现实世界中的复杂网络系统往往具有无标度、高聚类的特点。为模拟这些特点，Holme和Kim构造了一种可调聚类系数的Holme-Kim网络模型(HK)。HK网络构造过程算法如下。

1) 初始状态：网络中有${m_0}$个全连通的节点；

2) 增长机制：每一时间步，一个具有$m$条边的节点$i$加入网络。节点$i$的第一条边按照度优先规则连接到网络中已存在的节点$j$，即选择节点$j$进行连接的概率为：

3) 其余$m - 1$条边以概率${p_t}$随机连接到节点$j$的邻居上，否则以概率$1 - {p_t}$在全网络中使用度优先规则进行连接。

根据以上网络模型构造算法的仿真图如图 1所示。

图  1  HK网络统计特性图

图 1a中网络初始状态${m_0} = 10$，$m = 4$，${p_t} = 0.6$，最终生成的网络规模$N = 12{\text{ }}000$。图 1b中网络初始状态${m_0} = 10$，$m = 4$，最终生成网络规模$N = 5{\text{ }}000$，图中每一个数据是10组独立运算取平均值后所得到的结果。由仿真结果可见，HK网络模型同时具有无标度、高聚类等现实网络所具有的特点，且其聚类系数的值会随着概率${p_t}$的值增大而增大。当${p_t} = 0$时，HK网络即退化为BA网络^[3]。HK网络模型提出后，许多学者研究了该网络的高聚类特性对其上的演化博弈的影响。例如，文献[25]研究了HK网络上的公共品博弈，揭示了网络聚类结构的反馈互惠机制。文献[26]对单层HK网络上的演化博弈行为进行了总结性阐释。

鉴于HK模型可以再现真实网络的这些特点，本文提出一种基于HK网络的相依型HK网络模型，其网络模型由两个HK网络层构成。这两个网络层上的节点之间通过随机性概率$p$进行连接。通过这种不同层节点之间的连接，两个HK网络之间具有了交互性，进而可以在该模型基础上研究合作行为是如何进行演化的。为了方便研究，具体化网络构成的条件如下：HK_A和HK_B是两个规模为$N$的HK网络层，HK_A上的每个节点与HK_B上的随机$n(1 \leqslant n \leqslant N)$个节点以概率$p$进行连接，其中$n$与$p$分别称为连接度与连接概率。其结构如图 2所示。

图  2  相依型双层HK网络结构示意图

考虑到在实际网络中，一个网络层上的节点在另一层网络中相“熟识”的节点往往不会太多，所以$n$的值通常不会太大，且应$n \ll N$。由上述的建模过程可以看出，参数$n$与$p$的值决定了不同网络层之间存在多少连接，故可用这两个参数值对两个HK网络层之间耦合程度进行衡量。用参数$k$表示两个网络之间存在的连接数量。当参数$n$的值固定时，可以通过讨论参数$p$的值决定网络层间的耦合强度。当$p = 0$时，$k = 0$，两个HK网络是相互独立的网络层，它们之间不存在连接。当$0 < p < 1$时，$k$服从二项分布，$k$~$B(nN, p)$，$0 \leqslant k \leqslant nN$。当$p = 1$时，$k = nN$，HK_A中的每一个节点都与HK_B中的$n$个节点存在连接。通过构建这样结构的网络模型，在此基础上引入囚徒博弈模型，对该网络模型上的合作演化行为进行分析与研究。

在囚徒困境博弈模型(prisoner’s dilemma game, PDG)中，每个参与者都有合作(cooperation, C)与背叛(defection，D)两种策略可供选择。参与者的收益矩阵如下：

式中，最左侧一列代表自己的选择，最上面一行代表对方的选择；$R$为$(C, C)$策略组合中，选择$C$策略的参与者所获得的收益；$S$为$(C, D)$策略组合中，选择$C$策略的参与者所获得的收益；$T$为$(D, C)$策略组合中，选择$D$策略的参与者所获得的收益；$P$为$(D, D)$策略组合中，采用$D$策略的参与者所获得的收益。且满足$T > R > P > S$，$2R > T + S$。其中$R$、$S$、$T$、$P$分别被称为“合作的奖励”、“傻瓜的报酬”、“背叛的诱惑”、“背叛的惩罚”。基于该收益矩阵，理性的参与者一定会选择背叛策略作为自己的最佳策略，然而就总体而言只有博弈双方都选择合作策略才能使整体的收益最大化。这种个人利益与整体利益的选择冲突，在博弈论中也被成为社会两难选择(social dilemma)。

