Dynamics Modeling and Synchronization Control of Clamped-Clamped Beam MEM Silicon Resonator

本文研究了一种双端固支梁MEM硅谐振器。静电驱动谐振器中的非线性来源于机械和电容，机械非线性是由谐振元件中的几何和材料效应引起的，而电容非线性是由静电耦合机制引起的。 根据经典梁理论，可以对桥式谐振器(也称为双端固支梁谐振器)进行建模。相应地，在理论上分布材料非线性可以使用杨氏模量进行估计。这些非线性效应可以通过具有Duffing结构的简化或集总模型有效地描述。

谐振器的示意图如图1所示。虚线描述了谐振器震动的形状。由于梁的横向振动，谐振器称为弯曲谐振器。谐振器的驱动是通过直流 ($ {V_{{\rm{dc}}}} $) 和交流 ($ {V_{{\rm{ac}}}} $) 电压分量实现的，它们通过偏置三通施加到谐振器的电极上。值得注意的是，直流电压 ($ {V_{{\rm{dc}}}} $) 应用于梁的两个电极，而交流电压($ {V_{{{\rm{ac}}} }} $)应用于单个电极。通过用电负载激励电容设备，$ {V_{{\rm{dc}}}} $使检测质量块轻微偏移，而$ {V_{{{\rm{ac}}} }} $使检测质量块在新缺陷位置周围振动。

由于梁在整个梁长度上被激发(见图1)，$ x $表示梁在第一模式下振动的位移量。此外，$ \dot x $和$ \ddot x $分别表示$ x $的一阶和二阶导数。描述MEM硅谐振器动态行为的集总单自由度模型如下^{[5, 17]}：

式中，$ {{m}} $，$ {{b}} $和$ {{g(x) = }}{\alpha _2} + {\alpha _3}{x^2} $分别是系统的有效(集总)质量、阻尼和非线性刚度；$ {C_0} $是当$ x = 0 $时间隙上的电容；$ {d_0} $是相应的间隙宽度。尽管梁振动形状是连续的，但已发现集总描述式(1)足以捕捉MEM硅谐振器的动态行为^[1]。$ {V_1}\left( t \right) $和$ {V_2}\left( t \right) $表示施加在电极上的电压，并写为：

式中，$ {V_{{\rm{dc}}}} $是偏置电压；$ {V_{{\rm{ac}}}} $和$ 2{{\text π}}/\Omega $分别是交流电压的幅度和频率。从式(2)可以看出，谐振器受到频率为$ 2{{\text π}}/\Omega $和$ 4{{\text π}}/\Omega $的参量激励。

为了建模方便，可以将式(1)改写为：

通过定义弹性固有频率$ {\omega _0} = \sqrt {\dfrac{{{\alpha _2}}}{m}} $，并且定义如下无量纲量：$ \tau = {\omega _0}t $、$\varpi = \dfrac{\Omega }{{{\omega _0}}} $、$ z = \dfrac{x}{{{d_0}}} $、$ {\beta _1} = \dfrac{{{\alpha _1}}}{{m{\omega _0}}} $、$ {\beta _2} = \dfrac{{{\alpha _2}}}{{m{\omega _0}^2}} $、$ {\beta _3} = \dfrac{{{\alpha _3}{d_0}^2}}{{m{\omega _0}^2}} $、$ \gamma = \dfrac{{{C_0}}}{{2m{\omega _0}^2{d_0}^2}} $。

上述MEM硅谐振器模型及其动态特性分析表明，其是一个典型的非线性动态系统，并存在周期性振荡^[18]、拓扑结构突变的分岔^[19]、有界初始条件敏感和非周期的混沌特性^[20-21]。非线性微分系统式(3)使用无量纲的参数进行数值仿真，假设系统参数为$ {{m = 6}} \times {10^{ - 12}}\;{{{\rm{kg}}}} $、$ {{{V}}_{{{\rm{dc}}}}}{{ = 4}}{{.3\;{\rm{V}}}} $、$ {\alpha _1} = 6 \times {10^{ - 8}}\;{\rm{kg}}/{\rm{s}} $、$ {\alpha _2} = 6\;{\text{μ}}{\rm{N}}/{\text{μ}}{\rm{m}} $、$ {\alpha _3} = 14\;{\text{μ}}{\rm{N}}/{\text{μ}}{{\rm{m}}^3} $、$ d = 2.2\;{\text{μ}}{\rm{m}} $、$ {C_0} = 0.8 \times {10^{ - 12}}\;{\rm{F}} $、$ {\omega _0} = {10^6}\;{\rm{rad}}/{\rm{s}} $，这表明在模型式(3)中$ {\beta _1} = {10^{ - 2}} $、$ {\beta _2} = 1 $、$ {\beta _3} = 11.29 $、$ \gamma = 0.013\;8 $。

