传统混沌检测方法来源于系统策动力强度的变化。首先设置系统处于临界状态，如图 1a所示，此时外加周期激励的输入将会使系统发生本质性的相态跃迁，如图 1b所示。但是，大量研究结果已经表明^[7-13]，一定强度的噪声也会使系统发生这种变化。噪声对相态跃迁的重要影响，在一定程度上导致了系统无法准确实现信号的可靠检测。

图  1  混沌检测模型的相态变化

为了提高混沌检测模型的稳健性，可从以下3个方面进行分析并改进：1) 系统状态的稳定性，尤其是刚刚渡过临界状态的周期态，其稳定程度直接决定了已有方法能否准确判断相态跃迁现象的发生；2) 对噪声的免疫性，即系统可以从更强的噪声背景中有效提取出弱信号及其特征参量；3) 系统复杂度，混沌检测的实现本质上是一个高数据量的参数迭代过程，单次系统相变所需的激励量可达10⁴量级甚至更高，数据利用率很低。

根据以上分析，本文引入一种包含三阶非线性阻尼项的自激振荡系统代替现有的Holmes-Duffing模型。新模型的引入在保证算法复杂度无明显增加的前提下，有效提升系统相态的稳定性和噪声免疫性。下面，首先对新模型用于信号检测的可行性及约束条件进行分析。

广义Van der Pol振子是一个具有强非线性阻尼项的微分方程，在振动分析等领域中占据着重要位置，代表了一类典型的数学问题。其与经典Duffing系统的区别主要在于系统自激振荡力的引入，方程的一般形式为：

式中， $\dot x\left( t \right),\ddot x\left( t \right)$ 分别表示系统输出x(t) 对时间尺度t的一阶和二阶导数； $\delta \left[ {1 - {x^2}\left( t \right)} \right]\dot x\left( t \right)$ 为方程的非线性阻尼项； $\sum\limits_{i = 0} {{\alpha _i}} {x^{2i + 1}}\left( t \right)$ 为方程的恢复力项，当i=1时，其形式为α₁x(t)+a₂x³(t), α_i>0。

引入变量y(t)，并令：

则由式 (1) 可得：

综合式 (2) 和式 (3)，可得系统积分曲线方程为：

连续时间系统中，有x=x(t)，y=y(t)。并且在区域 $G\left\{ {\left( {x,y} \right) - \infty ＜ x ＜ \infty ,y ＜ 0} \right\}$ 上，f(x, y) 连续且满足局部Lipschitz条件^[14]。

令f(x, y)=0，得到其水平等倾线：

其解曲线方程为：

分别记作L_i(i=1, 2, 3)，如图 2所示。

图  2  广义Van der Pol振子的解曲线

由增量法可知，在L₁与L₂之间，Q(x, y)＜0；在L₁与L₃之间，Q(x, y)>0，下面开始构造适合系统 (3) 的覆盖环域W。

首先，系统 (3) 存在唯一的奇点O(0, 0)，当δ > 0时，0为不稳定结点，将其邻域 $\left[ {\hat N\left( {\mathit{0},r} \right),r \to 0} \right]$ 作为环域W的内边沿线L_in。然后，以第三象限为例构造环域W的外边沿线L_ex。任取点A(0, y₀)，y₀＜0作为初值点，分两个区域对外边沿线的存在进行证明。

1) 变量x的存在区域G₁:x∈[-1, 0]。此时解曲线的表达式为：

独立分析f(x, y) 的构成，可得恢复力项部分为：

阻尼项部分为：

此时，建立类比方程：

$\tilde f\left( {x,y} \right)$ 的常微分方程形式为：

由以上分析可知，原解曲线方程与类比方程的解y(x) 和 $\tilde y\left( x \right)$ 均存在于变量区间G₁内，并且常微分方程f(x, y) 与 $\tilde f\left( {x,y} \right)$ 均在R×R内连续并满足局部Lipschitz条件。

根据Cauchy比较定理^[15]得知，

进一步，对式 (11) 求解，得：

式中，C=y₀；其解曲线 $\tilde y\left( x \right)$ 与x=-1的交点为 $B'\left( { - 1, - \frac{2}{3}\delta + {y_0}} \right)$ 。因而， $\tilde y\left( x \right)$ 也必定与L₁相交于一点A'。

2) 变量x的存在区域 ${G_2}:x \in \left[ { - \infty ,L_A^ - \left( \kappa \right)} \right]$ ，其中L_A^-表示经过A点的解曲线， $L_A^ - \left( \kappa \right)$ 为曲线L_A^-上的一点，并且 $\kappa \in \left( { - 1,0} \right)$ ，在此区间上，系统 (3) 的解曲线表达式为：

