本章研究分布式雷达系统跟踪模型，分别建立了系统与信号模型、运动与量测模型，为优化问题的建模及求解建立了基础。

考虑一个由$M$个雷达节点组成的分布式组网雷达系统，其中第$m$个节点位于${{\boldsymbol{\theta}} _m} = ({x_m},{y_m})$，如图1所示。各雷达节点工作在“自发自收”模式，并传输过门限的数据至融合中心进行联合处理。假设任务区域内有$Q$个分离的点目标，且$Q \leqslant M$，其中第$q$个目标的初始位置和初始速度分别为$( {{x_{q,0}},{y_{q,0}}} )$和$( {{{\dot x}_{q,0}},{{\dot y}_{q,0}}} )$。假设$ {T_0} $为观测时间间隔，则在$k{T_0}$时刻，第$q$个目标的位置及速度分别表示为$( {{x_{q,k}},{y_{q,k}}} )$和$( {{{\dot x}_{q,k}},{{\dot y}_{q,k}}} )$。

图  1  分布式组网雷达系统多目标跟踪场景图

假设在$k{T_0}$时刻，第$m$个雷达节点所发射的信号被第$q$个目标反射，则接收信号可表示为：

式中，$ \tau _{q,k}^m = {{2R_{q,k}^m} \mathord{\left/ {\vphantom {{2R_{q,k}^m} c}} \right. } c} $表示传输时延；$ R_{q,k}^m $为第$q$个目标与第$m$个雷达节点之间的距离；$ c $为光速；$f_{q,k}^m$表示多普勒频移；$ P_k^m $为发射功率；$ l_{q,k}^m $表示路径损耗；$ w_{q,k}^m\left( t \right) $为零均值复高斯白噪声；$ {s_m}\left( t \right) $为发射信号的归一化复包络。

假设第$q$个目标的初始状态可表示为${{\boldsymbol{x}}_{q,0}} = ( {{x_{q,0}},{{\dot x}_{q,0}},{y_{q,0}},{{\dot y}_{q,0}}} )$，在$k{T_0}$时刻，第$q$个目标的状态可表示为${{\boldsymbol{x}}_{q,k}} = ( {{x_{q,k}},{{\dot x}_{q,k}},{y_{q,k}},{{\dot y}_{q,k}}} )$。不失一般性，假设目标为匀速直线运动，则运动模型为：

式中，$ {\boldsymbol{F}} $为状态转移矩阵；$ {{\boldsymbol{w}}_{q,k - 1}} $表示协方差为$ {{\boldsymbol{Q}}_{q,k - 1}} $的零均值高斯过程噪声。

通过信号处理，可以从接收信号中提取多种目标信息，本文主要关注时延、方位及多普勒信息。第$m$个雷达节点对第$q$个目标的检测概率可以表示为^[9]：

式中，${{Q}}( \cdot )$为Marcum-Q函数；$ \chi _{q,k}^m $为接收信号的信噪比；$ {P_{{\rm{fa}}}} $表示虚警概率。

定义$ s_{q,k}^m $为检测变量：

则在第$k$帧，第$q$个目标的量测可表示为${{\boldsymbol{Z}}_{q,k}} = \left[ {{ {\textit{z}}}}_{q,k}^1, \right. \left. {{ {\textit{z}}}}_{q,k}^2, \cdots ,{{ {\textit{z}}}}_{q,k}^m, \cdots ,{{ {\textit{z}}}}_{q,k}^M \right]$，其中：

式中，${\boldsymbol{h}}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} ) = {\left[ {R_{q,k}^m,\phi _{q,k}^m,f_{{\text{d}}_{q,k}}^m} \right]^{\rm{T}}}$为量测函数；$ {[ \cdot ]^{\rm{T}}} $为转置符号；$ \phi _{q,k}^m $表示方位角；$ {\boldsymbol{v}}_{q,k}^m $为零均值高斯随机噪声，其方差为：

式中，$ \sigma _{R_{q,k}^m}^2 $、$ \sigma _{\phi _{q,k}^m}^2 $和$ \sigma _{f_{{\text{d}}_{q,k}}^m}^2 $分别为距离、角度、多普勒估计均方根误差的克拉美罗下界。

由于量测模型非线性，采取扩展卡尔曼滤波对目标状态进行估计。

本章研究分布式组网雷达系统功率分配方法。首先给出了量测不确定情况下的贝叶斯克拉美罗界(Bayesian Cramér-Rao lower bound, BCRLB)，然后建立了功率分配数学模型，最后提出了一种基于凸优化的自约束功率分配算法，对功率分配问题进行求解。

贝叶斯克拉美罗界BCRLB提供了目标状态的估计误差的下界，因此被广泛应用于评估雷达系统的跟踪性能。假设${\hat {\boldsymbol{x}}_{q,k\mid k}}( {{{\boldsymbol{Z}}_{q,k}}})$为${{\boldsymbol{x}}_{q,k}}$的估计，根据贝叶斯−克拉美罗不等式可得^[10-11]：

