联合旋转噪声对量子态的影响用幺正算子U_r

表示：

其对单粒子态的作用如下：

当遭遇联合旋转噪声变化时，光子的水平极化量子态 $\left| {\left. 0 \right\rangle } \right.$ 在旋转信道中传输中，其状态将变为 $\cos \theta \left| \left. 0 \right\rangle \right.+\sin \theta \left| \left. 1 \right\rangle \right.$ ；光子的垂直极化量子态|1〉在旋转信道中传输中，其状态变为 $-\sin \theta \left| \left. 0 \right\rangle \right.+\cos \theta \left| \left. 1 \right\rangle \right.$ 。其中，θ是联合噪声参数，它随时间而波动。两个光子可分别表示成逻辑量子态形式， $\left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle \right.\equiv \left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.=$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. 00 \right\rangle +\left| \left. 11 \right\rangle \right. \right.)$ 和 $\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right.\equiv \left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right.=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. 01 \right\rangle -\left| \left. 10 \right\rangle \right. \right.)$ (其中下标r表示抗联合噪声的逻辑态， $\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.$ 和 $\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right.$ 仅仅是4个原始贝尔态中的其中两个，它们在旋转噪声环境下可以不改变其状态)。两个逻辑态 $\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.$ 和 $\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right.$ 叠加态可以构成对噪声免疫的DFS^[18]。在该空间中，另一个测量基为： $\left| \left. {{+}_{r}} \right\rangle \right.=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle +\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right. \right.)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle +\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right. \right.)$ 和 $\left| \left. {{-}_{r}} \right\rangle \right.=$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle -\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right. \right.)=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle -\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right. \right.)$ 。对联合噪声也是免疫的。

在该子空间 (DFS) 下的两个非正交测量基为： $\left\{ \left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle ,\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right. \right. \right\}$ 和 $\left\{ \left| {{\left. + \right\rangle }_{r}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle +\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right. \right.),\left| {{\left. - \right\rangle }_{r}} \right. \right. \right.$ $\left. =\frac{1}{\sqrt{2}}(\left| \left. {{0}_{r}} \right\rangle -\left| \left. {{1}_{r}} \right\rangle \right. \right.) \right\}$ 。

在量子信道中进行通信时，首先发送方将物理的光子表示成逻辑量子态的形式，然后在该信道上进行传输，接收方接收到该逻辑量子态形式后，通过适当的幺正操作就可以恢复到原来的量子态，这样就可以保证传输过程中光子不受噪声的影响，提高光子传输的准确性。

有一个四粒子团簇态，可以表示为：

假设发送者Alice拥有处于最大纠缠的团簇态粒子X、Y、Z和M，如果她要将粒子Y和粒子M发送给接收者Bob。为了防止旋转噪声的影响，Alice首先要将粒子Y和粒子M表示成逻辑量子态，即： ${{\left| \left. 0 \right\rangle \right.}_{Y}}={{\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.}_{{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}}}$ ， ${{\left| \left. 1 \right\rangle \right.}_{Y}}={{\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{+}} \right\rangle \right.}_{{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}}}$ 和 ${{\left| \left. 0 \right\rangle \right.}_{M}}={{\left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.}_{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}}$ ， ${{\left| \left. 1 \right\rangle \right.}_{M}}={{\left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{+}} \right\rangle \right.}_{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}}$ ，因此 $\left| \left. {{\varphi }^{+}}_{XYZM} \right\rangle \right.$ 可表示成：

因此，发送者Alice只需要制备二维4量子比特的贝尔态 $\left| {{\left. {{\varphi }^{+}} \right\rangle }_{XYZM}} \right.$ 。然后将粒子Y₁Y₂和M₁M₂发送给接收者Bob。Alice和Bob分别对粒子X、Y₁Y₂和Z、M₁M₂进行互换门 (swap gate) 操作，即S_X⊗SY₁⊗SY₂和S_Z⊗SM₁⊗SM₂操作 (其中，互换门$\alpha \left| \left. 0 \right\rangle \right.+i\beta \left| \left. 1 \right\rangle \right.$ ，α和β是复数，满足 ${{\left| \left. \alpha \right| \right.}^{2}}+{{\left| \left. \beta \right| \right.}^{2}}=1$ )，再进行阿达马门 (hadamard gate) 操作，即H_X⊗H_Y1⊗H_Y2和H_z⊗H_M1⊗H_M2操作 (其中，阿达马门， $\left| \left. 0 \right\rangle \right.\equiv \frac{\left( \left| \left. 0 \right\rangle +\left| \left. 1 \right\rangle \right. \right. \right)}{\sqrt{2}}$ ， $\left| \left. 1 \right\rangle \right.\equiv $ $\frac{\left( \left| \left. 0 \right\rangle -\left| \left. 1 \right\rangle \right. \right. \right)}{\sqrt{2}}$ )。此时，粒子XY₁Y₂和粒子ZM₁M₂的联合量子态将变为：

