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I2控制Buck变换器的一阶动力学分析

周群 徐懿 张金保 宁佳 曾雪洋

周群, 徐懿, 张金保, 宁佳, 曾雪洋. I2控制Buck变换器的一阶动力学分析[J]. 电子科技大学学报, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
引用本文: 周群, 徐懿, 张金保, 宁佳, 曾雪洋. I2控制Buck变换器的一阶动力学分析[J]. 电子科技大学学报, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
ZHOU Qun, XU Yi, ZHANG Jin-bao, NING Jia, ZENG Xue-yang. One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
Citation: ZHOU Qun, XU Yi, ZHANG Jin-bao, NING Jia, ZENG Xue-yang. One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013

I2控制Buck变换器的一阶动力学分析

doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
基金项目: 

国家自然科学基金 51177140

详细信息
    作者简介:

    周群(1966-),女,博士,副教授,主要从事开关电管的动力学方面的研究

  • 中图分类号: TM77

One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter

  • 摘要: 通过降阶处理,建立了I2控制Buck变换器的一阶离散映射迭代模型,研究了该模型的非线性动力学行为。通过分析检测电阻Rs和误差放大器比例系数k1为变量参数的分岔图,研究了系统从稳定周期1进入倍周分岔,从连续导电模式(CCM)鲁棒混沌进入断续导电模式(DCM)阵发混沌的动力学形为。通过Rs-Vok1-Vo参数空间分析和离散迭代映射空间分析,得到了稳定性和工作模式的变化情况,验证了理论分析的正确性。
  • 图  1  I2控制Buck变换器

    图  2  电感电流纹波图

    图  3  电感电流边界

    图  4  Rs和k1为参数的分岔图

    图  5  工作状态域分布

    图  6  离散迭代映射空间

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出版历程
  • 收稿日期:  2015-04-09
  • 修回日期:  2015-09-26
  • 刊出日期:  2016-05-01

I2控制Buck变换器的一阶动力学分析

doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
    基金项目:

    国家自然科学基金 51177140

    作者简介:

    周群(1966-),女,博士,副教授,主要从事开关电管的动力学方面的研究

  • 中图分类号: TM77

摘要: 通过降阶处理,建立了I2控制Buck变换器的一阶离散映射迭代模型,研究了该模型的非线性动力学行为。通过分析检测电阻Rs和误差放大器比例系数k1为变量参数的分岔图,研究了系统从稳定周期1进入倍周分岔,从连续导电模式(CCM)鲁棒混沌进入断续导电模式(DCM)阵发混沌的动力学形为。通过Rs-Vok1-Vo参数空间分析和离散迭代映射空间分析,得到了稳定性和工作模式的变化情况,验证了理论分析的正确性。

English Abstract

周群, 徐懿, 张金保, 宁佳, 曾雪洋. I2控制Buck变换器的一阶动力学分析[J]. 电子科技大学学报, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
引用本文: 周群, 徐懿, 张金保, 宁佳, 曾雪洋. I2控制Buck变换器的一阶动力学分析[J]. 电子科技大学学报, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
ZHOU Qun, XU Yi, ZHANG Jin-bao, NING Jia, ZENG Xue-yang. One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
Citation: ZHOU Qun, XU Yi, ZHANG Jin-bao, NING Jia, ZENG Xue-yang. One-Dimensional Dynamic Analysis of I2 Controlled Buck Converter[J]. Journal of University of Electronic Science and Technology of China, 2016, 45(3): 387-392. doi: 10.3969/j.issn.1001-0548.2016.02.013
  • 开关DC-DC变换器作为非线性时变系统的一种典型,运行状态非常复杂。近年来,通过对开关DC-DC变换器的非线性动力学研究,其非线性现象及其产生机理[1-11]被人们所认识,为工程设计和应用提供了可靠的理论依据。

