Baseband DSSS Modulation Method Based on Hilbert Transform

为了增大调制信号频域能量聚集度、提高频带利用率、降低邻道干扰，通常对基带数字信号进行基带成型处理。假设基带成型为升余弦函数$h({{t}})$，对其进行希尔伯特变换，即可得到成型函数为：

式中，H表示希尔伯特变换算子。

由希尔伯特变换的性质可知：$\hat h(t)$为奇函数，其功率谱特性与$h(t)$相同。滚降系数为0.25的升余弦函数及其希尔伯特变换的时域波形如图1所示。

基于成型函数$h(t)$和$\hat h(t)$，结合直接序列扩频调制系统的基本模型，分别对同一扩频码扩频得到的两路直接序列扩频调制信号进行基带成型，再将得到的两支路信号进行合并，由此构建得到基带2维直接序列扩频调制解调系统模型，总体结构流程如图2所示。

图2中，c为直接序列扩频调制采用的扩频码；a_n、 b_n 分别为两条支路的数字调制信息序列；$H(\omega )$和$\hat H(\omega )$分别表示升余弦成型函数$h(t)$及其希尔伯特变换$\hat h(t)$对应的频域响应；s(t)为调制基带扩频调制信号；n(t)为加性高斯白噪声；${a'_n}$、${b'_n}$分别表示接收端两条支路恢复的数字调制信息序列。

接收端的成型匹配相关接收表示与调制端两条支路基带成型相对应的成型和匹配滤波接收。与传统直接序列扩频调制解调系统的不同之处在于：

1) 调制端，包含两条支路基带扩频调制信号(将a_n支路称为第1支路、b_n支路称为第2支路)，第1支路信号与传统直接序列扩频调制信号相同，第2支路信号采用的成型函数是第1支路信号成型函数的希尔伯特变换，两路信号叠加得到调制信号s(t)；

2) 接收端，第1支路解调检测过程与传统直接序列扩频调制信号的解调检测相同，第2支路解调检测采用的匹配函数与调制端的成型函数$\hat h(t)$相同。

显然，成型函数$\hat h(t)$不满足奈奎斯特无码间干扰传输准则，两条支路信号直接叠加后必然会产生相互干扰，下节将就两条支路信号的干扰特性进行研究。

假设扩频码的长度为K，即在一个扩频调制码元内包含K个码片，将第1支路基带成型后的扩频码元波形定义为$g(t)$，能量$E = \displaystyle\int {{g^2}(t){\rm{d}}t} = 1$(单个码片的能量为1/K)。基于希尔伯特变换的时移性质，第2支路成型后的扩频码元波形表示为$\hat g(t)$($g(t)$的希尔伯特变换形式)，${\displaystyle\int {\hat g(t)} ^2}{\rm{d}} t = \displaystyle\int {{g^2}(t)} {\rm{d}} t = 1$。下面的分析围绕码元和码片展开，两支路信号经基带成型和Hilbert变换后，形成基带扩频调制信号，一个扩频调制码元周期内，调制信号的时域波形示意图如图3所示。

图3中实线代表第1支路，虚线代表第2支路；${T_{\rm{s}}}$为扩频调制码元周期，${T_{\rm{c}}}$为扩频码码片周期，二者满足：${T_{\rm{s}}} = K{T_{\rm{c}}}$；${T_{\rm{g}}}$为基带成型之后扩频调制码元的时域扩展(码元前后各${T_{\rm{g}}}/2$，满足${T_{\rm{g}}} \ll {T_{\rm{s}}}$)。

单一调制码元的情况下，不存在前后码元之间的干扰，调制码元信号可表示为：

式中，${a_0}$、$b{}_0$分别表示第1、2支路的调制信息。不考虑噪声的情况下，第1、2支路相关解调输出分别为：

显然，这种情况下，两条支路信号之间不存在相互干扰。

连续调制码元情况下，调制信号可表示为：

不失一般性，考虑${a_0}$、${b_0}$解调的情况，对第1支路信号${a_0}$进行解调时，可以得到解调输出为：

进一步，由于$g(t)$与$\hat g(t)$在区间$[0,{T_{\rm{s}}} + {T_{\rm{g}}}]$内正交、${a_i}$支路内部满足无码间干扰传输，可得：

将式(6)～(8)代入式(5)可得：

式中，${D_{ \pm 1}} = {D_{ - 1}} + {D_1}$；${D_{ - 1}} = \displaystyle\int_0^{{{{T_{\rm{g}}}} / 2}} {{b_{ - 1}}\hat g(t + {T_{\rm{s}}})g(t){\rm{d}}t} $表示前一码元的干扰；${D_1} = \displaystyle\int_{{T_{\rm{s}}} + {{{T_{\rm{g}}}} / 2}}^{{T_{\rm{s}}} + {T_{\rm{g}}}} {{b_1}\hat g(t - {T_{\rm{s}}})g(t){\rm{d}}t} $表示后一码元的干扰。

干扰值${D_{ - 1}}$、${D_1}$与第2支路码元调制信息${b_{ - 1}}$、${b_1}$有直接关系。BPSK调制中，调制信息服从均值为0、标准差为1的等概均匀分布，${D_{ - 1}}$、${D_1}$的均值也为0，标准差与具体采用的扩频码有关。

BPSK直接序列扩频调制下，以m序列作为扩频码，采用截断的sinc函数作为基带成型脉冲，通过数值计算的方法，给出了干扰值${D_{ \pm 1}}$的标准差和对系统信噪比造成的损失，具体数值如表1所示。

