周期函数可以表示为三角函数的叠加，为了便于理解，本文以输入激励和输出响应都为正弦信号的线性模拟电路为例，介绍所提出的方法。

在模拟电路的同一测试点上，可诊断故障集的不同故障对应着不同的输出电压幅度和相位，因此从相位和幅度两方面综合考虑进行故障诊断和参数辨识，在理论上是可行的。相比只用幅度信号进行观测，结合相位信息和幅度信息的观测更全面，故障覆盖率和参数辨识精度更高。采用正弦激励信号的上升沿触发采样，以同步采样起始时间，这样，采样序列既体现输出信号幅度的变化，又包含输出响应的相位信息。利用Matlab对故障采样序列和无故障采样序列分别进行曲线拟合，可以获得故障相移信息和无故障相移信息，二者相减可得相位偏移。该相位偏移可作为故障特征量。从线性代数的角度分析表明使用被测电路响应矩阵的最大本征值表征响应幅度的变化也是正确可靠的。

周期信号Y(t) 用一个采样序列Y_s表示为：

式中，T_s为采样周期，取$m = k \times k$，$k \ge 2$。采样序列T_s可以表示成一个形式如下的k×k方阵：

矩阵A称为响应矩阵，它具有明确的物理意义，即其每列元素代表一个时间段内的连续采样值，每行元素代表K倍下抽样频率的采样值。量子力学理论表明物理可观测量可以用一个厄密尔算符表示，并且厄密尔算符只有实数本征值^[15]，所以响应矩阵A具有实本征值，便于计算和大小比较。

设Y(t) 和Y(t)分别表示电路的无故障响应和有故障响应，△Y(t) 是Y(t) 相对Y(t)的改变量。由于电路的输出主要取决于电路参数，所以△Y(t) 的大小与器件参数的变化量之间具有一一对应关系。对响应矩阵A而言，△Y(t) 等效为矩阵元素的扰动。下面利用矩阵扰动理论证明响应矩阵A的本征值与电路器件参数之间具有一一对应关系。

矩阵理论中的Rouché’s理论和Ostrowski定理^[16]表明，矩阵的本征值是矩阵元素的连续函数，盖尔圆盘定理给出了矩阵本征值扰动的上界。即对$\boldsymbol{A} = ({a_{ij}}) \in {C^{n \times n}}$，${a'_i} = {({a_{i1}}, \cdots, {a_{i, i-1}}, {a_{i, i + 1}}, \cdots, {a_{in}})^{\rm{T}}}$和盖尔尔圆半径${G_i}(\boldsymbol{A}) = \{ z \in C:\left| {z-{a_{ii}}} \right| \le {\left\| {{{a'}_i}} \right\|_1}\} $，$i = 1, 2, \cdots, n$，有：

对于任意ε> 0，如果λ′是 (A+εB) 的本征值，A与B的元素满足$|{a_{ij}}| < 1$，$|{b_{ij}}| < 1$，那么A的本征值λ满足：

不等式 (4) 表明矩阵本征值对于εB连续，εB与 (A+εB) 的本征值具有一一对应关系。A和εB分别对应无故障响应矩阵和矩阵元素扰动量，那么被测电路参数的变化与εB有一一对应关系。所以器件参数变化对应着响应矩阵元素的变化，相应引起矩阵本征值的扰动，矩阵本征值的扰动和被测电路参数改变间建立了对应关系。因此，将响应矩阵的本征值结合相位偏移信息，进行模拟电路的参数型故障诊断和故障参数辨识在理论上是可行的。

模拟电路的器件参数有无穷多个状态，不同器件的参数大小和单位也不同，因此很难建立器件参数辨识模型。本文提出的方法首先将要诊断的器件参数进行归一化处理，使得每个器件的标称值都是1。这样就能把归一化器件参数、响应相位偏移和最大本征值统一到一个坐标下建立诊断和辨识模型。

由于模拟电路的器件参数是连续变化的，在理论上有无穷多个响应状态，而且每个响应状态对应一组最大本征值和相位。如果直接用最大本征值和相位来进行故障定位和参数辨识，就需要进行大量的计算和比较才能保证诊断精度，这将增加诊断的时间开销和测试成本。为了降低计算的复杂性，本文利用盖尔圆盘定理以保证每个器件参数变化时对应的最大本征值在一定界限内跟着变化的特点，只对每个可能的故障器件的几个故障参数状态和一个无故障状态进行测前仿真，对仿真结果进行计算获得每个可能故障的器件的参数、响应矩阵最大本征值和相位偏移之间的关系曲线函数，建立参数辨识和故障定位模型。这种方法不仅理论严密，而且在工程实施上具有可行性。

