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链轮系统是一种广泛应用于工业设备上的传输装置，无论是传递动力的传动链，亦或是搬运重物的输送链或起重链，链轮系统都在其中发挥着基础性的作用。因此，如何提高链轮系统的整体性能并对其进行优化设计一直是实际工作中普遍关注的问题。文献[1-2]针对链轮系统运行过程中的可靠性变化进行仿真分析，建立了链轮系统优化设计模型。文献[3-4]采用实验方法或数值模拟分析了链轮和链环的接触特性，为链传动系统关键部件的参数匹配提供了理论依据。文献[5]通过对高速输送链的托板质心和质量进行参数化仿真研究，为减小多边形效应、提高动力学特性提供了依据。文献[6]通过有限元分析方法及多刚体动力学的理论基础，针对链轮系统分别进行了有限元结构静力学分析及动力学仿真。文献[7]提出了一种求解混合离散变量的多目标差分进化算法，以单列链传动功效最大和疲劳寿命最大为目标建立了多目标优化模型。虽然目前针对链轮系统优化设计的研究很多，但这些研究多是通过简化链轮系统系统设计变量来进行优化设计。由于链轮系统优化过程中涉及的影响变量多且关系复杂，这种以简化优化设计模型的复杂度来提高优化效率的方法难以对优化结果的精确度进行保证。因此，如何有效解决链轮系统优化效率和优化结果精确度之间的冲突，是目前链轮系统优化设计的重要问题。
试验设计作为一种将实验和分析相结合的数理统计方法，能够有效辨识影响系统性能的关键参数。近似响应面法则基于一系列确定性实验，采用多项式函数来逼近表达系统性能的隐式极限状态。由于系统优化过程大部分时间消耗都集中在对待优化问题原模型的有限元分析计算过程，通过对近似响应面模型的优化可有效减少优化过程中对待优化问题原模型的有限元分析计算次数，从而有效减少优化过程的时间消耗。近年来，通过试验设计采样数据和建立近似模型来代替仿真优化过程的优化设计方法得到越来越广泛的应用。文献[8]针对功分器模型多目标优化问题，采用均匀试验设计选取合适的设计参数点，结合遗传算法构建具有参数优化功能的代理模型。文献[9-11]基于试验设计理论研究了影响旋流泵的水力综合性能问题中主要影响因素，并最终得到较优的设计方案。文献[12-13]基于正交试验设计和响应面方法理论，构建了面向数控机床静动态性能变化的响应面模型，从而为机床优化设计提供了新的分析方法及技术支持。文献[14-16]针对汽车耐撞性的优化设计问题，通过试验设计对设计变量进行筛选和优化，降低了优化的总时间并提高了系统的稳健性。文献[17]针对汽车制动噪声的抑制优化问题，将响应面法与优化技术相结合，对汽车盘式制动器的稳定性进行分析和优化。
基于试验设计和近似响应模型的优势，本文提出了一种基于试验设计响应面模型的链轮系统优化设计方法。通过试验设计分析影响链轮系统性能参数的敏感性，识别影响链轮系统优化过程中的关键设计参数，通过基于敏感性高的设计参数建立链轮系统综合性能响应面近似模型。采用多岛遗传算法(multi-island genetic algorithm, MIGA)对近似模型进行优化计算来获得优化方案。从而在保证链轮系统优化效率前提下有效提高其优化性能目标。
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试验设计方法为数理统计学的一个分支，它提供了一种合理而有效地获得信息数据的方法，是当今产品开发、过程优化等环节中最重要的统计方法之一[18]。本文将试验设计方法和响应面方法集成在链轮系统的优化设计过程，选用空间填充性和均匀性高的最优拉丁超立方试验设计方法(optimal latin hypercube design, OptLHD)，通过较少的试验次数，辨识链轮传动中关键参数并构建二次回归模型。通过影响链轮系统优化设计过程中的关键参数建立逼近系统质量和最大应力两个响应的响应面近似模型，通过对近似响应面的优化来提高链轮系统优化效率，从而有效解决链轮系统由于设计参数多且关系复杂所产生的优化效率与优化精度矛盾问题。
针对链轮系统优化设计过程中涉及的设计变量多且关系复杂的特点，通过试验设计来有效辨识影响链轮传动中的关键设计参数，并基于关键设计参数样本点构建了如式(1)所示的多元二次回归模型：
$$y = {\beta _0} + \sum {{\beta _i}{x_i}} + \sum {{\beta _i}{x_i}^2} + \sum\limits_{}^{i \ne j} {{\beta _{ij}}{x_i}{x_j}} $$ (1) 式中，β0为回归模型常数项；βi为一次项xi和平方项$x_i^2$系数；βij为交叉项xixj系数。
通过对多元二次回归模型求导，可获得式(1)对应多项式模型中每一个项对响应的主效应。
xi线性项的主效应：${M_{{x_i}}} = {\beta _i}{\text{d}}{x_i}$；xi二阶项的主效应：${M_{x_i^2}} = 2{\beta _i}{\text{d}}{x_i}$；xi-xj交互效应：${M_{{x_i}{x_j}}} = 2{\beta _{ij}}{\text{d}}{x_i}{x_j}$；其中：${\text{d}}x = {\text{max}}(x) - {\text{min}}(x)$，$x = ({\text{max}}(x) + $ ${\text{min}}(x))/2$
在链轮系统优化设计中，通过在优化设计变量局部范围内遴选较少的设计参数来拟合链轮系统质量、最大应力两个响应的函数关系，建立的响应面函数可定义为：
$$\tilde y(x){\text{ = }}{a_0} + \sum\limits_{i = 1}^N {{a_i}{\varphi _i}(x)} $$ (2) 式中，${\varphi _i}(x)$为响应面基函数；${a_i}$为基函数系数；N为基函数个数。