至此，解曲线的存在两种可能：P₁:解曲线y(x) 与{y=0，x＜0}相交于点E；P₂解曲线y(x) 与{y，x=-1}交于点B(-1，y₂)，且 $ - \frac{2}{3}\delta + {y_0} ＜ {y_2} ＜ 0$ 。

如果假设P₁成立，则可得环域W在第三象限的外边沿线为 ${{L}_{\rm{ex}}}=\overset\frown{A{A}'}\bigcup \overset\frown{{A}'E}$ ，否则，假设P₂成立，外边沿线为 ${{L}_{\text{ex}}}=\overset\frown{A{A}'}\bigcup \overset\frown{{A}'C}$ 。至此可以证明，系统 (3) 的解曲线在实数域内存在唯一的稳定极限环。

根据分析可以得出，广义Van der Pol振子可用作弱信号混沌检测模型。与经典混沌检测系统相同，在式 (3) 中引入代换变量 $y\left( t \right) = \omega \dot x\left( t \right)$ ，即可实现任意频率弱信号的检测^[16]。

当前深空遥测、精密仪器制造、故障检修等高技术领域^[17]，对于低信噪比信号的检测需求非常突出，准确提取出弱信号及其参数具有重要意义。

实验硬件环境为：计算机处理器Intel (R) Core (Pentium)；软件环境为：Windows7操作系统，Matlab仿真软件。

系统模型设定为广义Van der Pol振子，内置周期策动力为角频率为ω的谐波信号。实验中所添加的噪声均为零均值高斯白噪声，系统初始位置设定为[X₀, Y₀]=[0, 0]。为计算简便，刚性阻尼系数取δ=1，系统恢复力项系数α₁=0.1，α₂=1。考虑到实验分析中数值精度和仿真时长的影响，采用二阶EM (Euler-Maruyama) 算法对系统进行建模解算。

1) 稳定性。系统相态的稳定性对于实现相态跃迁的有效判别，提高混沌检测算法的准确性非常重要^{[12, 14]}。首先对本文模型与Duffing振子的相态稳定性进行比较，调整系统策动力，使两种系统均刚刚越过临界态进入稳定周期相态，利用噪声发生器输入驱动高斯白噪声，此时，系统输出序列x的幅值也将会发生微妙的变化，本文对这种变化进行量化分析，进而判定系统相态的稳定性。假设系统周期状态下的输出为x_p(t)，加入噪声后的系统输出变化为 ${{x'}_p}\left( t \right)$ ，定义两者的二阶均方差期望^[10]作为系统状态稳定性的衡量标准：

图 3给出了两种模型的波动方差随噪声功率增加的变化曲线。由仿真结果可以看出，两种模型的周期相态都具有一定的稳定性，但也存在明显差异。有：1) 噪声功率位于10^-6~10^-5W时，除个别噪声功率值外，两种模型的波动方差相差不大，二者的相态稳定性相当，如图 3a；2) 进一步增加噪声功率，Duffing振子的波动方差也随之增加，二者的相态稳定性开始出现较大差距，如图 3b；3) 继续增加噪声功率，Duffing振子的波动方差急剧变化，而本文模型仍旧保持了很强的稳定性，其中，噪声功率为4.0×10^-4W时，Duffing振子输出x幅值的波动方差为0.54，而本文模型的波动方差值为0.01，仅是前者的1/54。

图  3  两种振子随噪声功率变化的幅值变化

经过以上实验分析，得出：在不同强度噪声下，本文模型的相态稳定性均强于经典Duffing振子，尤其是强噪声条件下，该模型相态稳定性和噪声免疫性的优势更加明显，也更加适合弱信号检测的需求。

2) 复杂度。广义Van der Pol振子是一个非线性微分方程，无法得到其精确解析解，只能采用EM等数值分析方法对其进行求解。因此，本节对两种模型的复杂度进行比较时，以数值分析方法中实数加法和乘法次数为标准。

对于式 (3) 所示的本文模型，其单次迭代运算过程中乘法次数为：C_1，mul=5+i(i+1)，加法次数为：C_1，add=4+i，总的运算复杂度可表示为： ${C_{{\rm{Van}}}} = \left\{ {\left[ {5 + i\left( {i + 1} \right)} \right]M + \left( {4 + i} \right)L} \right\}N$ ，其中M代表乘法，L代表加法，N代表迭代次数。