式中，${\mathbb{E}_{{{\boldsymbol{x}}_{q,k}},{{\boldsymbol{Z}}_{q,k}}}}$表示关于量测与目标状态的数学期望；${\boldsymbol{J}}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} )$表示第$q$个目标的贝叶斯信息矩阵：

式中，$ p( {{{\boldsymbol{Z}}_{q,k}},{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} ) $表示量测和目标状态的联合概率密度函数；$\Delta _{{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}}^{{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}}$为关于$ {{\boldsymbol{x}}_{q,k}} $的二阶偏导算子：

定义${{\boldsymbol{P}}_k} = \{ P_k^1,P_k^2\cdots,P_k^m,\cdots,P_k^M\}$为所有雷达节点的发射功率集合。如果不考虑检测的不确定性，则贝叶斯信息矩阵可以简单表示为^[10-11]：

式中，${{\boldsymbol{H}}_{q,k}} = {\left[ {{\Delta _{{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}}}{{\boldsymbol{h}}^{\rm{T}}}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} )} \right]^{\rm{T}}}$表示${\boldsymbol{h}}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} )$关于$ {{\boldsymbol{x}}_{q,k}} $的雅克比函数；${{\boldsymbol{J}}_P}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} )$和${{\boldsymbol{J}}_z}( {{{\boldsymbol{x}}_{q,k}}} )$分别为先验信息和数据的费舍尔信息矩阵。

当考虑到检测的不确定性后，贝叶斯信息矩阵被修正为以下形式^[10]：

然后，贝叶斯克拉美罗界被定义为贝叶斯信息矩阵的逆：

本文以BCRLB的迹作为目标跟踪精度评价指标，即：

式中，$ {\text{Tr[}} \cdot {\text{]}} $表示取迹操作。一个更大的$ F $值等效于更差的跟踪精度，反之亦然。同时注意到，此指标针对的是每一帧的系统跟踪性能，但无法直接反映跟踪航迹的质量，如航迹连续性。

本文考虑优化最差性能的目标的跟踪精度，从而使所有目标均可被良好跟踪。同时，为了保证航迹的连续性，需要保证目标不能在连续$S$帧内未被有效检测^[12]。首先，定义有效检测指示函数$ {d_{q,k}} $，用于对检测不确定性进行刻画，具体表示为：

式中，$ {P_{{\text{dt}}}} $为预设的检测概率阈值。式(14)表示，在第$k$帧，若雷达节点对目标的检测概率不小于预设检测概率阈值，则认为系统对目标有效检测，此时$ {d_{q,k}} = 1 $；否则，认为系统未对目标有效检测，此时$ {d_{q,k}} = 0 $。

基于以上定义与分析，功率分配问题可表示为：

式中，前两条约束与雷达功率资源相关，分别表示：1)雷达辐射功率有最小和最大功率的约束限制；2)雷达系统功率总和为一定值。

最后一条约束为航迹连续性约束，以保证跟踪航迹的连续性，其表示不存在在连续的$ S $帧内目标均未被有效检测的情况，由此保证雷达系统跟踪航迹不中断。

由于优化问题(15)中，最后一条约束为复杂非凸约束，因此此类问题无法使用标准的凸优化算法，如梯度投影等求解^[13]。而各种启发式算法(如遗传算法、模拟退火算法等)通常计算量较大，无法满足实时性优化的要求^[14]。因此，提出一个基于凸优化的自约束功率分配(self-constrained power allocation, SCPA)算法，对功率分配问题(15)进行求解。

注意到，若将式(15)中的约束进行拆分，将其中有关航迹连续性的约束，即：

暂时忽略，则功率分配问题变为一个标准凸优化问题：

优化问题(17)可以通过梯度投影等标准凸优化算法进行求解，将式(17)所求的优化解记为$ {\hat {\boldsymbol P}_k} $。

在$ S $帧之前，跟踪航迹不受航迹连续性约束式(16)的限制，此时最终的优化解$ {{\boldsymbol P}_{k,{\text{opt}}}} $即为$ {\hat {\boldsymbol P}_k} $。然而在$S$帧之后，由于受到航迹连续性约束式(16)的限制，优化解$ {\hat {\boldsymbol P}_k} $不一定是原优化问题式(15)的可行解。因此，从第$S$帧开始，需要考虑航迹连续性约束对功率分配的影响，并基于优化问题式(17)的解$ {\hat {\boldsymbol P}_k} $进行进一步处理，从而得到最终的功率分配结果$ {{\boldsymbol P}_{k,{\text{opt}}}} $。具体方法如下。

1) 基于解$ {\hat {\boldsymbol P}_k} $表示的功率分配结果，判断各雷达节点是否满足航迹连续性约束式(16)。若约束满足，则输出$ {{\boldsymbol P}_{k,{\text{opt}}}} = {\hat {\boldsymbol P}_k} $。若约束不满足，则将所有不满足式(16)的节点标号提取并记为${\boldsymbol{\chi}} = \left\{ {{m_i}} \right\}_{i = 1}^I$，其中$I$表示所有不满足航迹连续性约束的雷达节点个数。