二阶多项式近似模型的基函数分别为：
$$1,{x_1},{x_2}, \cdot \cdot \cdot ,{x_n},{x_1}^2,{x_1}{x_2}, \cdot \cdot \cdot ,{x_1}{x_n}, \cdot \cdot \cdot ,{x_n}^2$$ (3) 式中，n为设计变量的个数。
根据式(2)，可得二阶响应面近似模型的表达式分别为：
$$\tilde y(x){\text{ = }}{a_0} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}{x_i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}x_i^{\text{2}}} + \sum\limits_{i = 1 < j}^n {{a_{ij}}{x_i}{x_j}} $$ (4) 当获得与M(M > 1.5N)个设计样本点对应的响应量$y = {({y^{(1)}},{y^{(2)}}, \cdots ,{\text{ }}{y^{(M)}})^{\text{T}}}$后，通过最小二乘法可计算得到基函数系数列阵：
$${\mathit{\boldsymbol{a}}}{\text{ = (}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} ^{\text{T}}}\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} {{\text{)}}^{ - {\text{1}}}}{\text{(}}{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} ^{\text{T}}}{\mathit{\boldsymbol{y}}}{\text{)}}$$ (5) 式中，$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} $为响应面样本点矢量，采用的二阶多项式响应面，$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} $可以表示为：
$$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} {\text{ = }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{x_{1,1}}}& \cdots &{{x_{1,N}}} \\ 1&{{x_{2,1}}}& \cdots &{{x_{2,N}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1&{{x_{M,1}}}& \cdots &{{x_{M,N}}} \end{array}} \right)$$ (6) 从链轮系统优化设计空间中的设计样本点确定矩阵$\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{ \varPhi} }} $和对应的响应矢量y代入式(5)，可获得响应面近似模型的系数列阵a，进而得到响应面的具体表达式。
在优化设计过程中，响应面近似模型的精确度直接影响到优化结果的准确性，为了保证响应面近似模型的精确度，需要指定响应面模型的取舍关键项作为精确度计算标准。取舍关键项的类型主要有均值、最大值、均方根和残差平方和。本文以残差平方和(residual sum of squares, RSS)最大作为目标进行样本点的最佳选择，具体公式表示如下：
$${\text{RSS = }}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({y_i} - {{\bar y}_i})}^2}} $$ (7) 式中，${y_i}$是响应实际值；${\bar y_i}$是响应近似值；n是构造响应面模型的样本点数。选择误差类型为RSS来衡量近似模型与样本点项间的精确度。
为了避免满足优化精确度要求的响应面模型寻优过程中陷入局部最优解问题，本文选用多岛遗传算法对获得的链轮系统响应面近似模型进行全局优化。获得全局优化方案的精确度ε为：
$${\varepsilon _i}{\text{ = }}1 - \frac{{|{x_{\text{i}}} - {{x'}_i}|}}{{{x_i}}} \times 100\% $$ (8) 式中，${x_i}$为利用优化参数计算得到的待优化问题实际值；${x'_i}$为基于响应面模型得到的优化值。
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基于试验设计响应面模型链轮系统的优化设计需要多种优化方法和工具支持，需要一个优化平台将这些方法和工具进行有效集成。本文基于Isight优化平台[16]将包括试验设计组件、近似模型组件和优化算法组件等设多种优化分析方法与工具进行集成，搭建了相应的优化流程。