    综合了峰值电流和平均电流控制[5-12]的优点,文献[13]提出了I2平均电流控制技术,实现了快速、准确的电流控制。本文研究的I2控制实质为输出恒压的电流控制技术,控制电路采用一个电压外环反馈和两个电流内环反馈,进行三环反馈控制,其中两个电流反馈分别作为电流误差反馈信号和PWM调制信号。I2控制Buck变换器引入了电压误差反馈增益,使其能够控制输出电压,实现过压和欠压保护;引入了电感电流误差反馈增益,使其能够控制电感电流,实现过流保护;直接引入电感电流作为PWM调制信号,使其具有较快的响应速度。

    文献[13]提出I2控制Buck变换器拓扑,并建立了小信号等效模型,但没有对I2控制Buck变换器的非线性动力学特性进行研究。本文建立了I2控制Buck变换器一阶等效离散迭代模型,研究了其动力学特性。以检测电阻Rs和比例系数k1作为变量参数,利用数值仿真软件MATLAB进行分岔分析[6-11];通过工作状态域分析[8-10],验证了分岔分析的正确性。

    • 图 1a为I2控制Buck变换器的工作原理图,主电路由输入电压源Vg、开关管S、二极管D、电感L、电容C(含等效串联电阻r)和负载R构成。

      图  1  I2控制Buck变换器

      图 1b为工作于CCM模式下I2控制Buck变换器的稳态工作波形。输出电压v0与基准电压Vref经误差放大器1得到误差信号vkl,vkl与电感电流检测电阻Rs两端电压vs经误差放大器2得到误差信号vk2,vk2与vs通过比较器得到控制开关管S导通与关断的PWM信号。当r较大时,输出电压纹波与电感电流纹波的变化趋势相同。在每一个开关周期开始时刻,时钟信号使RS锁存器置位,开关管S导通,续流二极管D关断,电感电流iL和输出电压v0上升。当vk2与vs相等时,比较器输出高电平,使锁存器复位,开关管S关断,二极管D导通,输出电压v0与电感电流iL下降,直到下一个时钟使开关管S导通。

    • 为简化系统建模,本文只考虑误差放大器的比例环节。当开关频率远高于Buck变换器的特征频率时,可以认为在一个开关周期内电容电压Vc恒定,即把Vc当作直流电压源。经简化处理,原有的高阶系统等效为只含有电感电流一个状态变量的一阶系统。负载R往往远大于rr上产生的电压纹波即为输出电压的纹波。由于r很小,iLr上产生的电压较小,可以近似认为输出电压平均值V0等于输出电容电压Vc。把电容电压Vc和电感电流iL分别看作给负载供电的两个独立电源,则输出电压v0=Va+ilr,其中,Va=VcR/(r+R)。

      图 2给出了电感电流iL纹波的一阶线性等效波形。开关管S导通时,iL线性上升;开关管S关断时,S线性下降。在不同的工作模式下,Buck变换器有不同的iL波形。当Buck变换器工作于CCM模式时,iL始终大于零,如图 2a所示(其中in为上周期结束时的电感电流,Ik为控制电流);在DCM模式时,如图 2b所示,iL下降到零后将持续为零,直到下一个时钟周期的开始。

      图  2  电感电流纹波图

      在开关管S导通和关断期间,电感电流iL的上升斜率ml和下降斜率m2分别为:

      $${m_{\text{1}}} = \frac{{{V_{\text{g}}} - {V_{\text{o}}}}}{L},{m_2} = \frac{{{V_{\text{o}}}}}{L}$$ (1)
    • 图 1a所示,误差信号vk1和vk2分别为:

      $${v_{{\text{k1}}}} = {k_1}({V_{{\text{ref}}}} - {v_{\text{o}}})$$ (2)
      $${v_{{\text{k2}}}} = {k_{\text{2}}}({v_{{\text{k1}}}} - {v_{\text{s}}})$$ (3)