此时，Duffing振子的运算复杂度为 ${C_{{\rm{Duf}}}} = \left( {5M + 4L} \right)N$ ，可得运算复杂度的增加量为：

因而当i=1时，本文模型即为三阶广义Van der Pol振子，其运算复杂度增加为2(M+L)N，主要体现在非线性阻尼项上。其中，乘法和加法运算次数的增加量分别为：B_mul=0.6，B_add=0.25，即本文模型与Duffing振子的运算复杂度为同一量级。

图 4给出了本文模型与Holmes-Duffing振子的时间复杂度实验对比结果。

图  4  两种振子的时间复杂度对比图

由仿真结果可以看出，混沌模型复杂度的改变主要体现在高数据量的迭代次数N上，其迭代次数的绝对值一般达到10⁴量级甚至更高。当迭代次数N=4×10⁴时，步长h=10^-2s时，经典模型的运算时间为1.4×10^-1s，本文模型的运算时间为1.6×10^-1s，其运算复杂度约为Duffing振子的1.16倍；迭代次数增加到N=4×10⁵时，步长h=10^-1s时，经典模型的运算时间为1.5s，本文模型的运算时间为1.7s，其运算复杂度约为Duffing振子的1.13倍。因此，实验结果与理论分析均可以证实，与经典Duffing振子模型相比，本文模型的运算复杂度虽有一定增加，但并没有数量级的提高。

3) 检测性能。采用新模型对弱信号检测的可靠性进行检验，调整周期策动力强度使系统处于临界状态。待测信号为谐波信号，表示式为 $A\cos \left( {\omega t} \right) + \eta \left( t \right)$ ，其中η(t) 为高斯白噪声，A为待测信号的幅值，实验中信号幅值为服从[0.001, 0.01]之间均匀分布的10⁵个随机数，信号频率ω=10 rad/s。待测信号的信噪比定义为：

式中， $\psi _s^2$ 辨识有用信号的功率值； $\psi _n^2$ 表示背景噪声的功率值。SNR范围为-35~0dB。注入第j个待测信号后，若系统进入周期状态，则记N_{p, j}=1；否则，系统仍驻留在混沌状态，则记N_{c, j}=1。单个信噪比点对应的统计差错概率为：

式中， $j = 1,2, \cdots ,{10^5}$ ，代表全部待测信号。另外，对应于SNR范围-35~0dB，可设定 $i = 0,1, \cdots ,35$ 。

在每个信噪比点上进行100次蒙特卡洛实验，并计算系统的平均差错概率为：

式中，M=100。图 5给出了两种模型的检测结果对比。

图  5  广义Van der Pol模型的检测差错概率

对比相同差错概率条件下两者的性能差异，定义其信噪比增益如下：

式中，SNR_D为某一固定差错概率值下，Duffing振子对应的信噪比；SNR_V为本文模型对应的信噪比。分析图 5中的仿真结果，当输入信噪比为-35~-26dB时，两种模型的检测差错概率波动范围集中于10^-4~10^-2之间的量级。其参考线为Holmes-Duffing振子取得3dB信噪比增益的假设曲线。

根据图 5的实验结果，可以发现本文模型的检测差错概率始终在3dB参考线的下方。其中，当信号检测平均差错概率为5.0×10^-3时，Duffing振子对应的信噪比约为-28dB，而文中模型为-33dB，其信噪比增益为5dB；当检测差错概率为5.0×10^-4时，Duffing振子对应的信噪比为-24dB，而文中模型约为-27dB，其信噪比增益为3dB。实验结果表明，当两者的检测差错概率均位于10^-4~10^-2之间时，本文模型可获得至少约3dB的信噪比增益。

随着输入信噪比的增加，新模型的可靠性提升程度相比传统Duffing模型更加显著，当输入信噪比为-15dB时，Duffing模型的检测差错概率为2.3×10^-4，而新模型的检测差错概率为2.1×10^-5，新模型的应用使混沌检测算法的检测差错概率降低了一个数量级。

综合上述分析可知，新模型的应用可以有效降低噪声对系统相态跃迁的影响，在算法复杂度并未明显增加的前提下，提高了混沌检测算法的可靠性，对混沌理论的实际工程应用具有较好的实用价值。

本文提出了一种基于广义Van der Pol振子的混沌检测模型，并从理论上证明了新模型存在一个稳定的极限环，可用于弱信号检测，通过实验分析可知新模型可用于深空探测、遥感控制等领域的微弱信号检测。实验表明，该模型可实现随机幅值的谐波信号检测，相对于传统Duffing检测模型，可以有效降低噪声对相态跃迁的影响，提高信号检测的可靠性。