此外，为顺利实现基于试验设计响应面模型的优化过程，还需建立基于试验设计响应面模型的优化变量关系模型，实现不同设计变量在不同优化工具中的映射和关联。本文建立的链轮系统设计变量映射关系包括：在Simcode通用集成模块中加载三维建模SolidWorks软件驱动bat文件和参数化vbs文件，使设计变量值从试验设计组件中传递到SolidWorks软件中，在优化前的链轮系统模型基础上建立新的链轮系统模型，实现模型的自动更新并将更新后的模型进行保存。通过SolidWorks与ANSYS之间的数据接口，把更新后的链轮系统模型文件导入到ANSYS有限元分析软件专用模块中，实现三维模型参数的传递。在ANSYS软件中，根据优化前链轮系统模型有限元分析方式进行计算分析，把分析结果传递给试验设计组件。然后根据设计矩阵中下一组设计变量值进行新的分析计算，完成链轮系统设计矩阵的全部计算，得到链轮系统的试验设计数据，保存在数据文件txt中。通过Isight中近似模型组件，加载所有样本点数据的数据txt文件，定义设计变量与设计响应，建立链轮系统的响应面近似模型。
具体优化设计过程如图 1所示，主要包括5个步骤：
图 1 近似模型建立流程
1) 建立优化目标的几何建模，进行有限元分析；
2) 选择设计变量和设计目标，建立优化设计数学模型；
3) 通过设计变量矩阵进行多组试验分析，得到结果数据识别关键变量及变量间相互关系；
4) 利用设计变量与分析结果建立近似模型，分析近似模型是否满足精确度要求，若不满足，则删除坏点或新增参数点；
5) 选择合适的优化方法，设置优化变量与目标进行计算，并对优化结果进行验证。
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链轮系统包括轮毂、轮辐和轮缘3个部分。轮缘根据工作条件由链轮的基本参数确定。轮毂作为链轮配合面结构，在配合件没有变化的情况下是不能单独进行优化的。轮辐是介于轮毂和轮缘之间的结构形式，实心的链轮会产生较大的转动惯量，因此对链轮系统进行轻量化设计是提高链轮系统传动效率的有效途径。对链轮系统的优化工作可主要集中在轮辐上。
基于文献[6]建立的正时滚子链链轮系统模型作为优化对象，文献[19]采用零阶优化方法对该链轮系统进行了轻量化设计。该优化过程共进行了16次正交试验设计，分析了结构参数对应力的影响。然后用零阶优化方法进行实验样本组进行了20次优化迭代，共计对待优化原模型进行了36次有限元分析计算。优化结果在最大应力值低于许用应力的条件下，使系统质量减轻了35%，有效达到最初的优化目标。本文以文献[6]建立的链轮系统模型作为优化对象，采用本文提出的优化方法对该系统的质量参数进行优化设计。该链轮系统的主要尺寸如表 1所示，传动链链号为16 A。链轮材料为40号钢，传动链材料为40 Cr。腰形孔的弧度、内径、外径、轮辐的厚度的初始尺寸分别为68.765°、5 mm、45 mm、66 mm。
表 1 传动链轮主要尺寸
链节数p/mm 齿数z 分度圆直径d/mm 25.4 21 170.42 该链轮的工作拉力F1为5 000 N，根据文献[20]，传动链条的紧边张力F1由有效圆周力F、离心力引起的张力${F_c}$及松边垂度引起的张力${F_f}$共3部分组成。传动链松边的张力F2则由${F_c}$及垂度引起的张力${F_f}$两部分组成。各个张力的计算公式如式(9)~式(12)所示：
$${F_c} = q{v^2}\varepsilon $$ (9) $${F_f} = {K_f}qag$$ (10) $${F_1} = F + {F_c} + {F_f}$$ (11) $${F_2} = {F_c} + {F_f}$$ (12) 式中，q为每米链条质量，单位kg/m；g为重力加速度，单位m/s2；Kf为垂度系数；V为链速，单位m/s。
计算出离心拉力${F_c}$为0.102 N、垂直拉力${F_f}$为156.55 N、紧边最大拉力F为5 156.65 N和松边最大拉力F'为156.65 N。由机械手册查得三圆弧——直线齿轮啮合时，当滚子刚进入轮齿齿廓凸型圆柱面接触时，接触应力应力最大，由式(13)计算得接触应力最大为258.72 MPa。
$$\sigma {\text{ = }}0.564\sqrt {\frac{p}{l}\frac{{\frac{{{R_1} - {R_2}}}{{{R_1}{R_2}}}}}{{\frac{{1 - \gamma _1^2}}{{{E_1}}} + \frac{{1 - \gamma _2^2}}{{{E_2}}}}}} $$ (13) 式中，P为接触线上的总压力；R1, R2为两个圆柱体的半径；${\gamma _1}$, ${\gamma _2}$为两圆柱体的泊松比；E1, E2为两圆柱体的弹性模量。
下面将根据本文提出的优化过程对该链轮系统进行优化设计。
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根据表 1中所述链轮系统的主要参数及链条的主要参数在Solidworks中建立链轮系统三维模型。简化的模型主要由链轮、链条组成，链条又分为内链板、外链板、滚子、轴销。然后利用软件接口将链条与链轮的装配体导入Ansys Workbench中，最小单元尺寸为3 mm，共划分35 179个实体单元，81 483个节点，33个接触对。将前文的紧边张力5 156.65 N以及松边张力156.65 N分别作用在链轮传动机构的紧边与松边的滚子上，对轴孔上施加约束，限制链轮轴孔圆柱面的径向自由度、周向自由度、轴向自由度。链轮系统有限元模型及约束施加情况如图 2所示。
图 2 链轮系统有限元模型及约束施加情况
滚子链传动接触的应力分析结果如图 3所示，最大应力位于滚子为253.52 MPa，与滚子链轮理论接触应力结果258.72 MPa相近。链轮的最大应力为100.9 MPa。链轮最大应力小于屈服强度250 MPa，链轮质量为2.245 6 kg，可以对其进行优化。
图 3 滚子链传动接触的应力分布云图