Bob在接收到逻辑量子态以后，进行适当的变换，就可以得到原始发送的信息。在此，Bob需要进行控制非 (C-NOT) 操作 (其中，控制非C-NOT=，, α和β是复数，满足|α|²+|β|²=1)，将Y₁和M₁作为控制位，将Y₂和M₂作为靶位，就可以得到：

可以看出，Bob拥有的粒子Y₁、M₁和Alice拥有的粒子X、Z都任然处于最大纠缠态。由此可以理解为，粒子Y和粒子M在传输过程中对联合旋转噪声是免疫的。

同样，在联合旋转噪声环境中，光子在信道中传输时θ随时间而波动。 $\left| \left. {{\varphi }^{+}}_{dp} \right\rangle \right.$ 在不同的噪声 (即θ₁和θ₂) 影响下，建立免疫的四粒子团簇态模型 (容忍的量子模型可以通过线性公式表示)：

由上述公式可知，在联合旋转噪声环境下，θ随时间而波动时，四粒子团簇态在该信道中传输时不受噪声影响，即对联合旋转噪声是免疫的。

通信双方要规定：在身份的二进制字符串ID中当前位如果是“0”，则Alice需要制备相对应的逻辑量子态 ${{\left| \left. 0 \right\rangle \right.}_{r}}\equiv \left| \left. {{\mathit{\Phi }}^{+}} \right\rangle \right.$ ， ${{\left| \left. 1 \right\rangle \right.}_{r}}\equiv \left| \left. {{\mathit{\Psi }}^{-}} \right\rangle \right.$ 。否则需要制备的逻辑量子态为 ${{\left| \left. + \right\rangle \right.}_{r}}=\frac{({{\left| \left. 0 \right\rangle \right.}_{r}}+\left| {{\left. 1 \right\rangle }_{r}} \right.)}{\sqrt{2}}$ ， ${{\left| \left. - \right\rangle \right.}_{r}}=\frac{(\left| {{\left. 0 \right\rangle }_{r}} \right.-\left| {{\left. 1 \right\rangle }_{r}} \right.)}{\sqrt{2}}$ 。

1) Alice按照规则制备了多个5粒子广义纠缠态序列，将其划分成X、Y₁和Y₂这3个子序列。其中，X序列是由x个粒子组成的，Y₁序列是由y₁个粒子组成的，Y₂序列是由y₂个粒子组成的；

2) Alice对序列X中的粒子进行测量，并记录下测量结果为x_i，然后根据自己的身份识别码ID_Xⁱ制备N个2粒子量子态作为诱骗态。如果ID_Xⁱ=0，则Alice将第i个2粒子量子态制备成 $\left| \left. 0 \right\rangle \right.(\left| \left. {{0}'} \right\rangle \right.)$ 或者 $\left| \left. + \right\rangle \right.(\left| \left. {{+}'} \right\rangle \right.)$ ，否则，Alice将第i个2粒子量子态制备成 $\left| \left. 1 \right\rangle \right.(\left| \left. {{1}'} \right\rangle \right.)$ 或者 $\left| \left. - \right\rangle \right.(\left| \left. {{-}'} \right\rangle \right.)$ 。Alice将此诱骗态插入到序列Y₁中，可以得到一个新的序列Y′₁并发送给Bob，记录下所有诱骗态的相应位置和初始的量子态；

3) Bob收到带有诱骗粒子的序列Y′₁后，告知Alice已经收到了粒子序列，则Alice告知Bob在序列Y′₁中诱骗粒子的位置，初始量子态以及相应的原理。Bob根据自己的身份识别码ID_Yⁱ依据规则进行操作，选用测量基对相对应的诱骗粒子进行测量，并公示测量结果ID_Mⁱ；

