激光打靶得到的电压与天线处电场之间存在的线性关系，在频域上表示为：

时域上表示为：

式中，H(ω)为频域上的传递函数；H(t)为时域上的传递函数。由此可见，传递函数是连接电场和电压值的桥梁。本文采用环形Dot天线采集激光打靶产生的电磁脉冲信号。通过对天线仿真得到的电场值能推导出电压与电场之间的线性传递函数H(ω)，该传递函数是一个频域函数。而激光打靶过程中测试得到的电压值V(t)为示波器采样数据，是一个时域数值，因而首先需将其进行快速傅里叶变换(FFT)得到频域数值。根据式(3)进行计算，这样计算过程由卷积运算变为乘积运算，大大减少了整个过程的计算量。

式中， ${{\omega }_{N}}\text{=}{{\text{e}}^{(-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }i)/N}}$ 。

激光打靶测试得到的电压与天线位置处电场之间存在线性关系，从电压求解电场的问题是线性求逆过程。在求逆过程中，本文需要加入对解的幅度限定条件以去除存在的病态问题。

吉洪诺夫于二十世纪60年代提出了正则化方法，其基本原理是用一组与原不适问题相邻近的适定问题替代不适问题，去逼近求解原问题，以此消除病态数，解决存在的不适问题。病态数往往会导致舍入误差或其他误差的产生，严重影响计算结果的准确性，因此急需消除。物理学中，正则化是一种处理许多不合理表达式例如发散式、无限大等问题的方法，该方法关键在于选取到一个合适的正则化因子，增加全部或部分参数加权平方和极小的条件，以增加约束，消除病态数，使结果更加精确稳定。

如何建立有效正则化方法，取得适当正则化因子是处理不适定问题的关键内容^[14]。病态方程常见解法有共轭梯度法(CG)^[15]、奇异值分解SVD法^[16]、主成分估计、特征根估计法、最小二乘法、偏估计法和牛顿迭代法等。

针对传递函数时域线性模型：

式中，v,e为m维矢量(m为采样点数)；H为m×m维矩阵，其每一行为系统冲击响应的时间平移。将时域值通过FFT傅里叶变换后成m×1计算量，大大减小了计算的复杂性。同时，采用Tikhonov正则化法构造准则函数：

式中，‖·‖²代表欧几里得范数；而‖e‖²则是作为稳定泛函。构造该准则函数能够将不适定问题转化为适定问题；μ即为正则化因子，起平衡欧几里得范数和稳定泛函的作用，而μ的选取十分重要。

为了选取最适正则化因子，μ首先给出加入正则化因子求解电场值的公式：

加入正则化因子处理后的电场解为：

式中，μ趋于0时，上式即为无正则优化，直接对电场值进行计算，显然这样无法得出准确电场值。传递函数的不准确性以及电压的噪声都将导致所求解的电场值存在极大误差。但当μ过大时，又会导致计算的主导作用大大偏向于μ的取值，同样使得电场值与实际情况差距甚远。所以得到准确电场值关键在于选取合适μ值。

本研究采用L-curve求解得出最适正则化因子^[17]。即对不同μ值求解e_μ，并引入偏差量 ${{v}_{\mu }}=\mathbf{H}{{e}_{\mu }}-\mathbf{v}$ ，以‖e_μ‖²为纵坐标， ${{\log }_{10}}{{\left\| {{v}_{\mu }} \right\|}^{2}}={{\log }_{10}}{{\left\| \mathbf{H}{{e}_{\mu }}-\mathbf{v} \right\|}^{2}}$ 为横坐标，在二维平面上描绘出曲线( ${{\log }_{10}}{{\left\| {{v}_{\mu }} \right\|}^{2}},{{\left\| {{e}_{\mu }} \right\|}^{2}}$ )。所得曲线为一单调递减L形或Γ形曲线。其中拐点位置对应的值即为最适正则化因子。

详细步骤如下：令 $\alpha ={{\log }_{10}}{{\left\| e \right\|}^{2}},\beta ={{\log }_{10}}{{\left\| \mathbf{H}e-\mathbf{v} \right\|}^{2}}$ ，则L-curve为众多(α,β)点拟合， ${\alpha }',{\alpha }'',{\beta }',{\beta }''$ 分别为α,β一阶和二阶倒数，该曲线上的曲率为：

计算得曲率最大值k_max，对应点为曲线拐点，即最适正则化因子选取点。将计算选取得到的最适正则化因子μ代入式(6)解得最优近似结果。此时的电场值是基于频域上而言，需采用逆傅里叶变换(IFFT)，如式(9)所示，得到最终所求时域电场分布值。

式中， ${{\omega }_{N}}={{\text{e}}^{(-2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }i)/N}}$ 。

图 1给出了激光3倍频(3ω)总能量达6.4 kJ的激光束打靶时，实地测量获得的电压时域图，信号由开始到衰减至噪音的持续时长超过100 hs，电压峰值为1.3V。图 2为时域图经FFT后得到的电压频域幅值。整个信号覆盖频率区间将近4GHz，峰值分别出现在1～2GHz和4GHz。而位于几百兆赫兹区间的信号存在较大扰动，这是由于各种诊断设备本身以及信号采集传输过程中引入的噪声，使得测量电压值被放大，计算出的电场值极不精准。