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将腰形孔的弧度α1，内径r1，外径r2以及轮辐的厚度h1设为优化参数，建立关于α1、r1、r2与h1优化数学模型，如图 4所示。由于腰孔的不同位置对分析结果直接影响，通过试验设计拟合出孔位置与链轮最大应力的数值关系，将应力值最大的位置作为分析的初始位置。优化目标1为质量的轻量化${f_1}(X) = m(X)$；安全因子大于2.5接近2，即应力最大值小于125 MPa接近100 MPa，优化目标2为${f_2}(X) = |\sigma - 100|$。由于两个目标函数都取最小值，将f1(X)乘以f2(X)作为评价系数，链轮系统的优化数学模型可表示为：
图 4 优化参数设定
$$ \begin{array}{l} X = [{r_1},{r_2},{\alpha _1},{h_1}]\\ \min F(X) = {f_1}(X) \times {f_2}(X) = m(X) \times |\sigma - 100|\\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}{\sigma _{\max }} <125{\rm{ MPa}}\\ \;\;\;\;\;\;10^\circ < {\alpha _1} < 80^\circ \\ \;\;\;\;\;\;5{\rm{ mm}} < {h_1} < 7{\rm{ mm}}\\ \;\;\;\;\;\;40.5{\rm{ mm}} < {r_1} < 54{\rm{ mm}}\\ \;\;\;\;\;\;52.8{\rm{ mm}} < {r_2} < 66{\rm{ mm}} \end{array} $$ -
根据链轮系统优化数学模型中涉及的设计参数，对影响链轮系统性能的设计参数进行试验设计和分析。本文采用最优拉丁超立方试验设计方法，设置设计变量的区间后获取了30个组样本点数据，通过有限元分析计算，得到各组样本点对应的计算结果。试验因子设计矩阵及试验结果如表 2所示。
表 2 试验因子设计矩阵与试验结果
N 试验设计变量 试验设计相应 α1/(°) h1/mm r1/mm r2/mm 最大应力/MPa 质量M/kg 1 60.062 6.103 40.966 68.503 126.115 1.274 2 49.314 5.414 51.672 69.869 52.636 1.570 3 73.497 6.931 50.276 65.772 71.797 1.670 4 68.123 5.000 46.552 57.579 82.667 1.872 5 61.406 5.966 47.483 63.041 62.983 1.708 6 50.658 6.448 49.345 71.917 54.030 1.426 7 43.940 6.724 42.828 70.552 68.718 1.320 8 58.719 5.069 44.224 66.455 79.421 1.448 9 78.871 5.897 45.621 56.897 90.263 1.863 10 72.153 6.517 51.207 56.214 72.115 2.078 11 69.466 5.138 49.810 71.234 110.863 1.383 12 64.092 6.172 54.000 69.186 70.731 1.661 13 53.345 6.793 47.948 54.166 63.035 2.065 14 45.284 5.276 41.897 58.262 52.839 1.747 15 57.375 7.000 45.155 63.724 57.449 1.637 16 80.214 5.828 50.741 65.090 90.985 1.689 17 52.001 6.034 53.069 55.531 63.467 2.169 18 46.627 5.207 48.879 60.310 52.909 1.870 19 56.032 5.759 46.086 52.800 58.760 2.046 20 76.184 6.655 43.293 64.407 102.553 1.488 21 77.527 5.552 43.759 67.138 142.307 1.358 22 66.779 6.586 42.362 54.848 66.229 1.866 23 70.810 6.241 47.017 72.600 143.508 1.234 24 54.688 6.862 52.603 62.359 51.327 1.923 25 47.971 6.379 41.431 59.628 53.163 1.701 26 41.253 6.310 48.414 60.993 53.308 1.860 27 65.436 5.621 40.500 58.945 80.989 1.649 28 62.749 5.345 53.534 61.676 69.016 1.952 29 42.597 5.690 44.690 67.821 50.896 1.464 30 74.840 5.483 52.138 53.483 155.373 2.200 Pareto图可有效反映样本拟合后模型中所有项对每个响应的贡献程度百分比，数值为正表示正效应，数值为负则表示反效应。通过对试验设计结果进行Pareto图和交互效应图分析，获得链轮系统性能主要影响因子。滚子传动链优化试验设计的Pareto图如图 5所示，由Pareto分析可得：
图 5 各个设计响应的Pareto图
1) 最大应力ρmax最大由α1正影响，其次是r2，r1，h1影响；
2) 质量M最大由r2负影响，其次是r1，α1，h1影响。
