本文考虑单小区大规模MIMO系统，包括一个宏基站BS和K个用户。所有用户和BS工作在全双工模式。假定基站配置M根天线，其中发送天线数目为N_t，接收天线数目为N_r。用户配备双天线，一根为发送天线，另一根为接收天线。

基站端的接收信号可以表示为：

式中，$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_u} = [\mathit{\boldsymbol{g}}_1^u, \mathit{\boldsymbol{g}}_2^u, \cdots , \mathit{\boldsymbol{g}}_K^u] \in {{\mathbb{C}}^{{N_r} \times K}} $代表上行信道矩阵；F为基站端信号检测矩阵；$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_B} \in {{\mathbb{C}}^{{N_r} \times {N_t}}} $代表基站端的自干扰信道矩阵。

用户端接收到的信号可以表示为：

式中，$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_d} = [\mathit{\boldsymbol{g}}_1^d, \mathit{\boldsymbol{g}}_2^d, \cdots , \mathit{\boldsymbol{g}}_K^d] \in {{\mathbb{C}}^{{N_t} \times K}} $代表下行信道矩阵；$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_u} \in {{\mathbb{C}}^{K \times K}} $代表用户端的自干扰信道矩阵；上/下行信道矩阵$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_i}, i \in \{ d, u\} $可以表示为$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{H}}_i}\mathit{\boldsymbol{D}}_i^{1/2} $，其中$ {\mathit{\boldsymbol{H}}_i} \in {{\mathbb{C}}^{{N_i} \times K}} $代表小尺度衰落，$ {\mathit{\boldsymbol{D}}_i} $代表大尺度衰落对角矩阵，其第k个对角元素代表大尺度衰落因子$ {\beta _{i, k}} $；不失一般性，$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_B} $为独立同分布变量，$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_B} \sim {\rm{CN}}(0, {\beta _B}) $，其元素$ {\beta _B} $反映了自干扰等级；$ {\mathit{\boldsymbol{W}}_u} $中的元素可以表示为$ w_{ij}^u $，代表用户i和用户j之间的信道，满足$ w_{ij}^u\sim{\rm{CN}}(0, {\beta _{ij}}) $。

在信道估计阶段，所有用户和基站同时同频发送导频信号，则基站端的发送天线和接收天线接收到的导频信号可以分别表示为：

式中，$ \tau $为导频信号长度；$ P_p^r $和$ P_p^t $为下行和上行导频信号功率。根据MMSE信道估计，信道矩阵可以表示为$ {\mathit{\boldsymbol{G}}_i} = {\mathit{\boldsymbol{\hat G}}_i} + {\mathit{\boldsymbol{\tilde G}}_i} $，其中，$ {\hat G_i} $为信道估计误差。根据MMSE信道估计特性，可以认为$ {\mathit{\boldsymbol{\tilde G}}_i} $和$ {\hat G_i} $为独立同分布变量，其每一列相互正交，第$ k $个对角线元素可以分别表示为$ \hat \beta _k^i = \tau P_p^i{(\beta _k^i)^2}/(\tau P_p^i\beta _k^i + 1) $和$ \tilde \beta _k^i = \beta _k^i/(\tau P_p^i\beta _k^i + 1) $。

基站端采用MMSE信号检测准则，上行波束赋形矩阵P和下行预编码矩阵F可以表示为：

式中，$ u = {\rm{ Tr}}({({\mathit{\boldsymbol{\hat G}}_d}^H{\mathit{\boldsymbol{\hat G}}_d})^{ - 1}}){)^{ - 1/2}} $。

将式(4)代入式(1)，基站接收到的第k个用户的信号可以表示为：

式中，等式右边第1项为所需要的信号，功率为$ {P^u} $；第2项为系统噪声$ {I_n} $；第3项为信道估计误差噪声$ {I_e} $；第4项为自干扰$ {I_s} $。根据文献[12]，有如下引理。