对第i个器件的第j个故障状态对应的输出序列进行正弦拟合得到相对相位${\varphi _{i, j}}$，无故障状态对应的相对相位用${\varphi _0}$表示，则相位偏移为：

用相位偏移${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$作为观测量而不用${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$作为观测量的原因是：${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$只是故障状态相对无故障状态的相位偏移，并不是输出信号的真实相位，只要采样的触发方式一定，就能得到稳定可靠的${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$，这大大降低了测量的难度。把第i个器件的第j个故障状态对应的输出序列的前25个值表示为一个5阶矩阵，计算最大本征值${L_{i, j}}$。

图 1显示了一个电路3个器件参数变化时的最大本征值趋势线和相位偏移趋势线。最大本征值趋势线L₁和相位偏移变化线P₁、L₂和P₂、L₃和P₃分别对应器件1、2和3。横坐标是器件归一化值${x_{i, j}}$，纵坐标分别表示最大本征值和相对相位差的大小。从图 1可以看出，第i个器件的最大本征值和相位偏移随器件参数变化而变化的趋势曲线可以用式 (6) 和式 (7) 分别表示为：

图  1  最大本征值和相位差变化趋势曲线

式中，${x_{i, j}}$是第i个器件的第j个故障状态的归一化参数。对第i个器件对应的${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$和${L_{i, j}}$进行最小二乘拟合，得到与第i个器件对应的方程系数a_i、b_i、c_i、a'_i、b'_i和c'_i。

诊断故障时，首先用和仿真相同的激励信号测试故障响应，正弦拟合第T次故障测试序列得到相位${\varphi _T}$，${\varphi _T}$与仿真的无故障状态相位${\varphi _0}$相减得到相对相差${\rm{\Delta }}{\varphi _T}$。把第T次故障测试序列的前25个元素组成一个5阶方阵，计算得到最大本征值${L_T}$。然后依次假设每个要诊断的器件分别发生故障，求出器件参数值。因${\rm{\Delta }}{\varphi _T}$和${L_T}$只对应电路的一个参数状态，所以可以按i的顺序，将${\rm{\Delta }}{\varphi _T}$代替式 (7) 中的${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$，根据a'_i、b'_i和c'_i求得每一个器件故障时${x_{i, j}}$中的一个器件参数${x_{i, T}}$，将${x_{i, T}}$作为${x_{i, i}}$代入式 (6)，得到$中与${x_{i, T}}$对应的${L_{i, T}}$，计算出${L_T}$和${L_{i, T}}$的绝对误差为：

一次测量的${\rm{\Delta }}{\varphi _T}$和${L_T}$只和图 1所示的多组最大本征值趋势线和相位差趋势线中的某一组上的两个点最匹配。找到${\rm{\Delta }}{L_{i, T}}$中的最小值${\rm{\Delta }}{L_{k, T}}$，k是i中的一个数。如果与${\rm{\Delta }}{L_{k, T}}$对应的${x_{k, T}}$超出第k个器件的容差范围，则编号为k的器件发生故障。

本文方法的诊断流程如图 2所示，分7个步骤。

图  2  诊断流程图

1) 把需诊断的n个器件从1~n编号，进行测前仿真，计算式 (6) 和式 (7) 的系数a_i、b_i、c_i、a'_i、b'_i和c'_i及标称值状态的相位${\varphi _0}$。2) 测试电路，对第T次测试结果序列正弦拟合得相对相位${\varphi _T}$，由${\rm{\Delta }}{\varphi _T} = {\varphi _T}-{\varphi _0}$算出相位偏移。把测试序列的前25个值组成5阶方阵，计算出最大本征值${L_T}$。3) ${\rm{\Delta }}{\varphi _T}$代替${\rm{\Delta }}{\varphi _{i, j}}$代入式 (7)，算出${x_{i, j}}$用${x_{i, T}}$表示。4) ${x_{i, T}}$代替${x_{i, j}}$代入式 (6)，算出${L_{i, j}}$，用${L_{i, T}}$表示。5) 把${L_{i, T}}$和${L_T}$代入式 (8)，算出${\rm{\Delta }}{L_{i, T}}$。6) 冒泡法以i为变量找出${\rm{\Delta }}{L_{i, T}}$中的最小元素${\rm{\Delta }}{L_{k, T}}$。7) 判断步骤4) 获得的${x_{i, T}}$中i=k的元素${x_{k, T}}$是否超出第k个器件的容差范围，如果超出，则编号为k的器件有故障，故障参数为${x_{k, T}}$。否则，电路无故障。