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根据试验设计结果，利用式(4)最小二乘法计算回归系数矩阵，构造最大应力ρmax、链轮质量M的二次多项式响应面近似函数为：
$$\begin{array} [c]{c} {\rho _{{\text{m}}ax}} = - {\text{92}}{\text{.254}} - {\text{82}}{\text{.916}}{\alpha _{\text{1}}} - {\text{57236}}{\text{.9}}{h_{\text{1}}}{\text{ + 4978}}{\text{.25}}{r_1} - \\ {\text{1156}}{\text{.27}}{r_{\text{2}}}{\text{ + 73}}{\text{.893}}{\alpha _1}^2 - {\text{7}}{\text{.241}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^6}h_1^2{\text{ + 360}}{\text{.079}} \times \\ {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}r_{\text{1}}^{\text{2}}{\text{ + 177}}{\text{.273}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}r{{\text{2}}^{\text{2}}} - {\text{12}}{\text{.436}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{\alpha _{\text{1}}}{h_{\text{1}}} - \\ {\text{6}}{\text{.822}}{\alpha _{\text{1}}}{r_{\text{1}}}{\text{ + 5}}{\text{.870}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{\alpha _{\text{1}}}{r_{\text{2}}} - {\text{235}}{\text{.97}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{h_{\text{1}}}{r_{\text{1}}} - \\ {\text{45}}{\text{.2}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{h_{\text{1}}}{r_{\text{2}}} - {\text{532}}{\text{.08}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{r_{\text{1}}}{{\text{r}}_{\text{2}}} \end{array} $$ (14) $$\begin{array} [c]{c} M = {\text{764}}{\text{.08 + 165}}{\text{.40}}{\alpha _{\text{1}}} - {\text{21 453}}{\text{.26}}{h_{\text{1}}}{\text{ + }} \\ {\text{4775}}{\text{.9}}{r_1} - {\text{23}}{\text{.086}}{r_{\text{2}}}{\text{ + 96}}{\text{.79}}{\alpha _1}^2{\text{ + }} \\ {\text{8}}{\text{.443}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^6}h_1^2{\text{ + 348}}{\text{.3}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}r_1^2{\text{ + 327}}{\text{.0}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}r{{\text{2}}^{\text{2}}} - \\ {\text{51}}{\text{.627}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{\alpha _{\text{1}}}{h_{\text{1}}} - {\text{2}}{\text{.463}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{3}}}{\alpha _{\text{1}}}{r_{\text{1}}}{\text{ + 5}}{\text{.282}}{\alpha _{\text{1}}}{r_{\text{2}}} - \\ {\text{1}}{\text{.125}} \times {\text{1}}{{\text{0}}^{\text{6}}}{h_{\text{1}}}{r_{\text{1}}}{\text{ + 925}}{\text{.549}}{h_{\text{1}}}{r_{\text{2}}} - {\text{530}}{\text{.494}}{r_{\text{1}}}{r_{\text{2}}} \end{array} $$ (15) 根据最大应力ρmax、链轮质量M的二次多项式响应面函数，以及各个响应的主要设计因子，得到如图 6所示的最大应力ρmax、链轮质量M的响应面近似模型三维图形与等值线图形。由近似模型可得，随着α1和r2的增加，最大应力ρmax增加；随着r1的增加，r2的减少，链轮质量M增加。
