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随着互联网与通信技术的发展，图像作为最广泛应用的信息传输媒介，相较于文字信息，其包含的信息量更加巨大，每年由于信息泄漏而造成的损失十分巨大，图像传输过程中的安全问题成为一个重要的研究课题[1]，提出更加安全高效的加密算法就显得尤其重要。数字图像在计算机中的存储可以视为一个二维像素矩阵，以二进制方式存在硬盘中，具有数据量大、相邻像素点间关联度高等特点，故而传统的流数据加密算法如DES、IDEA、AES等对数字图像进行处理时，加密后的图像容易被攻击和破解。
目前，主流的数字图像加密思路分为像素点位置制乱与像素值制乱，前者有Arnold变换[2]，Fibonacci变换与魔方置换[3]等，前面两种方法在对图像进行加密时，均表现出周期性，这增大了图像被破译的风险；像素值制乱主要有混沌映射法[4]，利用混沌系统的初值敏感性生成加密矩阵，并通过对像素值处理完成加密。文献[5]提出了结合多种混沌系统的图像加密算法，进一步提高了加密效率与安全性。
量子计算[6]是以量子力学基本原理为基础对数据进行计算的一种模型，用来研究量子计算机上的计算问题，包含叠加、纠缠等特性，拥有了传统计算机不具有的强大并行运算能力。1994年，文献[7]提出了大数质因子分解量子算法，1996年，文献[8]提出量子快速搜索算法，前者将复杂度从经典算法的
$ {\rm{O}}\left(N\right) $ 减小到$ {\rm{O}}\left({N}^{1/2}\right) $ ；后者将复杂度从指数级降低到多项式级。2022年，文献[9]提出了一种基于置换群的量子行走反馈搜索算法，提高了搜索速度，近些年，将量子特性与其他领域相融合成为一种研究趋势[10-12]。量子随机行走 （alternating quantum random walk, AQW）是一种量子计算模型，1993年由文献[13]首次提出，但在这个实验中，研究人员需要对其中的每一步进行一次测量，而测量将导致量子态的坍缩，故而与经典行走相比并未表现出量子优越性，直到文献[14]提出连续量子随机行走，文献[15]提出离散量子随机行走，其量子特性才得以显现。随后，研究人员开始致力于探索量子随机行走的应用领域。文献[16-19]针对不同场景对量子行走的性质作了进一步的研究，2012年，文献[20]将连续时间量子随机行走运用于图同构和聚类算法中，拓展了量子随机行走的应用范围，近年来，一些学者尝试将AQW作用到图像的加密中，并得到了良好的加密效果[21-23]。
量子图像处理作为量子计算的分支，集图像处理、量子信息学等学科于一体，由文献[24]在1997年首次提出。2003年，文献[25]尝试将已有的量子算法应用于图像处理上，并逐渐形成两个分支：量子图像表示和量子图像处理。2005年，文献[26]提出一种量子图像表示方法，将二维图像中的像素值转换为了Hilbert空间中的量子态，目前已经有多种量子图像表示方法被提出，如Entangled Image[27], FRQI[28], NEQI[29]。本文使用的NCQI[30]是NEQI模型的扩展，解决了NEQI只能表示灰度图像的缺陷，将量子图像表示运用到了彩色图像中。在量子图像处理方面，也有很多成果问世，如量子几何变换[31]、量子缩放[32]、量子平移[33]。2020年，文献[34]提出了一种新型的基于Kirsch算子边缘提取的量子图像处理算法，2021年，文献[35]提出了一种新的量子彩色图像加密算法，验证了对量子图像进行加密传输的安全性与可行性。
为解决目前图像传输过程易受攻击与泄密的难题，本文提出了一种基于AQW与量子异或操作的量子图像加密算法，首先为一幅经典的彩色图像构建量子线路，并以NCQI模型存入量子计算机中，得到
$ \left| I \right\rangle $ ，接着按照通信双方事先约定好的密钥进行一定步数的AQW并生成概率矩阵，并以此生成量子异或操作矩阵，将其作用到$ \left| I \right\rangle $ 上，得到加密后的量子图像$ \left| M \right\rangle $ ；解密过程是加密过程的逆过程，由于接收方拥有相同的AQW参数，将生成一个相同的量子异或操作矩阵。基于AQW的安全性与量子图像的量子性，可以提高图像在传输过程中的安全性。 -
交替量子随机行走作为经典漫步的推广，具有密钥敏感性与非周期性等特点，可抵抗各种攻击。一维量子漫步的演化算符
$ U $ 作用在希尔伯特空间$ {H}_{p}\times {H}_{c} $ 上，其中$ {H}_{p} $ 为行走空间，由位置态$ \left| x \right\rangle $ ，$ x\in X $ 张量而成，$ X $ 是一维直线上所有点的集合，$ {H}_{c} $ 为硬币空间，由$\left| 0 \right\rangle$ 和$\left| 1 \right\rangle$ 张量而成。演化算符$ U=S(I\times C) $ ，其中C为硬币抛掷算符，其矩阵形式如下所示：$$ {\boldsymbol{C}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\ {\sin \alpha }&{ - \cos \alpha } \end{array}} \right) $$ (1) 将C作用于
$ {H}_{c} $ ，移位算符S根据硬币的投掷结果作用于$ {H}_{p} $ ，S的作用效果描述为当硬币态为$\left|0 \right\rangle$ 时，粒子向右移动，当硬币态为$\left| 1 \right\rangle$ 时，粒子向左移动。本文使用的AQW如图1所示，将位置态拓展为x、y两个方向的二维平面，并依次在这两个方向上交替行走。
图 1 量子随机行走示意图
此时的演化算符