在本文的网络博弈演化过程中，使用简化后的单参数囚徒博弈模型^[1]，其收益矩阵如下：

在该单参数模型中参数$R = 1$、$P = 0$、$S = 0$，参数$T = b$为变量。故参数$T$的不同取值可以影响网络上的合作行为，是本文需要考察的一个重要变量。

网络中每一个节点视为一个博弈个体，C为博弈个体所采用的策略，其取值为${\left[ {1{\text{ 0}}} \right]^{\text{T}}}$(代表合作)或${\left[ {0{\text{ 1}}} \right]^{\text{T}}}$(代表背叛)。网络模型初始时合作与背叛策略均匀分布在网络中。在每一轮博弈过程中，个体$i$与其所有邻居进行一次博弈(这里的所有邻居既包括与节点$i$处于同一网络层且直接相连的节点，还有可能包括与节点$i$处于不同网络层以概率$p$进行连接的节点)，所得的累计收益总和为：

式中，${\mathit{\Omega } _i}$为$i$的所有邻居节点集合；$j$为$i$的邻节点。

完成本轮博弈后，个体$i$从所有邻居中随机选择一个邻居$j$，并比较两者收益。若有${U_i} < {U_j}$，则个体$i$以概率${p_{i \leftarrow j}}$采用$j$的策略作为自己在下一轮博弈中所使用的策略。

式中，$\max ({k_i}, {k_j})$表示个体$i$与个体$j$的度的最大者；$D$为收益矩阵中最大参数与最小参数之差，其作用相当于归一化因子，以确保概率${p_{i \leftarrow j}}$的值不超过1。本文中使用的收益矩阵为式(1)，则有$D = T - S = b$。

此外合作者密度是衡量网络博弈行为的重要物理量。随着网络博弈的进行，网络中采取合作策略的节点的比例不再发生变化或者变化值小于一个极小的阈值时，网络的运动状态进入或者逐渐进入合作稳定状态。本文用${f_c}(t)$表示在$t$时刻相依型HK网络中合作者的密度，${f_{{c_1}}}(t)$与${f_{{c_2}}}(t)$分别表示HK_A网络与HK_B网络中$t$时刻合作者密度。$C_1^i(t)$表示$t$时刻HK_A网络中节点$i$所采用的策略，其值取0或1。同理$C_2^j(t)$表示$t$时刻HK_B网络中节点$j$所采用的策略，其值取0或1。则相依型HK网络在$t$时刻合作者密度可以表示为：

为研究网络构成算法中的参数$n$与$p$对网络上合作演化行为的影响，本文在不同规模的网络模型上进行了大量合作演化行为的仿真实验。实验步长$t = 2{\text{ }}000$，仿真图中每一个数据都是10次独立运算取平均值后的结果，网络进入或逐渐进入合作稳定状态。在此基础上，首先讨论连接概率$p$对网络中合作行为的影响。由于群体合作行为的演化过程受多种因素影响，为保证实验对连接概率$p$的讨论真实有效，首先固定$n$与$T$的值以及其他影响网络演化行为的因素，并画出$n = 2$，$T = 1.5$，网络中合作者比例趋于稳定时，连接概率$p$对网络中合作演化行为影响的仿真图。

图 3a中的网络是由两个规模为1 000的HK网络(初始条件为${m_0} = 10$，$m = 4$，${p_t} = 0.5$)按照本文算法构成的规模为2 000的相依型HK网络。图 3b~3d中的网络与3a中网络初始条件和构造过程相同，其规模分别为4 400、5 200、7 200。其中网络博弈模型本文采用第2节中介绍的囚徒困境博弈模型，初始时采用合作策略的节点与采用背叛策略的节点各占50%均匀分布在每一个网络层中。

图  3  动态演化过程($n$不变)

由上述仿真图可以看出，不同规模的网络在初始阶段合作者的密度都会存在不同程度的下降。这是由于本文采用的收益矩阵式(1)中的参数$b > 1$，即背叛者所得收益大于合作者所得收益。故开始阶段会有部分合作者模仿其采用背叛策略的邻居，从而导致网络中合作者密度的减少。然而具有高聚类特性的HK网络中存在大量具有高度连接的hub节点，这些hub节点周围分布着大量低度连接的节点^[8]。累积收益的计算方式会使hub节点受合作策略的眷顾，在博弈的过程中收获过高的博弈收益。这种高收益会在其周围低度的邻居节点中起到示范效应，使这些低度节点纷纷模仿hub节点的合作策略，从而致使合作策略在网络上快速传播开来。另一方面，仿真图中在连接度$n = 2$，$T = 1.5$以及相同的网络规模下，连接概率$p$值越小，网络中合作者密度值${f_c}$在初始阶段下降的幅度$\Delta {f_c}$也越小，在其后的动态演化过程中其反弹的力度反而越大。这种“低开高走”的特性，最终会使低连接概率构造的网络在博弈达到平衡状态时，获得较高的合作者比例。