引理 1  给定矩阵$ \mathit{\boldsymbol{A}} \in {{\mathbb{C}}^{M \times M}} $，$ x \in {{\mathbb{C}}^M} $，其中x中元素为独立同分布随机变量，满足$ {\rm{CN}}(0, {\sigma _1}) $，则$ \frac{1}{M}{x^H}\mathit{\boldsymbol{A}}x - \frac{1}{M}{\rm{Tr}}({\sigma _1}\mathit{\boldsymbol{A}})\mathop \to \limits_{}^{a.s.} 0. $

根据引理1和Lindeberg-Ledvy中心极限定理，$ {I_e} $可以表示为如下形式：

式中，$ q_i^e $为随机变量，满足$ {\rm{CN}} \sim (0, \hat \beta _k^u\tilde \beta _i^u) $分布。

采用相同方法，$ {I_s} $和$ {I_n} $可以分别表示为：

式中，$ \mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d = \mathit{\boldsymbol{\hat g}}_i^d/\left\| {\mathit{\boldsymbol{\hat g}}_i^d} \right\| $；$ {\rm{Tr}}(\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d{(\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d)^H}) = 1 $，$ {\rm{rank}}(\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d{(\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d)^H}) = 1 $。基于奇异值分解，$ \mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d{(\mathit{\boldsymbol{\bar g}}_i^d)^H} $可以表示为$ \mathit{\boldsymbol{U}}{\rm{diag}}({e_1}){\mathit{\boldsymbol{U}}^H} $。定义$ \mathit{\boldsymbol{\tilde W}}\mathop = \limits^\Delta \mathit{\boldsymbol{WU}} $，则$ {I_s} $可以表示为如下形式：

式中，$ {\mathit{\boldsymbol{\bar w}}_l} = {\mathit{\boldsymbol{\tilde w}}_l}/\left\| {{{\mathit{\boldsymbol{\tilde w}}}_l}} \right\| $。

根据式(6)~式(9)，可以获得用户在基站端上行链路信干噪比为：

根据香农定理和杰森不等式，上行链路遍历容量可以表示为：

式中，$ \bar R_M^u $是速率的下界；$ {\mathbb{E}}\bar \gamma _k^u $可表示为：

将式(4)代入式(1)，第k个用户接收到的信号可以表示为：

式中，等式右边第1项为所需要的信号；第2项为信道估计误差干扰；第3项为上行信号产生的自干扰；第4项为噪声。

采用和上行链路同样的处理方法，下行链路用户端信干噪比为：

下行链路遍历容量为：

式中，$ \bar R_M^d $为下界；$ E\bar \gamma _k^d $可以表示为：

文献[10, 13]采用Wishart矩阵^[12]进行信号干噪比分析。基于Wishart矩阵特性，上行链路的和速率的下界可以表示为：

证明：根据文献[11]引理2.10，式(5)中$ {I_n} $、$ {I_e} $、$ {I_s} $的期望可以分别表示为：

综上，可以获得用户在基站端信干噪比，从而得到式(17)。证毕。

当用户数目K变大时，式(17)获取的上行和速率变小，对比式(11)和式(17)可以看出，本文所提算法同传统算法相比具有更紧下界。

根据获取的上行链路和下行链路速率的下界，系统和速率可以表示为：

式中，$ \tilde \gamma _k^u\mathop = \limits^\Delta \gamma _k^u/{N_r} $，$ \tilde \gamma _k^d\mathop = \limits^\Delta \gamma _k^d/{N_t} $。以和速率最大化为优化目标，则全双工大规模MIMO网络中的天线分配问题可以转化为最优化问题P1：

约束条件为：

定义a为接收天线比例，令$ {N_r} = aM $，$ {N_t} = (1 - a)M $，则最优化问题P1可以表示为：

求解$ R(a) $关于a的二阶偏导可得：$ \frac{{{\partial ^2}R(a)}}{{{\partial ^2}(a)}} \ge 0 $，所以$ R(a) $是关于a的凹函数。P1存在最优解$ {a^*} $，则收发天线最优比可以表示为：