$ U = {S}_{y}(I\times C){S}_{x}(I\times C) $ ，其中$ {S}_{y} $ 为：$$ \begin{split} {S_y} =&\displaystyle \sum\limits_{x,y}^N | x,(y + 1)\,\text{mod} \,N,0\rangle \langle x,y,0|+\\& |x,(y - 1)\,\text{mod} \,N,1\rangle \langle x,y,1| \end{split} $$ (2) $ {S}_{x} $ 表示x轴方向上的移位算符，与上式同理，设行走粒子的初始状态为$\left| {\varPsi }_{0} \right\rangle$ ，则经过t步随机行走后，整个系统的状态$\left| {\varPsi }_{0} \right\rangle={U}^{t}\left| {\varPsi }_{0} \right\rangle$ ，在坐标(x,y)处找到该粒子的概率为：$$ P = {\left| {\left\langle {x,y,0} \right|{U^t}\left| {{\Psi _0}} \right\rangle } \right|^2} + {\left| {\left\langle {x,y,1} \right|{U^t}\left| {{\Psi _0}} \right\rangle } \right|^2} $$ -
NCQI是通用量子图像表示NEQR的改进，通过对彩色图像的（R,G,B）三通道分别进行NEQR表示，其中（R,G,B）分别表示红绿蓝三基色，这样NCQI模型就可以处理24位的彩色图像。一个
$ {2}^{n}\times {2}^{n} $ 的彩色图像，其所需的量子比特为（2n+24）个，整幅图像可以表示为：$$ \begin{split} & |I\rangle = \frac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\left| {{C_{yx}}} \right\rangle } } \otimes |yx\rangle= \\& \frac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\left| {{R_{yx}}} \right\rangle } } \left| {{G_{yx}}} \right\rangle \left| {{B_{yx}}} \right\rangle \otimes |yx\rangle \end{split} $$ (3) 其中
$\left| {{C_{yx}}} \right\rangle$ 存储了$\left| {yx} \right\rangle$ 处像素的颜色信息，并由R, G, B三通道进行灰度值存储。将图2用NCQI模型表示为：$$ \begin{split} \left| I \right\rangle =& \dfrac{1}{{{2^n}}}(\left| {11111111{\text{ }}11011111{\text{ }}11010000} \right\rangle \otimes \left| {0...0{\text{ 0}}...{\text{0}}} \right\rangle +\\& \left| {11110010{\text{ }}10110100{\text{ }}10100001} \right\rangle \otimes \left| {0...0{\text{ 0}}...{\text{1}}} \right\rangle+ \\& \left| {11100100{\text{ }}11010101{\text{ }}10110001} \right\rangle \otimes \left| {0...1{\text{ 0}}...{\text{0}}} \right\rangle +\\& \left| {11110000{\text{ }}10111101{\text{ }}10101101} \right\rangle \otimes \left| {0...1{\text{ 0}}...{\text{1}}} \right\rangle + ...) \end{split} $$ 
图 2 将二维彩色图像进行RGB三通道拆分
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为了对整个量子图像实行量子异或XOR操作，需要将其分为
$ {2}^{2n} $ 个子操作$ {K}_{yx} $ ，每一个子操作对一个具体的像素值进行异或操作，整个子异或操作用一个跟图像相同大小的矩阵K表示为：$$ {\boldsymbol{K}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{K_{0{\text{ }}1}}}& \cdots &{{K_{0{\text{ }}{2^n} - 1}}} \\ \vdots & & \vdots \\ {{K_{{2^n} - 1{\text{ 0}}}}}& \cdots &{{K_{{2^n} - 1{\text{ }}{2^n} - 1}}} \end{array}} \right) $$ (4) 式中，
$ {k}_{yx}={m}_{yx}^{0}{m}_{yx}^{1}{m}_{yx}^{2}{m}_{yx}^{3},\cdots,{m}_{yx}^{23},{m}_{yx}^{i}\in \mathrm{0,1} $ ，并根据$ {k}_{ij} $ 生成量子门操作序列B：$$ {\boldsymbol{B}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{0{\text{ }}1}}}& \cdots &{{B_{0{\text{ }}{2^n} - 1}}} \\ \vdots & & \vdots \\ {{B_{{2^n} - 1{\text{ 0}}}}}& \cdots &{{B_{{2^n} - 1{\text{ }}{2^n} - 1}}} \end{array}} \right) $$ (5) 式中，