      式中,k1和k2是误差放大器1和误差放大器2的比例系数;vsiLRs

      当导通时间Ton小于时钟周期Ts时,vk2与vs通过比较器得到翻转信号。在开关管S切换时有:

      $${i_{\text{L}}}{R_{\text{s}}} = {v_{{\text{k2}}}}$$ (4)

      把v0代入式(2),结合式(2)~式(4),可得开关切换条件为:

      $${i_{\text{L}}} = {I_{\text{k}}} = - \frac{{{k_{\text{1}}}{k_{\text{2}}}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})}}{{{R_{\text{s}}} + {k_{\text{2}}}({R_{\text{s}}} + {k_1}r)}}$$ (5)

      式中,Ik为开关状态切换时的电感电流,即控制电流。当Buck变换器的电感电流iL上升到Ik时,开关状态发生切换。从式(5)可以看出,控制电流Ik随电路参数变化而变化。

    • 在CCM模式下工作的I2控制Buck变换器,只有一个电感电流边界Ib1;处于DCM模式时,有两个电感电流边界Ib1Ib2。定义电感电流边界Ib1为开关导通一个开关周期Ts后,检测电阻Rs两端电压vs与误差信号vk2相等时,开关周期开始时的电感电流,如图 3a所示;定义电感电流边界Ib2为时钟周期结束时刻电感电流下降到零时,时钟周期开始时的电感电流,如图 3b所示。

      图  3  电感电流边界

      当导通时间Ton小于时钟周期Ts时,结合式(5),由两边界的定义可得:

      $${I_{{\text{b1}}}} = - {m_1}{T_{\text{s}}} + {\chi _1}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})$$ (6)
      $${I_{{\text{b2}}}} = - {m_1}{T_{\text{s}}} + {\chi _2}({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})$$ (7)

      式中,

      $$\eqalign{ & {\chi _1} = - \frac{{{k_1}{k_2}}}{{{R_{\text{s}}}({k_2} + 1) + {k_1}{k_2}r}} \cr & {\chi _2} = - \frac{{{k_1}{k_2}({m_1} + {m_2})({V_{\text{a}}} - {V_{{\text{ref}}}})}}{{({R_{\text{s}}} + {k_2}{R_{\text{s}}} + {k_1}{k_2}r){m_2}}} \cr} $$

      从式(6)和式(7)可以看出,Ib1Ib2随电路参数的变化而变化。

    • 采用频闪映射[7]建立I2控制Buck变换器的离散迭代模型。将nTs时刻输出电压和电感电流的采样值设为vn=v0(nTs)和in=iL(nTs);(n+1)Ts时刻输出电压和电感电流的采样值设为vn+1=v0[(n+1)Ts]和in+1=iL[(n+1)Ts]。在一个开关周期Ts内,不同的条件下I 2控制Buck变换器存在不同的运行轨道:

      1) 当in≤Ib1时,在一个开关周期内,开关管S一直导通,v0与iL增大,有:

      $${i_{n + 1}} = {i_n} + {m_1}{T_{\text{s}}}$$ (8)
      $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_n} + r{m_1}{T_{\text{s}}}$$ (9)

      2) 当Ib1<in<Ib2时,Buck变换器工作于CCM模式。iL上升到Ik时,开关管S从导通状态进入关断状态,v0与iL下降,直到开关周期结束,有:

      $${i_{n + 1}} = {i_{\text{L}}}(n{T_{\text{s}}} + {T_{{\text{on}}}}) - {m_{\text{2}}}({T_{\text{s}}} - {T_{{\text{on}}}})$$ (10)
      $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_{\text{L}}}(n{T_{\text{s}}} + {T_{{\text{on}}}}) - r{m_{\text{2}}}({T_{\text{s}}} - {T_{{\text{on}}}})$$ (11)

      3) 当Ib2≤in<Ik时,Buck变换器进入DCM工作模式,iL下降到零,v0下降到Va,并维持到下一个开关周期的开始,有:

      $${i_{n + 1}} = 0$$ (12)
      $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}}$$ (13)