从表1中可以看出，干扰值${D_{ \pm 1}}$造成的信噪比损失随着扩频因子K(m序列长度)的增大而减小，当扩频因子为127时，信噪比损失仅为0.03 dB，几乎可以忽略。

与对第1支路解调的分析相同，对第2支路信号${b_0}$进行解调时，可以得到：

式中，${\hat D_{ \pm 1}} = {\hat D_{ - 1}} + {\hat D_1}$；${\hat D_{ - 1}} = \displaystyle\int_0^{{{{T_{\rm{g}}}} / 2}} {{a_{ - 1}}\hat g(t + {T_{\rm{s}}})g(t){\rm{d}}t} $表示前一码元的干扰；${\hat D_1} = \displaystyle\int_{{T_{\rm{s}}} + {{{T_{\rm{g}}}} / 2}}^{{T_{\rm{s}}} + {T_{\rm{g}}}} {{a_1}\hat g(t - {T_{\rm{s}}})g(t){\rm{d}}t} $表示后一码元的干扰。

实际直接序列扩频系统中，扩频码的长度通常达几十、上百甚至上千，此时满足：

解调端${a_0}$、${b_0}$的检测量满足：

显然，连续调制码元情况下，存在码间干扰，但相对于整个解调码元能量来说，码间干扰值可以忽略。

综合以上分析可以看出，直接序列扩频调制情况下，扩频调制码元之间虽存在相互干扰，但得益于扩频码的特性，码间干扰值几乎可以忽略。所以，直接序列扩频调制时，可以用匹配滤波的方法对两支路调制信号直接进行解调，无需对信号进行均衡和其他处理。这一基带调制方式将基带直接序列扩频调制的信号空间维度由1变为2，传输速率也将提高到原来的2倍。

不失一般性，考察${a_0}$、${b_0}$的解调，两条支路均采用BPSK的调制方式，假设系统处于理想同步状态。加性高斯白噪声信道条件下，接收信号为：

式中，$n(t)$为均值为0，双边功率谱密度为${N_0}/2$的高斯白噪声。

根据解调原理，可以得到第1、2支路接收信号的检测量为：

式中，${n_{{a_0}}}$、${n_{{b_0}}}$分别表示噪声引起的干扰。由高斯白噪声的性质可知，${D_{{a_0}}}$、${D_{{b_0}}}$服从均值分别为${a_0} + {D_{ \pm 1}}$、${b_0} + {\hat D_{ \pm 1}}$，方差为${N_0}/2$的高斯分布。

由于干扰${D_{ \pm 1}}$和${\hat D_{ \pm 1}}$几乎可以忽略，所以考虑一种极限情况，假设${D_{ \pm 1}} = {\hat D_{ \pm 1}} = 0$，此时，系统的误码性能最佳，与传统的直接序列扩频BPSK调制性能相同，误码率为：

采用蒙特卡洛仿真实验的方式，以比特信噪比${E_{\rm{b} }}/{N_0}$为参考，对系统的误码性能进行仿真验证。具体仿真条件及参数如下：

调制方式：基带BPSK直接序列扩频；伪随机序列：m序列(长度127，本原多项式${x^7} + {x^3} + 1$)；基带成型：升余弦函数(滚降系数：0.25，过采样率：8)；信道条件：加性高斯白噪声；仿真次数：最大为5×10⁶(随信噪比的提高而增大)。

理论误码率下限和仿真得到的两条支路误码率曲线图如图4所示。

从误码率仿真结果中可以看出，第1支路和第2支路的误码率几乎完全相同，同时二者几乎与理论误码率下限完全一致。

调制系统参数设置与3.1节仿真相同，分别仿真计算干扰为窄带BPSK调制信号、宽带BPSK调制信号、其他直接序列扩频调制信号条件下的误码率。其中，3类干扰信号的功率与调制信号相同。仿真得到的误码率曲线如图5所示。

从图5误码率仿真计算结果中可以看出，3种干扰都降低了系统的误码性能。误码率为10⁻⁴时，直扩调制信号干扰使误码性能下降约0.6 dB，其他两种干扰对误码性能的影响略小。这一结果反映了基带2维直接序列扩频系统具有良好的对抗窄带、宽带和其他扩频干扰的能力，保持了传统直接序列扩频通信系统的优良特性，该结果对其应用研究具有一定的指导意义。

本文基于希尔伯特变换理论和扩频码的良好特性，在传统直接序列扩频调制解调技术的基础上，利用Hilbert变换得到新的成型函数，提出了一种基于Hilbert成型波形变换的基带2维直接序列扩频调制与解调方法，并对其误码性能、抗干扰特性及传输效率进行了分析。理论和仿真分析结果表明：加性高斯白噪声信道下，该方法可以在不降低系统传输性能、不扩展系统传输带宽、不增大单位比特信息发射功率的前提下，将系统传输容量提高到传统直接序列扩频调制系统的2倍，并可有效对抗窄带、宽带、扩频干扰，保持了直接序列扩频通信系统良好的抗干扰特性。

以本文提出的基于Hilbert成型波形变换的基带直接序列扩频调制方法为基础，利用正交双通道上下变频，可将该基带直接序列扩频调制解调方法扩展到带通，实现同相、正交两个通道共4路直接序列扩频信号的并行传输。