选取国际标准电路中的跳蛙低通滤波器电路作为实验电路以验证本文方法的有效性。测试激励根据被测电路特性来选取，这里采用信号源YB1603加入1 kHz，幅度为1 V的正弦激励信号。用NI公司USB-9201数据采集器 (8通道；单通道最高采样率为800 kS/s；ADC分辨率为12 bits) 对被测电路采样获得响应输出信号。数据处理部分采用CPU3.6 GHz和8 GB内存的PC机进行。由激励信号通过比较器获得的方波信号的上升沿触发采样模块。测试实际测试系统和实际电路如图 3所示，所有器件的标称值和电路结构如图 4所示。滤波器的截止频率是1.4 kHz。激励输入是一个频率为1 kHz幅度为6 V的正弦信号，选择被测电路电压输出端为测试输出端。设定无源器件的容差限是标称参数的±5%，C₂、C₄、R₄、R₅和R₇组成待诊断的故障集。

图  3  实际测试系统和测试电路

图  4  被测电路原理图

C₂、C₄、R₄、R₅和R₇5个器件依次编号为1~5，首先对5个器件分别从它们标称值的70%到130%以10%的步进变化进行仿真，即每个器件仿真1个无故障状态和6个故障状态。根据仿真结果计算出每个器件的6个故障状态的响应矩阵最大本征值和对其无故障状态的6个相位偏移值后，分别对这6个值进行最小二乘拟合得到式 (6) 和式 (7) 描述的每个器件的相位偏移和最大本征值趋势曲线系数a_i、b_i、c_i、a'_i、b'_i和c'_i如表 1所示。

每个器件的容差限是5%，下面以器件C₂参数为标称值的109%为例，说明诊断过程。C₂参数为标称值的109%时，用图 2所示的测试系统得到V_out端输出电压的25个采样值。用MATLAB工具计算出相位偏移值为$\nabla {\varphi _T}$=0.008 8，最大本征值${L_T}$=4.238 3。

把$\nabla {\varphi _T}$=0.008 8代入式 (7) 得到假设5个器件分别故障对应的参数归一化值为：

把式 (9) 中的${x_{1, T}}, {x_{2, T}}, {x_{3, T}}, {x_{4, T}}, {x_{5, T}}$的值分别带入式 (7)，得到对应的最大本征值为：

用式 (8) 算出式 (11) 中的${L_{1, T}}, {L_{2, T}}, {L_{3, T}}, {L_{4, T}}, {L_{5, T}}$和${L_T}$的绝对偏差为：

冒泡法求得式 (11) 中的最小值为$\nabla {L_{1, T}}$，把式 (9) 中对应的${x_{1, T}}$与标称值的归一化值1比较得到：

不等式 (12) 表明辨识结果超过容差范围5%，所以得出：编号为1的器件C₂发生故障，其故障参数的归一化值为1.090 2，辨识误差为0.02%。

为了全面评估本文方法的效果，让5个器件分别从它们标称值的70%到130%以3%的步进变化，共105种参数状态。图 5给出了仿真获得的相应偏移趋势曲线和5个器件105中故障参数的最大本征值偏差$\nabla {L_{1, T}}$、$\nabla {L_{2, T}}$、$\nabla {L_{3, T}}$、$\nabla {L_{4, T}}$、$\nabla {L_{5, T}}$的大小情况。图 5表明，编号为i的器件发生故障时，对应的$\nabla {L_{i, T}}$最小，这说明了本方法用最大本征值的偏移量$\nabla {L_{i, T}}$作为故障定位判据，能得到正确的故障定位结果。

图  5  相应偏差和105个参数状态的最大本征值偏移

表 2给出了105个参数状态的故障定位和故障参数辨识结果的总体情况。表中MIE表示每个器件对应的21个参数状态的参数辨识最大误差，LE表示故障定位准确率。实验结果证明，用相位和最大本征值进行模拟电路的故障定位和故障参数辨识，结果准确可靠，参数辨识精度高。

将本方法与3种模拟电路故障诊断方法对相同的电路进行故障诊断，得到如表 3所示的结果。比较结果表明，本文提出的方法除了具有故障定位准确、计算效率高、所需测试点少的优势外，还具有将故障诊断与高精度的故障参数辨识一体化处理、易于工程实施的优点。

本文提出了一种基于输出响应的相位变化和响应矩阵的最大本征值的模拟电路故障诊断和故障参数辨识法。实验结果表明该方法故障诊断的准确度和参数辨识的精度高。通过和其他方法比较，证明本文方法除了具有故障定位准确、计算效率高、所需测试点少的优势外，还具有将故障诊断与高精度的故障参数辨识一体化处理、易于工程实施的优点，满足大规模集成模拟电路测试的需求。