      4) 当in≥Ik时,控制回路中比较器输出高电平,锁存器不能被当前周期的时钟信号置位,开关管S一直关断,iL、v0一直下降,有:

      $${i_{n + 1}} = {i_n} - {m_2}{T_{\text{s}}}$$ (14)
      $${v_{n + 1}} = {V_{\text{a}}} + r{i_n} - r{m_2}{T_{\text{s}}}$$ (15)

      容易证明式(8)~式(15)在两个边界处是连续的。

    • 基于I2控制Buck变换器的离散迭代模型,利用MATLAB数值仿真软件,以检测电阻Rs和比例系数k1为分岔参数,研究I2控制Buck变换器的动力学行为。电路参数为Vg7.5V,Vref5VL=100 μH,C=3 000 μF,r=0.05 Ω,R=3 Ω,k1=30,k2=30,Rs=0.1Ω,Ts=50 μs。

      图 4a为以检测电阻Rs为分岔参数的分岔图,V0=4.7 V、Rs=1.5~12 Ω。当Rs=12 Ω时,Buck变换器运行在DCM工作模式。随着Rs的减小,在Rs=11 Ω时,Buck变换器的运行轨道与Ib2碰撞,Buck变换器从稳定周期1进入周期2运行轨道;周期2运行轨道在Rs=6.36 Ω时与Ib1碰撞折叠,在Rs=4.79Ω时与边界Ib2碰撞分岔后,形成周期4分岔运行轨道;周期4运行轨道在Rs=4.11 Ω时与Ib1碰撞折叠。随着Rs减小,运行轨道形成DCM阵发混沌,在Rs=3.2 Ω时与边界Ib2碰撞,形成CCM鲁棒混沌,Rs=3.2 Ω为混沌状态转变的分界点。

      图  4  Rs和k1为参数的分岔图

      图 4b为以误差放大器1比例系数k1为分岔参数的分岔图,V0=4.9V、k1=0.3~6.7。当k1=0.3时,系统处于DCM工作模式。随着k1的增大,在k1=0.64时,稳定的周期1运行轨道与边界Ib2发生碰撞,形成周期2运行轨道;周期2运行轨道在k1=1.16时与边界Ib1碰撞折叠,在k1=1.84时与边界Ib2碰撞,形成周期4运行轨道,在k1=2.33时与边界Ib1碰撞折叠。随着k1的增大,Buck变换器的运行轨道形成DCM阵发混沌,在k1=4.35时与边界Ib2碰撞,形成CCM鲁棒混沌,k1=4.35为混沌状态转变的分界点。

      图 4看出,可以通过调节I2控制Buck变换器控制回路中的Rs和k1转变系统的运行状态。在一定的范围内,减小Rs或者增大k1可以使电路的运行状态由DCM阵发混沌转变为CCM鲁棒混沌;增大Rs或者减小k1可以使系统由混沌状态返回稳定运行状态。I2控制与V2控制比较,多引入了电流控制。从混沌状态的变化特性可以看出,I2控制可以通过控制检测电阻Rs控制系统的状态变化,拓宽系统的稳定性。

    • 变换器的稳定性分析只有在Ib2>in >Ib1时才有意义[6, 8-9]。根据iL与v0的关系,可知系统只有iL一个状态变量。由式(10)可得I2控制Buck变换器的特征根为:

      $$\lambda = \frac{{\partial {i_{n + 1}}}}{{\partial {i_n}}} = - \frac{{{m_2}}}{{{m_1}}}$$ (16)

      为了使I2控制Buck变换器工作于周期1,必须使|λ |<1。当λ从-1穿出此区域时,系统发生倍周期分岔现象。λ=-1时,把式(1)代入式(16),可得:

      $${V_{\text{o}}} = 0.5{V_{\text{g}}}$$ (17)

