本文以均匀线阵作为信号接收的阵列。

假定空间远场阵列接收的信号为窄带信号，入射波可近似为平面波。如图 1所示，有K个窄带信号分别从 ${\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _K}$ 方向入射到阵元间隔为d的M元均匀天线阵列上。

图  1  均匀线阵接收信号模型

以阵元0作为参考阵元，则天线阵列接收到的离散时间基带信号可表示为：

式中，和分别表示源信号向量和阵列接收信号向量；表示加性噪声向量。假设各阵元的噪声是高斯白噪声，均值为零，方差为 $\sigma _n^2$ ，不同阵元之间的噪声相互独立，噪声与信号也相互独立。A表示信号阵列流形矩阵，有：

式中，是入射方向 ${\theta _i}$ 对应的导向向量， ${\phi _i} = 2{\rm{ \mathsf{ π} }}d\sin {\theta _i}/\lambda $ 表示空间相位， $\lambda $ 表示载波的波长。

波束形成是对阵列各阵元采集的数据进行加权求和运算，得到波束输出，达到选择期望信号并抑制干扰和噪声的目的。将这些权值定义成向量，则波束形成器的波束输出为：

若权向量w满足 ${\mathit{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{a}}({\theta _i}) = 0$ ，则表明 ${\theta _i}$ 方向的信号被抑制，不能通过波束形成器；若 ${\mathit{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{a}}({\theta _i}) = 1$ ，则表明 ${\theta _i}$ 方向的信号可以无失真地通过波束形成器。可见，通过改变权向量，可以使某些方向的信号通过波束形成器，而抑制另一些方向的信号。

利用MNC-FastICA算法来设计波束形成器的权向量，需要进一步作以下假设：

H₁：K个未知信源 (包括一个期望信号和K-1个干扰，方向也未知) 是相互独立的，且至多有一个是高斯源；

H₂：接收阵列的阵元个数M大于信源个数K，且阵列流形矩阵A是列满秩的；

H₃：期望信号功率小于所有干扰信号功率；

假设H₁和H₂是独立分量分析 (independent component analysis, ICA) 模型的一般性假设^[10]，对于基于阵列结构的混合矩阵，列满秩实际上就是要求空间信号的入射角度相隔不能太近。经过盲分离得到的信号中如何区分出期望信号，需要某些先验信息，这里假设干扰信号很强，功率大于期望信号。

ICA方法广泛用于解决盲信号分离问题^[10]。对于瞬时混合 $\mathit{\boldsymbol{x}}(n) = \mathit{\boldsymbol{As}}(n) + \mathit{\boldsymbol{v}}(n)$ ，其中s(n)、v(n) 和x(n) 分别表示未知信源向量、噪声向量和观测向量，A是未知混合矩阵，ICA方法就是要寻找一个分离矩阵W使得 $\mathit{\boldsymbol{y}}(n) = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{x}}(n)$ 是源信号s(n) 的估计。波束形成的目的是要通过选择最优的权向量w来筛选期望信号而尽量抑制干扰和噪声，即从混合信号中提取出期望信号，即 $y(n) = {\mathit{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{x}}(n)$ 是期望信号s(n) 的估计，因此在本质上也是在进行信号分离，此时的混合矩阵是波束形成中的阵列流形矩阵。所以，波束形成问题可看作一类特殊的盲信号分离问题，ICA方法也用于波束形成。

快速不动点算法 (fixed-point algorithm, FastICA) 是一类高效的盲信号分离算法，其扩展算法包括复数的C-FastICA、非圆信号的NC-FastICA和去噪的非圆复信号MNC-FastICA等^[10-12]。本文采用MNC-FastICA算法来辨识信源，步骤如下：

1) 对阵列观测信号x做中心化处理，即 $\mathit{\boldsymbol{x}} \leftarrow \mathit{\boldsymbol{x}} - {\mathit{\boldsymbol{m}}_x}$ ，其中 ${\mathit{\boldsymbol{m}}_x} = {\rm{E}}\{ \mathit{\boldsymbol{x}}\} $ 是x的均值；