2) 针对第$ {m_i} $(${m_i} \in {\boldsymbol{\chi}}$)个雷达节点，将其发射功率改变为$ \hat P_k^{{m_i}} = P_{k,\min }^{{m_i}} $，其中$ P_{k,\min }^{{m_i}} $表示令目标检测概率刚好等于检测概率阈值的发射功率。

3) 重复步骤2) 共$I - 1$次，令所有不满足航迹连续性约束式(16)的节点，通过改变发射功率，满足航迹连续性约束。

4) 固定所有$\hat P_k^{{m_i}}({m_i} \in {\boldsymbol{\chi}} )$，即$\hat {\boldsymbol{P}}_k^{\boldsymbol{\chi}}$，并代入到优化问题式(17)中，对其余$M - I$个节点功率二次优化，即：

5) 结合步骤2) , 3) , 4) 的优化结果，得到更新后的功率分配结果${\hat {\boldsymbol{P}}_k}$，重复步骤1)。

为了验证所提功率分配算法的有效性，考虑一个多目标跟踪的仿真场景。雷达节点数为4，节点位置分别为[−60,0] km、[−20,0] km、[20,0] km和[60,0] km，监视周期为40帧，观测时间间隔为2 s。雷达系统主要参数为：雷达节点有效时宽0.1 ms，有效带宽1 MHz，系统总功率100 dBw。功率约束分别为$ {P_{\min }} = 0.1{P_{{\text{total}}}} $和$ {P_{\max }} = 0.9{P_{{\text{total}}}} $，检测概率阈值为$ {P_{{\text{dt}}}} = 0.7 $，航迹连续性约束中取$ S = 3 $。优化问题式(17)和式(18)均利用凸优化工具包CVX进行求解，所有仿真均进行300次蒙特卡洛实验。

为了验证所提SCPA算法的有效性，以另一种常见固定功率分配(fixed power allocation, FPA)算法作为对比，即系统总功率平均分给各个雷达节点。

假设目标数为4，编号1~4的雷达节点分别对编号1~4的目标进行跟踪，目标的运动轨迹如图2所示。

图  2  目标运动轨迹图

图3给出了SCPA算法优化得到的归一化功率分配方案(即功率与系统总功率的比值)，栅格中的颜色表示各目标所分配的归一化功率的值。同时，图4给出了由SCPA算法优化下各目标的检测概率。可以发现，在跟踪初始阶段，目标3位于雷达系统的远区，此时目标3需要更多的功率以获得可靠的检测。从图4中可以注意到，在跟踪初始阶段，目标3的检测性能处于一个较低的水平。此时，为了避免目标在3帧内未被雷达系统有效检测而引发航迹中断，雷达系统分配给目标3的功率每隔两帧会有大幅度提升，如在第4、7、10、13、16帧，如图3所示。

图  3  SCPA优化各目标所分配的功率

随着系统分配大量功率，目标3在第4、7、10、13、16帧的检测概率达到了检测概率阈值，因此避免了航迹中断，如图4所示。而在跟踪过程后期，目标1和4运动至雷达系统远区，因此需要更多的功率以保证可靠检测。从图3中可以发现，在跟踪后期，为目标1、4分配的功率也是每隔两帧就会大幅提升，从而使检测概率达到阈值，避免航迹中断。这也对应于图4中目标1、4的检测概率。

图  4  SCPA优化所得各目标检测概率

图5给出了FPA算法优化后的各目标检测概率。从图5中可以看出，由于FPA算法没有考虑检测不确定性，因此FPA优化的结果航迹中断现象非常严重。如前所述，跟踪前期的目标3和跟踪后期的目标1、4均位于雷达系统的远区，此时均匀分配的功率无法满足有效检测的需要。因此，目标1、3、4在相对应的阶段有相当长的时间，检测性能较差，因此航迹中断现象严重。而由于考虑了目标的检测不确定性，提出的SCPA算法可以保证所有目标跟踪全阶段航迹不中断，目标航迹质量高。

图  5  FPA优化所得各目标检测概率

图6给出了两种算法的BCRLB，为300次蒙特卡洛实验平均结果。可以看出，两种算法优化后目标的BCRLB很接近，说明在保证航迹连续性的同时，SCPA算法可以保证良好的系统跟踪性能。因此，仿真结果表明所提SCPA算法的有效性。

图  6  两种算法的BCRLB对比

本文基于凸优化方法，将功率优化问题中的复杂约束进行拆分处理，提出了一种自约束功率分配算法，且所提算法具有可推广性。通过多组仿真实验可以看出，该算法可以通过对雷达系统功率资源的优化配置，在保证航迹连续性的同时，保证良好的系统跟踪性能。