      I2控制Buck变换器发生CCM至DCM的工作模式转移是由边界碰撞分岔行为所引起。从图 4中两个分岔图也可以看出,当运行轨道与边界Ib2发生碰撞时,系统从DCM阵发混沌态进入CCM鲁棒混沌态。此时电感电流iL处于最大值,满足条件方程:

      $${I_{{\text{b2}}}} = {i_{n,}}_{\max } = {I_{\text{k}}}$$ (18)

      将式(5)、式(7)代入式(18),可得:

      $$({V_{\text{g}}} - {V_{\text{o}}})\frac{{{\eta _2}{T_{\text{s}}} + {\eta _3}{V_{{\text{ref}}}} + {\eta _4}}}{{{\eta _1}}} = 0$$ (19)

      式中,

      $$\eqalign{ & {\eta _1} = L(R + r)({R_{\text{s}}}{V_{\text{o}}} + {k_2}{R_{\text{s}}}{V_{\text{o}}} + {V_{\text{g}}}{k_1}{k_2} - {k_1}{k_2}{V_{\text{o}}}) \cr & {\eta _2} = {V_{\text{o}}}(R + r)({R_{\text{s}}} + {k_2}{R_{\text{s}}}) + {V_{\text{o}}}{k_1}{k_2}r(R + 1) \cr & {\eta _3} = - (R + r){k_1}{k_2}L,{\eta _4} = {k_1}{k_2}LR{V_{\text{o}}} \cr} $$

      选取与分岔分析相同的参数,由式(17)和式(19)确定的临界条件,可以得到Rs-V0和k1-V0为参数空间的参数域,如图 5所示。参数空间表明系统工作模式是随参数的变化而变化的。图 5可以看出两条边界把系统的运行状态分为3个状态区域,稳定周期1、CCM鲁棒混沌区和DCM阵发混沌区。由图 5a可以看出,当V0=4.7V时,Rs=3.2 Ω为图 4a中DCM阵发混沌态与CCM鲁棒混沌态的分界点;由图 5b可得,当V0=4.9V时,k1=4.35为图 4b中DCM阵发混沌态与CCM鲁棒混沌态的分界点。对比分析,证明了分岔分析的正确性。

      图  5  工作状态域分布

      选取I2控制Buck变换器的输出电压V0、检测电阻Rs和误差放大器1比例系数k1为可变参数,利用参数空间离散迭代映射图,进行I2控制Buck变换器的动力学研究。根据图 4参数的选取,分别选择两组相同的参数变量,变化范围为:Rs=1.5~12 Ω,V0=3.4~5.3 V及k1=0.3~6.7,V0=3.4~5.3 V。

      由式(8)~式(15)所描述的I2控制Buck变换器的离散迭代映射方程,可得如图 6a图 6b所示Rs-V0和k1-V0参数空间上的参数空间映射图。图 6中,使用不同的黑白灰度表示相应的周期数,在两参数平面中绘映射点时,用白色和灰度较浅区域表示低周期,黑色和灰度较深区域表示高周期,周期数越大则灰度越深。为了图象的清晰表达,图 6中给出了两条分界线划分不同状态的边界,CCM/DCM分界线以上为DCM阵发混沌区。对比图 5图 6可以看出,状态变化一致,状态域分析正确。

      图  6  离散迭代映射空间

    • 基于I2控制Buck变换器,研究了其一阶等效动力学建模和分岔行为。通过MATLAB建模仿真,进行了分岔分析;根据离散迭代模型和边界碰撞情况,分析了参数空间和离散迭代映射空间。

      本文建立了以电感电流边界的一阶离散模型;由动力学分析可得,系统存在稳定周期1、周期2、周期4、CCM鲁棒混沌和DCM阵发混沌,通过调节控制回路可以有效地调节系统的稳定性;与V2控制相比,I2控制可以通过调节电流反馈拓宽系统的稳定性。本文以I2控制Buck变换器的工作原理出发研究其动力学形为,对I2控制Buck变换器的理论分析和优化设计有重要的理论与实践价值。

参考文献 (13)

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