\alpha _i})} }}} } \right|}^2}} \right\}}}{{\dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T {{{\left| {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\psi _{i - 1}}(c,t)\sqrt {N/K} {{\rm{e}}^{{\rm{j}}({\alpha _n}{\text{π}}h + {\text{π}}h\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{\alpha _i})} }}} } \right|}^2}{\rm{d}}t} }} \\ \end{split} $$ (17) 由式(17)可知，当每组PSWFs信号路数N、激活载波数K一定时，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号的PAPR主要取决于CPM调制指数h值的大小。图5是MCM-PSWFs-IM-CPM与MCM-PSWFs-SGO调制信号PAPR曲线，由图5可知，采用CPM调制作为符号映射方式的MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号，在不同调制指数条件下具有不同的PAPR性能，并且与MCM-PSWFs-SGO调制信号相比PAPR值均较低。尤其是当CPM的调制指数h=0.5、在互补累计误差函数(complementary cumulative distribution function, CCDF)CCDF=10−4时，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号的PAPR值约为8.80 dB，相同参数条件下，相比MCM-PSWFs-SGO调制信号，降低了约2.90 dB。不同调制指数条件下的MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号在CCDF=10−4时的PAPR值详见表4。
图 5 调制信号峰均功率比
表 4 调制信号PAPR值
调制方式
(N=16,K=8)MCM-PSWFs-SGO MCM-PSWFs-IM-CPM h=0.50 h=0.25 h=0.75 CCDF=10−4
PAPR值/dB11.70 8.80 9.80 10.70 -
在加性高斯白噪声信道条件下，MCM-PSWFs-IM-CPM与MCM-PSWFs-SGO信号的解调误码性能如图6所示。其误码性能与调制符号最小欧式距离有关，当每比特信息对应能量为Eb时，由文献[11]可知，MCM-PSWFs-SGO激活信号的最小欧式距离
${d^2}_{\min }$ 可表示为：$$ d_{\min }^2 = \frac{{12}}{{4{{\left( {{{\log }_2}M} \right)}^2} - 1}} \times \frac{{2\left\lfloor {\log{_2}C_n^k{M^k}} \right\rfloor {E_b}}}{k} $$ (18) 
图 6 误码性能
而MCM-PSWFs-IM-CPM信号解调误码性能在MCM-PSWFs-SGO信号检测基础上，需再采用CPM差分解码方可得到符号信息，因此，还需要计算CPM差分解调信号的最小欧式距离
${d^2}_{c\min }$ ，其表示为：$$ \begin{split}& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d_{c\min }^2 = {\log _2}M \times \\ & \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant k \leqslant M - 1} \left\{ {2\left[ {1 - 2\cos {\text{π}} hk\frac{1}{T}\int_0^{T/2} {\cos \left[ {4{\text{π}} hk{q_0}\left( t \right) - {\text{π}} hk} \right]{\rm{d}}t} } \right]} \right\}\\ &\qquad\qquad\qquad {q_0}\left( t \right) = q\left( {t + \frac{T}{2}} \right)\;\;\;\;\;0 \leqslant t \leqslant \frac{T}{2}\\[-15pt] \end{split} $$ (19) 式中，h为调制指数；T为码元周期；q(t)为单个码元周期信号的积分形式。需特别指出的是，当CPM调制指数为0.5、进制数M为2时，
${d^2}_{c\min } = 2$ 。由式(18)和式(19)可知，相比MCM-PSWFs-SGO信号解调误码性能，MCM-PSWFs-IM-CPM信号的误码性能由PSWFs载波索引调制方案解调误码和CPM差分解码误码两部分组成，相比MCM-PSWFs-SGO解调方法，接收端由于增加了CPM差分解码过程，且CPM差分解码必须在前者的基础上进行译码，故存在一定的误码扩散，所以MCM-PSWFs-IM-CPM信号的误码性能相对有所下降。 -
对比MCM-PSWFs-SGO信号与MCM-PSWFs-IM-CPM信号调制解调方法的运算复杂度，如果以乘法复杂度为度量标准，假设M为调制符号进制数，X为信号过采样倍数，Nc为PSWFs子载波路数，g为信号分组数，n为每组PSWFs信号路数，
${N_{{\rm{symbol}}}} = {2^{\left\lfloor {C_n^k{M^k}} \right\rfloor }}$ 为每组调制符号组合数，那么两种调制方法的算法实现复杂度如表5所示。表 5 算法实现复杂度
调制方法 运算量 MCM-PSWFs-SGO O(XNc2+gNsymbol) MCM-PSWFs-IM-CPM O(XNc2+gNsymbol+2(Mgn+1) 从MCM-PSWFs-IM-CPM信号调制解调原理可知，在MCM-PSWFs-SGO信号调制解调方法基础上，由于增加了CPM符号映射方式，故增加了CPM符号信息调制与接收端差分解调部分的运算复杂度。其中，CPM调制端的累积相位乘法运算量计为O(Mgn+2)，而在CPM解调端差分译码的乘法运算量计为O(Mgn)。然而，相对于目前数字电路及硬件水平而言，不但PSWFs信号能以数值解的方式快速产生，而且无论是对MCM-PSWFs-SGO信号调制解调，还是对MCM-PSWFs-IM-CPM信号调制解调，包括相对增加的CPM部分运算量，都是比较容易实现的。