接下来讨论当连接概率$p$与诱惑参数$T$固定时，网络层间连接度$n$对网络中合作行为的影响。令$p = 0.5$，$T = 1.5$，不同规模网络上的仿真图如图 4所示。

图  4  动态演化过程($p$不变)

图 4a中的网络是由两个规模为1 500的HK网络(初始条件为${m_0} = 10$，$m = 4$，${p_t} = 0.5$)按照本文算法构成的规模为3 000的相依型HK网络。图 4b~4d中的网络与4a中网络初始条件和构造过程相同，其规模分别为3 800、5 000、6 000。初始时合作者与背叛者各以50%的比例均匀混合在每一层网络中。图中每一个数据都是10次独立运算取平均值后的结果。与参数$n$、$T$固定时网络中的合作演化行为相对比，本文发现当参数$p$、$T$固定时，同样是由于$T > R$的存在，网络中的合作行为也呈现出一种“低开高走”的状态。与参数$n$、$T$固定时不同的是，当参数$p$、$T$固定时，连接度参数$n$的值越小，最终网络博弈达到平衡时合作者的密度${f_c}$的值越高。

两个不同HK网络层之间的耦合程度，本文用两个网络层之间存在的连接数$k$进行衡量。由网络构造算法可知$k$~$B(nN, p)$，故参数$k$的数学期望值为$E(k) = nNp$。当网络的规模$N$固定时，有$E(k) \propto np$。通过对图 3、图 4的分析可知，在相同网络规模$N$，相同背叛诱惑$T$下，连接度参数$n$与连接概率$p$的值越小，最终网络上合作行为达到平衡时合作者占比${f_c}$的值越高。故当网络上合作演化行

为达到平衡时合作者的密度值${f_c} \propto \frac{1}{{np}}$，其中$E(k) \propto np$，即有：${f_c} \propto \frac{1}{{E(k)}}$。由此可见，$E(k)$是影响相依型HK网络上合作行为的重要参数，即当两个不同的网络层间的耦合程度较低时，反而有利于网络中合作行为的涌现，高耦合度反而会导致最终合作者比例的降低。

为验证结论，进行仿真实验的结果如图 5所示。

图  5  动态演化过程

图 5a与图 5b分别为在规模$N = 3{\text{ }}000$和$N = $ $5{\text{ }}000$网络上，参数$n$、$p$分别取不同值后得到的演化结果，其中每一个数据都是10次独立运算取平均值后的结果。图 5a中的4条曲线由上到下(${f_c}$值由大到小)的$E(k)$值分别为2 400、3 600、4 800、7 200，即有${f_c} \propto 1/E\left( k \right)$。同样对图 5b进行分析也可以得到相同的结论，可见本文的结论具有普遍性。图 5c与图 5d考察了当网络规模$N$，初始策略分布都相同时，网络上的合作行为的演化过程。由图 5c与图 5d两图可看出虽然网络层间的连接概率$p$与连接度$n$不相同，但只要参数$n$与$p$的乘积值$np$相同，它们的演化进程近乎是相似的过程。这充分说明，$E(k)$是影响相依型HK网络上合作行为的重要因素。

囚徒困境收益矩阵中的参数$T$被称为“背叛的诱惑”(temptation to defect)，它表示当博弈双方分别采用背叛、合作策略时，采用背叛策略的一方所获得的收益。当采用式(1)中的收益矩阵时有$T = b$。随着参数$b(1 \leqslant b \leqslant 3)$的增大，单层HK网络上的合作者密度会经历一个由快到慢的下降过程^[8]。当网络由单层HK网络扩展为相互之间存在联系的双层相依型网络时，为研究参数$T$以及网络之间的连接度$n$、连接概率$p$对网络中博弈演化进程的影响，首先考虑参数$n$、$p$固定时，不同规模网络上合作者密度随参数$T$动态演化过程，仿真图如图 6所示。