$ {B}_{yx}={T}_{yx}^{0}{T}_{yx}^{1}\cdots {T}_{yx}^{23} $ ，其中${T}_{yx}^{i}=\left\{\begin{array}{c}X\quad{m}_{yx}^{i}=1\\ I\quad{m}_{yx}^{i}=0\end{array}\right.$ ，当$ {m}_{yx}^{i}=1 $ 时，表示对像素序列$\left| {{C_{YX}}} \right\rangle$ 中的第i+1个量子比特实行X门操作；当$ {m}_{yx}^{i}=0 $ 时，对像素序列$\left| {{C_{YX}}} \right\rangle$ 中的第i+1个量子比特实行I门操作。X门与I门的矩阵形式如下所示：$$ {\sigma _X} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ 1&0 \end{array}} \right),{\text{ }}{\sigma _I} = \left( {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0 \\ 0&1 \end{array}} \right) $$ (6) 将
$ {B}_{yx} $ 作用于该图处于$ g(y,x) $ 处像素$\left| {g(y,x)} \right\rangle$ 时，有${B_{yx}}\left| {g(Y,X)} \right\rangle = {B_{YX}} \otimes _{i = 1}^{24} \left| {{C_{YX}}} \right\rangle = \otimes _{i = 1}^{24} \left| {C_{YX}^i \oplus m_{YX}^i} \right\rangle = \left| {f(Y,X)} \right\rangle$ ，其中$ \left|f(Y,X)\right\rangle $ 表示的是进行像素置乱之后的新像素值。把B作用到整个图像，此时有：$$ \begin{split} B|I\rangle =& \prod\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\prod\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {{B_{yx}}} } |I\rangle = \dfrac{1}{{{2^n}}}\sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} { \otimes _{i = 0}^{23}} } \left| {C_{yx}^i \oplus m_{yx}^i} \right\rangle |yx\rangle= \\& \qquad\qquad\quad\dfrac{1}{{{2^n}}}\sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} | } f(y,x)\rangle |yx\rangle \\[-20pt] \end{split} $$ (7) -
由两个量子比特构成的量子或门
$ \cup $ 、量子与门$ \cap $ ，其作用效果如图3所示，线路中使用了交换门与Toffoli门以及一个辅助量子比特。
图 3 双量子比特与门和或门
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本文提出了一种基于AQW与量子异或操作的量子彩色图像加密模型，在本模型中，首先对一幅彩色图像进行RGB三通道拆分，并构建量子线路以NCQI模型存储于量子计算机中，得到量子图像，再根据双方事先约定好的密钥进行AQW，同时构建量子异或线路，完成对图像的加密操作，解密方案是加密方案的逆过程，本方案的加密流程如图4所示。
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在对彩色量子图像进行操作之前，需要先将其存储于量子计算机上，用24+2n个量子比特存储一幅
$ {2}^{n}\times {2}^{n} $ 大小的图片，首先将它们初始化为$ \left|0\right\rangle $ 态，即$\left|{\varphi}_{0}\right\rangle={\left|0\right\rangle}^{\otimes 24+2n}$ ，使用Hadamard门和恒等门I分别作用于初始态中表示位置与像素的量子比特，此时得到一个空白量子图像$\left|{\varphi }_{1}\right\rangle$ ：$$ \left|{\varphi }_{1}\right\rangle=(I\left|0\right\rangle{)}^{\otimes 24}\otimes (H\left|0\right\rangle{)}^{\otimes 2n} $$ (8) 接着对
$\left|{\varphi }_{1}\right\rangle$ 设置颜色信息，因为一共有$ {2}^{2n} $ 个颜色需要设置，所以整个步骤可以划分为$ {2}^{2n} $ 个子操作，对于$(Y,X) $ 处颜色，量子操作$ {w}_{YX} $ 为：$$ {w_{YX}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {I \otimes \displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} | } yx\rangle \langle yx|} \\ {(yx) \ne YX} \end{array}} \right) + {\varOmega _{YX}} \otimes |YX\rangle \langle YX| $$ (9) 式中，