2) 对协方差矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{R}}_x} = {\rm{E}}\{ \mathit{\boldsymbol{x}}{\mathit{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}\} = \mathit{\boldsymbol{U \boldsymbol{\varLambda} }}{\mathit{\boldsymbol{U}}^{\rm{H}}}$ 做特征值分解。特征值 ${\lambda _1} \ge {\lambda _2} \ge \ldots \ge {\lambda _M}$ ，令 $\mathit{\boldsymbol{u}}({\lambda _i})$ 表示 $\mathit{\boldsymbol{U}}$ 中特征值 ${\lambda _i}$ 对应的特征向量，估计噪声方差 $\sigma _n^2 \approx \sum\limits_{i = K + 1}^M {{\lambda _i}} /(M - K)$ ，取 ${\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}_s} = {\rm{diag}}\{ {\lambda _1} - \sigma _n^2,{\lambda _2} - \sigma _n^2, \cdots {\lambda _K} - \sigma _n^2\} $ 和，构造伪白化矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{V}}_s}{\rm{ = }}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varLambda} }}_s^{ - 1/2}\mathit{\boldsymbol{U}}_s^{\rm{H}}$ ；

3)x作伪白化 $\mathit{\boldsymbol{q}} = {\mathit{\boldsymbol{V}}_s}\mathit{\boldsymbol{x}}$ ；

4) 初始化M=I_K，I_K表示K×K的单位阵；

5) 对M中的各列向量m_i(i=1, 2, …, K)，依次运用下式进行更新：

式中，p表示迭代序号； $y = \mathit{\boldsymbol{m}}_i^{\rm{H}}\mathit{\boldsymbol{q}};g(u) = {\rm{d}}G(u)/{\rm{d}}u;G(u) = \sqrt {0.1 + u} $ 是非线性函数。且从m₂开始，每得到一个m_i就与m₁, m₂, …, m_i-1做Gram-Schmidt正交归一化；

6) 得到最终的分离矩阵 $\mathit{\boldsymbol{W}} = \mathit{\boldsymbol{V}}_s^{\rm{H}}\mathit{\boldsymbol{M}}$ 。

在实际中，均值m_x和协方差矩阵R_x都是未知的，常用一段样本数据的平均即样本均值和样本协方差矩阵来估计，分别表示如下：

式中，N为样本快拍数。

众所周知，ICA方法用于分离盲信号，一般会存在幅相的不确定性和顺序的不确定性^[10-11]，这两种不确定性在ICA中也是可以被接受的。而在进行波束形成时，往往要求期望信号尽可能无失真地通过空域滤波器，这与盲分离的幅相模糊似乎形成了一对矛盾；而且，幅度模糊会影响对信号功率的检测。幸运的是，对于理想阵列或仅有通道幅相误差的阵列，利用阵列流形矩阵的特殊结构，盲分离的幅相模糊可以被校正。

在不考虑噪声的情况下，如果阵列是理想的，则阵列接收数据经盲分离后，其分离矩阵W和混合矩阵A(这里就是阵列流形矩阵) 有如下关系：

式中，P是K×K的置换矩阵，代表盲分离的顺序模糊；是对角矩阵，代表幅相模糊， ${{\alpha }_{i}}\in \mathbb{C}$ 表示第i个估计信号与其对应的源信号之间的幅相模糊，当该分量没有幅相模糊时 ${\alpha _i} = 1$ 。

记矩阵W^H的伪逆为B，即 $\mathit{\boldsymbol{B}} \buildrel \Delta \over = {({\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}})^{\dagger }}$ ，则有：

由于置换矩阵P的逆P^-1仍然是置换矩阵，因此AP^-1是将A中的某些列交换位置。设矩阵A中从左到右各列编号为1, 2, …, K，置换后的编号为P₁, P₂…，P_K则AP^-1可表示为：