图  1  电压时域图

图  2  电压频域图

按照吉洪诺夫正则化方法，图 3给出电场频域图在选取极小值 $\mu =1\times {{10}^{-12}}$ 时的结果。μ太小时，可近似为没有进行Tikhonov正则化，且对比可得因低频段传递函数过小，造成低频段噪声被明显放大，病态问题严重，因此需借助加入正则化因子进行Tikhonov正则化，消除病态问题。根据式(6)知，若μ过大时(远大于传递函数)，其取值将主导最终的电场值，同样使得电场值与实际情况差距甚远。本文令 $\mu =1\times {{10}^{-2}}$ ，求得的电场频域图如图 4所示。因μ值取值过大，压制了电场分布值，且放大了高频段噪声，使得结果严重失真。故不能取μ值过大。

图  3  电场频域图(μ=1×10^-12)

图  4  电场频域图(μ=1×10^-2)

为解决该矛盾，以 $Y\text{=}{{\left\| {{e}_{\mu }} \right\|}^{2}}$ 为纵坐标， $X=\log {{\left\| {{v}_{\mu }} \right\|}^{2}}=\log {{\left\| H{{e}_{\mu }}-v \right\|}^{2}}$ 为横坐标，在二维平面上描绘出L曲线。如图 5所示，经过多次迭代计算，最终确定L曲线拐点处取值即为最适正则化因子(恰当)。由于L图横纵坐标具有明显的对称性，为了方便寻找拐点，在图中画出45°切线与曲线相交，能明显看出拐点值。以初值，间隔1×10^-6/i(i=50)，选取到第3个点，取μ=4.8×10^-8。选取到μ的远小于传递函数值，防止了计算的主导作用偏向于μ的取值。

图  5  L-curve图

图 6为加入最适正则化因子处理所得电场频域分布图。文献^[18]通过采用带有耦合线圈的单电流探针测量激光等离子体自发电流。得出激光辐照靶后，整个自发电流产生一个有热离化、电子发射、飞行和迥流的过程。因而自发电流在激光脉冲过后会有短暂的滞后才达到峰值；同理可得电压峰值，时域分布上的众多电压信号并非真实的激光打靶产生的电磁脉冲信号，而是需要被抑制和消除的噪声。可以看出采用Tikhonov正则化能起到很好的噪声抑制作用，这种噪声优化作用在低频段处尤为明显。通过引用正则化因子μ，成功解决了因低频段处传递函数过小导致的严重噪声放大的病态问题。通过得到的频域电场值求反傅里叶变化(IFFT)可以得出电场时域分布关系。图 7给出了电压时域图和通过变换后获得的电场时域图，由此可知通过Tikhonov正则化优化后的时域波形图，在保持原波形稳定的基础上成功抑制低频噪声，且电场强度达到2kV/m。文献^[5]采用高、中、低频段B-dot对电磁脉冲信号进行采集，通过电磁场关系近似计算获得电磁脉冲电场分布，电磁脉冲电场峰值近似达到8、4.2、0.7kV，且脉冲持续约100ns，基于频域而言，主要波形峰蔟出现在前几十兆赫兹至4GHz。可以看出本文结果与文献^[5]结果具有较好的一致性，进一步论证了处理方法的合理性。在高强度的电磁辐射环境下，需对检测设备进行合理的屏蔽保护。通过观察Tikhonov正则化优化结果，加入正则化因子后得到电场分布图，明显看出原始病态问题被成功消除，抑制了噪声和干扰，同时电场值与电压值保持相同趋势，正确计算出电场值，起到良好的优化作用。

图  6  电场频域图(μ=4.1×10^-8)

图  7  电压电场时域图

为进一步论证基于Tikhonov正则化优化数据的合理性，选取另一组在法兰口处测量结果与优化计算后所得电场值，如图 8所示；靶室内测量所得电压值与优化计算后所得电场值，如图 9所示。同图 7所示靶室外的电压电场分布对比可得：靶室内的电磁脉冲峰值更加明显，持续时长变短。这是因为靶室外的电磁脉冲信号是经过在靶室内进行传输以及多次反射后所得，导致信号有所衰减，持续时长变长。同理，通过Tikhonov正则化对电磁脉冲数据进行处理得到电场时域图，对比后可以看出在不失真原波形的情况下，对噪声亦起到了很好的抑制作用。图 10和图 11分别给出针对法兰口与靶室内测试数据求证最适正则化因子μ的L-curve图。通过计算观察，得法兰口处正则化因子取第5个数，μ=4.95×10^-7，靶室内正则化因子取第8个数，μ=6.88×10^-7。

图  8  法兰口处电压电场时域图

图  9  靶室内电压电场时域图

图  10  L-curve图(法兰口处)

图  11  L-curve图(靶室内)

本文详细讨论了激光打靶产生的电磁辐射数值分析方法。通过结合天线公式及仿真推导出的传递函数，对数据进行计算处理，能更好地分析打靶数据，进而反推激光打靶产生热电子诱导电磁脉冲的物理机制。激光打靶测得数据是基于时域分析，检测设备和信号传输过程中引入的噪声对真实波形产生很大影响。在处理数据时，将其转变为频域分析处理降低了计算量以及计算复杂性。正则化参数优化在计算电场值过程中成功解决了存在的病态问题，且对噪声和干扰起到了良好的优化抑制作用。正则化因子选取对处理病态数据有至关重要的作用，本文通过L-curve法则，画图得出最佳正则化因子，简单可行。但在确定最适正则化因子方面，仍有许多方法值得进行深入学习与研究。

本文的工作得到电子科技大学汪彭老师和中物院激光聚变中心工作人员在实验上的帮助，在此表示感谢！