$ {\varOmega }_{YX}={\otimes }_{i=0}^{23}{\varOmega }_{YX}^{i} $ ，$ {\varOmega }_{YX}^{i} $ 的作用效果是设置$(Y,X) $ 处表示颜色信息的第i个比特位的值，即：$$ {\varOmega }_{YX}^{i}:\left|0 \oplus {C}_{YX}^{i}\right\rangle $$ (10) 将
$ {w_{YX}} $ 作用于$ \left| {{\varphi _1}} \right\rangle $ ，设置$(Y,X) $ 位置的颜色值：$$\begin{split} &\qquad\qquad\qquad{w_{yx}}\left| {{\varphi _1}} \right\rangle =\\ &\qquad {w_{YX}}\left( {\dfrac{1}{{{2^n}}}\sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} | } 0{\rangle ^{ \otimes 24}}|yx\rangle } \right)= \\ &\dfrac{1}{{{2^n}}}{w_{YX}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} | } 0{\rangle ^{ \otimes 24}}|yx\rangle } \\ {(yx) \ne (YX)} \end{array} + {{\left| 0 \right\rangle }^{ \otimes 24}}|YX\rangle } \right)=\\ & \dfrac{1}{{{2^n}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} | } 0{\rangle ^{ \otimes 24}}|yx\rangle } \\ {(yx) \ne (YX)} \end{array} + {\Omega _{YX}}{{\left| 0 \right\rangle }^{ \otimes 24}}|YX\rangle } \right) = \\ & \dfrac{1}{{{2^n}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} | } 0{\rangle ^{ \otimes 24}}|yx\rangle } \\ {(yx) \ne (YX)} \end{array} + \otimes _{i = 0}^{23}\left| {{C_{YX}}|YX} \right\rangle } \right)\\[-20pt] \end{split}$$ (11) 
图 4 量子图像加密与解密模型
最终对中间态
$\left|{\varphi }_{1}\right\rangle$ 执行$ {2}^{2n} $ 次$ {w}_{YX} $ 操作后，将原始空白量子图像像素值都设置为所需值，得到了彩色量子图像$\left|{\phi }_{2}\right\rangle$ 为：$$ \begin{split} &w\left| {{\varphi _1}} \right\rangle = \dfrac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{Y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{X = 0}^{{2^n} - 1} {{\varOmega _{YX}}} } |0{\rangle ^{ \otimes 24}}|YX\rangle=\\ & \dfrac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{Y = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{X = 0}^{{2^n} - 1} { \otimes _{i = 0}^{23}} } \left| {C_{YX}^i} \right\rangle |YX\rangle= \left| {{\varphi _2}} \right\rangle \end{split} $$ (12) -
利用1.4节中的几个简单量子线路，可以将其扩展并设计两个二值矩阵的量子异或门线路，如图6所示，其中
$ {C}_{YX}^{{\rm{AQW}}} $ 表示通过AQW二值矩阵构建的量子线路中的颜色信息，$ {C}_{YX} $ 为根据原始图像构建的量子线路中的颜色信息。
图 5 量子彩色图像制备线路
图 6 两个二值矩阵的量子异或门线路
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本文将原始像素矩阵
$ {I}_{0}(M\times N) $ 拆分成三通道像素矩阵$ {{\boldsymbol{R}}}_{0}(M\times N) $ ，$ {{\boldsymbol{G}}}_{0}(M\times N) $ ，$ {{\boldsymbol{B}}}_{0}(M\times N) $ ，并根据上文内容，以NCQI模型存入量子计算机中，得到$\left|I\right\rangle=\dfrac{1}{{2}^{n}}\displaystyle \sum _{x=0}^{{2}^{n}-1}\displaystyle \sum _{y=0}^{{2}^{n}-1}\left|{C}_{yx}\right\rangle\otimes \left|yx\right\rangle$ 。1）选择AQW的一组参数