4) Alice验证ID_Yⁱ=ID_Xⁱ⊕ID_Mⁱ是否成立，如果等式成立，则证明Bob的身份是对的，并且信道是安全的；否则，说明Bob的身份有误或者是信道不安全。同样，Bob也可以验证Alice的身份和信道安全性。在确定等式成立后，可以继续通信。Bob除去诱骗态的粒子后对剩下的粒子Y₁进行测量，并记录测量结果为y_i。根据广义纠缠态的特性可以知道，x_i=y_i；

5) Alice根据秘密信息X_i对序列Y₂中的粒子进行操作，得到新的序列Y′₂，将新序列Y′₂中粒子的顺序打乱，然后制备N个处于 $\left| \left. 0 \right\rangle \right.(\left| \left. {{0}'} \right\rangle \right.),\left| \left. 1 \right\rangle \right.(\left| \left. {{1}'} \right\rangle \right.),\left| \left. + \right\rangle \right.(\left| \left. {{+}'} \right\rangle \right.),$ $\left| \left.-\right\rangle \right.(\left| \left. {{-}'} \right\rangle \right.)$的2粒子量子态作为诱骗态，随机的插入到已打乱顺序的新序列Y′₂中，得到序列Y′′₂并发送给Bob，记录所有诱骗态的位置和初始的量子态。Bob收到序列Y′′₂后，告知Alice已经收到了序列Y′′₂。同样，Alice公布诱骗态的位置和对应的测量基，Bob用测量基对诱骗态进行测量，并公布测量结果。Alice和Bob对测量结果和初始诱骗进行对比，如果Bob的测量结果等于初始态，则证明信道是安全的，双方可以继续通信；如果Bob的测量结果不等于初始态，则证明信道是不安全的，丢弃这次通信，重新进行通信；

6) Alice通过经典信道告知Bob序列Y′₂的正确次序，Bob对序列Y′₂进行重新排序，进行适当的测量并公布测量结果。完成了量子的对话。

因此，利用隐写建立的量子安全对话协议既能一次传递两种同时具有不同安全等级的经典比特，又能进行身份验证和窃听检测，具有很高的安全性和良好的信息隐秘性。

按照四粒子团簇态的特性，和比特纠缠态 $\left| {{\left. {{\mathit{\Phi }}^{+}}_{r} \right\rangle }_{12345678}} \right.$ 的测量相关性，Alice能从她自己的测量结果可以推断出Bob，Bob拥有的粒子Y₁、M₁和Alice拥有的粒子X，Z都任然处于最大纠缠态，这样Bob就没有必要告知Alice他自己的测量结果。这样Eve就没有办法知道Bob的新的状态，因此，被Alice测量的结果 $\left| {{\left. {{\text{1}}_{r}} \right\rangle }_{b}} \right.$ 包含了Alice和Bob交换秘密信息的4种逻辑酉操作组合，即 $\{{{k}_{n}}=1,{{i}_{n}}=0\}$ ， $\{{{k}_{n}}=0,{{i}_{n}}=1\}$ ， $\{{{k}_{n}}=1,{{i}_{n}}=1\}$ 和 $\{{{k}_{n}}=0,{{i}_{n}}=0\}$ 。根据信息论Shannon的进行评估，对于Eve而言，包含：

的比特信息。可以看出，信息泄露问题不存在，说明四粒子团簇态的比特纠缠态 $\left| {{\left. {{\mathit{\Phi }}^{+}}_{r} \right\rangle }_{12345678}} \right.$ 能很好的免疫联合旋转噪声下的信息泄露问题。

攻击者Eve事先准备了4个 $\{ \left| {\left\langle 0 \right.,} \right.\left| {\left\langle 1 \right.,} \right.\left| {\left\langle + \right.} \right.,\left| {\left\langle - \right.} \right.\} $ 态，构成一个逻辑量子比特序列T, 当Alice发送N+Ω₂(混合序列) 给Bob时，Eve拦截这个组合序列，然后他送给Bob逻辑量子比特序列T，而不是N+Ω₂，Bob收到后，检测两个信息的不同，因此Eve测量测量的概率是 $\frac{1}{2}$ 。