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针对现有基于信号分组优化的PSWFs多载波调制方法，利用具有网格特性和编码效应的CPM星座符号映射方式，提出了基于连续相位调制的椭圆球面波多载波索引调制方法。该方法通过调节CPM调制指数参数，可有效抑制现有MCM-PSWFs-SGO调制信号峰均功率比，当PSWFs信号路数为16，激活载波数为8，调制指数h为0.5时，MCM-PSWFs-IM-CPM调制信号与MCM-PSWFs-SGO信号相比，在CCDF=10−4条件下，可有效降低PAPR值约2.90 dB。在信号接收端，利用最大似然检测算法，并结合CPM差分符号解映射实现MCM-PSWFs-IM-CPM信号的检测与解调，但信号误码性能略有下降，这与CPM差分解码过程增加了误码扩散有关，同时也增加了相应的算法实现复杂度，需要根据不同的应用场景需求，在信号PAPR性能与其之间权衡选择。后续还可继续研究联合索引方案与调制符号的检测方法，充分利用CPM网格特性进行检测，进一步提高现有基于PSWFs的多载波索引调制信号的性能。
Multi-Carrier Index Modulation Method of PSWFs Based on CPM
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摘要: 针对现有基于信号分组优化的椭圆球面波函数(PSWFs)信号多载波调制方法，存在峰均功率比高的问题，该文提出一种基于连续相位调制(CPM)的椭圆球面波多载波索引调制方法。将具有编码特性的CPM调制作为星座符号映射方式，以椭圆球面波函数信号作为索引载波波形，产生调制信号，并利用最大似然检测与CPM差分解码实现接收端信号的检测与解调。该方法能以较小的误码性能损失和适量增加算法复杂度，有效降低现有方法调制信号峰均功率比值约2.90 dB。Abstract: In view of the problem of high peak-to-average power ratio (PAPR) in the existing multi-carrier modulation method of prolate spheroidal wave functions (PSWFs) signal based on signal grouping optimization, a multi-carrier index modulation method of PSWFs signal based on continuous phase modulation (CPM) is proposed. The CPM modulation with coding characteristics is used as the constellation symbol mapping method, and PSWFs signal is used as index carrier waveform to generate the modulated signal. The maximum likelihood (ML) detection and CPM differential decoding are used to realize the detection and demodulation of the receiving signal. The method can effectively reduce the PAPR about 2.90dB of the existing method modulation signal, with a small bit error ratio (BER) performance loss and appropriate increase in algorithm implementation complexity.
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表 1 索引调制查表法映射表 (N, K)=(4,3)
输入比特 活跃载波序号 映射子载波组 [0 0] {1, 2, 3} [sg,1 sg,2 sg,3 0]T [0 1] {1, 2, 4} [sg,1 sg,2 0 sg,3]T [1 0] {1, 3, 4} [sg,1 0 sg,3 sg,2]T [1 1] {2, 3, 4} [0 sg,1 sg,2 sg,3]T 
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表 2 查表法中索引比特对应关系(N, K)=(4, 3)
PSWFs载波索引 ${ {\boldsymbol{r} }_K}$ 比特p1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
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表 3 仿真参数设置
名称 数值 每组PSWFs载波路数N 16 每组PSWFs激活载波路数K 8 进制数M 2 时间带宽积c/Hz·s−1 20 时域采样点数 256 CPM调制指数h 0.25、0.50、0.75
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表 4 调制信号PAPR值
调制方式
(N=16,K=8)MCM-PSWFs-SGO MCM-PSWFs-IM-CPM h=0.50 h=0.25 h=0.75 CCDF=10−4
PAPR值/dB11.70 8.80 9.80 10.70
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表 5 算法实现复杂度
调制方法 运算量 MCM-PSWFs-SGO O(XNc2+gNsymbol) MCM-PSWFs-IM-CPM O(XNc2+gNsymbol+2(Mgn+1)
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