为了研究谐振器的动态行为，使偏置电压$ {V_{{\rm{dc}}}} $保持固定，交流电压$ {V_{{\rm{ac}}}} $变化。图2说明了$ {V_{{{\rm{ac}}} }} = 0.25\;{\rm{V}} $和$\Omega = 0.2 \times {10^6}\;{\text{rad/s}}$时系统的相位响应，其中系统式(3)表现出混沌的反应。图3中存在一个正Lyapunov指数证实了系统的混沌行为。当$ {V_{{{\rm{ac}}}}} = 0.15\;{\rm{V}} $和$\Omega = 0.2 \times {10^6}\;{\rm{rad}}/{\rm{s}}$ 时，系统式(3)表现为周期性，由图4的相位图中观察到的运动，得到范围的分岔图$ {V_{{{\rm{ac}}}}} $如图5所示，这表明存在与$ {V_{{{\rm{ac}}}}} $相关的不同类型的运动。事实上，其他参数也可能导致复杂的动态行为，如可以得到图6中通过调整 $ {V_{{{\rm{dc}}} }} $ 的分岔图，展示了系统的行为如何随直流电压变化。

定义状态变量$ {{{p}}_1} = z $，$ {{{p}}_2} = \dfrac{{{{\rm{d}}}z}}{{{{\rm{d}}}\tau }} $，系统(3)可以转化为如下状态空间表达式：

式中，$ {\dot p_1} = \dfrac{{{{\rm{d}}}{p_1}}}{{{{\rm{d}}}\tau }} $；$ {\dot p_2} = \dfrac{{{{\rm{d}}}{p_2}}}{{{{\rm{d}}}\tau }} $。

在本节中，考虑输出反馈下的一般主从型耦合系统控制，由主系统式(4)和以下从系统$ S $组成：

式中，$ u $是同步控制器。同步控制的目的是，通过使用输出反馈控制器$ u(\tau ) = L(y(\tau ) - \hat y(\tau )) $，同步从系统$ S $渐近到主系统$ M $。

定义同步误差$ e(\tau ) = p(\tau ) - \hat p(\tau ) $，则同步误差动态方程可由式(4)和式(5)得出：

进一步得到非线性项方程如下：

数值仿真表明谐振器的振荡幅度小于$ 0.5{d_0} $，将式(6)与式(7)结合得到：

式中，

因此，接下来研究二元函数的最大值为：

使用MATLAB绘制图7所示的函数$ \rho ({p_1},{\hat p_2}) $的三维图形。

$ \rho ({p_1},{\hat p_2}) $的最大值为$ {\rm{max}}\rho = 0.057\;1 $，选择同步控制器为：

式中，$ k $是需要设计的正增益参数。

联立式(6)、(9)和(10)，可以得到：

然后，取：

它将保持$ \sigma < 0 $。最后，根据上述结果，将式(6)式改写为：

式(14)的系统矩阵为：

因为$ \sigma < 0 $，系统矩阵的两个特征值都是正数。因此，同步误差$ e(\tau ) $渐近收敛到零。

在误差动态方程式(6)中，线性项和二次项均包含输入$ u $。因此，如式(13)所示，控制器增益$ k $既不能太大也不能太小。控制器的增益$ k $较大会导致正反馈$ {u}^{2} $抑制负反馈$ 2({V_{{{\rm{dc}}}}} + {V_{{{\rm{ac}}}}}\sin (\varpi \tau ))u $，这会使同步误差发散。相反，控制器的增益$ k $较小，不能提供足够的负反馈来控制误差动态并确保同步误差收敛。

此外，噪声在现实世界系统中无处不在，采用同步时需要考虑噪声的影响。众所周知，噪声会以不同的方式影响同步。因此，很多研究都集中在干扰的影响和不确定的同步参数。但是，由于只有输出信号可以被测量，输入信号$ u $以二次项输入从系统，如何解决对于存在干扰或不确定性的多个 MEM硅谐振器的同步问题，仍然需要研究。

从图1可以看出，梁在谐振器的间隙中振动，那么$ - {d_0} < z < {d_0}$，这意味着$ - 1 < {p_1} $且$ {\hat p_1} < 1 $，因此在式(6)中有$ \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{{{{(1 - {{\hat p}_1})}^2}}} $。 那么，很明显存在一个正参数$ \eta $，使得$ u $和$ {u}^{2} $的可变系数都大于$ \eta $。

此外，MEM硅谐振器的非线性项是Lipschitz连续函数，因此同步误差可以通过线性输出反馈控制器进行校正。

仿真实验由主系统组成的MEM硅谐振器同步系统式(4)和从系统式(5)，其具有不同的初始条件，$ {p_1}(0) = {p_2}(0) = 0 $，$ {\hat p_1}(0) = 0.3 $，$ {\hat p_2}(0) = 0 $，激励频率$ \Omega = {\text{ }}0.2 \times {10^6} $ rad/s。

选择$ k = 6.5 $，可得同步控制器$ u(\tau ) = 6.5(y(\tau ) -$$ \hat y(\tau )) $。仿真实验同步误差如图8和图9所示。 仿真结果验证了本文所提出的控制方法能够有效地解决MEM硅谐振器系统的同步问题。

本文针对双端固支梁MEM硅谐振器同步问题，研究了一种新的输出反馈同步控制方法。首先对双端固支梁MEM硅谐振器非线性和动态特性进行了分析，并建立系统模型。然后在此基础上，设计了基于输出反馈的同步控制算法，使从系统与主系统的动态同步。通过仿真实验证明所提出的方法能够有效地解决双端固支梁MEM硅谐振器同步问题。下一步可以针对以下问题继续开展相关研究工作，如同步系统的电路实现技术、用于振荡同步或反同步的新设计方法等。