当Alice和Bob是开始量子对话时，窃听者Eve就可以进行不可见光子窃听和延迟光子木马的攻击^[19]。Bob可以通过使用滤网过滤无形光子，然后通过使用分离器的光子数检测延迟光子^[20]。本文协议进行了两次检测。因此，当Bob和Alice对话时，本文协议使用的诱骗光子技术^[21]，由于诱骗光子随机处于以下4种状态 $\{\left| \left. 0 \right\rangle , \right.\left| \left. 1 \right\rangle , \right.\left| \left. + \right\rangle \right.,\left| \left. - \right\rangle \right.\}$ ，因此等效于安全BB84协议^[22]，确保对话的安全性。攻击者Eve可以不知道诱骗逻辑量子位的具体位置和测量的位置。如果攻击者Eve进行攻击，则在第二次安全检测时被检测出来。如果Eve截取了Alice和Bob的对话秘密顺序，她也无法知道信息逻辑量子比特的真实位置和初始状态，所以任何攻击都会被检测到。

据Stinespring扩张定理^[23]，Eve的攻击可以被认为是在一个大的Hilbert空间H_AB⊗H_E上的执行统一的操作 $\hat{E}$ 。假设Eve的辅助状态为 $\left| \left. e \right\rangle \right.$ ，因此：

$\hat{E}|+,e\rangle $ 和 $\hat{E}|-,e\rangle $ 有4种状态。因为 $\hat{E}$ 是整体的操作，复杂的α，β，α′，β′必须满足 $\hat{E}{{\hat{E}}^{\dagger }}=I$ ，因此， $|\alpha {{|}^{2}}=|{\alpha }'{{|}^{2}}$ ， $|\beta {{|}^{2}}=|{\beta }'{{|}^{2}}$ ，那么Eve攻击的概率 $e=|\beta {{|}^{2}}=1-|\alpha {{|}^{2}}$ 。

从信息论的观点来看，一个量子系统内可以得到信息不大于Holevo的极限，即 $\chi (\rho )=S(\rho )-$ $\sum\limits_{i}{{{p}_{i}}}S({{\rho }_{i}})$ ，其中，S(ρ) 是冯·诺依曼的熵ρ， $\rho =\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}{{\rho }_{i}}$ (ρ_i的量子态的制备是通过Alice的概率为ρ)，如果Alice准备4诱骗通过光子的概率 $\frac{1}{4}$ ，那么诱骗照片的香农熵H(ρ)= $-\sum\limits_{i}{{{P}_{i}}}{{\log }_{2}}{{P}_{i}}=2$ ，那么Eve可以得到的信息是

因此，Eve不能得到诱骗光子的完整信息，并且可以通过对话方检测Eve的窃听行为。

文献[24]的信息论效率被定义为 $\xi =\frac{{{b}_{s}}}{{{q}_{t}}+{{b}_{t}}}$ ，其中，b_s是通信获得的秘密比特数，q_t是量子比特数，b_t是Alice和Bob传播者之间交换的比特数。本文协议的信息论效率为：

事实上，量子比特的制备和传输，比经典信息更加复杂。文献[24]信息论效率公式并不能完全充分衡量量子密码协议的效率。

对此，采用量子比特效率进行有效补充，其定义为 $\eta =\frac{{{b}_{n}}}{{{q}_{t}}}$ ，其中b_n是用到的量子比特，q_t是总的量子比特传输，通常结合这两个参数进行评价评价信息论效率。通过计算得知，本文提出的免疫联合旋转噪声的鲁棒量子对话协议的效率是100%。

将本文协议与文献[25-27]的协议进行比较，结果如表 1所示。

从表 1可知，在最初的量子资源的选择上，文献[25]选择逻辑Bell态，文献[26]选择逻辑量子位，文献[27]选择了两个原始Bell态，本文协议选择逻辑量子比特和单光子；在量子测量方面，文献[25-26]采用Bell测量，文献[27]和本文协议采用单光子测量；在信息论效率方面，文献[25-26]和本文协议是40%，文献[27]为33.3%。在量子比特效率方面，本文协议高达100%，但文献[25-27]只分别达到60%和66.4%。

本文在最新研究的免疫联合退相位噪声的量子对话协议基础上^[12]，提出了联合旋转噪声下鲁棒的量子对话协议，针对联合旋转噪声的特性，构造无消相干子空间 (DFS)，提高信息传递的准确性；基于隐写的信息隐匿特性，进行窃听检测和身份验证，进一步提高协议的效率和安全性。与其他协议相比较可知，本文协议具有最高量子比特效率，且测量只需要单光子。为了使协议更加适用于远距离通信需求，下一步将重点研究噪声中多自由度的连续变量量子隐形传态协议。