图  6  不同诱惑参数下动态演化过程

由图 6可以看出当网络规模$N$、连接概率$p$及连接度$n$都相同的情况下，背叛的诱惑$T$的不同取值会对网络中的合作行为产生较大的影响。在低诱惑参数($T = 1.1$)下，${f_c}$的值一路上扬，在极短的时间内达到动态平衡。反之在较高的诱惑参数下，${f_c}$在博弈初始阶段都呈现出不同程度的下降，其下降的幅度$\Delta {f_c}$随$T$值的增大而增大。当诱惑参数$T$值过大时($T = 1.9$)，${f_c}$值在初始阶段急剧下跌，并短时间内迅速达到动态平衡状态，不过此时平衡状态下${f_c}$的值低于其初始状态值0.5。此外，尽管$T$值很大时，合作者仍然能以较低的占比存在于网络中，这充分证明了高聚类网络中的hub节点对于背叛策略传播具有阻碍作用的结论^[8]。

为考虑诱惑参数$T$对相依型HK网络中合作行为的具体影响，仿真图图 7所示。

图  7  合作者密度与背叛诱惑关系图

图 7是在规模$N = 3{\text{ }}000$的网络上，参数$n$、$p$分别取不同的值得到的演化结果。图中每一个数据都是独立10次2 000步博弈后${f_c}$取平均值的结果。由图可见，无论参数$n$与$p$取何值，当背叛诱惑$T$增大时，最终合作密度${f_c}$都呈现出下降的趋势。这是由于$T$增大时，采取背叛策略的节点将会获得更大的收益，而采取合作策略的节点并不会获得额外的收益，这将会增大两者之间的收益差。由式(3)可知这将增大合作者模仿背叛者的概率，从而在宏观上表现为${f_c}$值的下降。当$1.05 \leqslant b \leqslant 2$时，对于图中不同$n$、$p$值所对应的曲线，都存在一个不同的阈值${\lambda _{n, p}} \in (1.55, 1.70)$，当$T > {\lambda _{n, p}}$时${f_c} > 0.5$，反之${f_c} \leqslant 0.5$。由图中可以看出乘积值$np$越小则${\lambda _{n, p}}$值越大，这说明$np$值越小的网络其演化博弈过程不易受诱惑参数$T$的影响，有利于促进网络中合作行为的涌现。这一结论也可从观察图中相同诱惑参数$T$下，$np$值小的曲线其${f_c}$值反而大而得到。当$b \geqslant 2$时，不同$n$、$p$值的网络的合作频率${f_c}$并未出现交叠的情况^[8]，合作者占比随着$b$值的增大不断变小，当$b = 2.5$时，合作者在网络中消失。

由上述分析过程可知，存在适当的诱惑参数$T$值($1.05 \leqslant T \leqslant 2$)，使得$np$值越小的双层网络越不易受到诱惑参数$T$的影响，即有${f_c} \propto 1/np$。这与上一小节中讨论的结果相一致。当$T$值过大时($T \geqslant 2.5$)，会导致网络中合作者的彻底消失。

本文提出了一种相依型双层HK网络的构造算法，并在此算法构造的网络模型上引入囚徒困境博弈模型进行了演化合作行为的研究。研究了网络构造算法中的连接度参数$n$与连接概率$p$以及博弈收益矩阵中的参数$T$对网络中合作行为的影响。研究结果发现当$n$与$p$的取值较小时，网络中的节点易采取合作策略。稳定状态下，网络中合作者的密度值${f_c}$与不同网络层之间的连接数量$k$值的数学期望$E(k)$密切相关，网络的$E(k)$值越小越容易抵御诱惑参数$T$的影响，越有利于促进网络中合作行为的涌现。

同时仍有一些问题值得探讨。如，处于不同网络层的大度节点间通过完全随机的方式进行相连，通过多次模拟取平均值的方法消除随机误差，得到合作者占比与网络连接参数$n$与$p$值有关的结论。文献[27]与文献[28]分别研究了单层无标度网络的度相关特性对其上的囚徒博弈和公共品博弈的影响。研究表明无标度网络上的同配性会抑制其上的合作行为，而异配性会使其中心节点与周围节点形成维持其初始策略的合作/背叛簇，从而导致合作行为不易在网络中湮灭。与之类似，也可以定义相依型网络的同配性(不同网络层的大度节点之间相连)与异配性(大度节点与另一个网络层上的小度节点相连)。不同网络层间的同配与异配连接模式会对其上合作行为有何影响？同配方式、异配方式、随机方式，哪一种更有利于合作现象的产生？本文在此未做进一步探讨，这也是未来研究工作的着力点。