将AP^-1和D代入式，可得：

矩阵B的第一行元素恰好包含了各信号的幅相模糊信息，即可以从B中提取幅相模糊，以便对估计信号进行幅相校正。于是有：

式中，B(1, :) 表示取矩阵B的第一行。

考虑噪声后，盲分离得到的输出可以近似为：

式中， $\Delta \mathit{\boldsymbol{s}}(n) = {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{v}}(n)$ 表示由于加性噪声引起的误差。因此，可以通过对y(n) 左乘矩阵D^-1进行盲分离的幅相校正，即：

将y(n) 代入上式，可得：

可见，校正后的估计量 $\mathit{\boldsymbol{\hat s}}(n)$ 与源信号s(n) 之间仍然存在顺序模糊P和加性噪声导致的误差 ${\mathit{\boldsymbol{D}}^{ - 1}}\Delta \mathit{\boldsymbol{s}}(n)$ 。

从前面的分析过程不难发现，幅相模糊信息的提取利用了阵列流形矩阵第一行元素全为1这一特征，而没有涉及到矩阵中的其余元素，因此盲分离的幅相校正方法对其他任意结构的阵列照样适用。

如果考虑阵列的通道幅相误差，则式所表示的阵列接收信号应改写为：

式中， $\mathit{\boldsymbol{H}} = {\rm{diag\{ }}{\beta _0}{\rm{ }}{\beta _1}{\rm{ }} \cdots {\rm{ }}{\beta _{M - 1}}{\rm{\} }}$ ， ${\beta _m} = (1 + {\xi _m}){{\rm{e}}^{{\rm{j}}{\varphi _m}}},m = 0,1, \cdots ,M - 1;\;{\xi _m}$ ，和 ${\varphi _m}$ 分别表示阵列通道m引起的幅度误差和相位误差。由于幅相误差都是相对而言的，为简单起见，令 ${\beta _0} = 1$ 。显然，当所有的通道幅相误差都等于零时，有 ${\beta _m} = 1$ 和 $\mathit{\boldsymbol{H}} = {\mathit{\boldsymbol{I}}_M}$ 。此时，混合矩阵应表示成 ${\mathit{\boldsymbol{A}}_H} = \mathit{\boldsymbol{HA}}$ 。对于瞬时混合问题，混合矩阵由可逆矩阵替换成另一个可逆矩阵，这并不影响ICA方法对信源的识别。因此，从理论上讲，只要 ${\mathit{\boldsymbol{A}}_H}$ 仍然是列满秩的，则基于ICA方法的波束形成的性能将不受阵元通道幅相误差的影响，后文的仿真实验将会对其进行验证。

相应地，式应改写为：

类似于式，矩阵W^H的伪逆B可以表示为：

可见，仍然可以从B中第一行元素直接得到对角矩阵D，式和式所表示的校正方式依然适用。

通常 ${\beta _0} \ne 1$ ，因此校正后的信号仍然存在幅相误差 ${\beta _0}$ 。然而，标量 ${\beta _0}$ 是会作用到每一个信号上的，包括期望信号和干扰信号，因此它不会妨碍对期望信号的判断。

综上，无论阵列通道幅相误差是否存在，盲分离后信源估计的幅相校正都可写成：

由式知 $\mathit{\boldsymbol{\hat s}}(n) = {\rm{diag}}\{ \mathit{\boldsymbol{B}}(1,{\rm{ }}:)\} {\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}}\mathit{\boldsymbol{x}}(n)$ ，因此可以把ICA幅相校正矩阵和分离矩阵合并到一起，作为K个波束形成器的权值矩阵 ${\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}$ ，即：

依据前面的假设H₃，假设判别出 $\mathit{\boldsymbol{\hat s}}(n)$ 中第i个信号是期望信号，则 ${\mathit{\boldsymbol{\tilde W}}}$ >的第i列就是要寻找的波束权向量w，即：