$ (N,T,\theta ,\alpha ,\beta ) $ ，其中N表示控制概率矩阵的大小，T表示行走的次数，也是执行U操作的次数，$ \theta $ 控制硬币算子C，$ (\alpha ,\beta ) $ 是硬币初始态的参数，并作为图像加密的密钥提前分发给通信双方。2）粒子在
$ N\times N $ 大小的空间里，沿xy两个方向依次行走T步之后，根据其在每一点出现的概率生成AQW概率矩阵P，并调整其大小为对应的加密图像大小$ {2}^{n}\times {2}^{n} $ ，即：$$ {P_1} = {\rm{resize}}({\boldsymbol{P}},[{2^n} \times {2^n}]) $$ 3）转换
$ {P}_{1} $ 中每一个元素的值，使之变成0～255之间的整数：$$ {P}_{yx}^{*}=({P}_{yx}\times 1{0}^{12}){\rm{mod}}\; 256 $$ 4）将
$ {P}_{yx}^{*} $ 中元素转换成8位二进制，不足8位的高位补零，假设p*00=26，转换成二进制后为11010，高位补零到八位，转换成00011010，待所有元素转换后生成矩阵${{\boldsymbol{K}}_{YX}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{k_{0{\text{0}}}}}& \cdots &{{k_{0{{\text{2}}^n}{\text{-1}}}}}\\ \vdots &{}& \vdots \\{{k_{{2^n}{\text{-1}}}}}& \cdots &{{k_{{2^n}{\text{-1}}{{\text{2}}^n}{\text{-1}}}}}\end{array}} \right)$ ，其中${k}_{yx}={m}_{yx}^{0}{m}_{yx}^{1}{m}_{yx}^{2}\cdots {m}_{yx}^{23}，{m}_{yx}^{i}\in \mathrm{0,1}$ 是$ {p}_{yx} $ 的二进制表示，x 与 y 分别表示矩阵中对应的位置关系。5）根据矩阵
$ {{\boldsymbol{K}}}_{YX} $ ，生成量子异或操作矩阵$ {{\boldsymbol{B}}}_{YX} $ ，与$ {k_{yx}} $ 同理，${b}_{yx}={T}_{yx}^{0}{T}_{yx}^{1}{T}_{yx}^{2}\cdots{T}_{yx}^{23}$ ，其中${T}_{yx}^{0}\sim {T}_{yx}^{7}$ 控制的是量子线路中的R通道，$ {T}_{yx}^{8}\sim {T}_{yx}^{15} $ 控制的是G通道，$ {T}_{yx}^{16}\sim {T}_{yx}^{23} $ 控制的是B通道，${T}_{yx}^{i}= \left\{\begin{array}{c}X,{m}_{yx}^{i}=1\\ I,{m}_{yx}^{i}=0\end{array}\right.$ 。6）根据量子异或操作矩阵
$ {{\boldsymbol{B}}}_{YX} $ ，对$ \left|I\right.⟩ $ 进行置乱，得到加密后的量子图像$ \left|M\right\rangle $ 为：$$ \begin{split} &\qquad\qquad\qquad{B}_{YX}\left|I\right\rangle=\\&\qquad\quad{\prod }_{x=0}^{{2}^{n}-1}{\prod }_{y=0}^{{2}^{n}-1}{b}_{yx}\left|I\right\rangle =\\&\frac{1}{{2}^{n}}{\displaystyle \sum }_{x=0}^{{2}^{n}-1}{\displaystyle \sum }_{y=0}^{{2}^{n}-1}{\otimes }_{i=0}^{23}\left|{C}_{yx}^{i} \oplus {m}_{yx}^{i}\right\rangle\left|yx\right\rangle =\\&\frac{1}{{2}^{n}}{\displaystyle \sum }_{x=0}^{{2}^{n}-1}{\displaystyle \sum }_{y=0}^{{2}^{n}-1}\left|f(y,x)\right\rangle\left|yx\right\rangle =\left|M\right\rangle \end{split} $$ (13) -
解密算法是加密算法的逆过程，由于密钥提前已经发送给了通信双方，此时根据相同的AQW参数，将生成相同的AQW概率矩阵，重复加密过程中的步骤1）～步骤5），将得到量子异或操作矩阵Byx。
由矩阵Byx对加密后的量子图像