图 6 各个设计响应的响应面近似模型
为保证拟合的响应面近似模型能较好反映实际情况，还需对其进行精确度检验。本文指定残差平方和RSS作为响应面模型取舍关键项并以其最大作为优化目标，对响应面模型样本参数点进行最佳选择。基于式(7)计算基于建立响应面得到的最大应力ρmax、质量M的RSS值分别为0.903 9、0.999，最大应力值、质量的实际值与预测值关系图如图 7所示。表明该近似模型与真实有限元模型的逼近程度高，具有足够的精确度。
图 7 各个设计响应实际值与预测值关系图
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不同的优化算法对链轮系统响应面近似模型进行求解和计算效率存在差异，鉴于链轮系统优化过程中其优化目标函数存在多峰性和非连续的特点，传统的数值优化和直接搜索方法均不易有效获得全局最优解。所以，本文为避免仅获得局部最优解问题，选用多岛遗传算法对获得的链轮系统响应面近似模型进行优化。设定子种群大小为10，岛的数目为10，遗传代数为10，共计算1 000个方案。
优化过程中链轮最大应力和链轮质量的迭代曲线如图 8所示，在最大应力迭代曲线中超过125 MPa的点为无效点，通过寻优计算最大应力趋近于100 MPa，同时链轮质量取较小值。利用优化结果中的链轮尺寸进行重新建立链轮模型并进行验证分析，得到的优化结果和验证结果如表 3所示，并利用式(8)计算优化结果的精确度。
图 8 优化过程中设计响应
表 3 优化前后对比及结果验证
对比项 α1/(°) h1/mm r1/mm r2/mm M/kg ρmax/MPa 优化前 68.76 5.0 45.0 66.0 1.467 100.9 优化后 40.07 6.17 40.96 70.9 1.328 100.01 验证值 - - - - 1.323 101.5 文献[19]的优化结果为链轮系统的质量1.467 2 kg，最大应力100.9 MPa；采用本文优化方法后链轮质量为1.328 kg，最大应力为100.1 MPa。对比表明本文优化方法进一步将链轮的质量减轻了9.93%。此外，文献[19]对待优化链轮系统原模型进行了36次有限元分析计算，而本文所提优化方法进行了30次，计算次数减少了6次。表明本文所提优化方法总优化时间减少了约16.7%。通过对优化结果精确度验证分析可得：M的精度为99.4%，最大应力的精度为98.5%，表明本文方法获得的优化方案与实际情况具有较高匹配性。
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本文针对目前链轮系统优化过程中效率和精确度难以兼顾的不足，提出了一种基于试验设计响应面模型的链轮系统优化设计方法和优化过程。通过Isight优化平台集成了试验设计方法与近似响应面方法，采用最优拉丁超立方试验设计法辨识链轮优化设计中的关键参数以及相互影响关系；通过试验样本点建立了链轮优化参数关于链轮质量和最大应力的响应面近似模型；然后对近似模型采用多岛遗传算法进行优化计算。通过与现有优化方法进行结果对比，本文所提方法较原有方法进一步提高了链轮系统的综合优化性能，反映出该优化方法具有较好的实用性。
A Sprocket Optimal Design Method Based on Approximate Response Surface Model
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摘要: 链轮系统作为一种广泛应用于工业设备上的动力传输装置，优化并提高其系统性能具有重要的理论和实际意义。针对目前链轮系统优化过程中优化效率和优化精确度难以兼顾的不足，提出了一种基于试验设计响应面模型的链轮系统优化设计方法和优化过程。以链轮系统有限元分析结果为基础，对影响链轮系统的优化控制参数进行最优超立方试验设计，获得具有显著影响度的设计控制参数并建立各控制参数间的交互响应关系。基于显著控制样本参数构造链轮系统响应面近似模型，采用多岛遗传算法对响应面近似模型进行全局寻优并实现对链轮系统的优化设计。与常规优化方法对比，该方法在较少优化次数条件下进一步提高了链轮系统的综合优化性能，有较好的可行性和实用性。Abstract: Sprocket system is a power transmission device widely used on a variety of industrial equipment, it has importantly theoretical and practical significance to optimize and improve the performance of such system. In this paper, an optimization method with optimization process of sprocket system based on experimental design of response surface model is proposed to overcome the shortcomings of both optimization efficiency and optimization accuracy in current sprocket system optimization. Based on the finite element analysis results of the sprocket system, the optimum hypercube