为了方便，这里把所提方法得到的波束形成器命名为MNC-FastICA波束形成器。

综上，MNC-FastICA波束形成算法可归纳为：

1) 用MNC-FastICA算法对观测信号x做盲分离，得到分离矩阵W和信源估计y；

2) 对W^H求Moore-Penrose伪逆 $\mathit{\boldsymbol{B}} = {({\mathit{\boldsymbol{W}}^{\rm{H}}})^{\dagger }}$ ；

3) 提取B中第一行元素，生成盲分离的幅相模糊的校正矩阵 $\rm{diag}\{\mathit{\boldsymbol{B}}(1,\rm{ }:)\}$ ；

4) 根据式对信源估计进行幅相校正，得到 $\mathit{\boldsymbol{\hat{s}}}(n)=\rm{diag}\{\mathit{\boldsymbol{B}}(1,\rm{ }:)\}\mathit{\boldsymbol{y}}(n)$ ；

5) 根据式得到K个波束形成器的权值矩阵 $\mathit{\boldsymbol{\tilde{W}}}=\mathit{\boldsymbol{W}}\rm{dia}{{\rm{g}}^{\rm{H}}}\{\mathit{\boldsymbol{B}}(1,\rm{ }:)\}$ ；

6) 计算 $\mathit{\boldsymbol{\hat{s}}}(n)$ 中各分量的平均功率 $\mathit{\boldsymbol{E}}\{|{{{\hat{s}}}_{i}}(n){{|}^{2}}\}$ ，最小者对应期望信号，记为 ${{\hat s}_i}(n)$ ；

7) 根据式得到波束权向量 $\mathit{\boldsymbol{w}} = \mathit{\boldsymbol{\tilde W}}(:,{\rm{ }}i)$ 。

本文以输出信干噪比 (signal to interference plus noise ratio, SINR) 来衡量波束形成器的性能。假定期望信号方向为 ${\theta _1}$ ，干扰方向为 ${\theta _2},{\theta _3}, \cdots ,{\theta _K}$ ，则波束权向量w确定后，波束形成器的输出SINR ^[7]为：

式中， $\sigma _1^2$ 、 $\sigma _k^2{\rm{ }}(k = 2,3, \cdots ,K)$ 和 $\sigma _n^2$ 分别表示输入期望信号、干扰信号和噪声的功率。

本节通过仿真实验，将所提波束形成器与理想Capon (导向向量和干扰噪声协方差矩阵都精确已知)、SMI、LSMI、NRDL和WCPO等波束形成器作性能对比。仿真中，LSMI方法的加载噪声级设置为经验值LNR=10dB，NRDL方法采用文献[6]中的方案2，即NRDL2来确定对角加载量，WCPO方法中导向向量误差范数约束参数设为 ${\varepsilon _0} = 2.8$ 。

基本仿真条件：假定空间有K=3个远场窄带信号入射到M=10阵元的均匀线阵上，阵元间距为半波长即 $d = \lambda /2$ 。期望信号为二相移键控 (binary phase shift keying, BPSK) 信号，入射方向为 ${\theta _s} = 20^\circ $ ，两个强干扰信号分别是BPSK和四相相移键控 (quadrature phase shift keying, QPSK) 信号，入射方向分别为 ${\theta _{i1}} = - 40^\circ $ 和 ${\theta _{i2}} = 60^\circ $ ，干信比 (interference to signal ratio, ISR) 均为20dB。加性噪声是功率为0dB的复高斯白噪声。期望信号、干扰和噪声相互独立。期望信号的信噪比 (signal to noise ratio, SNR) 及观测数据的快拍数在具体实验中设定，实验结果均取自500次蒙特卡洛实验的平均。

假设导向向量匹配，此时显然不存在阵元通道幅相误差和来波方向估计误差。图 2显示了各波束形成器的输出SINR随输入SNR与快拍数变化的情况。

图  2  导向向量匹配时各波束形成器的输出SINR随输入SNR与快拍数变化情况

从图 2a和图 2b中可以看出，导向向量匹配时，各方法的输出SINR随输入SNR或快拍数增加而变大。MNC-FastICA与LSMI方法的性能比较相近，它们都优于SMI方法，且在快拍数N≥600时，它们的输出SINR随快拍数的变化缓慢。可见，基于MNC-FastICA算法的波束形成是有效的。