$ \left|M\right\rangle $ 进行解密，得到原始量子图像$ \left|I\right\rangle $ ：$$ \begin{split} &\qquad\qquad{B_{YX}}\left| M \right\rangle = \prod\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\prod\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {{b_{yx}}\left| M \right\rangle } } =\\&\qquad \frac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} { \otimes _{i = 0}^{23}\left| {C_{yx}^i \oplus m_{yx}^i \oplus m_{yx}^i} \right\rangle \left| {yx} \right\rangle } } =\\&\frac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} { \otimes _{i = 0}^{23}\left| {C_{yx}^i} \right\rangle \left| {yx} \right\rangle } }= \frac{1}{{{2^n}}}\displaystyle \sum\limits_{x = 0}^{{2^n} - 1} {\displaystyle \sum\limits_{y = 0}^{{2^n} - 1} {\left| {g(y,x)} \right\rangle \left| {yx} \right\rangle } } = \left| I \right\rangle \end{split} $$ (14) -
本文选择512×512大小的图像进行实验，所需要的量子比特数量为103个，且处于相干时间无限长，保真度百分之百的理想状态下，现有的量子计算机无法满足实验需要，所以本实验将在经典计算机上使用pycharm软件通过模拟仿真实现。在经典计算机中，将量子图像转换成像素矩阵，异或操作转换成酉矩阵，H门与I门也用相应的酉矩阵进行替代。对3幅相同大小的彩色图像进行三通道拆分后，分别与生成的AQW概率矩阵进行加密与解密，从图7的仿真结果可知，密文图像呈现随机噪声形式，解密图像与原始图像完全相同。
图 7 加密与解密效果图
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信息分析一般包括相邻像素相关性分析与直方图分析，是攻击者可以通过对获取到的密文信息进行统计分析，从而得到明文图像的方法。
1）相邻像素相关性分析
对于图像而言，相邻像素点的像素值之间存在着很高的相关性，攻击者可以利用其中一个像素点的信息去预测周围像素点的像素值，从而破解整个或部分图像信息，相关系数计算公式为：
$$ {\delta }_{yx}=\dfrac{{\rm{cov}}(y,x)}{\sqrt{D\left(y\right)}\sqrt{D\left(x\right)}} $$ (15) 式中，y、x为相邻的两个像素；
$ {\rm{cov}}(y,x) $ 为协方差公式，${\rm{cov}}(y,x)=\dfrac{1}{N} \displaystyle\sum\limits _{i=0}^{N-1}({y}_{i}-E(y\left)\right)({x}_{i}-E(x\left)\right)$ ，N为图像大小，$ E\left(x\right) $ 为均值；$D\left(y\right)=\dfrac{1}{N} \displaystyle\sum\limits_{i=0}^{N-1}({x}_{i}-E(x){)}^{2}$ 方差，其值越接近1，表明像素值之间的相关性越强，越接近0，表明相关性越弱。实验结果如图8～图10所示。
图 8 汽车图像加密前后相关性分析
图 9 Lena图像加密前后相关性分析
图 10 水波图像加密前后相关性分析
2）直方图分析
直方图分析反映了整个像素图像中各个像素值相对于其他像素值的分布情况，原始图像的直方图如图11所示，表现出明显的统计学规律，加密后的直方图分布越均匀，则方差越小，表明加密算法对像素的置乱越显著，抵御攻击者统计分析攻击的能力越强。实验结果表明，加密后的直方图像素均匀分布，具有良好的加密效果。
图 11 Lena图像加密前后直方图分析
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1）对于一个理想的图像加密算法，密钥中一个微小的改变应该对加密结果产生完全不同的效果，通常用像素变化率NPCR和统一平均变化强度UACI来评估不同密钥对图像加密的影响，计算公式如下：
$$ \begin{split} &\qquad{\rm{NPCR}}=\frac{\displaystyle \sum_{y,x}D(y,x)}{M\times N}\times 100\text{%}\\&{\rm{UACI}}=\frac{1}{M\times N}\frac{\displaystyle \sum _{y,x}\left({g}_{1}\right(y,x)-{g}_{2}(y,x\left)\right)}{255}\times 100\text{%} \end{split} $$ 式中，
$D(y,x)=\left\{\begin{array}{c}1\quad{g}_{1}(y,x)\ne {g}_{2}(y,x)\\ 0\quad{g}_{1}(y,x)={g}_{2}(y,x)\end{array}\right.$ ，NPCR和UACI的理想值应为99.6094%和33.4635%。本实验采用的两组密钥，分别为$(\dfrac{{\text{π}}}{3},\dfrac{{\text{π}}}{2})，(\dfrac{{\text{π}}}{3}-1{0}^{-11},\dfrac{{\text{π}}}{2})$ ，实验结果如表1所示。表 1 测试图片NPCR与UACI结果
% 基色 车 Lena 水波 NPCR UACI NPCR UACI NPCR UACI R 99.5920 33.4536 99.5889 33.6033 99.6064 33.4894 G 99.5930 33.4781 99.5964 33.4941 99.5999 33.3833 B 99.5982 33.50490 99.5861 33.4369 99.5958 33.3857 接下来给出本算法与文献[21,23,36]的比较结果，如表2所示。