不失一般性，当只有一个用户的时候，对R(a)进行求导，并等于0，可以得到：

该结果可以很容易扩展到多用户场景。

根据式(26)，可得如下结论：

1) 当$ \tilde \gamma _k^u < \tilde \gamma _k^d $时，$ {a^*} < 0.5 $，即系统为高信干噪比的链路分配更多的资源，以提升系统和速率；

2) 当$ \tilde \gamma _k^u > \tilde \gamma _k^d $时，$ {a^*} > 0.5 $；

3) 当天线数目趋于无限大时，$ {a^*}\mathop \to \limits^{a.s.} 0.5 $。该结论同文献[10-11]结论一致；

4) 当每个用户采用相同的大尺度衰落系数，$ {a^*} $正比于上行导频功率，反比于下行导频功率。

仿真参数设置如下：用户到基站接收天线的距离，基站发送天线到用户的距离，均匀分布在[10 m, 15 m]范围内。不同用户之间的距离均匀分布在[5 m, 10 m]。接收天线和发送天线的距离为1 m。基站天线到用户之间的大尺度衰落因子可以表示为$ \beta _k^i = {(d_k^i)^{ - \varepsilon /2}} $，$ {d_k} $为用户到基站天线端的距离。$ \varepsilon = 3.76 $为路径损耗因子。

图 1给出了和速率下界基于天线数目变化曲线，并和文献[10]中的和速率下界进行比较。其中$ {\beta _W} = 1, {P^d} = 5{\rm{ dB}}, {P^u} = 2{\rm{ dB}}, P_p^d = P_p^u = 1{\rm{ dB}}, a = 0.5 $。由图 1可以看出，文中提出的和速率的下界高于传统和速率下界，当天线数目越大，系统和速率越大。当天线数目趋于无限大时，本文算法同传统算法趋于一致。

图  1  和速率随天线数目的变化

图 2给出了系统和速率随天线分配因子的变化曲线。其中令$ M = 100 $，$ {P^d} = 3 $dB，$ {P^u} = 2 $dB，$ P_p^d = P_p^u = 1 $dB，$ K = 10 $。星形曲线代表$ {\beta _W} = 2 $，$ \tilde \gamma _k^u < \tilde \gamma _k^d $的场景。三角形曲线代表$ {\beta _W} = 0.1 $，$ \tilde \gamma _k^u > \tilde \gamma _k^d $的场景。从图 2可以看出，当$ \tilde \gamma _k^u < \tilde \gamma _k^d $时，最优天线分配因子$ {a^*} $小于0.5；当$ \tilde \gamma _k^u > \tilde \gamma _k^d $时，最优天线分配因子$ {a^*} $大于0.5。

图  2  和速率随天线分配因子的变化

图 3给出天线数目不同时，和速率随最优收发天线比的变化曲线。参数设置分别为$ {P^d} = 3 $dB，$ {P^u} = 2 $dB，$ P_p^d = P_p^u = 1 $dB，$ {\beta _W} = 1 $，$ K = 10 $。从图中可以看出当天线数目变大，最优天线比趋向于0.5。

图  3  不同天线数目下的系统性能对比

图 4给出了最优收发天线比同发送速率的变化曲线。其中参数设置为$ M = 100 $，$ {P^d} = 5 $dB，$ {P^u} = 2 $dB，$ P_p^d = P_p^u = 1 $dB，$ {\beta _B} = 0.5 $，$ K = 10 $。图 4表明最优收发天线比正比于上行发送功率，反比于下行发送功率。

图  4  最优天线比vs信号发送功率

本文提出了全双工大规模MIMO网络中的最优天线分配算法。不同于已有的文献，研究存在信道估计误差情况下的系统性能。针对全双工大规模MIMO网络，基站使用迫零线性信号处理方法，首先推导在大规模天线数目下的系统和速率的紧下界。以系统和速率最大化为优化目标，通过标准凸优化方法，获取最优的天线分配。理论分析和仿真结果表明：1)收发天线比正比于上行发送功率，反比于下行发送功率。2)当天线数目趋于无穷大的时候，最优天线比趋近于1。