阵列通道幅相误差会导向向量失配。假设阵列仅存在道幅相误差，并假定式中各阵元幅度误差 ${\xi _m}$ 和相位误差 ${\varphi _m}$ 均服从高斯分布且相互独立，零均值， ${\xi _m}$ 具有相同的方差 $\sigma _\xi ^2 = {(0.1)^2}$ ， ${\varphi _m}$ 也具有相同的方差 $\sigma _\varphi ^2 = {(5{\rm{ \mathsf{ π} }}/180)^2}$ 。波束观察方向有 $3^\circ $ 偏差即 ${\theta _{{\rm{Look}}}} = {\theta _s} + 3^\circ = 23^\circ $ ，快拍数为N=800。考察输入SNR在-10~20dB变化时各波束形成器的输出SINR，实验平均结果如图 3所示。

从图 3可以看出，LSMI方法的输出SINR在SNR > 5dB时开始迅速下降。其他3种方法的输出SINR随SNR增加而逐渐上升，它们的输出性能整体优于LSMI方法，特别是在SNR较高时。MNC-FastICA的输出SINR在不同输入SNR下都优于WCPO和NRDL两种方法。

图  3  阵列通道幅相误差存在时各波束形成器的输出SINR随输入SNR变化情况

现将输入信噪比固定在SNR=15dB，各方法的输出SINR随快拍数N变化的实验平均结果如图 4所示。

图  4  阵列通道幅相误差存在时各波束形成器的输出SINR随快拍数变化情况

从图 4可以看出，随着快拍数增加，NRDL和MNC-FastICA方法的输出SINR缓慢提高，而WCPO和LSMI方法的输出则几乎保持不变。MNC-FastICA方法在不同快拍数下的输出性能优于其他方法。

本文实验考察3.2小节中阵列通道幅相误差不同时MNC-FastICA波束形成器的性能。首先固定各阵元相位误差的方差 $\sigma _\varphi ^2$ ，改变幅度误差的方差 $\sigma _\xi ^2$ ，然后将 $\sigma _\xi ^2$ 固定，让 $\sigma _\xi ^2$ 变化，实验结果如图 5所示。特别地，为方便比较，两幅图中也都给出了阵列通道没有幅相误差即 ${\sigma _\xi } = {\sigma _\varphi } = 0$ 时的结果。

图  5  阵列通道幅相误差不同时MNC-FastICA波束形成器的输出SINR随输入SNR变化情况

从图 5a和图 5b可以看出，在阵列通道幅相误差较小的情况下，尽管误差 (包括误差为零的情况) 不同，但MNC-FastICA方法的输出性能几乎相同，因此它对该误差具有良好的稳定性。这恰好验证了2.2小节的结论，即当通道存在幅相误差H时，相当于给混合矩阵A即阵列流形矩阵做了一个线性变换，变换成了另一个混合矩阵HA，只要HA仍然是列满秩的，它并不妨碍MNC-FastICA方法对信源做分离。

本文采用MNC-FastICA方法对波束权向量进行了设计。其中，对理想阵列或仅有通道幅相误差的阵列，用同一方法校正了ICA方法分离源信号过程中产生的幅相模糊。MNC-FastICA波束形成器不必预估信号来波方向，从而避免了LSMI等经典方法中由于波束观察方向误差导致的导向向量失配问题。阵列通道幅相误差存在时，不必进行通道校正，MNC-FastICA方法对其不敏感，仿真表明它能获得优于WCPO等方法的输出性能。应当指出，本文方法的信源中非高斯源至多允许有一个，这是ICA方法的基本假设之一，而WCPO等方法则不受此条件限制，适用范围更广。