表 2 几种方法的NPCR与UACI数据对比
% 2）熵是用来度量事物复杂度的物理量，对于安全性分析来说是一个重要参考指标，如果其信息熵的值趋近于8，则表明其像素扩散随机性好，应对统计攻击的能力强。信息熵的计算公式为：
$$ H(\partial )=-\displaystyle\sum _{i=0}^{N-1}P\left({\partial }_{i}\right){\rm{log}}_{2}P\left({\partial }_{i}\right) $$ (16) 式中，
$ {\partial }_{i} $ 表示$ \partial $ 点像素的灰度值；$ P\left({\partial }_{i}\right) $ 是灰度值$ {\partial }_{i} $ 出现的概率，计算结果如表3所示。表 3 测试图片信息熵
基色 车 Lena 水波 R 7.998 7.998 7.997 G 7.998 7.998 7.998 B 7.998 7.998 7.997 -
本文提出的基于量子随机行走与异或操作的量子图像加密模型，防止了攻击者通过已知的明文部分和对应的密文对整个图像进行破译。本文模型可以安全地传输量子图像。虽然在现有技术下无法对量子图像进行直接操作，但是在模拟仿真中证明了本文技术思路的有效性与安全性，展示了量子图像处理技术的广阔应用前景。
High Dimensional Quantum Image Encryption Model Based on Alternating Quantum Random Walk
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摘要: 图像加密是保证数字图像在互联网上进行安全传输的关键环节。文中提出了一种基于交替量子随机行走（AQW）与异或操作的彩色量子图像加密算法。首先，对原始彩色图像进行彩色量子图像表示法（NCQI）表示，构建量子线路，利用受控AQW生成的二进制概率矩阵构建量子异或矩阵，完成对原始量子图像的加密操作，解密过程是加密过程的逆过程。AQW的初始条件是保证量子图像加密算法安全性的关键。通过对提出的加密模型进行经典计算机上的仿真实验，验证了该量子图像加密模型的安全性。Abstract: Image encryption is a key link to ensure the secure transmission of digital images over the Internet. In this paper, a color quantum image encryption algorithm based on alternating quantum random walk (AQW) and XOR operation is proposed. Firstly, the original color image is represented by color quantum image representation (NCQI), the quantum circuit is constructed, and the quantum XOR matrix is constructed by using the binary probability matrix generated by the controlled AQW to complete the encryption operation of the original quantum image, and the decryption process is the reverse process of the encryption process. The initial condition of AQW is the key to guaranteeing the security of quantum image encryption algorithms. The security of the proposed quantum image encryption model is verified through the simulation experiment of on classical computer.
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Key words:
- AQW /
- NCQI /
- quantum XOR /
- quantum image encryption /
- quantum circuit
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表 1 测试图片NPCR与UACI结果
% 基色 车 Lena 水波 NPCR UACI NPCR UACI NPCR UACI R 99.5920 33.4536 99.5889 33.6033 99.6064 33.4894 G 99.5930 33.4781 99.5964 33.4941 99.5999 33.3833 B 99.5982 33.50490 99.5861 33.4369 99.5958 33.3857 
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表 2 几种方法的NPCR与UACI数据对比
%
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图(11) / 表(3)
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