design for the optimal control parameters affecting the sprocket system is presented. The design control parameters with significant influence are obtained and the interactive responses between the control parameters are established. The response surface approximation model of the sprocket system is constructed based on the parameters of the control samples. The multi-island genetic algorithm is used to globally optimize the response surface approximation model and optimize the sprocket system. Compared with the existing optimization methods, this method further improves the overall optimization performance of the sprocket system, and shows that the method has good feasibility and practicability.
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表 2 试验因子设计矩阵与试验结果
N 试验设计变量 试验设计相应 α1/(°) h1/mm r1/mm r2/mm 最大应力/MPa 质量M/kg 1 60.062 6.103 40.966 68.503 126.115 1.274 2 49.314 5.414 51.672 69.869 52.636 1.570 3 73.497 6.931 50.276 65.772 71.797 1.670 4 68.123 5.000 46.552 57.579 82.667 1.872 5 61.406 5.966 47.483 63.041 62.983 1.708 6 50.658 6.448 49.345 71.917 54.030 1.426 7 43.940 6.724 42.828 70.552 68.718 1.320 8 58.719 5.069 44.224 66.455 79.421 1.448 9 78.871 5.897 45.621 56.897 90.263 1.863 10 72.153 6.517 51.207 56.214 72.115 2.078 11 69.466 5.138 49.810 71.234 110.863 1.383 12 64.092 6.172 54.000 69.186 70.731 1.661 13 53.345 6.793 47.948 54.166 63.035 2.065 14 45.284 5.276 41.897 58.262 52.839 1.747 15 57.375 7.000 45.155 63.724 57.449 1.637 16 80.214 5.828 50.741 65.090 90.985 1.689 17 52.001 6.034 53.069 55.531 63.467 2.169 18 46.627 5.207 48.879 60.310 52.909 1.870 19 56.032 5.759 46.086 52.800 58.760 2.046 20 76.184 6.655 43.293 64.407 102.553 1.488 21 77.527 5.552 43.759 67.138 142.307 1.358 22 66.779 6.586 42.362 54.848 66.229 1.866 23 70.810 6.241 47.017 72.600 143.508 1.234 24 54.688 6.862 52.603 62.359 51.327 1.923 25 47.971 6.379 41.431 59.628 53.163 1.701 26 41.253 6.310 48.414 60.993 53.308 1.860 27 65.436 5.621 40.500 58.945 80.989 1.649 28 62.749 5.345 53.534 61.676 69.016 1.952 29 42.597 5.690 44.690 67.821 50.896 1.464 30 74.840 5.483 52.138 53.483 155.373 2.200 
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表 3 优化前后对比及结果验证
对比项 α1/(°) h1/mm r1/mm r2/mm M/kg ρmax/MPa 优化前 68.76 5.0 45.0 66.0 1.467 100.9 优化后 40.07 6.17 40.96 70.9 1.328 100.01 验证值 - - - - 1.323 101.5
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图(8) / 表(3)
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